CC BY
53
УДК 681.51.007
АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ПО БИНАРНЫМ СЕЧЕНИЯМ
МАШТАЛИР С.В., МЕГЕЛЬ Ю.Е., ПУТЯТИНЕ.П.
Рассматриваются вопросы анализа геометрических характеристик изображений биологических объектов. Полутоновые изображения представляются семействами бинарных сечений. Для предварительной обработки бинарных изображений используются операции математической морфологии. Алгоритмизация поиска аппроксимаций основывается на методе наименьших квадратов и алгоритме Левенберга-Марк-вардта.
Введение
Анализ и интерпретация визуальной информации в большой степени связаны с противоречивыми по своей сути задачами. С одной стороны, практически всегда наблюдается стремление к увеличению информационной составляющей, обеспечивающей наилучшую прикладную трактовку получаемых результатов, с другой — ограничения программноаппаратной реализации индуцируют сложность, а зачастую и невозможность поиска приемлемых решений. Разумный компромисс достигается путем учета, прежде всего, специфики решаемых задач и конкретизации условий (не всегда, к сожалению, в полной мере адекватных реальным) синтеза управляющих воздействий. Одним из хорошо зарекомендовавших себя на практике является подход, когда на предварительном этапе проводится огрубление данных в целях выявления однородных компонентов, а на втором—детализация для более точной обработки. Анализ результатов двух этих этапов создает предпосылки для повышения достоверности принятия решений. Применительно к обработке изображений биологических объектов такие возможности предоставляют методы математической морфологии.
Состояние методов морфологической обработки изображений, цель работы и постановка задач
Методы математической морфологии, трактуемые в общем виде как обработка частично упорядоченных множеств, применительно к визуальной информации делятся на две группы: полутоновую и бинарную морфологию [1-3]. В первом случае в качестве объекта анализа выступают значения функций распределения яркостей (как правило, морфологическими операциями моделируются традиционные алгоритмы предварительной обработки изображений), во втором — их носители. На этом уровне получены существенные оригинальные результаты, базируемые на теоретико-множественных операциях и алгебре Минковского [4], по фильтрации изображений [5-7], выделению границ [8,9], построению скелетонов [5], анализу геометрических свойств [10]. Обработка изображений фактически осуществляется на основе сверток ис-
ходного изображения и задаваемого элемента — структурного множества, определяющего свойства результата.
При автоматическом анализе формы изображений эмбрионов—типичном представителе биологических объектов — четко выделяются задачи сегментации видеокадров и поиска основных характеристик формы — координат центра и радиуса окружностей, их описывающих. Связь задач, до настоящего времени не проанализированная в деталях, заключается в том, что на полутоновом уровне выделяются границы объектов, а на втором — на двухградационных изображениях ищутся геометрические характеристики формы.
Для выделения граничных точек традиционно используются морфологические методы, основанные на анализе скорости изменения функции распределения яркостей B(x, у). Если функция B(x, у) > 0 везде и в любом направлении дифференцируема, то производная по направлению
cB(x,y) = limB(x + Т^Ь У + '^2) ~В(У У) = х^0 х
ч — 9B(x, у) 5B(x, у) .
= (VB(x, у), §) = —- cos ф + —Sin ф,
dx ду ’
где \ = (£ь £2) = (cos ф, sin ф) - единичный вектор; Ф — угол между этим вектором и осью абсцисс; VB(x, у)=( cB(x, у)/Sx, 5B(x, у)/5у) — градиент, как функция ф равна0 в направлении, параллельном линии перепада, и имеет максимум в направлении, ортогональном границе перепада, т.е. при угле
9 = arctg [SB(x, у)/dx/cB(x, у)/Sy], совпадающем с
ориентацией вектора градиента. Иначе говоря, максимальное значение величины градиента равно
F(x, у) = yj(cB(x, у)/Sx)2 + (cB(x, у)/ду )2 ,
для аппроксимации которого используются различные модели в виде масок, соответствующих структурным морфологическим элементам. Аналогично используются направленные производные высших порядков [5]:
5/б^П B(x, y)=(^V)nB(x, у), n = 2, 3,...
Цель работы — синтез новых методов анализа полутоновых изображений на основе обработки бинарных сечений. При решении задачи сегментации в работе в отличие от традиционных методов синтеза контурных препаратов (подчеркивания границ с учетом предварительной фильтрации) используется пирамидальное представление изображений (рис. 1), при котором полученные пространственные огрубления, в свою очередь, задаются семействами бинарных сечений (рис. 2). Множества бинарных сечений огрубляют видеоданные, но в предельном случае полностью соответствуют полутоновому изображению. Потенциальное увеличение объемов данных компенсируется возможностью обработки точечных множеств, точнее говоря, двухградационных изоб-
116
РИ, 2004, № 2
ражений, т.е. за счет упрощения и унификации практически всех операций.
Таким образом, первой задачей, рассматриваемой в работе, является представление изображений множествами бинарных сечений и поиск на отдельных их представителях или некоторой комбинации Рис. 1. Пирами- граничных элементов. дальное огрубление изображений Вторая задача, ре0аемая в работе, заключается в высокоточной аппроксимации найденных граничных то -чек. Несмотря на кажущуюся простоту этой задачи, применение обычного метода наименьших квадратов при обработке изображений практически невозможно. Так, при аппроксимации окружностей по данным о дугах имеется явная тенденция приближения к дуге, но не к окружности. При невысоких угловых характеристиках дуг подобный подход приводит к получению небольших окружностей.
Рис. 2. Бинарные сечения
С практической точки зрения квадратичная целевая функция — достаточно сложна и может иметь несколько локальных минимумов, которые в параметрическом пространстве расположены далеко друг от друга, а их значения весьма близки к глобальному минимуму. Следует также отметить, что, во-первых, в зависимости от точности выделения точек контура или попадания в поле зрения части окружности (отдельных дуг) точность поиска координат центра и радиуса различны при использовании различных алгоритмов. Во-вторых, вычислительная сложность известных алгоритмов [11— 21] существенно варьируется, т.е. необходимо искать разумный компромисс прежде всего между временными затратами и точностью. Вообще говоря, не существует конечного алгоритма, обладающего требуемой точностью и надежностью при различных условиях регистрации точек на плоско -сти, т.е. необходимо оперировать рядом процедур, точнее говоря, — некоторой их комбинацией. В работе в качестве начального приближения предлагается использовать традиционный метод наименьших квадратов, а для уточнения геометрических характеристик конкретизирован алгоритм Левен -берга-Марквардта [22—23].
Модель множества бинарных сечений изображений
Пусть в поле зрения D с R2 определено изображение
B(x, y) = y(x, y)[X(x, y)B0 (x, y) +
+[1 - X(x, y)] ®(x, y)] + ((>(x, y) + p(x, y), (1)
где (x, y) є D , B0 (x, y) — изображение обрабатываемого объекта; X(x, y) — характеристическая фун-
кция его носителя; Mx,y)
1,Bo(x,y) * О, .
О, B0 (x,y) = 0, °(x,y)
— фоновая составляющая; y(x, y), ф^, y) — функции изменения яркости и контраста; p(x, y) — аддитивные случайные помехи. В общем случае задача заключается в определении характеристик изображения B0 (x, y) по функции B(x, y) при неизвестных y(x, y), X(x, y), ®(x, y) и (x, y). В качестве базы для исходных посылок (чаще всего эвристических) используется информация об условиях регистрации изображений, свойствах изображений объекта и фона.
Предположим, в поле зрения определено конечное множество попарно-непересекающихся подмножеств Ai, A2,Ap , соответствующих “однородным” по яркости и/или с точки зрения тематической интерпретации фрагментам. Пусть фаі — характеристические функции множеств Ai. Каждому Ai поставим в соответствие а є R1, огрубляя значения функции распределения яркостей. Учитывая, что множества Ai не пересекаются и их число конечно, любое изображение — функцию на D со значениями в r1 — можно представить в виде
B'(x,y)=Ep=1Фш(УУМ. (2)
Пусть [Bmin,Bmax] — диапазон изменения яркостей изображения B(x, y), на котором задано конечное разбиение точками а,[ такое, что
а1 < а1+1, а0 = Bmin, aL = Bmax, а1+1 _ а1 < є , (3)
где є — заданное положительное число.
Пусть Ai — множества точек (x, y) є D таких, что а1 < B(x, y) < а1+1 (или а1 < (x, y) < а1+1), 1 = 0, L -1, т.е. A1 = B_1(]a1, а1+1]). Множества A1 образуют конечное разбиение d . Если ввести функцию T(x, y) = a1+1 при (x, y) є A1, то очевидно, что
T(x, y) - B(x, y) = a 1+1 - B(x, y) < a1+1 -a1 < є
при всех (x, y) є D . Иначе говоря, представление (2) может задавать изображение с любой точностью.
Функции Bi (x, y) = 9Ai (x, y), i = 1, p будем называть бинарными сечениями.
РИ, 2004, № 2
117
При цифровой форме представления B(m, n),
m = Щ n = 1N , B(m,n) є {[0, (Bmax - Bmm )b] П N } U
U{0} , где b є R+ — коэффициент сжатия (растяжения), определяющий число уровней квантования, в общем случае значение яркости после предварительной обработки можно представить в смешанной системе счисления, N — множество натуральных чисел,
B(m,n) = do + фГо + d2r0r1 + бзГоГіГ2 +... + dkПУ rj.
Здесь 0 < d; < r;, г;, вообще говоря, связано с разбиением (3). Тогда каждое сечение задается выражением
B;(m, n)
1 при b; (m, n)=do + z k=i dp n k=0 rq; 0 в противном случае,
где 0 ^ (m, n) ^1 + Zk=1 dp Пk=0 rq • После морфо-
логической обработки сечений применение к ним теоретико-множественных операций позволяет генерировать новые бинарные изображения, более пригодные для анализа формы объекта.
Синтез контурного препарата
Пусть p = (i, j) — координаты точки. Тогда бинарное изображение (сечение) в поле зрения D с R2 можно представить в виде B = Ц j p(i, j) .
Определим понятия отношений связности точки q = (m, n) с точкой p = (i, j) [5]:
N4(p) = {(i -1, j), (i +1, j), (i, j -1), (i, j +1)};
Nd(p) = {(i - 1,j - 1),(i - 1,j +1),
(i + 1,j - 1),(i + 1,j +1)};
N8(p) = N4 U Nd ,
т.е. точки p и q являются соседними: по отношению четырехсвязности, если q Є N4(p) , по отношению восьмисвязности, если q є N8(p) .
Теперь можно формализовать понятие границы объекта на бинарных сечениях:
горизонтальные границы
Frg (B) = {(i, j): B(i, j -1) + B(i, j +1) = 1};
вертикальные границы
Frv (B) = {(i, j): B(i -1, j) + B(i +1, j) = 1};
диагональные границы
Frd = Frg n Frv ;
полная граница области
Fr = Frg U Frv .
Для устранения малоплощадных компонентов бинарных сечений необходимо предварительно провести фильтрацию
B* = ун (B) = 8Н (8н (B)) = (B © H) © H ,
где 8н , єн — соответственно сложение и вычитание по Минковскому со структурным множеством Н :
Sh(B) = B © Н = UheH(B+h), eh(B) = B © Hs = ПheH(B+h).
Вследствие многосвязности бинарных сечений для устранения ложных контуров они должны быть первоначально огрублены. Операция замыкания Ф по Минковскому позволяет заполнять мелкие области внутри изображений объектов. В работе использовался структурный элемент н в виде квадрата размерностью 31 х 31. Отметим, что операцию замыкания со структурным элементом (2k +1) х (2k +1), k = 1, 2,. можно редуцировать к последовательности операций сложения и вычитания со стандартным структурным множеством 3 х 3 - Н3:
Фн (B) = ЄН (§Н (B)) = (B © Н3(1) © — © H3(2k+1)) ©
©Н3(1) ©••• ©H3(2k+1)) .
Действительно, это непосредственно следует из ассоциативности операций сложения и вычитания по Минковскому:
B © Н3(1) © — © H3(2k+1) =
B © (^3(1) © — © H3(2k+1)) = B © H2k+1.
Аналогично B' © H3(1) ©... © H3(2k+1) = в' © H2k+1 .
На втором этапе была найдена граница получившейся области по формуле Fr(B*, Н*) = B / єN4 (B*), где Н* с Н .
На рис. 3 приведен пример построения морфологическими алгоритмами контурных препаратов изображений эмбрионов.
Рис. 3. Морфологический поиск контуров
Поиск параметров аппроксимирующих окружностей
Итак, при помощи математической морфологии найдены граничные точки (х;, y;), i = 1, N , которые необходимо аппроксимировать окружностью ОТ0 . Пусть di — расстояние от точки (Xi, у; ) до окружности, лучшим выбором для каждого i является максимальное приближение кривой ОТ0 к наблюдаемой точке, т.е. требуется найти
F=Z1=1d12 ^ min . (4)
118
РИ, 2004, № 2
Обратимся к аппроксимации окружностей
A(x2 + y2) + Bx + Cy + D = 0 ,
где A Ф 0 (иначе, анализу подлежит прямая), B2 + +C2 - 4AD > 0 (при B2 + C2 - 4AD < 0 имеем пустое множество, при B2 + C2 -4AD=0 получаем точку).
x
2
B 2 C
+ - x + у2 +ТУ = -A A
D
A
или
B
x +---
2A
2
+
У +
_C_
2A
2
B2 C2
4A2 4A2
D
A ,
т.е. окончательно имеем
Для решения нелинейной задачи аппроксимации методом наименьших квадратов воспользуемся итерационным алгоритмом Левенберга- Марквард-та [22, 23], обеспечивающим достаточно быструю (квадратичную) сходимость к локальным минимумам и высокую надежность минимизации за счет проведения итераций в направлении, обратном к градиенту целевой функции.
B b C _
a =----, b =---, R =
2A 2A
B2+C2-4AD 4A2
Введем обозначения
r, =V(x, - a)2 + (Уі - b)2 , u, = -Sr,/da = (x; - a)/r, ,
Суть алгоритма Левенберга-Марквардта сводится к следующему. Если целевая функция (4) представлена в виде
F(a) = E|!ifi2(i), (5)
где a=(aj, a2,^,ak) — вектор неизвестных параметров, k < N , то итерационная процедура a; =ai_j + h , где h является решением уравнения
eT6h = -eTf, f=(fi (a), f2 (a), ..., fN (a)),
s =
' dfx/'5a1
№/ 5ai
fk/ 5ak'' dfNl Sai /
В алгоритме Левенберга-Марквардта вводится параметр X > 0 , обеспечивающий положительную
определенность нормальной матрицы N = Єт6 за счет увеличения диагональных элементов нормальной матрицы Nх = N + XI.
В качестве стартового значения параметра X > 0 выбирается малая величина (обычно 10-3, 10-4). Если новое значение a уменьшает целевую функцию F, то для следующей итерации величина X уменьшается на коэффициент а (обычно а є [0,4; 0,1]). В противном случае величина X увеличивается на коэффициент р (как правило, Р = 10) и вновь решается уравнение Nх h = -STf . Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока увеличение h уменьшает значение F.
Применительно к аппроксимации окружностей алгоритм Левенберга-Марквардта конкретизируется следующим образом. Пусть расстояние от точки (x, у) до окружности ОТ0 с радиусом r и центром (a, b) определяется выражением
d=
V(x - a)2 + (у - b)2 - R
Тогда целевая функция (5) примет вид
F(a,b,R)=Z!!i(V(x, - a)2 + (у, - b)2 - r)2 .
Здесь с учетом, что A ф 0 , получаем
v, =-&,/cb = (у, -b)/r,
и будем также пользоваться обозначением моментов Mr = Е Г, , Mu = Е u, , Mv = Е v, , Muu = Е и2 и т.д. Тогда непосредственно можно найти
6 = '-U1 -v1 -E N = f Muu Muv Muv Mvv Mu Ї Mv
4_UN —vN ~h 1 Mu Mv N J
6Tf
(RM - M )
XVLV1u iV1ur RMv - Mvr v RN - Mr , ■
Необходимо отметить, что если изображение окружности центрировано, то Е x, = Е у, = 0. Учиты-
вая, что Mur = Е x, - Na и Mvr = Е у, - Nb, в этом случае получаем существенное упрощение, увеличивающее к тому же вычислительную устойчи-
вость STf
' RMu + Na ^ RMv + Nb . v RN - Mr ,
Сходимость алгоритма может быть существенно улучшена путем непосредственного вычисления гессиана F. Отметим, прежде всего, что один параметр (а именно, r ) может исключаться из рассмотренной выше процедуры. Действительно, поскольку функция F(a, b, R) квадратична относительно r , можно зафиксировать параметры a и b , а в результате найти
R=Ei!1V(x, - a^+fr, - b)2 =MJN = 1, (6)
т.е. F^b^EN^, - r)2 .
Отметим, что непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что
' —u1 + u —v1 + v ^ , _2 4
6 = N = uu - u2 uv - uv
4—uN + u -v1 + V J 4uv-uv vv-v2 y
6Tf
-ur + и Г І
-vr + vT),
(7)
РИ, 2004, № 2
119
где u = Mu/N , v = Mv/N , uu = Muu/N ,
uv = Muv/N , vv = Mw/N . Если, как и выше, окружность центрирована, то получаем упрощение
бт?=f a+'і
^ b + v r)■
Таким образом, на каждом шаге решается система Nх h = -6Tf , полученная при помощи (7).
начальных приближений. Для выбора стартовых значений при анализе изображений эмбрионов безусловно можно использовать эвристические соображения, базирующиеся на знании характеристик видеодатчика, его взаимного расположения с объектом, геометрических свойств точек контура в поле зрения. В частности, несложно найти пределы изменения параметров A, B, C, D (при произвольном положении центра системы координат):
Далее в предположении центрирования окружностей представим (6) в виде
F(a, b)=££і(х? + y2)+N(a2 + b2 -T),
что в силу Хы(х2 + у2) = const равносильно (опуская N ) поиску F1(a, b)=a2 + b2 - 7 ^ min .
IA *
N
2d ,
iumax
B |< і ^ n max{ I xmin I , I xmax I } dmax
C |< і n max{ I y min I, I y max I } dmax
Дифференцируя по a и b , получаем
1 VFi =
a + u r b + v7
Вычисление частных производных второго порядка дает
1 ^Fi
2 5a2
1
2 5b2
_2 _6u
1 - u2 + r —
6a
_2 _5v 1 - v2 + r — 5b
1 g2fi
2 5a5b
— _ 9u -uv + r—. 6a
Вычисляя частные производные и обозначая результаты
бц
5a
N
N
EN
i=
■ = vvr
v
dv
5b
N
i=1
— = uur ri
5u
5b
i У N uivi NZi=1 ri
= uvr
ID |<-
N
2dm
-(max{xmin, xmax>+max{ymin,ymax^+
(
1+N+
1+N+
max{ I x,
min
dmax
max{ I y min I, I y max I }
dm
max{ I xmin I, I xmax I }+ max{ I ymin I , I ymax I
где dmax = i N^(xi - xj)2 + (Уі - yj)2 ; xmin ,
ymin, xmax , xmax — соответственно минимальные и максимальные координаты точек контуров.
В качестве естественного пути поиска начального приближения для итерационных алгоритмов можно также применять и традиционный метод наименьших квадратов, когда требуемая кривая представляется полиномом. Такой подход весьма прост в реализации. Целевая функция в этом случае представляется в виде
F2(a,b,R)=£iNi((xi - a)2 + (уі - b)2 - R2)2 =
= EiNl1(Azi + Bxi + Cyi + D)2,
где Zi = x? + y? (не нарушая общности рассмотрения, можно полагать a = 1); B = -2a, C = -2b , D=a2 + b2 - r2 . Дифференцируя F2 по B, C, D , получаем систему линейных уравнений
окончательно находим
N= 1 -u2 + 7vvr -uv + 7uvr ''
2 -uv + 7uvr 1-v2 + 7uury .
Таким образом, заменяя матрицу N на N, на каждом шаге итерации будем решать уравнение
Nh = -VF^/2 .
Проанализированные выше итерационные алгоритмы, с одной стороны, обеспечивают высокую точность поиска параметров окружностей, с другой — являются весьма чувствительными к выбору
MxxB + MxyC + MxD = -Mxz MxyB + MyyC + MyD = -Myz I
MxB + MyC + ND = -MZ ’
где, как и ранее, Mxx, Mxy и т.д. — соответствующие моменты. Решая данную систему относительно B, C, D , находим стартовые значения a, b, R для исследованных выше итерационных алгоритмов. Выводы и перспективы
Предложены новые процедуры поиска геометрических характеристик (координат центра и апп-
120
РИ, 2004, № 2
роксимирующей окружности) изображений эмбрионов. На первом этапе полутоновое изображение представляется множеством бинарных сечений, которые затем подвергаются морфологической обработке. На основе анализа полученных контурных препаратов при помощи алгоритма Левенбер-га- Марквардта ищутся требуемые характеристики. На рис. 4 представлены результаты поиска окружностей по бинарным сечениям (см. рис. 3).
Рис. 4. Аппроксимация изображения эмбрионов
В силу сложности с точки зрения интерпретации исходного изображения, а следовательно, неточности построения контурного препарата ошибка определения геометрических характеристик достаточно велика (см. рис. 3 слева). Однако применение эвристических процедур скрининга анализируемых точек позволяет повышать точность. Так, в центре иллюстрации показаны участки с практически постоянным радиусом кривизны, а справа — высокоточная аппроксимация. Экспериментальные исследования показали, что требуемая точность достигается в случаях корректного определения 10% граничных точек. Перспективным направлением развития предложенного подхода является комплексированный анализ всего множества или же некоторого подмножества бинарных сечений изображений. Повышение эффективности будет достигаться за счет “взвешенного усреднения” сечений с помощью синтеза новых бинарных изображений путем комбинирования имеющихся.
Литература: 1. Serra J. Image Analysis and Mathematical Morphology, Vol. I. London: Academic Press, 1982. 610 p.
2. Serra J., Matheron G, Meyer F, Preteux F., Schmitt M. Image Analysis and Mathematical Morphology, Vol.2: Theoretical Advances (Serra J., ed.). London: Academic Press, 1988. 411 p. 3. Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, №5. С. 1061-1064. 4. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. М.: Наука, 1966. 416 с. 5. ShalkoffR.J. Digital image processing and computer vision. — New York — Chichester — Brisbane — Toronto — Singapore: John Wiley & Sons, Inc. 1989. 489p.
6. Haralick R, Sternberg S. and Zhuang X. Image analysis using mathematical morphology // IEEE Transactions on PAMI. 1987. №9. Р. 532-550. 7. Imiya A and Nakamura T. Morphological operations via convolution // in Proceedings of the 6th Scandinavian Conference on Image Analysis. Oulu, Finland. 1989. Vol. II. Р. 878-881. 8. Van den Boomgaard R. and van Balen R. Methods for fast
morphological image transforms using bitmapped binary images // Computer Vision, Graphics and Image Processing. 1992. Vol. 54, No. 3. Р. 252-258. 9. Rangnema/m I. Fast erosion and dilation by contour processing and thresholding of distance maps // Pattern Recognition Letters. 1992. Vol. 13. Р. 161-166. 10. Vincent L. Morphological transformations of binary images with arbitrary structuring elements // Signal Processing. 1991. Vol. 22, No. 1. Р. 3-23. 11. Ahn S.J., Rauh W and Warnecke H.J. Least-squares orthogonal distances fitting of circle, sphere, ellipse, hyperbola, and parabola // Pattern Recognition. 2001. Vol. 34. P. 2283-2303. 12. Chaudhuri B.B. and Kundu P. Optimum circular fit to weighted data in multi-dimensional space // Pattern Recognition Letters. 1993. Vol. 14, No. 1. P.1-6. 13. Landau U.M. Estimation of a circular arc center and its radius // Computer Vision, Graphics and Image Processing. 1987. Vol. 38. P. 317-326. 14. Paton K. Conic sections in chromosome analysis // Pattern Recognition. 1970. Vol. 2. P. 39-51. 15. Pratt V. Direct least-squares fitting of algebraic surfaces // Computer Graphics. 1987. Vol. 21. P. 145-152.
16. Sampson P.D. Fitting conic section to very scattered data: an iterative refinement of the Bookstein algorithm / / Computer Graphics and Image Processing. 1982. Vol. 18. P. 97-108. 17. Spath H. Least-squares fitting by circles. // Computing. 1996. 57. P. 179-185. 18. Taubin G. Estimation of planar curves, surfaces and nonplanar space curves defined by implicit equations, with applications to edge and range image segmentation // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1991. Vol. 13.P. 1115-1138. 19. Thomas S.M. and Chan Y.T. A simple approach for the estimation of circular arc center and its radius // Computer Vision, Graphics and Image Processing. 1989. Vol. 45. P. 362-370. 20. WuZ, WuL. and Wu A. The robust algorithms for finding the center of an arc // Computer Vision and Image Understanding. 1995. Vol. 62. P. 269-278. 21. Zhang Z. Parameter estimation techniques: a tutorial with application to conic fitting// International Journal of Image Processing and Vision Computing. 1997. P. 59-96. 22.Levenberg K. A Method for the solution of certain non-linear problems in least squares // Quart. Applying Mathematics. 1944. No 2. P. 164-168. 23. Marquardt D. An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters // SIAM Journal on Applying Mathematics. 1963. Vol. 11. P. 431-441.
Поступила в редколлегию 24.12.2003
Рецензент: д-р техн. наук, проф.РуденкоОТ.
Машталир Сергей Владимирович, аспирант каф. информатики ХНУРЭ. Научные интересы: распознавание образов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-419, e-mail: Mashtalir_S@kture.krarkov.ua
Мегель Юрий Евгеньевич, канд. техн. наук, профессор кафедры вычислительной техники ХЕТУСХ. Научные интересы: автоматизация биотехнологических процессов в АПК. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Артема, 44, тел. 164-170.
Путятин Евгений Петрович, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой информатики ХНУРЭ. Научные интересы: распознавание образов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-419.
РИ, 2004, № 2
121
