CC BY
36
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ В ЗОНАХ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Л. Ю. Фриштер
Напряженно-деформированное состояние (НДС) составных конструкций и сооружений характеризуется значительной концентрацией напряжений в местах сопряжения элементов с различными вариантами конструктивного оформления границы: особые линии, точки, например, входящий угол и др. Наиболее сложное НДС возникает в области концентрации напряжений, обусловленной как формой границы или "геометрическим фактором" , так и конечным разрывом заданных вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим в нерегулярную точку границы области.
Особенности НДС сооружений и конструкций, обладающих "конструктивной неоднородностью" при действии разрывных вынужденных деформаций, определяются на полимерных моделях метода фотоупругости как концентраторы напряжений. Для интерпретации и расшифровки полученного экспериментально локального НДС в зонах концентрации напряжений конструкций и сооружений в настоящей статье приводится обзор методов анализа особенностей решения задачи теории упругости, обусловленных формой границы или "геометрическим фактором".
Цель такого обзора: - выработать общий аналитический подход, характеризующий сингулярность решения в окрестности нерегулярной точки границы упругого тела, пригодный для анализа экспериментально полученного на модели упругого решения в области геометрического концентратора.
В работе исследуется, в основном, НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы тела, что соответствует исследованию конструкций и сооружений, наиболее часто применяемых в строительной практике.
1°. Вопросам поведения решений уравнений Лапласа, Пуассона и эллиптических уравнений для областей с негладкими границами посвящены работы Кондратьева В.А., Фуфаева В.В., Williams M.L, Уфлянда Я.С., Каландии А.И., Черепанова Г.П., Боджи Д.Б., Аксентян O.K., Александрова А.Я., Чобаняна К.С., Денисюка И.Т., Кулиева В.Д. и др.
В фундаментальной работе Кондратьева В.А. [5] доказано, что в окрестности нерегулярных точек границы области решение общей эллиптической краевой задачи представляется в виде асимптотического ряда и бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат решения однородных краевых задач для модельных областей: клина или конуса. Эти решения зависят от локальных характеристик - величины телесного или плоского угла и типа краевых условий, механических характеристик для кусочно-однородных
тел. Величины же коэффициентов разложения решения в окрестности особой точки неизвестны и зависят от задачи в целом. Методы определения указанных коэффициентов разложения сложны и труднодоступны при практическом определении напряжений составных конструкций, имеющих сложную форму границы.
В работах Денисюка И.Т. приводится асимптотика упругого решения для плоской составной области с угловыми точками на линиях раздела [4]. Достоинством фундаментального исследования сингулярного решения краевой задачи в работе Кулиева В.Д. [6] является возможность применения его результатов для исследовании задач об остаточных напряжениях и распространении трещины через границу соединений разнородных материалов [7]. Показано [7], что порядок сингулярности напряжений зависит от степени приближения вершины трещины к области стыка разномодульных материалов.
В работах Вильямса М. L., на которые ссылаются многие авторы, напряжения, деформации, функция напряжений Эри вблизи вершины сектора с прямолинейными сторонами имеют степенной вид [13] . В работах Каландии
A.И., Чобаняна К.С., Багирова Л.А., Аксентян O.K., Черепанова Г.П., Нетребко
B.П. и многих других решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки границы рассматривается в степенном виде.
2° . В работе [1] для исследования НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы упругого тела вводится локальная криволинейная система координат, в которой записываются уравнения Ламе. При приближении к нерегулярной точке границы изнутри области решение упругой задачи сводится к решению двух однородных плоских задач: плоской деформации и антиплоской деформации или поперечного сдвига.
Возможно показать, что представление решения упругой задачи в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы в виде двух однородных плоских задач справедливо в случае, если: а) заданные вынужденные деформации, объёмные силы непрерывны по области упругого тела ; б) заданные вынужденные деформации, объёмные силы - кусочно-непрерывные функции, причём скачок значений вынужденных деформаций, объёмных сил по внутренней поверхности контакта областей выходит на особую линию границы тела; в) поверхность контакта областей V и V2 упругого составного тела V , имеющих различные механические характеристики Ei ,Vj, i = 1,2 соответственно, выходит на особую линию границы тела. В случае в) решение упругой задачи в окрестности нерегулярной точки границы сводится к двум плоским задачам для составного тела.
3°. В работах [ 12,2,3] для исследования решения упругой задачи в перемещениях в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области применяется теория подобия.
Рассматривается малая окрестность нерегулярной точки на особой линии -линии разрыва, например, граничных условий или первых производных функ-
ции поверхности области. В малой окрестности нерегулярной точки границы поверхности применяется группа подобия: л^ = ¿л; у1 = ¿у; г1 = г; I > 0,
где ¿-параметр группы. Записывая уравнение Ламе в малой окрестности точки на особой линии и переходя к пределу при £ ^ , решение упругой задачи,
как и в случае 2 , сводится к решению двух однородных плоских задач: плоской деформации и антиплоской деформации.
В работе [12] вводится понятие канонической сингулярной задачи, характеризующей особенность НДС в окрестности нерегулярной точки границы, для которой приводятся следующие две теоремы.
Любой канонической сингулярной задаче соответствует трансцендентное уравнение, каждому корню которого отвечает однородное решение, число произвольных действительных постоянных в этом решении равно кратности корня.
В бесконечно малой окрестности особой точки решение корректной краевой задачи теории упругости ведет себя как асимптотически наибольшая по абсолютной величине собственная функция соответствующей канонической сингулярной задачи.
40. Рассмотрим применение теории подобия при решении задачи теории упругости в общей постановке в окрестности нерегулярной точки на особой линии [2,3,8-11].
Рассматривается малая окрестность нерегулярной точки О на особой линии границы (О^(О)) тела V , как самоуравновешенная часть В тела V в виде:
2 2 2 2 2 л + у < £1 ; г < £2; £1, £2 - малые положительные числа. Граничные
условия на поверхности Ь области - однородны. Исходная упругая задача в окрестности нерегулярной точки границы допускает группу подобия: Л = ¿л; у1 = ¿у; 21 = г ; (1 а)
°ч = £ = £й = й ' (1 б)
где ¡, у = л, у, г; И, у1 = Л1, у1, г^; £ -параметр группы, £ > 0. С учётом (1) в новых переменных разрешающая система уравнений задачи теории упругости в общем виде в малой 0$(0) запишется в виде:
дё Ф — дй дй ^Г + рф = О' 2£у + ; ¿1 Л е О,(0),
у1 д/1 ду1
_ ф гв = ёп
ТёупуЬ = 0;
] ]
£ = Е[(1 + у)ёу ] + £
, (2 )
гв
¿1, У1 = X, .VI, ; ¿> У = X, у, Ид = пу, ¿1, у1 е 08 (0)
где через , £ф, Оф обозначены фиктивные нагрузки, зависящие от геометрического параметра I и заданных нагрузок, вида:
^Ф = ^ V, £ф = 14 +1 , аФ
I II
1оФ
ГВ I
. (3)
ГВ
Пусть параметр I = £2 /£ неограниченно возрастает. Разрешающая система уравнений (2) в малой окрестности нерегулярной точки 0 на особой линии границы области при предельном переходе I ^ ж распадается на системы, определяющие совокупность двух самоуравновешенных НДС:
а) плоской деформации:
и Ф 0, V Ф 0, ох Ф 0, оу Ф 0, тху Ф 0, ог Ф 0,
Т = Т„ = 0, ^ = 0, А« 0 , (4 а) дг дг
б) антиплоской деформации: Ж Ф 0, Тхг Ф 0, Туг Ф 0,
Ухг Ф 0 Ууг Ф 0 , и = V = 0 °х = °у = Тху = °г = 0 • (4 б)
5°. Представление разрешающей системы уравнений в окрестности нерегулярной точки в виде (2) позволяет анализировать влияние геометрического параметра I, характеризующего степень приближения к нерегулярной точке границы, на НДС: П = (Оу, £, и ) упругого тела.
Возможно рассмотреть следующие случаи изменения параметра I е [1, +ж) .
а) При I ^ ж исходная упругая задача в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области переходит в однородную краевую задачу с однородными граничными условиями (сингулярную, каноническую). Существует такая малая окрестность нерегулярной точки О границы упругого тела, в
которой действует "собственное" НДС: Цс = (о0, ££, иСц ), полученное как
решение однородной краевой задачи, характеризующее особенность решения в этой точке и её окрестности. Перемещения в точке О и её окрестности непрерывны и ограничены.
б) При I ^ 1, т. е. при удалении от нерегулярной точки О границы, система уравнений (2) совпадает с исходной при действии заданных нагрузок. Нагрузки вида (3) при I ^ 1 совпадают с заданными нагрузками. Поэтому при удалении от нерегулярной точки О границы области НДС:
_ц ц _ц —ц
П = (Оу , £у , йу ) , соответствующее системе уравнений (2), переходит в НДС: 1] = (оу, £у, йг-) , отвечающее исходной разрешающей системе уравнений при действии заданных нагрузок.
в) В промежуточном диапазоне изменения значений параметра £ е (1 + а, N), где N - достаточно велико; а > 0 - достаточно мало, действу_с _н
ет как собственное НДС: 7] , так и НДС: П от нагрузок вида (3).
Согласно рассмотренным случаям а) б) в) изменения параметра £ решение задачи теории упругости окрестности нерегулярной точки границы области представимо в виде:
-с —И
п = п +п (5)
—с
где 7] - решение однородной краевой задачи ( "собственное" или сингулярная составляющая решения). Согласно п. 40 решение однородной краевой задачи в окрестности нерегулярной точки на особой линии представляется в виде решений двух плоских однородных задач: плоской деформации (4 а) и
—И
антиплоской деформации (4 б) . 7] - решение системы уравнений вида (2), обусловленное влиянием действия нагрузок вида (3), зависящих от геометрического параметра т. е. "степени приближения" к особой точке О.
60 . Рассмотрим применение элементов теории размерности для анализа НДС в окрестности нерегулярной точки на особой линии границы области.
Разрешающая система уравнений задачи теории упругости в малой окрестности нерегулярной точки на особой линии границы упругого тела, приводится к безразмерному виду, используя:
? = ?? (6)
где ? - рассматриваемая величина, ? - характерное значение рассматриваемой величины, ? - безразмерное значение этой величины. Рассматриваются соотношения:
о = о0о; £ = £0£; й = й0й; л =10 л; у =10 у; г = 10 г , (7)
г г
где £ - безразмерный параметр группы подобия, вводится для анализа характеристики "степени приближения к нерегулярной точке".
Для того, чтобы получить однородную краевую задачу и перейти к автомодельному решению необходимо и достаточно, чтобы выполнялись:
а) критерии, связанные с воздействиями:
С ^ 0;С ^ 0; £ ^ 0; £ ^ 0 (8 а)
с0 с0 ео ео
б) критерии, обусловленные заданными уравнениями:
Щ ^ 1; ££ ^ 1 (8 б) е0 £0—0
Критерии (8 ) позволяют анализировать соотношения порядков изменения НДС от координат точки в Од (0) при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области.
Условие ~ £0 при г ^ ж означает, что напряжения и деформации имеют одинаковый порядок изменения по координатам в окрестности особой точки О .
Условие и0--0 при I ^ ж означает, что порядок изменения функций
0 г
перемещений от координат точки в Од (0) на единицу больше порядка изменения деформаций, напряжений от координат точки. Если перемещения в
X
Од (0) имеют порядок изменения г , где г - расстояние до нерегулярной точки О в сечении, нормальном особой линии, то деформации и напряжения
Х—1
имеют порядок изменения г . При X е (0,1) перемещения ограничены, а напряжения и деформации имеют особенность порядка \Х —1|. Возможны
X Х—1
оценки: и0 = 0(г ); Щ = 0((г — г) ) , где г ф Г) и рассматривается
проколотая Од (0) без самой точки О.
В силу линейности однородной краевой задачи и с учетом [ 12 ], возможно показать, что порядок изменения НДС в зависимости от координат точки х = х, у е Од(0) имеет вид:
и(гх) ~ С(гх)Х или и(х1) ~ Сх1Х; V(х1) ~ Сх1Х, (9)
сТу С^х! ; £у С^х! ,
где С, С1- произвольная постоянная, х1 = гх, У1 = гу, х1, У1 е Од (0) . При X е (0,1) перемещения и(х1, У1), V(х1, У1) в Од (0) непрерывны, ограничены, обладают свойством гомогенности согласно (9), напряжения и деформации в Од (0) имеют особенность порядка \Х — 1.
Вывод. Применение методов теории подобия и размерностей позволяет охарактеризовать порядки изменения НДС от координат точки при приближении к нерегулярной точке границы изнутри области.
В силу автомодельиости решения упругой задачи напряжения, деформации, перемещения в некоторой окрестности нерегулярной точки границы области допускают группу подобия и обладают свойством гомогенности функций, характерным тем, что такие функции представимы в виде степенных комплексов. Такими же свойствами (подобия, гомогенности) должно обладать и экспериментальное решение, полученное на модели в виде картины полос методом фотоупругости. Поэтому порядки полос в некоторой окрестности нерегулярной точки границы модели так же, как и напряжения, должны обладать свойством подобия, гомогенности и быть представимы в виде степенных комплексов, m ~ CÀr , что подтверждается исследованиями данных эксперимента [2,3,8-11].
Литература:
1. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра.- ПМ и М, 1967, Т.31, вып. 1, с.178-186.
2. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н., Фриштер Л.Ю. Решение задач механики деформируемого твердого тела методом фотоупругости с использованием свойств "размораживания". Развитие методов экспериментальной механики. Под. ред. H.A. Махутова и др.- М.: ИМАШ РАН, 2003, с.60-68.
3. Варданян Г.С., Савостьянов В.Н. Фриштер Л.Ю. Экспериментальное решение задач теории упругости методом фотоупругости с использованием свойств "размораживания". Власов-ские чтения. Сб.тр. М.: МГСУ, 2006, с.22-27.
4. Денисюк И. Т. Одна задача сопряжения аналитических функций в аффинно-преобразованных областях с кусочно-гладкими границами. Изв. вузов, Математика, 2000, № 6, 70-74 с.
5. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды Московского математического общества - М.: МГУ, 1967, т. 16, с. 209-292.
6. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: Наука, 2005, 719 с.
7. Кулиев В.Д., Разумовский H.A. К проблеме определения остаточных напряжений в биметаллах. Докл. АН СССР, 1990, Т.315, С.3, с.561-565.
8. Фриштер Л.Ю. Экстраполяция экспериментальных данных метода размораживания деформаций в области концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, 2008, с. 272-276..
9. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. М., №2, 2008, с.20-27.
10. Фриштер Л.Ю. Теоретико-экспериментальный анализ напряженно - деформированного состояния в окрестности нерегулярной точки границы плоской области от несовместных деформаций. Вестник МГСУ, №1, 2008, с. 169-174.
11. Фриштер Л.Ю. Расчетно-экспериментальный метод исследования НДС составных конструкций в зонах концентрации напряжений. Вестник МГСУ, №1, 2008, с.265-271.
12. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М., Наука, 1974, 640 с.
13. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. J. Appl. Mech., 1952, v. 19, № 4, p. 526.
