CC BY
142
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВ ПОЛУЧЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗВУКОВЫХ СИГНАЛОВ
Каберов Александр Ильич, Вологодский государственный университет,
г. Вологда
E-mail: kaberovai@yandex.ru
Анотация. Данная статья посвящена обзору математических аппаратов спектрального анализа звуковых сигналов. Рассмотрены такие математические аппараты, как оконное преобразование Фурье и вейвлет-преобразование.
Ключевые слова: преобразование Фурье, вейвлет-преобразование.
Развитие компьютерной техники привело к существенному увеличению объема информации, представленной в электронном виде, в частности, электронной музыки. Таким образом, актуальными задачами являются разработка и исследование разнообразных способов поиска музыкальных произведений. Основным этапом семантического поиска является выделение характеристик музыкальных произведений, для решения этой задачи многие современные поисковые системы используют математические аппараты спектрального анализа.
Семантический поиск в музыкальных коллекциях представляет собой нетривиальную задачу обработки музыкальных композиций с последующим поиском по полученным характеристикам. Примерный алгоритм поиска включает в себя несколько этапов:
а) преобразование музыкального произведения в удобный для анализа вид (получение спектрограммы);
б) выявление характеристик музыкального произведения из полученной спектрограммы;
в) сравнение музыкальных произведений по полученным характеристикам;
г) вывод полученных характеристик ранжированных по схожести от наиболее схожих к наименее.
Как видно из алгоритма работы поиска, наиболее важным этапом является
SCIENCE TIME
этап выявления характеристик музыкального произведения, и качество выявления характеристик напрямую зависит от качества спектра полученного на предыдущем шаге спектра.
Впервые о получении спектра сигнала задумался французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье. Он поставил перед собой вопрос о возможности разложения любого стационарного гармонического сигнала на набор синусоид разной частоты. Решением данной задачи стало преобразование Фурье.
Преобразование Фурье - операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.[1]
Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным и задаётся следующей формулой:
Следовательно, на выходе данного преобразования получаем функцию зависимости амплитуды от частоты.
Для стационарного функции 0.5*вт(20*р1*х)+вт(5*р1*х)+вт(3*р1*х) преобразование Фурье представлено на рисунке 1.
— СО
SO
20
10
20
30
40
Рис. 1 Преобразование Фурье для стационарного сигнала
SCIENCE TIME
Как видно из рисунка функция состоит из 3х составляющих, на нем легко можно определить их частоты.
Преобразование Фурье было создано для преобразования стационарных гармонических сигналов. Таким образом, оно не предназначено для правильного определения амплитудно-частотных характеристик в нестационарном сигнале. Для решения данной проблемы было два направления:
1) Применение преобразования Фурье не ко всему сигналу в целом, а применение его в пределах временного окна, которое постепенно движется. Такой метод назвали оконным преобразование Фурье.
2) Использование в основе преобразования не пару функций sin, cos растянутые по всей временной плоскости, а локализованную функцию, то есть сжатую по времени. Данный метод называется вейвлет-преобразование.
Оконное преобразование Фурье - это разновидность преобразования Фурье, определяемая следующим образом:
Где IV(т — Г) - некоторая оконная функция. [2]
Окно - весовая функция, которая используется для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках.[3]
Обычно в качестве оконной функции используется прямоугольное окно, окно Хемминга или окно Ханна [4].
Виды оконных функций:
I) Прямоугольное окно описывается функцией (Рис. 2):
й) (и)
■I
пЕ [0,N- 1]
О, Ti £ [О, А/ — 1]
Рис. 2 Прямоугольное окно
SCIENCE TIME
II. Окно Ханна описывается функцией (Рис. 3):
г N
1 де — ширина окна.
Рис. 3 Окно Хана
III. Окно Хэмминга описывается функцией (Рис. 4): £¿(71) = 0.53836 — 0.46164 ■ (
/ ¿1т \
\N-lJ
Рис. 4 Окно Хэмминга
В отличие от преобразования Фурье, оконное преобразование Фурье является функцией от времени, частоты. Следовательно, оно позволяет получить характеристику распределения амплитуды и частоты сигнала во времени. В
SCIENCE TIME
связи с тем, что система зависит от двух переменных, возникает главная проблема оконного преобразования Фурье - принцип неопределенности Гейзенберга. Данный принцип неопределенности возникает при одновременном определении пары переменных величин характеризующих систему.[5] В данном случае парой является время и частота. Принцип неопределенности означает, что невозможно точно сказать какая именно частота присутствует в сигнале в данный момент и невозможно сказать в какой точно момент времени присутствует частота в сигнале. Следовательно, при использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте. На рисунке 5 представлено сравнение оконного преобразования Фурье с разными окнами. Слева (узкое окно) - хорошее разрешение по времени, справа (более широкое окно) - хорошее разрешение по частоте.
Рис. 5 Сравнение оконного преобразования Фурье с разными окнами
Для решения проблемы неопределенности Гейзенберга был разработан такой математический аппарат как вейвлет-преобразование.
Вейвлет-преобразование служит для построения частотно временных характеристик сигнала и имеет вид:
Где т - сдвиг по времени, а -масштаб, трс.т - материнский вейвлет.
Материнский вейвлет - функция, которая является прототипом для всех окон, которые будут генерироваться во время вейвлет-преобразования.
Сдвиг по времени регулирует положение генерированного окна во временной компоненте сигнала.
Масштаб является обратным к понятию ширины окнаБ, следовательно чем
SCIENCE TIME
меньше масштаб тем большую часть сигнала охватывает окно.
Вейвлет представляет собой волну, которая проходит через сигнал и является окном некоторого масштаба для некоторого местоположения во времени.
Типы вейвлетов (Рис. 6):
а) вейвлет Хаара;
б) вейвлет Добеши;
в) вейвлет Морле.
Вейвлет Хаара Вейвлет Добеши Вейвлет Морле
Рис. 6 Графическое представление вейвлетов
Процесс вейвлет-преобразования выглядит следующим образом:
а) рассчитываем интеграл при начальных условиях т = 0 и 5 = 1;
б) увеличиваем параметр т на некоторое достаточно малое число и рассчитываем интеграл;
в) выполняем шаг 2 пока т не достигнет конца сигнала;
г) увеличиваем параметр Б на требуемое значение, устанавливаем т = 0 и переходим к шагу 2;
д) выполняем шаг 4 пока не достигнем требуемого объема спектральных характеристик.
В результате описанного процесса будет получено трехмерное представление сигнала с компонентами: масштаб, время и амплитуда.
Достоинства:
- вейвлетные преобразования обладают всеми достоинствами преобразований Фурье;
- вейвлетные базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте,
SCIENCE TIME
так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют интерес;
- базисные вейвлеты могут реализоваться функциями различной гладкости. Недостатки:
- можно выделить один недостаток, это относительная сложность преобразования [6].
Для спектрального анализа нестационарного сигнала существует два основных математических аппарата: оконное преобразование Фурье и вейвлет-преобразование.
Метод оконного преобразования Фурье хорошо подходит для выявления характеристик сигнала которые не требуют высокой точности позиционирования спектров (плотность, интенсивность и т.д.), а скорость его работы во много раз превышает скорость работы вейвлет-преобразования. Как раз по причине скорости работы быстрого преобразования Фурье и простоты его использования, оно очень распространено среди программ использующих спектральный анализ.
Метод вейвлет-преобразований подходит для более точного определения состава музыкального произведения, к примеру, для выделения таких характеристик, как мелодия. Вследствие сложности вейвлет-преобразования и больших временных затрат выполнения алгоритма, данный метод мало распространён и используется только в случаях требующих наиболее точных значений спектров музыкальных произведений.
Литература:
1. Преобразование Фурье // Wikipedia - The Free Encyclopedia [Электронный ресурс]. - Режим доступа.—http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Фурье
2. Оконное преобразование Фурье // Wikipedia - The Free Encyclopedia
[Электронный ресурс]. - Режим доступа.—http://ru.wikipedia.org/wiki/
Оконное_преобразование_Фурье
3. Окно (весовая функция) // Wikipedia - The Free Encyclopedia [Электронный ресурс]. - Режим доступа. -http://ru.wikipedia.org/wiki/Окно_(весовая_функция)
4. Мистецкий В. Непрерывное wavelet преобразование [Электронный ресурс]. -Режим доступа. - http://habrahabr.ru/post/103899/
5. Принцип неопределённости // Wikipedia - The Free Encyclopedia [Электронный
ресурс]. - Режим доступа.—http://ru.wikipedia.org/wiki/
Принцип_неопределённости
6. Вейвлет-преобразование // Wikipedia - The Free Encyclopedia [Электронный ресурс]. - Режим доступа.—http://ru.wikipedia.org/wiki/Вейвлет-преобразование
