Анализ механического поведения глазного яблока в условиях статического нагружения с приложением к интерпретации диагностических данных Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 570-572

УДК 532.11:539.3:577.1

АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА В УСЛОВИЯХ СТАТИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

© 2011 г. А.А. Штейн, Г.А. Любимов, И.Н. Моисеева

НИИ механики Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова

stein@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Для оценки упругих параметров глаза по неинвазивным, осуществимым в клинике, измерениям предложена модель, рассматривающая ткани глаза как совокупность двух упругих элементов - мягкой оболочки (роговица) и обобщенного линейного элемента, включающего склеру и прилегающие ткани глазницы, механическое поведение которого характеризуется только упругим откликом на изменения внутриглазного давления. В такой модели присутствуют два основных подлежащих определению упругих параметра - жесткости роговицы и склерального элемента. На базе модели проведены расчеты для случая статического аппланационного нагружения глазной оболочки, при котором прикладываемая нагрузка имеет вид штампа с достаточно широким плоским основанием. Рассчитана функция, определяющая зависимость внутриглазного объема от внутриглазного давления и величины приложенной нагрузки. Показано, что упругая характеристика, получаемая при быстром нагружении роговицы грузами разного веса (эластометрия), не может быть непосредственно использована для оценки упругого поведения глаза при закачивании в него жидкости и при длительном нагружении (в частности, при тонографии). Установлена связь между упругими характеристиками системы, используемыми для интерпретации данных в этих группах исследований.

Ключевые слова: глаз, математические модели, оболочка глаза, внутриглазное давление, тонометрия, эластометрия.

В офтальмологической практике механическое состояние глаза исследуется на основе косвенных методов, связанных с приложением внешней нагрузки к роговице. Получение реальных механических характеристик при этом затруднено отсутствием достоверной методики определения индивидуальных упругих свойств, разброс которых очень велик. В связи с этим поставлена задача - оценить упругие параметры глаза по доступным в клинике измерениям. Для ее решения предложена модель [1], представляющая глаз как заполненную жидкостью оболочку, являющуюся совокупностью двух упругих элементов мягкой оболочки (роговица) и обобщенного линейного элемента, включающего склеру и прилегающие ткани глазницы, поведение которого характеризуется только упругим откликом на изменения внутриглазного давления.

Двухсегментная модель и постановка задачи

Будем рассматривать роговицу как не сопротивляющуюся изгибу упругую поверхность, изотропную и пространственно однородную по

своим упругим характеристикам, пренебрегая напряжениями в нормальном к поверхности направлении. Воспользуемся уравнениями равновесия мягкой оболочки, полагая, что в некотором начальном состоянии при распирающем внутреннем давлении роговица имела форму сферического сегмента радиуса Я0, а в дальнейшем остается осесимметричной. Локальное деформированное состояние роговицы, отсчитываемое от этого начального (напряженного) состояния, характеризуется двумя компонентами деформации £1 и е2, определяющими растяжение в меридиональном и перпендикулярном ему направлении и связанными линейными соотношениями с двумя компонентами усилия в касательной плоскости. Сдвиговая деформация отсутствует в силу симметрии задачи. Независимым параметром считаем длину s дуги образующей в ненагруженном состоянии, отсчитываемую от ее пересечения с осью симметрии. Условия равновесия совпадают с приведенными в [2].

Роговица опирается на склеру, которая контактирует со структурами глазницы. В рассматриваемых процессах эти ткани не подвергаются существенно неоднородным внешним воз-

действиям. Поэтому естественно заменить внешние по отношению к роговице ткани одним упругим элементом, который реагирует на изменения внутриглазного давления деформацией, приводящей к изменению внутриглазного объема, полное изменение которого складывается из изменений двух объемов: под роговицей и вне ее. Предполагая названный элемент линейно упругим, постулируем связь АУа = К(р - Ро), где АК - приращение склерального внутриглазного объема (части внутреннего объема, ограниченной склерой и плоскостью, отграничивающей склеру от роговицы) вследствие изменения давления. Если условно связать АУХ только с деформацией сферической склеры с известными параметрами, коэффициент К удобно заменить пропорциональной ему константой Ех, имеющей формальный смысл жесткости этой условной склеры. Вторая существенная упругая константа системы - жесткость роговицы Е6,.

Рассмотрим случай штампа, площадь основания которого достаточно велика, чтобы в этой плоскости произошел его отрыв от роговицы. Радиус пятна контакта Я* в рассматриваемой постановке (для мягкой оболочки) связан с давлением р и весом груза Р простой формулойр = Р/(%Я^).

Граничные условия задачи, которая в силу симметрии решается для одной полуплоскости, складываются из условия малости смещения внешней границы роговицы при контакте со склерой, условий гладкости поверхности роговицы и непрерывности напряжения в ней в точке отрыва от штампа, а также условия ограниченности переменных в точке пересечения с осью.

Результаты и обсуждение

Численное решение описанной выше задачи при различных фиксированных значениях внутреннего давления р и веса груза Р осуществлялось методом стрельбы. Применялась схема Рунге - Кутта второго порядка. Анализ поведения решения при различных значениях параметров показал, что задача имеет, вообще говоря, три решения, только одно из которых соответствует физическому смыслу решаемой задачи. Имеется, однако, область значений параметров, где решение не существует. По найденным функциям, определяющим смещение точек роговицы, рассчитывалось изменение объема под роговицей. Изучалось приращение функции объема У(р, Р), рассчитанной с учетом изменения склерального объема при том же давлении. Результаты расчета фун-

кции объема использовались для получения других необходимых функций.

В рамках исследования поведения функции объема от параметров системы был продемонстрирован близкий к линейному характер зависимости функции объема от давления на физиологически важном участке. Это позволяет ввести модуль объемного растяжения Е (интегральную объемную жесткость) и изучить его связь с упругими характеристиками склерального элемента и роговицы. В частности, получено, что интегральная жесткость возрастает с увеличением жесткостей элементов системы, причем почти пропорционально этим жесткостям, если поддерживать их отношение постоянным. В отличие от зависимости объем - давление зависимость объем - груз заметно нелинейна уже в области значений весов, применяемых на практике.

Моделирование важного для офтальмологии случая деформации при постоянном объеме показало, что функция р(Р) в области реально применяемых ненулевых весов также близка к линейной, что дает возможность характеризовать поведение системы в этом режиме коэффициентом элас-топодъема у который возрастает с ростом «жесткости склеры» и падает с возрастанием жесткости роговицы. Коэффициент у можно достаточно легко определить в клинике [3]. При анализе данных тонографии, а также при инъекции жидкости в глаз, необходимо знание коэффициента Е [4]. Если отношение жесткостей склеры и роговицы принять заданным, то один коэффициент легко вычисляется через другой. На рис. 1 изображена зависимость коэффициента эластоподъема от коэффициента объемной жесткости (мм рт. ст./мм3) при разных значениях отношения жесткостей склеры и роговицы: Е^ /Ес = 5 (кривая 1), Е^ /Ес = 10 (кривая 2), Ех/Ес = 20 (кривая 3), Ех/Ес = 35 (кривая 4).

У 1.2 0.8

0.4

0 0.4 0.8 1.2 1.6 у

Рис. 1

При фиксированном Ех /Ес увеличение одного из интегральных коэффициентов влечет за собой увеличение другого. Видно, что на эту зави-

симость существенно влияет величина Es /Ec, но поведение кривых сходно. Присутствие в модели лишь двух существенных упругих констант делает в принципе возможной их идентификацию не только в эксперименте, но и в клинике. Результаты открывают путь к корректному определению реальных механических характеристик глаза при клинических измерениях.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 08-01-00492).

Список литературы

1. Моисеева И.Н., Штейн А. А. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. №4.

2. Бауэр С.М., Любимов Г. А., Товстик П.Е. // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. №1. С. 24-39.

3. Аветисов С.Э., Бубнова И.А., Антонов А.А. Глаукома: реальность и перспективы. М.: НИИ глазных болезней РАМН. 2008. Ч. 2. С. 81-85.

4. Pallikaris I.G. et al. Expert Rev. // Ophthalmol. 2010. V. 5, No 3. P 343-351.

ANALYSIS OF THE MECHANICAL BEHAVIOR OF THE EYEBALL UNDER STATIC LOADING CONDITIONS WITH APPLICATION TO INTERPRETING DIAGNOSTIC DATA

A.A. Stein, G.A. Lyubimov, I.N.Moiseeva

For estimating the elastic parameters of the eyebased on noninvasive measurements performable in clinics, a model which treats the eye tissues as a composition of two elastic elements, a soft shell (cornea) and a generalized linear element representing the sclera and the adjacent eye-socket tissues, is developed. The mechanical behavior of the latter element is characterized by only an elastic response to changes in the intraocular pressure. This model contains two main elastic parameters to be determined: the stiffnesses of the cornea and the scleral element. On the basis of the model proposed, calculations were performed for the applanation loading of the eye shell, in which case the load applied has the shape of a stamp with a sufficiently wide flat base. The function determining the dependence of the intraocular volume on the intraocular pressure and the load applied is calculated. It is shown that the elastic characteristic that can be obtained as the cornea is rapidly loaded by different weights (elastometry) cannot be directly used for estimating the elastic behavior of the eye during fluid inflation or prolonged loading (like in tonography). A relationship between the elastic characteristics of the system used for data interpretation in these groups of tests is established.

Keywords: eye, mathematical models, eye shell, intraocular pressure, tonometry, elastometry.