CC BY
27
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
№ 121
УДК 681.04.031
АНАЛИЗ ИЗДЕРЖЕК РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ ИЗБЫТОЧНОЙ СИСТЕМЫ С КРИТИЧЕСКОЙ СУБЪЕКТИВНОЙ ОШИБКОЙ
В.Е. ЕМЕЛЬЯНОВ, А.В. СЫСОЕВ
В данной статье рассматривается электронная система, включающая в себя два идентичных блока, присоединенных параллельно. Система подвержена двум типам отказов, а именно: неисправность блока и отказ из-за критической субъективной ошибки. Восстановление происходит, если она вышла из строя из-за отказа блока в подсистемах и не может быть восстановлена, когда отказ произошёл из-за критических субъективных ошибок. Зависимые от времени вероятности оценивались так, чтобы прогнозировать ожидаемый выигрыш и функциональную пригодность в любое время.
В анализе издержек системы обычно рассматриваются три состояния, но при этом внимание совершенно не уделяется критическим субъективным ошибкам. Это совершенно недопустимо в сложившейся ситуации, когда от 10% до 12% [4] систем РЭО ГА выходит из строя из-за субъективной ошибки.
Критические субъективные ошибки могут возникать из-за:
• неправильной интерпретации показаний приборов;
• из-за неправильных действий;
• из-за ошибок при техническом обслуживании.
Учитывая важность критических субъективных ошибок, которые могут иметь место при работе с РЭО, рассмотрим радиоэлектронную систему, состоящую из двух подсистем А и В, присоединённых последовательно и содержащих концепцию человеческой (субъективной) ошибки (рис.1).
Р5АШ)
Рі4ш)
РпШ)
Рі2IX/ )
ЛА
4-і
0,1)
Рис. 1. Схема переходного состояния
Система А состоит из двух идентичных блоков, присоединенных параллельно, а подсистема В имеет только один блок. Система находится в неработоспособном состоянии, когда только один блок подсистемы А вышел из строя. Система находится в функциональном состоянии, когда оба блока подсистемы А или подсистемы В не действуют из-за отказа блока. Вся система может быть восстановлена, если она находится в неработоспособном состоянии или функциональном из-за отказов блока, но не может быть восстановлена, если она вышла из строя из-за субъективной (человеческой) ошибки.
На рис.1 введены следующие обозначения:
• 51 - работоспособное состояние системы;
• 52 - система в неработоспособном состоянии;
• 53 , 54 - нефункциональное состояние (восстановление возможно): оба блока подсистемы А отказали, а подсистема В находится в работоспособном состоянии; подсистема В отказала, а один или оба блока подсистемы А находятся в работоспособном состоянии;
• 55 - система находится в нефункциональном состоянии, ее восстановление невозможно из-за критической субъективной ошибки;
• 1А - интенсивность отказа блока подсистемы А;
• 1В - интенсивность отказа подсистемы В;
• 1Л - интенсивность отказа системы из-за критической субъективной ошибки, когда система на-
ходилась в работоспособном состоянии;
• 12 - интенсивность отказа системы из-за критической субъективной ошибки, когда система на-
ходилась в неработоспособном состоянии;
• (г), X (г) - плотность распределения вероятностей и функция степени риска потери времени
из-за восстановления системы:
1 = 5 2, г = х - ремонт системы, находящейся в деградированном состоянии В, ремонт завершён за истекшее время ремонта х;
1 = 53 , г = у - ремонт системы, при полном её выходе из строя 53 , ремонт завершен за истекшее время ремонта у;
1 = 5 4, г = г - ремонт системы, находящейся в состоянии выхода из строя 54, ремонт завершён за истекшее время ремонта г.
(г ) = Х (г )• ехР
г
~\фг ( г ) кг
- формула Дэвиса;
Pi (г, t) - вероятность восстановления системы за время t, 1 = 51,52,53,54,55 ; Р (5) - преобразование Лапласа.
Разностные дифференциальные уравнения
Разностные дифференциальные уравнения для стохастического процесса, который продолжается в данное время и распределён в пространстве, задаются при помощи
[ЭМ + 1 + 21 +1 ] РА (t )= | 2 ( хt )£ 2 ( х ) кх | Р53 ( y, t )^53 ( у ) ёу + |р 4 ( ^ t )Х4 ( г ) (к
0 0 0
[Э/Э + Э/Эх + ^2 +1А +1 +Х2 ( х)] Р52 (X, t ) = 0,
[^Эt + Э/Эу + Х53 ( у )] Р53 ( У, t) = ^
[Э/Э + Э/Эг + Х4 ( г )] Р54 ( Z, t) = 0,
ЭР (t)^ = ЯЛ • Рл (t) + 12 • Р2 (t) .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Краевые условия:
Исходные условия:
Р2 (0,t) = 21^ • Р (t),
Р53 ( 0, t )=ЯА • Р; 2 (t ) ,
Р 4 (0, t ) = 1 • Р,1 (t ) + 1 • Р 2 ( t) .
Р (0) =
1,1 = 51
[0, 1 Ф 51
Взяв уравнения (1) - (8) и используя исходные условия (9), получаем
¥ ¥ ¥
[5 +4 + 21 +1 ] Р51 ( 5 )= 1 + |Р 2 ( X 5 )£ 2 ( х ) кх + | Р5 3 ( У, 5 )Х3 ( у ) ку + |Р 4 ( г, 5 )£ 4 ( г ) к
[5 +Э/Эх + 12 +ЯА +1 +Х ( х )] Р5 2 ( X 5 ) = 0: [5 + Э/Эу + х (у)] Р53 ( У, 5 ) = ^
[5 + Э/Эг + Х4 ( г )]Р54 ( ^ 5 ) = ^
Р ( 5 ) = 1 • Р51 ( 5 ) + 12 • Р5 2 ( 5 ) .
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
0
0
0
0
Р_2 (0,5 ) = 21а Р (5), (15)
Рэ ( 0, 5 )=1а • Р ( 5 ) , (16)
Р5'4 (0, 5) = 1в ■ [Р (5) + Р2 (5 )] . (17)
Интегрируя одно уравнение за другим и используя уравнения (15) - (17), получаем
х
- j£S2 (х)кх
Р2 (х,5) = 21АР2 (5)е-(5+12 +1а+1в)х• е 0 , (18)
у
_ _ -(у )ку
Р3 (у,5) = 1Р (5)е-5у • е 0 , (19)
_ _ -]Х4 (г)кг
Р4 (г, 5 ) = 1 [Р1 (5) + РЛ (5)] е-5г • е 0 . (20)
Используя уравнения (18) - (20) в уравнении (10), после упрощения получаем
[5 + 1 + 21А + 1В ] Р51 ( 5 ) = 1 + 21АРЛ ( 5 ) • 552 ( 5 + 1 +1А +1В ) +
+ 1АР52 ( 5 )• ^3 (5 ) + 1В [Р1 (5 )+ Р52 (5 )] • 54 ( 5 ),
где
где
(21)
Р5 2 ( 5 )= | Р5 2 ( - 5 ) кх .
0
Р2 ( 5 ) = 21Р1 (5 ) [(1 - ^2 ( 5 + 1 + 1А + 1В ))/(5 +1 + 1А + 1В )] . (22)
Используя уравнение (22) в уравнении (21) и производя упрощение, получаем
Р (5) = 1/4 (5 ) , (23)
где
А1 ( 5 ) = ( 5 +11 +1А +1В )- 21Д2 ( 5 + 1 +1А +1В )-
- 21А [(1 - 552 ( 5 +1 +1А +1В ))/( 5 + 1 +1А +1В )] ^ ( 5 )- (24)
-1в [1 + 21А ■(1 - 552 ( 5 + 1 +1А + 1В ))/( 5 +1 +1А + 1В )] 554 ( 5 ) .
Подставляя уравнение (24) в уравнение (22), получаем
Р2 (5 ) = 42 (5)/Д (5 ) , (25)
где А1 (5)= 21А [(1 - (5 + 1 + 1А +1В ))/(5 +1 +1А +1В )] . (26)
Используя также уравнения (19) и (20), произведя упрощение, получаем
Р53 ( 5 )= |Р53 (У, 5 ) ку =( А2 ( 5 ) А3 ( 5 ))/А1 (5 ) (27)
( 5 )= 1Р54 ( ^ 5 ) кг = А4 ( 5 И1 + А2 ( 5 ))/ А1 ( 5 ) , (28)
А3 (5 )=1а-(1 - Я, (5 ))/5 (29)
А4 (5 )=1в -(1 - 53 (5 ))/5 . (30)
Используя уравнения (23) и (25) в уравнении (14), получаем
Р,5 (5 ) = (11 + 1А (5 ))/(54 (5 )) . (31)
Оценка предельных значений вероятностей состояния
Вероятности операционной пригодности и непригодности за время t задаются при помощи
0
и
0
и
Рпп ( * )= Рз ( * ) + Р4 ( * ) + Рз ( * )
Рпах ( * )= РЛ ( * ) + Р 2 ( * )=(1 + Д( *) )/ Д(^ 1
Д (*)
1
Д (*) Аз (*)+{1 + Д(*)} А (*) + —{1*1 +1*2 Д (*)}
*
(32)
(33)
В случае, если поведение системы описывается эргодическим Марковским процессом, с учетом теоремы Абеля [2] можно записать
Нт яЕ (* ) = Пт Е (*) = Е .
Для стационарного состояния независимые по времени вероятности выглядят следующим образом
(34)
Р_
(*)=1® 5рп- (*)=1® [(* С1+А (5)])/А1(5)]=0 (А1(0) *0) Ртп = 1™ [ Sрnin ( * )] = 1 +12Д(0)] .
Если процесс восстановления следует экспоненциальному распределению времени, берем
% (*) = £/(* + Х), 1 = *2,*3,*4, а в уравнениях (23) - (31) после упрощения получим
Р (* )=1 В (*);
р 2 (* )=в2 (* )/ В1 (*);
Р3 (* ) = ( В2 (*) В3 (*))/В (*);
Р4 (*) = ([1 + В2 (*)]В4 (*))/В1 (*);
Рз ( * )=(1 +12В2 ( * ))/В (* ).
и
Ртах ( * )= Р ( * ) + Р.2 ( * )=(1 + В2(8))1 В^).
Ртп ( * )= Р3 ( * )+ Р 4 ( * ) + Р5 ( * )== ^ [ В2(*)В3(*) +{1 + В2(*)} В4(*) + (11 +12 В2(3))1 * ] ,
(35)
(36)
(37)
(38)
где
В1 ( *)=( * + 1 + 21А +1 )“( 21АХ2 )/( * + Л2 + ЯА +1 +Х2 )“( 212Х3 )/(( * + 1 + ЯА +1 +Х2 )( * + Х3 )) --[(1ВХ4 )/(* + Х4 )] [1 + 21л/(* + 1 +1А + 1 + Х2 )], (39)
В2 (* ) = 21А/( * + ^2 + ЯА + 1 + Х2 ) , (40)
В3 (* )=Яа/(* +^3 ) , (41)
В4 (* ) = Ял/(* + Х4 ) . (42)
Для оценки инверсного значения Ртах (*) и Ртт (*) рассмотрим практический вариант решения исследуемой задачи. Пусть в уравнениях (36) - (42) Х2 = 0.8, Х3 = 0.7, Х4 = 0.6, ЯА = 0.05, ЯВ = 0.02,
11 = 0.1, 12 = 0.2 . Произведя упрощение для избыточной системы, получаем
Ртах ( * ) = -
*3 + 2.47 *2 +1.941* + 0.4914
(* + 0.10435)(* +1. 1473)(* + 0.621619)(* + 0.716731)' Взяв инверсное значение уравнения (43) будем иметь
Ртах (*) = 0.9523126ехр(-0.10435*)- 0.0235418ехр(-1.1473*) +
+0.0359281ехр (-0.621619*) + 0.0353011ехр (-0.716731*). Количественные данные представлены в табл. 1.
(43)
и
Таблица 1
Предельные значения вероятностей состояния
№ Время / Рр (/) Р0»п ( х )
1 0 1.0000000 0.0000000
2 1 0.8870085 0.1129915
3 2 0.7893341 0.2106659
4 3 0.7052641 0.2947359
5 4 0.6320937 0.3679063
6 5 0.5676883 0.4323117
7 6 0.5104898 0.4895102
8 7 0.4594087 0.5405913
9 8 0.4136259 0.5863741
10 9 0.3725047 0.6274953
11 10 0.3355222 0.6644778
12 15 0.1990659 0.8119341
13 20 0.1181400 0.8818600
Анализ функции издержек системы
Ожидаемое время / системы в [0, /] представляет собой
/
Тср = /Ртах (Х ) Л •
0
Таким образом, ожидаемый период обслуживания в [0, /] будет /иВ (/) = / -
(0
09-
оя-
0.7-
0.6
0£
оя
0.3
01
0.{
о 1 2 3 Ч 5 6 7 г 9 Ю п 12 !3 14 1£Г / Рис. 2. Вероятность безотказной работы
Так как ожидаемая функция чистого приращения задается при помощи О (X) равной функции ожидаемого общего выигрыша в [0, 1;], то ожидаемые издержки из-за восстановления в [0, 1;] будут равны [7]:
/
О(/) = С1 [Ртах(/)Ж - С2/ = С1 [-9.1261389ехр (-0.10435/) + 0.0205193ехр (-1.1473/) -
0 (45)
-0.0577976ехр (-0.621619/)- 0.0492529ехр (-0.716731/) + 9.2126701]- С2/,
где С и С2 - это выигрыш за единицу времени и издержки из-за восстановления за единицу времени соответственно
Числовое вычисление
Анализ готовности. Устанавливая t = 0,1,2... 10,15,20 в уравнении (44), получаем табл. 1.
Анализ издержек. Устанавливая С1 = 1 и t = 0,1,2... 10,15 в уравнении (45), ожидаемый выигрыш для С2 = 1, 0.5, 0.10 и 0.05 показан в табл. 2.
Таблица 2
Ожидаемый выигрыш
№ Время t Ожидаемая прибыль )
С2 = 1 С2 = 0.5 С2 = 0.1 С2 = 0.05
1 0 0 0 0 0
2 1 - 0.0577384 0.4422616 0.8422616 0.8922616
3 2 - 0.2207264 0.7792734 1.5792734 1.6792734
4 3 - 0.4744865 1.0255135 2.2255135 2.3755135
5 4 - 0.8065754 1.1934246 2.7934246 2.9934246
6 5 - 1.2073953 1.2926047 3.2926047 3.5426047
7 6 - 1.6688366 1.3311634 3.7311634 4.0311634
8 7 - 2.1853642 1.3156358 4.1156358 4.4656358
9 8 - 2.7482664 1.2517336 4.4517336 4.8517336
10 9 - 3.3555771 1.1444229 4.7444229 5.1944229
11 10 - 4.0018917 0.9981083 4.9981083 5.4981083
12 15 - 7.6949729 - 0.1949729 5.8050271 6.5550271
Выводы
Рис. 3. Ожидаемый выигрыш с учетом времени
На рис. 2 показана зависимость готовности системы в период t. Критическое исследование графика готовности с учетом времени показывает, что готовность системы уменьшается с увеличением времени. Далее следует отметить, что готовность системы уменьшается очень медленно после длительного периода времени. Таким образом, система остается пригодной в течение длительного периода времени.
На рис. 3 показан ожидаемый выигрыш за период времени [0, 1] при фиксированном значении за единицу времени. Критическое исследование графика - ожидаемый выигрыш с учетом времени показывает, что он падает довольно быстро, когда издержки на восстановление С2 > 1, и увеличиваются в течение длительного времени, когда С2 £ 0.1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александровская Л.Н., Афанасьев А.П., Лисов А.А. Современные методы обеспечения безотказности сложных технических систем. - М.: Логос, 2001.
2. Брагин В.В., Чабон Ф. Оценка риска и последствий отказов комплексной системы, конструкций, процессов. Ярославль: Изд-во ЯГУ, 1997.
3. Быков А.А., Демин В.Ф., Шевелев Я.В. Развитие основ анализа риска и управления безопасностью. М.: Изд-во ИАЭ, 1998.
4. Справка к расширенному заседанию коллегии Минтранса России 11.10.2006 «О состоянии и перспективах развития гражданской авиации в Российской Федерации» http://www.mintrans.ru/
5. Статистические методы анализа безопасности сложных технических систем / Под ред. В.П. Соколова. М.: -Логос, 2001.
6. P.P. Gupta and S. С Agarwal, Cost function analysis of a three-state repairable system. Microeleciron. Reliab. 24, 51-53(1984).
7. B.S. Dhillon, A system with two kinds of three-state elements, IEEE Trans. Reliab. R-29.345 (1980).
8. P.R. Parthasarathy, Cost analysis for two-unit system, IEEE Trans. Reliab. R-28, 268-269 (1979).
9. R.S. Naidu and M. К Gopalan, Cost-benefit analyst of one-server two unit warm standby system subject to different inspection strategies, Microelecctron. Reliab. 23, 121-128(1983).
ANALYSIS OF THE COSTS RADIO ELECTRONIC RESTORED SURPLUS SYSTEM WITH CRITICAL SUBJECTIVE MISTAKE
Emeliyanov V.E., Sysoev A.V.
In given article is considered electronic system, comprising of itself two identical blocks, joined parallel in that time, as the other subsystem has only one block. The System subject to two types refusal, as follows: fault of the block and refusal because of critical subjective mistake. Reconstruction occurs if she came out of building because of refusal of the block in subsystem and can be not restored, when refusal has occurred because of critical subjective mistake. Hung from time of probability were valued so that forecast the expected advantage and functional fitness anytime.
Сведения об авторах
Емельянов Владимир Евгеньевич, 1951 г.р., окончил КИИГА (1974), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой ОРТиЗИ МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация авиационного радиоэлектронного оборудования, функционирующего в сложной электромагнитной обстановке.
Сысоев Александр Викторович, 1983 г.р., окончил МГТУГА (2005), аспирант кафедры ОРТиЗИ МГТУ ГА, область научных интересов - эксплуатация сложных технических систем.
