CC BY
19
УДК 004.942
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МНОГОКАНАЛЬНЫХ БИОМЕДИЦИНСКИХ СИГНАЛОВ НА ПРЕДМЕТ ИХ САМОПОДОБИЯ И ФРАКТАЛЬНОЙ ПРИРОДЫ
А. А. Черепков, А. В. Кузьмин
ANALYSIS OF THE LINEAR DISCRETE MULTICHANNELBIOMEDICAL SIGNALS OF THEIR SELF-SIMILARITY AND THE FRACTAL NATURE
A. A. Cherepkov, A. V. Kuzmin
Аннотация. Данная работа посвящена анализу многоканальных сигналов на предмет их фрактальной природы. В ходе их изучения была выявлена зависимость результатов анализа от состояния здоровья человека, в частности сердечнососудистой системы. Также была разработана программа, способная самостоятельно анализировать сигналы различного происхождения для определения их фрактальной размерности на основании нескольких способов и методов.
Ключевые слова: фрактал, биомедицина, сигналы, анализ фрактальной природы, дискретные сигналы, автоматизированная система.
Abstract. This work is devoted to the analysis of multichannel signals about their fractal nature. During which studying dependence of results of the analysis on a state of health of the person, in particular cardiovascular system was revealed. Also the program capable independently to analyze signals of a various origin for determination of their fractal dimension on the basis of several ways and methods was developed.
Key words: fractal, biomedicine, signals, the analysis of the fractal nature, the discrete signals, the automated system.
Фракталами Мандельброт [1] называл геометрические объекты: линии поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму, которые могут обладать свойством самоподобия. Слово «фрактал» произошло от латинского слова fractulus и переводится как дробный, ломаный. Фрактальный объект имеет бесконечную длину, что существенно выделяет его на фоне объектов традиционной евклидовой геометрии.
Фрактал, обладающий свойством самоподобия, более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов [2], т.е. существует сходство характеристик фрактала при его рассмотрении на различных разрешениях. В идеальном случае самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным при изменении масштаба. Фрактальный объект может и не быть самоподобным, но у тех фракталов, которые представляют собой сигналы, повсеместно наблюдается свойство самоподобия, его временные реализации являются фрактальными.
Целью нашей работы было проанализировать различные типы сигналов с помощью фрактального подхода и программным образом реализовать полученный алгоритм. В основу теоретического анализа решения поставленной
задачи были положены труды «отца фрактальной геометрии» Бенуа Ман-дельброта.
Временные последовательности измерений таких величин, как температура, сток рек, количество осадков или толщина колец деревьев, уже исследовались с помощью нормированного размаха или метода Херста. Такие последовательности измерений характеризуются показателем Херста - H.
Херст исследовал многие природные процессы, при этом он использовал безразмерное отношение R/S, где S - стандартное отклонение, т.е. квадратный корень из дисперсии. Используя это безразмерное отношение, можно сравнивать размах для разных явлений. Стандартное отклонение можно оце-
нить по наблюдениям: S =
S N 1
( 2\/2 1 ¿{{(И) -®,}
11=1
. Как обнаружил Херст, для
многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах R/S очень хорошо описывается эмпирическим соотношением R/S = (т/2)н. Показатель Херста H более или менее симметрично распределен вокруг среднего значения 0,73 со стационарным отклонением, равным примерно 0,09.
В случае 0 < H < 0,5 говорят об антиперсистентности процесса. Здесь высокие значения процесса следуют за низкими, и наоборот. Другими словами, вероятность того, что на (i + 1)-м шаге процесс отклоняется от среднего в противоположном направлении (по отношению к отклонению на i-м шаге), настолько велика, насколько параметр H близок к 0.
Также были рассмотрены некоторые основы мультифрактального анализа [3], имеющие очевидное преимущество по сравнению со стандартными статистическими подходами. Сингулярное поведение измеряется показателем Гельдера в точке. Более точно: мультифрактальный анализ позволяет описывать меру сингулярности в виде распределения асимптотик локальных конечных плотностей.
Рассматриваются вероятностная мера ц, определяемая на единичном интервале [0; 1], и выборки из нее на двоичных интервалах:
Ink = [k2-n; (k + 1)2-n], k = 0, 1, ..., 2n - 1, neN.
Наиболее важные квантили при мультифрактальном анализе - это грубые показатели Гельдера
an = lop^ = - 1 щ-)
log 8n n log 2
и локальный показатель Гельдера в точке t a(t) = lim inf aknn, где t e Iknn,
n—>ro
т.е. kn2-n — t при n — ro .
Существует несколько способов измерения распределения показателей Гельдера. При анализе сигналов наиболее удобно пользоваться грубозернистым спектром:
4- / ч 1- 1- log (a) log N5 (a)
fg (a) = lim lim sup——= limlimsup——.
s 5—0 n—ro log1/ 8n 5—0 n log 2
Также существует один из наиболее удобных для реализации способов анализа сигналов - оценка Хилла. Предположим, что Х1, Х2, ..., Хп — независимые и одинаково распределенные случайные значения, имеющие распределение Б, а Х1п > Х2,п >...> Хп,п — порядковая статистика. Если Б — распределение с «тяжелыми хвостами», то оценка Хилла индекса а принимает следующий вид:
График оценки Хилла для набора реальных данных с сигналов быстро переходит в устойчивое состояние, являющееся оценкой индекса а для хвоста распределения.
Была выдвинута гипотеза о том, что если большинство природных явлений поддаются фрактальному анализу, то человек, часть этой природы, который своим строением формируется из множества фракталов, тоже может быть изучен.
Для изучения были взяты электрокардиограммы 50 человек [4]. 30 из них были здоровы, у остальных же 20 был поставлен диагноз: инфаркт миокарда различных стадий и мест поражения.
Прямым результатом электрокардиографии является получение электрокардиограммы (ЭКГ) — графического представления разности потенциалов, возникающих в результате работы сердца и проводящихся на поверхность тела. На ЭКГ отражается усреднение всех векторов потенциалов действия, возникающих в определенный момент работы сердца. По ЭКГ можно определить частоты и регулярности сердечных сокращений (например внеочередные сокращения) или выпадения отдельных сокращений — аритмии. В данной работе разработана часть программы для вычисления коэффициента Херста.
Интерфейс программы представлен на рис. 1.
а а к ,п
1X 10§ X; ,п - 1о§ X
1
к ,п
Показатель Хер ста у11
| Открыть Файл
Укажите количества элементов О
1дР/5>-
1д(К)=
Рис. 1. Интерфейс программы Данные, полученные в результате анализа, представлены в табл. 1.
Таблица 1
Результаты анализа (ИМ - ЭКГ людей с инфарктом миокарда, ЗД - здоровых людей)
Файлы lg(N) lg(R/S) H
ИМ № 1 4,591064 3,786803 0,82482
ИМ № 2 4,591064 3,687392 0,803167
ИМ № 3 4,591064 3,970028 0,864729
ЗД № 1 4,591064 3,222076 0,701815
ЗД № 2 4,590463 3,267261 0,71175
ЗД № 3 4,591064 3,2294 0,70341
Анализировались 80 000 измерений (отведений - 12, частота - 500 Гц, амплитуда - 2000 мВ). Из полученных результатов видно, что все сигналы являются фрактальными, поскольку Н > 0,5, при этом у здоровых людей этот показатель распределен вокруг значения 0,71, а у больных - значительно выше. Данные результаты характерны и для сигналов других видов, таких как ЭЭГ - Н = 0,72.
По данным результатам были построены графики (рис. 2).
Рис. 2. Результирующие графики
В ходе работы была разработана программа определения показателя Херста для многоканальных биомедицинских данных. На данную программу была подана заявка на регистрацию, она может быть использована в учебных и исследовательских целях.
Список литературы
1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - М. : Институт компьютерных исследований, 2002.
2. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. - М. : Мир, 1991.
3. Шелухин, О. И. Мультифракталы. Инфокоммуникационные приложения / О. И. Шелухин. - М. : Горячая линия - Телеком, 2011.
4. Черепков, А. А. Фрактальный анализ многоканальных биомедицинских сигналов / А. А. Черепков, А. В. Кузьмин // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. - 2012. - № 3.
Черепков Андрей Александрович Cherepkov Andrey Aleksandrovich
студент, student,
Пензенский государственный университет Penza State University E-mail: andrej.cherepkov@inbox.ru
Кузьмин Андрей Викторович
кандидат технических наук, доцент, кафедра теоретической и прикладной механики, Пензенский государственный университет E-mail: penzgn.tmt@inbox.ru
Kuzmin Andrej Viktorovich candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of theoretical and applied mechanics, Penza State University
УДК 004.942 Черепков, А. А.
Анализ линейных дискретных многоканальных биомедицинских сигналов на предмет их самоподобия и фрактальной природы / А. А. Черепков, А. В. Кузьмин // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. -2013. - № 4 (8). - С. 207-211.
