CC BY
90
УДК 004.827
С.В. Скороход
АНАЛИЗ ИНДЕКСОВ РАНЖИРОВАНИЯ НЕЧЁТКИХ ЧИСЕЛ ТРЕУГОЛЬНОГО ВИДА
Рассматривается задача сравнения нечётких чисел треугольного вида. Анализируются девять известных индексов ранжирования. Сделан вывод: результат сравнения близких нечётких чисел зависит от выбранного способа сравнения. Предложен интегральный , . Нечёткое число треугольного вида; сравнение; индекс ранжирования.
S.V. Skorokhod
THE ANALYSIS OF TRIANGULAR FUZZY NUMBERS RANKING INDEXES
The problem of triangular fuzzy numbers comparison is considered. Nine known indexes of ranking are analyzed. The conclusion is made: the outcome of comparison of close fuzzy numbers depends on the chosen mode of comparison. The integrated index which is steady against singularities of a concrete index of ranking is offered.
Triangular fuzzy number; comparison; ranking index.
Постановка задачи. Рассмотрим задачу выбора из двух альтернатив, оценки предпочтительности которых выражаются нечёткими числами (НЧ) треугольного вида [1]. Треугольное НЧ A задаётся на множестве действительных чисел тройкой:
A =<al,a,ar > и удовлетворяет условиям: al <= a <= ar; [Ia(qi) = ^A(ar) = 0 ;
Ha( a) = 1. Если al > 0, a > 0, ar > 0, H 4 A называется по ложительным.
Полагая, что оценка предпочтительности альтернативы всегда является по,
положительных НЧ для выявления большего из них. Общий подход к сравнению НЧ заключается в использовании некоторого индекса ранжирования, сопоставляемого НЧ или паре сравниваемых НЧ. По значению индекса (пары противопо-) . -сов ранжирования сформулированы для случая НЧ общего вида, задачей настоящей работы является их применение к условиям треугольных НЧ. Второй задачей является выработка интегрального критерия, позволяющего учесть при сравнении большинство известных индексов ранжирования.
Индексы Дюбуа-Прада. Дюбуа и Прад описали в [1] четыре индекса ранжирования. Полагая, что носители НЧ разделены на непересекающиеся подмножества Sa = Sa и Sa и Sb = Sb U S~b , где Sa и Sb - области меньших значений
НЧ A и B (левее максимума функции принадлежности), a Sa и Sb - области
больших значений (правее максимума), имеем формулы общего вида для индексов :
Ii( A, B) = sup, min(^A ( x),Mb (x)),
x > y, x^SA, y^SB
12 (A, B) = inf, max(^A (x), 1 - ^x)),
x > y, *ESA, yeSB
13 (A, B) = inf, max(1 - (x), ^x)),
x > y, xgSa , y^SB
14( A, B) = sup, min(^A (x),Mb (x))..
x > y, xeSa , y^SB
Если предположить, что А и В являются треугольными: А =< а1,а,аг >, а В =< Ъ1,Ъ,Ъг >, получим более простые формулы для вычисления 11 -14:
Ii( A, B) =
bl - ar
I3( A, B) =
bi - a
a t - a - b + b
a > b
b > ar , I2(A,B) =
a - a - b + b, '
иначе
at > b
b - a„
a - a - b + b
b > a , I4(A,B) =
иначе
b - a,
a - a - b + b.
B
выполняется
no
a > br b > ar ,
иначе
a > br b > a .
,
правилу:
Сравнение НЧ A и In (A, B) > In (B, A)=> A > B, n = 1,4.
Другие индексы. В работах [2,3] анализируются другие подходы к сравне-.
функции, вычисляющей середину носителя a-уровня НЧ:
I5(A) = [a (а) + a ada, a~(a) = inf x,a+ (a) = supx.
J 2 X^Aa ^ Л
Выполнив интегрирование для случая треугольного НЧ А, получим компакт-
1 т т а, + 2а + аг ную формулу для 15: 15 (А) = -1---г-.
Второй подход к сравнению НЧ А и В связан с построением НЧ Б = последующим вычислением индекса ранжирования 16:
0,5 1
A
A + B
16( А, В) = | (1 -цБ (х))ёх + | ц0 (х)ёх.
0 0,5
При 16(А,В) > 0,5 считается, что А > В.
Для случая треугольных НЧ А и В НЧ Б также имеет треугольный вид:
D =< dl, d, dr >, dl
_ a
5d =—a—, d =—a—. Вычисление I6(A,B) сво-ar + br' a + b r a l + b l
, . 1, , 16(А,В)>0,5 - к условию 32>31, где и - площади фигур, обозначенных штриховкой на рис. 1,Ь.
о
В
0 С1 С 0,5 Сг 1 0 Сг С 0,5
Рис. 1. Вычисление индекса 16
Сг 1
Тогда эквивалентом 16(А,В) является формула 16 (А, В) = 52 (А, В) - 5 (А, В), при этом 16( А, В) > 0 ^ А > В. Проанализируем величины 51( А, В) и 52( А, В). При йг < 0,5 52(А,В) = 0, а 51(А,В) равна площади функции принадлежности НЧ В. Без ограничения общности примем 5 (А, В) = 0,5. При > 0,5, наоборот, 51(А, В) = 0, а 52(А, В) примем равным 0,5. Вычислив величины площадей 51( А, В) и 52( А, В) для остальных случаев, получим:
0,5, Сг < 0,5 0, С, > 0,5
(0,5 - С, )2
51( А, В) =
2(С - С,) Сг(С,-1) + С(Сг -С1) + 0,25
(С, < 0,5 <Сг)&(С > 0,5)
Б2( А, В) =
2(С - Сг)
(С - 0,5)2
,(С, < 0,5 <Сг)&(С <0,5),
0, Сг < 0,5 0,5, С > 0,5
2(СГ - С) С, (1 - Сг) + С (Сг - С,) - 0,25
2(С - С,)
(С, < 0,5 <Сг)&(С < 0,5)
,(С, < 0,5 <Сг)&(С > 0,5).
Отметим, что при сравнении этим способом НЧ А и В, одно из которых близко к нулю, следует сравнивать НЧ А+1 и В+1, чтобы избежать чрезмерного размытия НЧ, неизбежного при делении на значения из интервала (0;1).
Третий способ основан на вычислении математического ожидания случайной
,
| хцА (х)Сх
функции принадлежности НЧ: I (А) = 5а_, гДе 5А - носитель НЧ А.
| ¡иА (х)Сх
Выполнив интегрирование для случая треугольного НЧ A, получим:
т , .. 2a3 + al - 3a,a2 3a„a2 - 2a3 - a3 17( A) =----— + :
3(ar - al)(a - al) 3(a - ar)(ar - al)
Четвёртый подход использует в качестве индекса ранжирования элемент носителя НЧ, в котором его функция принадлежности принимает максимальное значение: I8 (A) = arg sup juA (x). Если A =< al, a, ar >, имеем: I8 (A) = a.
xgSa
Последний из рассмотренных индексов использует элемент носителя НЧ, который делит площадь функции принадлежности пополам:
x* 1 ^
I9(A) = ^ J Ma (x) = "2 J MA (x).
2 _
Для треугольного НЧ х* является решением одного из квадратных уравнений:
а _а
(аг _ а)(а _ а1) + (а _ 2а 1 + х)(а _ х) _ (х _ а1 )2 = 0, если а >—--
и
(a - al )(a - ar) + (a - 2ar +x)(x - a) + (x - ar )2 = 0, если a <
2
2 _Л _______ , ar - a-
2
Сравнение НЧ с использованием индексов 5, 7-9 выполняется по принципу: 1п(А) > 1п(Б)=> А > В,п = 7,8,9.
Интегральный индекс ранжирования. Рассчитаем значения индексов 1-9 на примере близких друг к другу НЧ А = <1,8,10> и В = <5,7,14>. Результаты вычислений приведены в табл. 1.
1
In Прямой индекс Обратный индекс Итог In Прямой индекс Обратный индекс Итог
Ii Ii(A,B)=1 I1(B,A)=0,93 A>B I6 I6(A,B)=0,73 I6(B,A)=0,38 A=B
I2 I2(A,B)=0,33 I2(B,A)=0,67 B>A I7 I7(A)=6,33 I7(B)=8,67 B>A
I3 I3(A,B)=0,33 I3(B,A)=0,67 B>A I8 I8(A)=8 I8(B)=7 A>B
I4 I4(A,B)=0,93 I4(B,A)=0 A>B I9 I9(A)=6,61 I9(B)=8,39 B>A
I5 I5(A)=6,75 I5(B)=8,25 B>A
Анализ табл. 1 показывает значительный разброс выводов, сделанных по
. , А > В -
дексам 1, 4, 5, 7. Вывод В>А - по 2, 3, 5, 7, 9. Индекс 6 утверждает, что А=В. Та,
.
Следует признать, что по результатам вычисления всех показателей, предпоч-В , (5 4 А ) -
ют о том, что В > А. Построим интегральный индекс ранжирования, учитывающий все описанные выше показатели. Его использование существенно повысит устойчивость сравнения от влияния конкретных особенностей конкретного индекса.
Обозначим:
1, по индексу 1пвывод : A > B Zn (A, B) = < 0, по индексу 1пвывод : A = B , п = 1,9. — 1, по индексу 1пвывод : A < B Интегральный индекс ( A, B) будем вычислять по формуле:
9
( A, B) = X Zn ( A, B).
n=1
Тогда (A, B) > 0 означает, что A>B, (A, B) = 0- A=B, a (A, B) < 0 - A<B. Для рассмотренного примера по данным табл. 1, имеем (A, B) < 0, что
, B>A .
Выводы. В работе проведён анализ существующих индексов ранжирования НЧ применительно к треугольным НЧ. Выведены формулы их вычисления. Сделан вывод о том, что результат сравнения близких НЧ зависит от выбранного индекса. Для повышения устойчивости результата сравнения к особенностям конкретного показателя предложен интегральный индекс ранжирования, учитывающий сумму показаний нескольких индексов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Применение к представлению знаний в информатике.- М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.
2. Обработка нечёткой информации в системах принятия решений / Борисов АН., Алексеев А.В., Меркурьева Г.В. и др. - М.: Радио и связь, 1989. - 304 с.
3. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров ИМ. Принятие решений на основе нечётких моделей: примеры использования. - Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.
Скороход Сергей Ваельевич
Таганрогский институт управления и экономики.
E-mail: [email protected].
347900, г. Таганрог, ул. Петровская, 45.
Тел.: 88634648891.
Skorokhod Sergery Vasil'evich
Taganrog management and economic Institute. E-mail: [email protected].
45, Petrovskaya street, Taganrog, 347900, Russia. Phone: 88634648891.
УДК 681.3.06: 519.6
А.Б. Корякин, Я.Е. Ромм
ПОСТРОЕНИЕ ПРИЗНАКОВ РАСПОЗНАВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ СОРТИРОВКИ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Изложен метод идентификации и классификации реверберации и полезных сигналов на основе экстремальных признаков с помощью модифицированной сортировки слиянием. Результаты сравниваются с идентификацией на основе спектральных свойств ревербера-
, .
,
спектральных отличий от полезного сигнала.
Классификация; экстремальные признаки; сортировка.
