CC BY
21
ISSN 1560-3644 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2021. № 4
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Научная статья
УДК 519.175.1, 621.3.011.712
doi: 10.17213/1560-3644-2021-4-17-23
АНАЛИЗ ИНВАРИАНТОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ ИЗОМОРФИЗМА ГРАФОВ И ПРИНЦИПЫ ИХ СИСТЕМАТИЗАЦИИ
А.Н. Иванченко, К.Н. Иванченко
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
Аннотация. Изложены принципы классификации инвариантов графа и построена система их классификации, допускающая расширение и пополнение как новыми инвариантами, так и новыми классификационными группами. Детально рассмотрены 29 инвариантов, большинство из которых являются оригинальными. Использование рёберных графов автоматически расширило число анализируемых инвариантов графов в два раза. Применение формализма мультимножеств для векторных инвариантов позволило в унифицированной и легко алгоритмизируемой форме представить «громоздкие» инварианты и выполнять с ними различные операции (сравнение, сортировка и пр.), а использование мультимножеств, элементами которых являются мультимножества, позволило компактно представить сложные «матричные» инварианты, характеризующие расстояние между парами вершин графа. В качестве такого расстояния предложено использовать как общепринятую геодезическую метрику (расстояние выражается количеством рёбер), так и предложенную ранее авторами резистивную метрику (расстоянием считается эквивалентное сопротивление электрической цепи, представленной графом). Приведённые в статье числовые примеры демонстрируют способности инвариантов различать неизоморфные графы.
Ключевые слова: проблема изоморфизма графов, инварианты графа, резистивное расстояние, мультимножество, способность инвариантов различать неизоморфные графы
Для цитирования: Иванченко А.Н., Иванченко К.Н. Анализ инвариантов, используемых для тестирования изоморфизма графов и принципы их систематизации // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2021. №4. С. 17 - 23. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2021-4-17-23
Original article
ANALYSIS OF INVARIANTS USED FOR GRAPH ISOMORPHISM TESTING AND THE PRINCIPLES OF THEIR SYSTEMATIZATION
A.N. Ivanchenko, K.N. Ivanchenko
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia
Abstract. This paper presents the principles of classification of graph invariants and builds a system for their classification, which allows expansion and replenishment with both new invariants and new classification groups. 29 invariants are considered in detail, most of which are original. The use of edge graphs automatically doubled the number of analyzed graph invariants. The use of the multiset formalism for vector invariants made it possible to present «cumbersome» invariants in a unified and easily algorithmizable form and perform various operations with them (comparison, sorting, etc.), and the use of multisets, whose elements are multisets, made it possible to compactly represent complex «matrix» invariants that characterize the distance between pairs of graph vertices. As such a distance, it is proposed to use both the generally accepted geodesic metric (the distance is expressed by the number of edges) and the resistive metric proposed earlier by the authors (the distance is the equivalent resistance of the electrical circuit represented by the graph). The numerical examples given in the article demonstrate the ability of invariants to distinguish between non-isomorphic graphs.
Keywords: graph isomorphism problem, graph invariants, resistance distance, multiset, ability of invariants to distinguish non-isomorphic graphs
For citation: Ivanchenko A.N., Ivanchenko K.N. (2021) Analysis of invariants used for graph isomorphism testing and the principles of their systematization. University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences, 2021, no. 4, pp. 17 - 23. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2021-4-17-23
© Иванченко А.Н., Иванченко К.Н., 2021
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2021. No 4
Введение
Исследуемыми объектами в статье являются простые неориентированные связные графы О = (V, Е), где V - множество вершин, Е - множество рёбер; мощности этих множеств соответственно равны: IV] = п, |Е| = т. Предметом исследования является отношение изоморфизма между графами. Как известно, два графа О1 и О2 называются изоморфными, если существует би-екция ф: Vl^ V2, такая, что ребро ыу 6 Е1 если и только если ребро ф(ы)фу) 6 Е2. При этом само отображение ф называется изоморфизмом. Заметим, что изоморфные графы обязательно имеют одинаковое количество вершин и рёбер.
Поиск изоморфизма, т.е. установление факта изоморфности или неизоморфности графов О1 и О2 относится к классу ^Р-трудных задач [1] и поэтому на практике используют косвенные признаки изоморфности, характеризующие структуру графа - числовые инварианты. Инвариант I графа О должен достаточно просто вычисляться, и, если графы О1 и О2 изоморфны, то обязательно должно быть I (О1) = I (О2), но обратное утверждение в общем случае неверно: равенство инвариантов двух графов не гарантирует их изоморфности.
Из многочисленных публикаций, посвя-щённых построению и исследованию инвариантов графов, можно собрать большую коллекцию различных инвариантов (подробный перечень известных инвариантов графа собран в работе [2]). А так как инвариантом может быть любая числовая характеристика графа (скалярная или в виде числового мультимножества), зависящая только от структуры графа и при вычислении которой не используются ни способ представления графа, ни то, как именно обозначены его вершины и рёбра, то эта коллекция постоянно пополняется. Например, в работах [3, 4] был предложен и исследован новый векторный инвариант - вектор степеней второго порядка (каждой вершине ставится в соответствие массив из степеней вершин, смежных с данной вершиной). В исследованиях по хемоинформатике [5, 6] рассмотрены различные модификации скалярных инвариантов (обобщения индекса Рандича и Загребского, различные версии индекса атомной связности и др.).
Очевидно, что логически обоснованная классификация инвариантов графов позволит группировать различные инварианты при сравнении их способности различать неизоморфные графы, а также выявить «пустые» классификационные группы, в которых нет известных на сего-
дня инвариантов; такие группы дают «подсказку» для построения новых инвариантов.
Цели авторов настоящей статьи состояли в разработке такой классификации, построении новых инвариантов в форме мультимножеств, использовании геодезического и резистивного расстояний между вершинами графа, а также демонстрации способности инвариантов различать неизоморфные графы на достаточно компактных числовых примерах.
Классификация инвариантов
Для демонстрации рассматриваемых в статье инвариантов будем использовать в качестве примера неизоморфные графы О1, О2, Оз и О4, содержащие по шесть вершин и семь рёбер (рис. 1).
х' х' к'
Gi G2 G3
Рис. 1. Пример неизоморфных графов / Fig. 1. An example of non-isomorphic graphs
G4
Эти графы визуально почти идентичны и отличаются только одним ребром (показано пунктиром), что может послужить причиной их «неразличимости» некоторыми инвариантами.
Перед построением системы классификации инвариантов заметим, что структуру графа О вполне характеризует его линейный (рёберный) граф ДО) [1] и поэтому для любого из рассматриваемых ниже инвариантов, относящегося к вершинам графа О (назовём его вершинным инвариантом), может быть построен аналогичный по конструкции вершинный инвариант рёберного графа ДО), который можно считать рёберным инвариантом графа О. Рёберные инварианты графа О в некоторых случаях могут иметь более высокую способность различать неизоморфные графы, чем его вершинные инварианты. В дальнейшем под термином инвариант будем подразумевать вершинный инвариант.
Первый классификационный признак делит инварианты графа на два класса: скалярные и векторные.
Скалярный инвариант - это целое или вещественное число, характеризующее граф в целом, например: количество вершин и рёбер, диаметр, цикломатическое и хроматическое числа, индексы Винера и Рандича и др. Очевидно, что способность таких инвариантов различать неизоморфные графы не может быть высокой, и вполне вероятно, что достаточно большие
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
множества неизоморфных графов могут иметь одинаковые значения скалярного инварианта. Хотя такие инварианты часто используются в хемоинформатике (там они называются топологическими индексами), в настоящей статье они почти не рассматриваются.
Точнее говоря, мы будем использовать лишь один скалярный инвариант - количество рёбер линейного графа L(G), принимая во внимание тот факт, что для изоморфных графов с одинаковым количеством вершин и рёбер их линейные графы обязательно будут иметь также одинаковое количество вершин и рёбер. Для неизоморфных графов с одинаковым количеством вершин и рёбер их линейные графы обязательно будут иметь одинаковое количество вершин, но по количеству рёбер они могут различаться.
Например, линейные (рёберные) графы L(Gl) и L(G2) неизоморфных графов Gl и G2 (рис. 1) будут иметь по 12 рёбер, а графы L(Gз) и L(G4) -по 13 рёбер. Следовательно, рассматриваемый скалярный инвариант различает графы Gl и Gз, но не различает графы Gl и G2.
Векторные инварианты содержат больше информации о структуре графа и, следовательно, обладают более высокой способностью к различению неизоморфности в анализируемых множествах графов.
Отметим, что вместо термина «векторный инвариант» более правильно использовать термин «инвариант в форме мультимножества», так как, во-первых, порядок взаимного расположения элементов векторного инварианта не имеет значения и, во-вторых, он может содержать повторяющиеся элементы. Следуя [7], будем различать элементы и компоненты мультимножества; при этом мощность мультимножества - это количество его элементов, а размерность - количество компонентов. Будем также использовать при изображении мультимножеств верхние индексы у его компонентов, обозначающие кратность компонента. Например, мультимножество А = {32,24,12} состоит из 8 элементов и 3 компонентов; его мощность равна 8, а размерность - 3. Нас будут также интересовать мультимножества, элементами которых являются не числа, а мультимножества, например: B = {{32,24,12}1, {23,15}3, {22,16}3}. Это мультимножество состоит из 7 элементов и 3 компонентов; его мощность равна 7, а размерность - 3.
Предлагаемая система классификации инвариантов представлена на рис. 2, где для идентификации классификационных групп использованы условные мнемонические обозначения.
Таблица 1 / Table 1 Перечень инвариантов графа по классификационным группам / List of graph invariants by classification groups
№ Обозначение инварианта Полное название инварианта
Группа S
1 SLE Количество рёбер линейного графа
Группа VS
2 MSDV ММ степеней вершин
3 MSDE ММ степеней рёбер
4 MSDV2 ММ степеней второго порядка вершин
5 MSDE2 ММ степеней второго порядка рёбер
6 MSEccGeoV ММ геодезических эксцентриситетов вершин
7 MSEccGeoE ММ геодезических эксцентриситетов рёбер
8 MSEccResV ММ резистивных эксцентриситетов вершин
9 MSEccResE ММ резистивных эксцентриситетов рёбер
10 MSClusV ММ коэффициентов локальной кластеризации вершин
11 MSClusE ММ коэффициентов локальной кластеризации рёбер
Группа VMS
12 MMSDV МММ степеней смежных вершин
13 MMSDE МММ степеней смежных рёбер
14 MMSDV2 МММ степеней второго порядка смежных вершин
15 MMSDE2 МММ степеней второго порядка смежных рёбер
16 MMSEccGeoV МММ геодезических эксцентриситетов смежных вершин
17 MMSEccGeoE МММ геодезических эксцентриситетов смежных рёбер
18 MMSEccResV МММ резистивных эксцентриситетов смежных вершин
19 MMSEccResE МММ резистивных эксцентриситетов смежных рёбер
20 MMSClusV МММ коэффициентов локальной кластеризации смежных вершин
21 MMSClusE МММ коэффициентов локальной кластеризации смежных рёбер
22 MMSGeoDistV МММ геодезических расстояний от вершины до других вершин
23 MMSGeoDistE МММ геодезических расстояний от ребра до других рёбер
24 MMSResDistV МММ резистивных расстояний от вершины до других вершин
25 MMSResDistE МММ резистивных расстояний от ребра до других рёбер
Группа PV
26 MSGeoDistPV ММ геодезических расстояний между парами вершин
27 MSGeoDistPE ММ геодезических расстояний между парами рёбер
28 MSResDistPV ММ резистивных расстояний между парами вершин
29 MSResDistPE ММ резистивных расстояний между парами рёбер
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Рис. 2. Система классификации инвариантов / Fig. 2. Classification system of invariants
В табл. 1 представлен полный перечень из 29 рассмотренных авторами инвариантов графа, разбитый по классификационным группам. В названиях инвариантов использованы сокращения ММ (мультимножество) и МММ (мультимножество из мультимножеств). Для символических обозначений инвариантов использованы аббревиатуры, составленные из их названий на английском языке, например: MSDV - MultiSet Degrees of Vertices, MSGeoDistPV - MultiSet of Geodesic Distances between Pairs of Vertices и т.п.
Для каждой группы рассмотрим как известные инварианты, так и новые конструкции.
Инварианты группы VS (Vertex Scalar)
У инвариантов этой группы каждый элемент мультимножества является скалярной числовой характеристикой некоторой вершины графа, показывающей её специфическую роль в общей структуре графа и зависящей от локального «устройства» графа в окрестности этой вершины. Такой характеристикой может быть:
- степень (валентность) вершины v, которая численно равна мощности множества смежных с ней вершин N(v): 8(v)=|N(v)|;
- степень второго порядка вершины v, которая численно равна количеству вершин, кратчайший путь до которых от заданной вершины v в точности равен 2: S2(v)=|{ueV, dist(u,v)=2}|; эта характеристика не встречалась в известных публикациях;
- эксцентриситет вершины v, равный кратчайшему расстоянию до вершины, наиболее удалённой от вершины v, выраженному в количестве рёбер; измеренное таким образом расстояние называют геодезическим расстоянием и поэтому такой эксцентриситет будем называть геодезическим эксцентриситетом;
- резистивный эксцентриситет вершины v, который базируется на идее измерения расстояний между парами вершин с использованием
аналогий из теории электрических цепей [8, 9]; такие расстояния называются резистивными и их применение для построения инвариантов подробно рассмотрено ранее авторами в [10]; рези-стивный эксцентриситет также является новой характеристикой;
- коэффициент локальной кластеризации вершины V [11], который показывает, насколько подграф Н = (Щ(у), П) графа О, порождённый множеством смежных с V вершин Щу), близок к полному графу (клике):
21 Б\
с (у) =-и-.
( ) 5(у)(5(У) -1)
Здесь С(у) - коэффициент локальной кластеризации вершины V, П ={(ху) 6 Е, х,у 6 Щу)}, Е - множество рёбер графа О.
Очевидно, что этот коэффициент будет принимать максимальное значение, равное 1, в случае, когда подграф Н является кликой графа О размером 5(у) (т.е. все соседи вершины V связаны друг с другом). При отсутствии связей между соседями он будет равен 0. Для висячих вершин, у которых 5 (у) = 1, также нужно считать, что С (у) = 0. Заметим, что при С(у) = 1 размер клики фактически равен 5(у)+1, так как вершина V также связана со всеми вершинами из Щу).
Перечисленные пять скалярных характеристик вершин могут быть вычислены и для рёберного графа ДО), и поэтому рассматриваемая группа VS в итоге включает 10 инвариантов в форме мультимножеств, представленных в табл. 1.
Для иллюстрации приведём численные значения некоторых инвариантов из группы VS, полученные для неизоморфных графов О1-О4, представленных на рис. 1.
Пример 1. Мультимножество степеней вершин:
MSDV(Оl) = MSDV(О2) = {41, 31, 23, 11},
MSDV(Оз) = MSDV(О4) = {41, 32, 21, 12}
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION.
TECHNICAL SCIENCE.
2021. No 4
Пары неизоморфных графов Gi, G2 и G3, G4 имеют одинаковые инварианты, следовательно, этот инвариант их не различает.
Пример 2. Мультимножество коэффициентов локальной кластеризации вершин:
MSClusV(Gi) = {13, 0,332, 01}, MSClusVG) = {11, 0,331, 0,1V1, 03}, MSClusVG) = {11, 0,6V1, 0,332, 02}, MSClusVG) = {11, 0,672, 0,1V1, 02}.
Все мультимножества различаются и поэтому графы G1 - G4 правильно идентифицированы как неизоморфные.
Пример 3. Мультимножество геодезических эксцентриситетов рёбер:
MSEccGeoVG) = {33, 24}, MSEccGeoVG) = MSEccGeoVG) = = MSEccGeoVG) = {27}.
Инвариант лишь одного графа G1 отличается от остальных, поэтому способность этого инварианта различать неизоморфные графы не полная.
Инварианты группы VMS (Vertex MultiSet)
В инвариантах этой группы каждый элемент мультимножества является векторной характеристикой вершины v графа G, показывающей её «роль» в общей структуре графа относительно других вершин.
Возможны два подхода к конструированию таких векторных характеристик (т.е. мультимножеств):
- «ближний» - элементами мультимножества являются скалярные характеристики вершин из «ближнего окружения», т.е. смежных с v вершин. Очевидно, что при таком подходе можно построить 10 инвариантов по числу рассмотренных выше скалярных характеристик вершин (рёбер);
- «дальний», при котором элементами мультимножества являются расстояния (геодезические или резистивные) между текущей вершиной v и всеми остальными вершинами. Очевидно, что «дальний» подход позволяет построить ещё четыре инварианта.
Таким образом, группа VMS включает 14 инвариантов, представленных в табл. 1. Эти инварианты ранее в литературе не встречались.
Для иллюстрации приведём численные значения некоторых инвариантов из группы VMS, полученные для неизоморфных графов G1 - G4 (рис. 1).
Пример 4. Мультимножество мультимножеств степеней второго порядка вершин, смежных с текущей вершиной:
MMSDV2(G1) = {{31, 21, 11}1, {31, 23}1, {21, 11}3, {21}1},
MMSDV2(G2) = {{31, 21, 11}1, {33, 21}1, {31, 21}1, {21, 11}2, {11}1}, MMSDV2(G3) = {{31, 23}1, {22, 11}2, {21, 11}1, {21}1, {11}1}, MMSDV2(G4) = {{32, 22}1, {21, 12}2, {22}1, {11}2}.
Пример 5. Мультимножество мультимножеств геодезических эксцентриситетов рёбер, смежных с текущим ребром:
MMSDV2G) = {{32, 23}1, {31, 23}3, {31, 22}1,
{31, 21}1, {22}1}, MMSDV2(G2) = {{25}1, {24}2, {23}3, {22}1}, MMSDV2G) = {{25}2, {24}2, {23}2, {22}1}, MMSDV2(G4) = {{25}2, {24}1, {23}4}.
Пример 6. Мультимножество мультимножеств геодезических расстояний от вершины до всех остальных вершин:
MMSGeoDistVG) = {{32, 22, 11}1, {31, 22, 12}2, {23, 12}1, {22, 13}1, {21, 14}1}, MMSGeoDistVG) = {{31, 23, 11}1, {31, 22, 12}1, {23, 12}2, {22, 13}1, {21, 14}1}, MMSGeoDistVG) = {{32, 22, 11}1, {31, 23, 11}1, {31, 22, 12}1, {22, 13}2, {21, 14}1}, MMSGeoDistVG) = {{32, 21, 12}1, {31, 23, 11}2, {22, 13}2, {21, 14}1}.
Как видно, все инварианты в примерах 4 - 6 различаются и поэтому графы G1 - G4 правильно идентифицированы как неизоморфные.
Инварианты группы PV (Pairs of Vertex)
Инварианты этой группы можно назвать «матричными», так как их мультимножества составляются из элементов матрицы размером n*n, каждый элемент которой является числовой характеристикой некоторого отношения между парой вершин. Обычно это расстояние (геодезическое или резистивное). Для неориентированных графов достаточно рассматривать верхнюю треугольную часть такой матрицы размером n(n - 1)/2. Таким образом, с учётом рёберных графов, группа PV включает 4 инварианта (см. табл. 1). Эти инварианты также ранее в литературе не встречались.
Для иллюстрации приведём численные значения двух инвариантов из группы PV, полученные для неизоморфных графов G1 - G4 (рис. 1).
Пример 7. Мультимножество геодезических расстояний между всеми парами рёбер:
MSGeoDistPE(Gi) = {32, 27, 112}, MSGeoDistPEG) = {29, 112}, MSGeoDistPEG) = MSGeoDistPEG) = {213, 113}.
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
Неизоморфные графы О3 и О4 имеют одинаковые инварианты, следовательно, этот инвариант их не различает.
Пример 8. Мультимножество резистивных расстояний между всеми парами вершин. MSResDistPV(Оl) = {2,332, 1,672, 1,334, 11, 0,676}, MSResDistPV(О2) = {1,911, 1,731, 1,641, 1,551,
1,182, 11, 0,912, 0,733, 0,642, 0,551}, MSResDistPV(Оз) = {2,631, 21, 1,634, 1,51, 13, 0,634, 0,51},
MSResDistPV(О4) = {23, 1,634, 13, 0,634, 0,51}.
Все мультимножества различаются и поэтому графы О1 - О4 правильно идентифицированы как неизоморфные.
Выводы
Предложенная система классификации инвариантов графа даёт хорошую основу для упорядочения известных на сегодняшний день инвариантов, а также допускает расширение и пополнение как новыми инвариантами, так и новыми классификационными группами.
Использование формализма мультимножеств позволило предложить единый подход к представлению векторных инвариантов. Для векторных инвариантов сложной конструкции авторами предложено расширить понятие «мультимножество» и допустить, что элементами мультимножеств могут быть мультимножества.
Приведённые в статье числовые примеры получены с помощью оригинального программного комплекса, построенного по объектно-ориентированной технологии; архитектура этого комплекса и детали реализации будут представлены в последующих публикациях авторов.
Также предметом дальнейших исследований является проведение сравнительного анализа эффективности инвариантов (т.е. сочетания вычислительных затрат и способности различать неизоморфные графы). Для этого будут использованы достаточно большие наборы неизоморфных графов, которые можно получить с помощью известной библиотеки программ ЫЛиТУ [12 - 14].
Список источников
1. ЗыковА.А. Основы теории графов. М.: Наука, 1986. 384 с.
2. Graph_property. Available at: <https://en.wikipedia.org/wiki/ Graph_property> (accessed 15.10.2021).
3. Мельников Б.Ф., Сайфуллина Е.Ф. Генерация графов с заданным вектором степеней второго порядка и задача проверки изоморфизма // Стохастическая оптимизация в информатике. 2014. Т. 10, № 2. С. 24 - 36.
4. Мельникова Е.А., Сайфуллина Е.Ф. Подход к проверке изоморфизма графов с помощью построения инвариантов // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. 2013. № 1 (23). С. 113 - 120. URL:<https: //www.elibrary.ru/item.asp?id=20394979> (дата обращения 15.10.2021).
5. МаксимовА.Г., Завалишин А.Д., АбрамовМ.В., ТулупьевА.Л. Хемоинформатика: приложения информатики в анализе химических структур (на примере сульфида кадмия) // Компьютерные инструменты в образовании. 2019. № 4. С. 44 - 54.
6. Добрынин А.А., Мельников Л.С. Индекс Винера для графов и их реберных графов // Дискретный анализ и исследование операций. 2004. Серия 2. Т. 11, вып. 2. С. 25-44.
7. Петровский А.Б. Пространства множеств и мультимножеств. М.: Едиториал УРСС, 2003. 248 с.
8. Resistance Distance. Available at: <https://mathworld. wolf-ram.com/ ResistanceDistance.html> (accessed 15.10.2021).
9. Klein D.J., Randic M. Resistance distance // Journal of Mathematical Chemistry, 12(1993) P. 81 - 95. Available at: <https://www.researchgate.net/publication/226420782_Resis tance_Distance> (accessed 15.10.2021).
10. Иванченко А.Н, Иванченко К.Н. Критерий изоморфизма графов на основе резистивного расстояния // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2020. № 2. С. 13 -18. doi: 10.17213/1560-3644-2020-2-13-18
11. Watts D., Strogatz S. Collective dynamics of 'small world' networks. Nature. 1998. Vol. 393. P. 440 - 442.
12McKay B.D., Piperno A. Nauty and Traces. Software distribution web page. Available at: <http://users.cecs. anu.edu.au/~bdm/nauty/> (accessed 15.10.2021).
13. McKay B.D. Practical Graph Isomorphism // Congressus Numerantium, 30 (1981). Р. 45 - 87. Available at: <http:// users.cecs.anu.edu.au/~bdm/nauty/pgi.pdf> (accessed 15.10.2021).
14. McKay B. D., Piperno A. Practical Graph Isomorphism, II // J. Symbolic Computation (2013) Vol. 60, p. 94 - 112. Available at: <https://arxiv.org/pdf/1301.1493.pdf> (accessed 15.10.2021).
References
1. Zykov A.A. (1986) Fundamentals of graph theory. M.: Nauka, 1986. 384 p. (In Russian).
2. Graph_property. Available at: <https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_property> (accessed 15.10.2021).
3. Melnikov B.F., Sayfullina E.F. (2014) Generation of graphs with a given vector of second-order degrees and the problem of checking isomorphism. Stohasticheskaja optimizacija v informatike, 2014, vol. 10, no. 2, pp. 24 - 36. (In Russian).
4. Melnikova E.A., Sayfullina E.F. (2013) An approach to checking graph isomorphism by constructing invariants. Vektor nauki
Tol'jattinskogo gosudarstvennogo universiteta. 2013, no. 1 (23), pp. 113 - 120. Available at:<https://www.elibrary.ru
/item.asp?id=20394979> (accessed 15.10.2021).
ISSN 1560-3644 UNIVERSITY NEWS. NORTH-CAUCASIAN REGION. TECHNICAL SCIENCE. 2021. No 4
5. Maksimov A.G., Zavalishin A.D., Abramov M.V., Tulup'ev A.L. (2019) Chemoinformatics: applications of informatics in the analysis of chemical structures (on the example of cadmium sulfide). Komp'juternye instrumenty v obrazovanii, 2019, no. 4, pp. 44-54. (In Russian).
6. Dobrynin A.A., Melnikov L.S. (2004) Wiener index for graphs and their edge graphs. Diskretnyj analiz i issledovanie operacij, 2004, ser. 2, vol. 11, no. 2, pp. 25 - 44. (In Russian).
7. Petrovskij A.B. (2003) Spaces of sets and multisets. M.: Editorial URSS, 2003. 248 p.
8. Resistance Distance. Available at: <https://mathworld.wolfram.com/ResistanceDistance.html> (accessed 15.10.2021).
9. Klein D.J., Randic M. (1993) Resistance distance. Journal of Mathematical Chemistry, 12(1993), pp. 81 - 95. Available at: <https://www.researchgate.net/publication/226420782_Resistance_Distance> (accessed 15. 10.2021).
10. Ivanchenko A.N, Ivanchenko K.N. (2020) Graph isomorphism criterion based on resistance distance. University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series, 2020, no. 2, pp. 13-18. doi: 10.17213/1560-3644-2020-2-13-18 (In Russian).
11.Watts D., Strogatz S. (1998) Collective dynamics of 'small world' networks. Nature, 1998, vol. 393, pp. 440 - 442.
12.McKay B.D., Piperno A. Nauty and Traces. Software dis-tribution web page. Available at: <http://users.cecs.anu.edu.au/ ~bdm/nauty/> (accessed 15.10.2021).
13.McKay B.D. (1981) Practical Graph Isomorphism. Congressus Numerantium, 30 (1981), pp. 45 - 87. Available at: <http://users.cecs.anu.edu.au/~bdm/nauty/pgi.pdf> (accessed 15.10.2021).
14. McKay B. D., Piperno A. (2013) Practical Graph Isomorphism, II. J. Symbolic Computation (2013), vol. 60, pp. 94 - 112. Available at: <https://arxiv.org/pdf/1301.1493.pdf> (accessed 15.10.2021).
Сведения об авторах
Александр Николаевич Иванченко н - канд. техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники»,
Кирилл Николаевич Иванченко - аспирант, [email protected]
Information about the authors
Alexandr N. Ivanchenko - Candidate of Technical Sciences, Professor, Department «Computer Software», [email protected]
Kirill N. Ivanchenko - Graduate Student, [email protected]
Статья поступила в редакцию/the article was submitted 18.10.2021; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 22.10.2021; принята к публикации / ac-ceptedfor publication 28.10.2021.
