Анализ методических погрешностей оценок спектральных характеристик в ортогональных базисах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прохоров С.А., Москаленко И.С. АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ОЦЕНОК СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСАХ

К обобщенным спектральным характеристикам, широко применяемым в приложениях, относятся: эквивалентная ширина спектра мощности, частота, соответствующая максимуму спектральной плотности мощности (СПМ), значение максимума и т.д. [1].

Знание СПМ позволяет определить полосу частот, где сосредоточена основная мощность процесса. Эта характеристика называется эквивалентной шириной спектра мощности случайного процесса и обозначается Ло)э. Существуют различные способы определения Лтэ [1].

Наиболее часто для процессов, у которых СПМ сосредоточена вблизи нулевой частоты (рис. 1 а), Лтэ определяют в виде:

сг2х

Л® = —т—тЧ------------- . (1)

2 Sx (т)

x \ /;

Если основная мощность процесса сосредоточена вблизи экстремальной частоты СПМ ®э (рис. 1 б), а не в нуле, выражение для оценки эквивалентной ширины примет следующий вид [1]:

Л®'=®_+Л®_ /2. (2)

а) широкополосный процесс б) узкополосный процесс

Рисунок 1 - Эквивалентная ширина спектра

Понятие эквивалентной ширины спектра мощности случайного процесса позволяет разбить случайные процессы на два класса: узкополосные и широкополосные.

Узкополосным случайным процессом называется процесс, основная мощность которого сосредоточена вблизи какой-либо частоты о)э. Условие узкополосности записывается в виде: Д«э/2 << оэ.

Процессы, неудовлетворяющие этому условию, называются широкополосными.

Следует отметить, что формула (2) дает завышенное значение эквивалентной ширины спектра мощности. Более точное значение дает формула

да

Л®' = тэ + |(®)сію, (3)

®э

но она из-за сложности вычислений практически не применяется [2].

Для получения простого аналитического выражения для оценки эквивалентной ширины спектра мощности воспользуемся аппроксимацией СПМ ортогональными функциями. Представив модель спектральной плотности в виде

т шя

Яш (®) = Ях (®э) ЦЬкА®-®э )¥к,п (®-®э ,ап )+ЦЬкА®э-®)Гк,л (®э ~®,ал ) . (4)

k=O

k=O

где Sx (тэ )

максимуму СПМ;

1

максимальное значение взаимной СПМ; т

значение аргумента,

соответствующего

Pk ,n = Pk , =

’n Sx(a)|Kn 1

Sx (тэ )|Кл

rj Sx (u+тэ )n,n (u,«n)du; O

да

rj Sx (тэ -« К, (и,«л)du;

(5)

bk ,i = pk,i +

n ,i (0, «і)

1-— pns,i (0,«i)

m nli (0,«i)

— II ||2

;

(б)

*=0 V,4

0, если m < 0;

1(m) = <1/2, если m = 0; (7)

1,если m > 0.

Тогда по смыслу эквивалентная ширина спектра мощности будет равна:

Am +£2)п (8)

где п - оценка длительности правой ветви СПМ, найденная в соответствии с таблицей 1 [2]

Таблица 1 - Выражения для оценки длительности правой ветви СПМ

Ортогональный базис

Дирихле 1 Z Т-Г Рк a k=0 к +1

Лагерра 9 m , a z ик а а к=0

Лежандра 1 m 1 - А а к=0 2к +1

Аналогичным образом можно определить эквивалентную ширину и для взаимного спектра мощности. Отличие заключается в том, что необходимо аппроксимировать модуль взаимной СПМ.

Рисунок 2 - К определению эквивалентной ширины спектра мощности

Для анализа погрешностей оценки эквивалентной ширины спектра методом имитационного моделирования автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа была дополнена подсистемой имитационного моделирования, в которой предусмотрена возможность проведения экспериментов и получения зависимостей погрешностей [3, 4].

Рассмотрим подробно подсистему имитационного моделирования.

Страница «Эксперименты» предназначена для автоматизации процесса проведения экспериментов по имитационному моделированию и аппроксимации автокорреляционных функций с целью оценки возникающих погрешностей.

Одной из сложных задач, которые необходимо решать при реализации метода имитационного моделирования, является выбор необходимого числа прогонов имитационной модели. Согласно методике, изложен-

ной в РТМ 25 139-74 [5]

в качестве метрологической характеристики может выбираться максимальное

Л 0 :

значение модуля погрешностей оценки А = шахЦл^-Ц, ] = 1,...^, (9)

где N - число испытаний, зависящее от доверительной информации Рд.

если Рд =0.95, то число

Так,

испытаний равно 2 9 независимо от закона распределения погрешностей.

В дальнейшем при проведении имитационного моделирования количество модельных экспериментов равно

29.

Целью экспериментов по моделированию является построение зависимости максимума модуля погрешности от объема выборки.

Целями экспериментов по аппроксимации являются: сравнение оптимального значения параметра мас-

штаба, найденного аналитически, со значением, найденным исходя из минимума квадратической погрешности аппроксимации; построение зависимости максимума погрешности вычисления и СКО коэффициентов разложения от номера при разных объемах выборки; построение зависимостей погрешностей оценок корреляционно-спектральных характеристик в ортогональных базисах от объема выборки, а также сравнение максимума погрешности вычисления и СКО коэффициентов разложения от номера при аппроксимации разными ортогональными функциями [2].

Для нахождения оптимальных значений различных параметров предусмотрены различные варианты поиска (рис. 3):

* («Определить оптимальные шаг и число точек») - определить оптимальные шаг и число точек КФ с заданной погрешностью приближения;

(«Вычислить оптимальные значения порядка и параметра масштаба») - необходимо задать диапазон порядка функции (Шн и Шк), в котором будет производиться поиск, и нажать на кнопку эту для левой и правой ветвей по отдельности (нижние кнопки) или вместе (верхняя кнопка). При этом виде поиска оптимальных значений параметров для каждого значения порядка вычисляется значение параметра масштаба в зависимости от порядка и интервала дискретизации, для полученной таким образом пары значений вычисляется погрешность аппроксимации. Путем перебора всех таких пар в заданном диапазоне порядка выбирается пара с наименьшим значением погрешности аппроксимации. Найденные значения рекомендуются в качестве оптимальных.

(«Вычислить оптимальное значение параметра масштаба в зависимости от интервала дискретизации ВКФ») - если требуется найти оптимальное значение параметра масштаба для указанного порядка аппроксимирующей функции в зависимости от интервала дискретизации КФ.

. Аппроксимативный о р ре ля цио н но -с пек тра л ьн ы й а на л и з . □> (X

Файл Страница

V 0 lii

И сходный процесс | Пара процессов | ВКФ ] Аппроксимация ВКФ | Спектр] Аппроксимация спектра Эксперименты | Ортогональные полиномы и Функции | Справочнаї

Моделирование Аппроксимация АКФ |

alas j Г рафики tk4 Спектр | Эквив. ширина спектра | Эквив. ширина спектра 2 | Г рафики d[al(a) и D(alfa) | Г рафики d * 1 >

Порядок Ф-ции а. Г" Теоретическая Шаг Интервал

|Н |0,16893 т„|" Лт,|» Л Ортогональные ф-ции |еХр(-а|'|[|)''СО:фч0Ч] _»] |0,1 |10 17 ЮтображатуДшэ

а шО Погрешность Спектр

|1 |5 |00! ^ Шаг Число точек

|Лежанцра ■* 10,0816497 |48 ;

Метод интегрирования ] Подбирать т и аКа

| Сим пс она т| г Графики <№] и СКО [к]

Погрешности: Объем выборки

д =0 110000

$2=0 Число э кспериментов

Si -□ |29 _£] Чистить

д =0 [* Маркеры точек

Дг=о Г” Логарифм, шкала

Ді=о о >с 1 и а

—Зависимость погрешности эт порядка аппр. ф-ции

I Погреши] Погреши | СКО |

0 и

Рисунок 3 - К проведению экспериментов методом имитационного моделирования

По одному нажатию кнопки чГ («Добавить графики») (рис. 3) происходят следующие действия:

Повторяем столько раз, сколько задано число экспериментов:

Рассчитываем КФ (по формуле или моделированием);

Аппроксимируем КФ с заданными параметрами;

Вычисляем модуль разности полученных коэффициентов разложения и соответствующих теоретических;

Вычисляем погрешности и СКО оценок интервалов корреляции и [2];

Вычисляем погрешности аппроксимации;

Находим оценку спектра по параметрам ортогональной модели КФ, вычисляем эквивалентную ширину спектра и погрешность, с которой она найдена (первым способом - формулы (1) и (2));

Аппроксимируем оценку спектра с разбиением на левую и правую ветви, находим оценку для пра-

вой ветви, вычисляем эквивалентную ширину спектра (второй способ - формула (8)) и погрешность, с которой она найдена;

По каждому коэффициенту выбираем максимальное значение модуля разности - получаем зависимость погрешности вычисления коэффициентов от номера коэффициента;

По каждому коэффициенту вычисляем СКО - получаем зависимость СКО вычисления коэффициентов от номера коэффициента;

По каждому значению эквивалентной ширины спектра (значениям, найденным первым и вторым способом) выбираем максимальную погрешность - получаем значение погрешности при заданном объеме выборки;

Выбираем максимальную погрешность оценки для каждого интервала корреляции - получаем значение погрешности оценки интервалов корреляции при заданном объеме выборки;

По каждому интервалу корреляции вычисляем СКО - получаем значение СКО оценок интервалов корреляции при заданном объеме выборки;

Выбираем максимальные погрешности аппроксимации из всех экспериментов - получаем значения погрешностей аппроксимации при заданном объеме выборки.

В связи с этим последовательность действий может быть следующей:

Выбираем вид КФ;

Задаем значение погрешности приближения КФ;

Задаем значения параметров а, со0;

Задаем значения интервала дискретизации и числа точек (нажав кнопку («Оптимальные значения

параметров») или в ручном режиме);

Задаем значения параметров аппроксимации АКФ и спектра;

Задаем число экспериментов, как правило, оно равно 2 9;

Задаем объем выборки (если не выбрана теоретическая КФ);

Нажимаем кнопку («Добавить графики»).

Повторяя п. 6-7 для всех интересующих объемов выборки, получаем графики различных зависимостей. Нас интересуют погрешности оценки спектральных характеристик в ортогональных базисах, поэтому перейдем к закладкам «Эквив. ширина спектра» и «Эквив. ширина спектра 2». На рисунках 4-5 показаны зависимости для погрешностей оценки эквивалентной ширины спектра от объема выборки для разных ортогональных базисов в результате повторения п. 6-7 для объемов выборки 500, 1000, 2000, 5000, 10000.

Рисунок 4 - Графики зависимости погрешностей оценки эквивалентной ширины спектра от объема выборки для разных базисов (первый способ)

. Аппроксимативный норреляционно-спектральный анализ [-~]ГдПЬЗ||

Рисунок 5 - Графики зависимости погрешностей оценки эквивалентной ширины спектра от объема выборки для разных базисов (второй способ)

Флажок «Теоретическая» отвечает за источник отсчетов КФ: если он установлен, то будут использоваться теоретические значения КФ, найденные по формуле, в противном случае - КФ будет смоделирована.

Флажок «Объем выборки» отвечает за наличие в подписи линии объема выборки (рис. 3). Его следует включать, когда на одном графики присутствуют зависимости погрешностей для разных объемов выборки и/или на усмотрение пользователя.

Флажок «Легенда» отвечает отображение легенды на графиках (рис. 3).

Флажок «Маркеры точек» отвечает за подписи значений ординат точек на первом графике (рис. 4).

Флажок «Логарифм. шкала» отвечает за шкалу абсцисс на первом графике (рис. 4). Его следует включать, когда минимальное и максимальное значения по этой шкале отличаются более чем в 1000 раз и/или на усмотрение пользователя.

Как видно из рисунка 5 для аппроксимации КФ и модуля СПМ могут быть использованы разные базисы и разные значения параметров аппроксимации (независимо друг от друга).

Результаты каждого нажатия кнопки («Добавить графики») могут быть сохранены в файл по нажатию кнопки Л («Сохранить»). Имя и место положения файла определяется программой автоматически: в

папке, в которой находится программа, создается папка с названием ортогональных функций для аппроксимации КФ, в ней создается папка с номером модели КФ (в примере на рисунке это папка БігіМе\М5\), имя файла «складывается» из следующих значений - «<номер модели КФ>-<объем выборки>-<х>.txt», где х - это значение параметра а для монотонных КФ или показатель колебательности для колебательных КФ. В таком случае при проведении экспериментов и необходимости сохранения результатов пользователю не приходится задумываться над именем каждого сохраняемого файла, что, несомненно, ускоряет его работу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов - 2-е изд., переработанное и дополненное / СНЦ РАН, 2001. 380 с., ил.

2. Прохоров С.А., Графкин А.В. Программный комплекс корреляционно-спектрального анализа в ортогональных базисах / СНЦ РАН, 2005. 198 с., ил.

3. Прохоров С.А., Москаленко И.С. Автоматизированная система аппроксимативного анализа взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов // Надежность и качество. Труды международного симпозиума. - Пенза, 2005. - С. 98-101.

4. Прохоров С.А., Москаленко И.С. Автоматизированная система для аппроксимации взаимных корреляционно-спектральных характеристик временных рядов // Материалы международной научно-технической конференции, посвященной 110-летию изобретения радио и 75-летию Саратовского государственного технического университета. - Саратов, СГТУ, 2005. - С. 21-26.

5. Методы нормирования метрологических характеристик, оценки и контроля характеристик погрешностей средств статистических измерений. РТМ 25 139-74 / Минприбор. - 1974. - 76 с.