АНАЛИЗ МЕТОДОВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья УДК 338.2

doi: 10.47576/2782-4578_2022_1_24

АНАЛИЗ МЕТОДОВ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПРИНЯТИЯ

РЕШЕНИЙ

Воробьева Мария Владимировна

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (Национальный исследовательский университет), Калужский филиал, Калуга, Россия, vorobeva1999@yandex.ru

Аннотация. В статье рассмотрены такие методы, как метод суммы мест, метод взвешенной суммы мест, метод сумм взвешенных значений критериев, метод TOPSIS, метод анализа иерархий, метод ELECTRE I, с помощью которых могут быть решены задачи многокритериального принятия решений. Сделан вывод о том, что задачи многокритериального принятия решений могут быть решены различными методами, каждый из которых имеет свои особенности. Достоверность полученного решения проводится с помощью оценки чувствительности приоритетности альтернатив к смене в весах критериев.

Ключевые слова: принятие решений; задачи многокритериального принятия решений; экономико-математическая модель.

Для цитирования: Воробьева М. В. Анализ методов многокритериального при -нятия решений // Региональная и отраслевая экономика. - 2022. - № 1. - С. 24-28. doi: 10.47576/2782-4578 2022 1 24.

Original article

ANALYSIS OF METHODS OF MULTI-CRITERIA DECISION MAKING

Vorobieva Maria V.

Moscow State Technical University. Named after N. E. Bauman (National Research University), Kaluga branch, Kaluga, Russia, vorobeva1999@yandex.ru

Abstract. The article discusses such methods as the sum of places method, the weighted sum of places method, the method of sums of weighted values of criteria, the TOPSIS method, the hierarchy analysis method, the ELECTRE I method, which can be used to solve problems of multi-criteria decision making. It is concluded that the problems of multi-criteria decision making can be solved by various methods. Each method is unique and has its own characteristics. The reliability of the obtained solution is carried out by assessing the sensitivity of the priority of alternatives to a change in the criteria weights. Keywords: decision making; tasks of multi-criteria decision-making; economic and mathematical model.

For citation: Vorobieva M. V. Analysis of methods of multi-criteria decision making. Regional and branch economy, 2022, no. 1, pp. 24-28. doi: 10.47576/2782-4578_2022_1_24.

В задачах практической деятельности результаты реализации управленческих решений, как правило, многоаспектны и требуют своей оценки по множеству показателей. Задачи такого типа принято относить к классу многокритериальных задач принятия решений. Принятие решений подразумевает под собой процесс, направленный на выбор лучшего варианта из всех возможных. Задачи многокритериального принятия решений являются эффективным способом выбора лучшего по показателям варианта. Чаще всего для задач многокритериального принятия решений необходимо групповое принятие решений, в котором участвуют два или более индивидуума, имеющие различия в своих оценках, но равный доступ к информации и стремящиеся к согласованному коллективному решению. Мнения экспертов должны быть агрегированы в получении единственного заключения. Методология решения подобных задач предполагает создание экономико-математической модели и формальных методов получения решения [1; 3].

Экономико-математическая модель - это математическое описание экономического процесса или объекта, проведенное в целях его исследования и управления.

Экономико-математическая модель должна отвечать следующим общим требованиям:

1) строиться на базе экономической теории и отображать объективные закономерности процессов;

2) правильно отображать функцию и структуру данной реальной экономической системы;

3) удовлетворять определенным математическим условиям таким как разрешимость, согласованность размерностей [2].

Экономико-математическую модель задачи можно представить в виде следующей матрицы:

А1 А2 А;

В1 Гц Г21 . . Гц Ш1

В2 Г21 Г22 П2 Щ

В1 Гц Г2] Гц щ

где А1, А2, ..., Д - набор альтернатив, среди которых необходимо выбрать лучшую; В1, В2, ..., В] - критерии, по которым оценивается каждая альтернатива; - оценка альтернативы Ау по критерию Ву; Wj - вес критерия В .

Существует большое количество методов решения задач по выбору лучшей альтернативы. Рассмотрим следующие методы:

1. Метод суммы мест предполагает предварительное ранжирование каждой альтернативы по каждому критерию в зависимости от уровня критерия. Главным отличием данного метода является то, что он может применяться как для однонаправленных, так и разнонаправленных критериев. Также возможно использование и абсолютных, и относительных значений показателей. Число мест равно количеству альтернатив. По любому показателю анализируемые значения упорядочиваются от лучшего к худшему таким образом, что лучшему значению присваивается первое место, следующему - второе и так далее. Далее полученные места сумми -руются, и чем меньше сумма мест, тем наиболее предпочтительней является альтернатива.

2. Метод взвешенной суммы мест отличается от предыдущего метода тем, что полученные места по каждому критерию умножаются на вес соответствующего критерия.

3. Метод сумм взвешенных значений критериев предполагает определение комплексной оценки к-ой альтернативы:

Ык = ЩЯк1+.+Щ1Якп; к = 1.....р (1)

В результате имеется набор комплексных оценок каждой альтернативы Эти оценки - основа для ранжирования альтернатив. Оптимальной является альтернатива с максимальным значением

4. Метод TOPSIS. Идея метода состоит в том, что лучшая альтернатива должна быть наиболее близкой к идеальному решению и наиболее далекой от отрицательного идеального решения. Для сравнения альтернатив и выбора лучшей с использованием метода TOPSIS необходимо определить идеальное решение N и отрицательное идеальное решение N [2].

Идеальное решение соответствует максимальным значениям критериев, которые находятся по следующей формуле:

N -

Wi R\est + - + WnR^est

Лучшее значение /-го определяется следующим образом:

(2)

критерия

Rïest = max{Rki |i = 1,..., п\к = 1,..., р] (3)

Отрицательным идеальным решением будем считать вариант с худшими (минимальными) значениями критериев по каждому критерию из всех альтернатив. Отрицательное идеальное решение находится по формуле:

N~ = + ••■ + WnRÎiad (4)

Худшее значение /-го критерия определяется следующим образом:

R\ad =min{Rki\i = 1,...,п\к = 1, ...,р] (5)

Для каждой альтернативы к=1,...,р определяется мера расстояния комплексной оценки Nk от идеального решения N+:

d(Nk, N+)= Nk-N+, к = 1.....р (6)

Для каждой альтернативы k=1,...,p определяется мера расстояния комплексной оценки от отрицательного идеального решения N-:

d(Nk, N~) = Nk-N~, к = 1.....р (7)

Далее определяется коэффициент близости каждой альтернативы с худшим решением:

CCk=d(Nk N-)/(d(Nk, N-)+d(Nk, N+)) (8)

Коэффициент близости находится в интервале [0; 1]. Чем больше его значение, тем лучше альтернативная технология сточки зрения минимизации критериев. Таким образом, мы можем определить порядок ранжирования альтернатив и выбрать лучшую альтернативу b среди множества возможных альтернатив с наибольшим значением:

ССЬ = тах{ССк\к = 1,..., р\] (9)

5. Метод ELECTRE I. Суть метода состоит в использовании при расчетах индексов согласия и несогласия. Использование метода позволяет получить наиболее предпочтительное подмножество альтернатив из общей совокупности путем бинарного соотношения альтернатив по определенным критериям. Таким образом, с помощью не определяется количественно показатель качества каждой альтернативы, а устанавливается превосходство одной альтернативы над другой.

Алгоритм метода ELECTRE I включает следующие шаги:

1) Имеется множество оцениваемых критериев (С={с^}) и множество альтернатив (А={^}. Значение /-го критерия }-й альтернативы представлено как х]Г

2) Каждому критерию присваиваются коэффициенты веса w1, w2,...,wm.

3) Следующим шагом является определение индексов согласия и несогласия. Для того, чтобы рассчитать индексы согласия, необходимо множество критериев разбить на три фуппы для каждой пары альтернатив: # = и е 'И, > **,-.} _ множество критериев, по которым _/-я альтернатива лучше к-й;

1]к = {' е 1\х)< > _ множество критериев, по которым _/-я альтернатива равна к-й; $ = О е > - множество критериев, по которым _/-я альтернатива хуже к-й.

Далее определяется индекс согласия по следующей формуле:

Y.ieI + 1= Щ

(10)

¿т ш ¿.¡=1

Индекс несогласия для каждой альтернатив находится по формуле:

пары

dik = max

Jk m*

где,'^: !i -оценки

(11)

пары альтернатив; 1_ -максимальное значение балльной шкалы.

4) На последнем этапе выдвигается разрешающее правило. На основе р е (0; 1] ид е [0; 1)ЧИсел строится бинарное отношение, _/-я альтернатива лучше к-й в том

случае, если выполняется условие: с^к>р и ^ .

6. Метод анализа иерархий (АНР) позволяет разделить анализируемые данные на кластеры и подкластеры. Основная задача метода состоит в нахождении собственного вектора и определении его наибольшего значения. Определение вектора осуществляется с помощью метода попарного сравнения используемых критериев. Иерархическую структуру проблем при выборе лучшего варианта можно представить в виде, представленном на рис. 1.

После того как построена иерархия проблем, для каждого критерия устанавливаются приоритеты и оценивается каждый вариант по критериям. На уровне критериев осуществляется сравнение множества С={с^} друг с другом. На уровне альтернатив попарно сравнивают значения

каждого отдельно взятого критерия с важности. Предпочтение следует отдавать

относительно вариантов множества А={а}). тому критерию, у которого значение важности

Для установления значений критериям наибольшее. используется шкала относительной

Рисунок 1 - Иерархия выбора лучшего варианта

Для того чтобы исследовать достоверность полученного решения каким-либо из методов, целесообразно провести оценку чувствительности приоритетности альтернатив к смене в весах критериев. Критерий называется устойчивым, если никакие допустимые изменения его веса не приводят к изменению оптимальной альтернативы.

Степенью критичности i-го критерия С

называется

величина

наименьшего

относительного изменения его веса , которая приводит к смене оптимальной альтернативы:

СгИУа12(С1) = тщ =1.....„Цб^] I = 1,..., т. (12)

Чем меньше степень критичности критерия С тем легче изменить ранжирование альтернатив, то есть меньшее значение

степени критичности говорит о меньшем изменении веса1У', которое достаточно выполнить для смены ранжирования альтернатив. Предпочтительным будет тот метод решения многокритериальной задачи принятия решений, который обеспечивает устойчивость решения большего диапазона изменения параметров.

По итогам проведенного исследования можно сделать вывод, что задачи многокритериального принятия решений могут быть решены различными методами. Каждый метод уникален и имеет свои особенности. Достоверность полученного решения проводится с помощью оценки чувствительности приоритетности

альтернатив к смене в весах критериев.

Список источников

1. Математическое моделирование экономических процессов: учебное пособие / А. В. Аксяно-ва [и др.]. Казань: КНИТУ, 2016. 92 c. URL: http://www.iprbookshop.ru/62188.html (дата обращения: 01.02.2022).

2. Методы оптимизации: учебное пособие / Е. К. Ершов [и др.]. СПб.: Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, ЭБС АСВ, 2016. 89 c. URL: http://www. iprbookshop.ru/63634.html (дата обращения: 01.02.2022).

3. Яроцкая Е. В. Экономико-математические методы и моделирование: учебное пособие. Саратов: Ай Пи Эр Медиа, 2018. 227 c. URL: http://www.iprbookshop.ru/69291.html (дата обращения: 01.02.2022).

References

1. Mathematical modeling of economic processes: textbook / A.V. Aksyanova [et al.]. Kazan: KNITU, 2016. 92 p. URL: http://www.iprbookshop.ru/62188.html (date of reference: 01.02.2022).

2. Optimization methods: textbook / E. K. Ershov [et al.]. St. Petersburg: St. Petersburg State University University of Architecture and Civil Engineering, EBS DIA, 2016. 89 c. URL: http://www.iprbookshop. ru/63634.html (accessed: 01.02.2022).

3. Yarotskaya E. V. Economic and mathematical methods and modeling: textbook. Saratov: Ai Pi Er Media, 2018. 227 p. URL: http://www.iprbookshop.ru/69291.html (accessed: 01.02.2022).

Сведения об авторе

ВОРОБЬЕВА МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА - студент кафедры машиностроения (МК8), Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана (Национальный исследовательский университет), Калужский филиал, Калуга, Россия, vorobeva1999@yandex.ru

Information about the author

VOROBIEVA MARIA V. - student of the Mechanical Engineering Department (MK8), Lomonosov Moscow State Technical University named after N. E. Bauman (National Research University), Kaluga Branch, Kaluga, Russia, vorobeva1999@yandex.ru