CC BY
129
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
АНАЛИЗ И ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКОГО ДАТЧИКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
В.Д. БУРКОВ, проф. каф «ИИС и ТП» МГУЛ, д-р техн. наук,
Н.А. ХАРИТОНОВ, с. н. с. каф. «ИИС и ТП» МГУЛ, канд. техн. наук,
А.Н. ДЕМИН, асп. каф. «ИИС и ТП» МГУЛ
Волоконно-оптические датчики (ВОД) магнитного поля и электрического тока находят в настоящее время все более широкое применение в измерительной технике благодаря целому ряду преимуществ перед традиционными методами измерений и датчиками [1, 2].
К преимуществам ВОД относятся пассивность чувствительного элемента (отсутствие электропитания), дистанционность измерений (расстояние от точки измерений до регистрирующей аппаратуры может составлять сотни метров), гальваническая развязка, высокая чувствительность и быстродействие, малый вес и габариты при высокой помехозащищенности от внешних воздействий. Эти качества ВОД важны при разработке и создании информационно-измерительных объектов РКТ.
Для создания ВОД магнитного поля для измерения электрического тока, протекающего по проводнику (измерение электрического тока на участке цепи), используются в основном три известных физических эффекта: эффект Фарадея [1, 2], эффект магнитострикции и эффект смещения проводника с током в магнитном поле под действием силы Лоренца [1-3]. В том случае, когда участок электрической цепи находится под напряжением, но цепь отключена от нагрузки, используются ВОД электрического поля на эффекте Поккельса [8].
Существует два основных типа ВОД: «цельноволоконные» датчики, в которых оптический волновод является как передающей средой, так и чувствительным элементом [1, 2, 5], и датчики с «объемным» чувствительным элементом, оптический волновод которых используется только как передающая сигнал среда, а чувствительным элементом является включенный в тракт материал, обладающий магнитооптическими или электрооптическими свойствами [3, 4]. В качестве таких материа-
лов используются парамагнетики - кристаллы и пленки ферритов - гранатов [9], диамагнитные стекла [10, 11] и кристаллы со структурой силленита - Bi12SiO20 и Bi12GeO20 [3, 12].
Для измерения сильных и средних значений магнитных полей и соответственно электрических токов (диапазон от 0,01 до 100 кА) применяются ВОД с чувствительными элементами на основе оптически активных кристаллов с кубической симметрией Bi12SiO20 и Bi12GeO20. Кубическая структура этих кристаллов обуславливает изотропность диэлектрической проницаемости и, как следствие этого, отсутствие естественного линейного двулучепреломления [8]. Отсутствие естественного линейного двулучепреломления, в свою очередь, снимает жесткие ограничения на апертуры световых пучков в кристаллах, что позволяет согласовывать чувствительные элементы с многомодовыми оптическими трактами с достаточно малыми потерями. Кроме этого, отсутствие естественного линейного двулучепреломления, которое весьма чувствительно к температуре, существенно упрощает задачу создания термостабильных чувствительных элементов ВОД.
Кристаллы со структурой силленита и, в частности Bi12SiO20 и Bi12GeO20, обладают значительной величиной константы Верде V = 0,1 мин/Гс-см для Bi12SiO20 и V = 0,188 мин/Гс-см для Bi12GeO20, что в несколько раз превышает значения V для диамагнитных стекол [4, 7].
Область прозрачности Bi12SiO20 и Bi12GeO20 лежит в диапазоне длин волн А > 0,5 мкм. Особенностью данных кристаллов является наличие собственного кругового двулучепреломления или оптической активности [4-12]. В частности, учет оптической активности необходим при выборе геометрии кристалла.
Чувствительность ВОД к магнитному полю и электрическому току определяется
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
127
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
коэффициентом преобразования чувствительного элемента (ЧЭ) как первичного измерительного преобразователя (ИПП), который пропорционален углу Фарадея ф. Коэффициент преобразования при заданных интенсивности света на входе ЧЭ определяется с помощью матриц Джонса.
Матрица Джонса для среды, обладающей как линейным, так и круговым двулучепреломлением (эллиптической фазовой пластины в базисе осей линейного двулучепреломления), имеет вид [14]
М=
( в с Л
cos (mL) + i—sin (mb) — sin(mZ)
m m
С В
---sin(wZ) cos(/wZ) - i—sm(mL)
V m m J
, (1)
где m = + p2, C - коэффициент кругового
двулучепреломления, в - коэффициент линейного двулучепреломления, L - длина кристалла.
Для кристалла Bi12GeO20 в магнитном поле суммарное круговое двулучепреломление складывается из собственного и наведенного полем (эффект Фарадея) двулучепреломлений C = 9 + F,
где 9 - коэффициент собственного кругового двулучепреломления (оптической активности) в кристалле;
F = V-H, V- константа Верде,
H - проекция приложенного магнитного поля на направление распростране-
I
0
Рис. 1. Оптическая схема чувствительного элемента проходного типа: 1, 4 - градиентные линзы;
2 - поляризационные делительные кубики;
3 - магнитооптический кристалл; I, I -интенсивность света на входе и выходе соответственно
В идеальных кристаллах Bi12GeO20 собственное линейное двулучепреломление в отсутствует, так как кристалл имеет кубическую симметрию и является изотропным. На практике, вследствие несовершенства кристаллов, возникают внутренние напряжения и, как следствие этого, возникает линейное двулучепреломление. Однако для ограниченных длин оптического пути света в кристалле величина его мала по сравнению с величиной собственного кругового двулучепреломления 9 [14], что позволяет упростить расчеты коэффициентов преобразования чувствительных элементов.
Известно, что одним из способов повышения чувствительности ВОД является увеличение угла Фарадея за счет увеличения оптического пути L света в кристалле при многократном прохождении. Однако увеличение L в В^^еО20 может привести к проявлению влияния ряда нелинейных эффектов и в том числе остаточного линейного двулучепреломления (ЛДП), которое всегда присутствует в В^^еО20, на магнитооптическую модуляцию света и коэффициент преобразования ВОД [3].
Анализ путей построения и характеристик ВОД электрических токов. Разработка метода измерения электрического тока на основе эффекта Фарадея в кристаллах В^^
^ Ш12^О20
Рассмотрим оптическую систему однопроходного чувствительного элемента (рис. 1).
Матрица Джонса для такой системы имеет вид
M=R(a)PR(-a)MBSO, (2)
где
ч:)
- матрица идеального линейного поляризатора, MBGO - матрица кристалла, R(a) - матрица поворота на угол a, a - угол между разрешенными направлениями входного и выходного поляризаторов. Расчет состояния поляризации и интенсивности света на выходе такой системы аналогичен предыдущему, с учетом особенностей схемы дает следующие значения для интенсивности света I на выходе
128
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
I = L
|(l + cos(2a + 2 CL))-
3 3
-P L sin(2a + 2 CL) + [2 cos(2a) -
2C 4C
- cos(2a + 2CZ) + sin(2a) sin(2CZ)]]. (3)
Для того чтобы коэффициент преобразования и глубина модуляции магнитным полем были максимальными, необходимо выбрать значения L и a так, чтобы величина 9L+a была близка к п/4. В этом случае
/ = —/„[ 1 - 2FL sin(2a + 2 L) + cos(2a + 0Z) -
2 j_
0 + F
При получении выражения мы пренебрегли членами порядка P2/C2.
Из выражения (4) следует, что наличие в кристаллах Bi12GeO20 большой по сравнению с величиной собственной оптической активности 9 ослабляет влияние собственного линейного двулучепреломления пропорционально коэффициенту р/9, что позволяет не учитывать Р в дальнейшем рассмотрении.
В случае измерения переменного магнитного поля Н = H0cos(ot) сигнал представляет собой сумму переменной составляющей с амплитудой пропорциональной Н0 и постоянной составляющей, зависящей от медленно меняющейся температуры. Используя полосовой фильтр, мы можем выделить переменную составляющую сигнала на частоте о и не учитывать в дальнейшем рассмотрении постоянную составляющую сигнала пропорциональную cos(29L+2a). Следовательно, для переменного магнитного поля H интенсивность I на выходе ЧЭ будет иметь вид
I = -I0 VHL sin(29L+2a). (5)
Таким образом, изменение коэффициента преобразования ЧЭ при изменении температуры окружающей среды определяется, в основном, двумя факторами: температурным дрейфом константы Верде V материала и изменением от температуры величины коэффициента собственной оптической активности 9.
Для достижения максимальной величины коэффициента преобразования необходимо сориентировать поляризаторы таким образом, чтобы выполнялось соотношение
sm(2a + 2CL)\ (4)
29L+2a = 90o, где a - угол между разрешенными направлениями входного и выходного поляризаторов. В этом случае температурный коэффициент преобразования ЧЭ будет, как и в отражательной схеме, определяться только дрейфом константы Верде V и составит 1,5° на 100 °С. В то же время, поскольку V и 9 в выражении (4) имеют температурные коэффициенты противоположных знаков, в принципе должны существовать условия, при которых температурный дрейф коэффициента преобразования ЧЭ может быть уменьшен. Анализ показывает, что теоретически для определенных длин кристаллов и ориентаций поляризаторов температурный дрейф ЧЭ может быть снижен до величины ~0,2 % на 100 °С [10].
Рассмотрим оптическую систему двухпроходного чувствительного элемента магнитного поля (рис. 2).
Особенностью двухпроходной или «отражательной» системы является то, что величины собственного линейного двулучепреломления и наведенного магнитным полем (эффектом Фарадея) кругового двулучепреломления суммируются за прямой и обратный проход кристалла чувствительного элемента.
Состояние поляризации световой волны на выходе системы описывается вектором Максвелла
А =
Ех
Ту
R(n/4) • P • R(-n/4) х
M(m2,C2)T M(m1,C1>
'О
V°y
(6)
где Ех и Еу - компоненты вектора напряженности электрического поля световой волны.
Полагая, что Р << 9, магнитное поле Н и длина кристалла L достаточно малы, так, что F=VH << 9, Р L << п/2, FL >> п/2, интенсивности световой волны на выходе
I = АА = 1/2 • I0 {1 - 4FL + р (р/92) х х (sin (29L) - cos (29L ) + 1)2 }, (7)
где I0 - интенсивность излучения на входе чувствительного элемента.
Как известно из литературы [9], величина собственного линейного двулучепреломления Р для Bi12Si020 составляет ~102рад/мм, а
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
129
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рис. 2. Оптическая система двухпроходного чувствительного элемента: 1 - источник излучения; 2 - градиентная линза, 3 - входной поляризатор; 4 - магнитооптический материал; 5 - анализатор (выходной поляризатор); Ф - фотоприемник; 6 -волоконный световод; 7 - зеркало; 8 - неполяризующий делитель светового пучка
его относительный температурный дрейф лежит в пределах 1 % в диапазоне температур
0-100 °С. В этом случае, как показывает анализ выражения (7), вклад в в магнитооптическую модуляцию света не превышает 0,02 % и им можно пренебречь. Таким образом, выражение (7) можно записать в виде:
I = 1/2 I0-(1-4FL) = S /Д1-4 VHL). (8)
Коэффициент преобразования чувствительного элемента определяется как антенное изменение интенсивности излучения на единицу магнитного поля при протекании электрического тока
S =1//0 • [dI/dH]H = 0.
Для двухпроходного чувствительного элемента согласно формуле (5) он имеет вид S = 2VL (10)
Таким образом, коэффициент преобразования двухпроходного чувствительного элемента зависит только от константы Верде и длины кристалла. Следовательно, температурный дрейф коэффициента преобразования (чувствительность датчика) будет определяться только дрейфом константы Верде материала и для кристаллов В^^Ю20, В^2веО20 этот температурный дрейф не превышает ~1,0 % на 100 °С.
Рассмотрим оптическую систему (рис.
3) и математическую модель системы многопроходного ЧЭ.
Матрица Джонса для такой среды имеет вид [2, 3, 4]
' R С }
cos (mLn ) + i—sin (mLn) — sin (mLn)
M= c m m (11)
—sin(mLn) cos(mLn )-i—sin(mLn)
m
m
где m = -y/C2 +p2;
C - коэффициент кругового двулучепреломления;
в - коэффициент ЛДП;
L - длина единичного пробега луча по кристаллу.
Состояние поляризации световой волны на выходе ЧЭ при линейной поляризации на входе описывается вектором Максвелла
А =
Ех
ЕУ.
где Ех, Еу - компоненты напряженности электрического поля световой волны. Для многопроходной схемы ВОД (рис.
3) с четным числом проходов луча по кристаллу вектор Максвелла имеет вид
А = R(a)PR(-a)(n M(m2, C2) r ГП
x M(m1,C1))-
(12)
где N = 2(n+1), n = 0, 1, 2
130
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
а - это угол между разрешенными направлениями входного и выходного поляризаторов;
- матрица идеального линейного поляризатора;
R(a) - матрица поворота на угол а в двумерной прямоугольной системе координат;
M(m1 C,) и M(m2 C2) - матрицы Джонса для кристалла со структурой силленита, описывающие соответственно прямой и обратный пробеги луча света С, = 9 + F;
C2= 9 - F; т\ = VCl2+p2; тт =^С22+р2-Интенсивность света I на выходе ЧЭ, определяется как I = А+А и представляет собой сложную функцию, зависящую от магнитного поля Н от протекающего электрического тока и параметров ЧЭ
I = А А = I (H, V; 9, в, Ln, N), (13)
где Ln и N - длина одиночного пробега луча по кристаллу и число таких пробегов соответственно.
По определению коэффициент преобразования Sравен
S = 1/Io [dI(H,p,Ln,N, 9) /dH]H=0. (14)
Пренебрегая потерями на отражение от граней кристалла и принимая интенсивность света I0 на входе равной 1, получаем
S =1/Io[dI(H, в, Ln, N, 9) /dH] h=o. (15) В [10] было показано, что в случае eL << п/2, коэффициент преобразования для двухпроходного ЧЭ не зависит от магнитного поля и оптической активности и равен S = 2VL вследствие того, что в схемах с четным числом проходов значения оптической активности вычитаются за прямой и обратный проходы, а фарадеевское вращение складывается. Очевидно, что данный эффект будет иметь место и для любого числа четных проходов по кристаллу за счет взаимной компенсации оптической активности за прямой и обратный проходы и соответствующего возрастания угла Фарадея, и коэффициент преобразования будет расти линейно с ростом длины оптического пути.
Однако, если условие eL >> п/2 не выполняется, то выражения для интенсивности световой волны I на выходе кристалла и ко-
эффициента преобразования ЧЭ становятся сложными функциями параметров кристалла и магнитного поля. Согласно справочным данным различных авторов величина остаточного в для В^^еО20 лежит в пределах (2,3+7,1) рад/ м, поэтому условие eL >> п/2 может нарушаться при L, равном нескольким сантиметрам.
Кроме этого, в многопроходном чувствительном элементе условие малости угла Фарадея (ф << п/2) может нарушаться и это также приведет к нелинейной зависимости I и Н0 или L, связанной с характеристикой пропускания системы поляризаторов ЧЭ.
Проводился численный расчет глубины модуляции света магнитным полем в ЧЭ, которая определялась как отношение интенсивностей света на выходе и входе ЧЭ. Интенсивность света I на выходе многопроходного чувствительного элемента вычисляется по формуле (13) с учетом (12) и на длине волны излучения X = 0,85 мкм (при значении константы Верде V = 3Д-10-4 град/Э-мм и оптической активности 9 = 9,6 град/мм).
На рис. 4 приведены расчетные зависимости глубины модуляции к от полной длины оптического пути L в ЧЭ при единичной длине
Рис. 3. Оптическая система многопроходного чувствительного элемента: 1 - источник излучения; 2 - оптические волокна; 3 - градиентные линзы; 4, 7 - призменные поляризаторы; 5 - кристалл В112веО20; 6 - диэлектрические зеркала; 8 - фотоприемник; 9 - ротатор п/4
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
131
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рис. 4. Зависимость глубины модуляции m многопроходной системы с четным числом пробегов ЧЭ ВОД от полной длины оптического пути L для длины единичного пробега Ln = 0,0087 м и линейным двулучепреломлением: 1 - в = 0 рад/м; 2 - в = 4,7 рад/м. Амплитуда магнитного поля от протекающего электрического составляла 80 кА/м
пробега Ln = 8,7мм в случае в = 0 (кривая 1) и в = 4,7рад/м (кривая 2) для величины магнитного поля Н = 8-10 А/м. Из этого рисунка видно, что уже при двух проходах коэффициенты модуляции начинают различаться и увеличение полной длины оптического пути L за счет увеличения числа проходов луча в кристалле при наличии ЛДП не дает увеличения глубины модуляции, а наоборот, может привести к ее уменьшению. В общем случае при измерении сильных магнитных полей глубина модуляции при учете ЛДП имеет периодическую зависимость от длины пути L. Однако это имеет место не для всех длин единичных проходов Ln. Как показали расчеты, существует интервал таких значений Ln , при которых влияния ЛДП не наблюдается до значений L, равных нескольким метрам.
Из графика видно, что наличие остаточного ЛДП приводит к нелинейной зависимости коэффициента преобразования от длины оптического пути. Физически это объясняется тем, что в среде, обладающей круговым и линейным двулучепреломлением, собственные волны являются не линейно, а эллиптически поляризованными, то есть возникает дополнительный сдвиг фаз, зависящий от L.
Однако можно подобрать такие длины кристалла, при которых влияние ЛДП (по крайней мере в пределах в < 7,1 рад/м) на глубине модуляции практически не сказывается. Следовательно, при конструировании многопроходных ЧЭ ВОД электрического тока на основе кристаллов В^^еО20 существенным является выбор длины единичного пробега света в кристалле.
Выводы
1. Последние достижения магнито-оптикоэлетроники создают предпосылки для создания надежных и малогабаритных волоконно-оптических датчиков, предназначенных для бесконтактного измерения и контроля электрического тока в сигнальных и силовых цепях радиоэлектронной аппаратуры, силовых проводах и кабелях.
2. Наиболее перспективным для создания датчиков является использование эффекта Фарадея в магнитооптическом кристалле со структурой силленита (bi12Si О20, В^^еО20 В^2Т О20), расположенном в разрыве волоконно-оптического тракта датчика. Их преимуществами являются высокое значение констан-
132
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2014
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ты Верде, слабая зависимость от температуры, стабильность оптических свойств, малые габариты, доступность и технологичность.
3. Проведенный теоретический анализ и полученные экспериментальные результаты показывают, что среди возможных к реализации оптических систем чувствительных элементов датчиков (однопроходная система, двухпроходная система, многопроходная система) в силу широкого динамического диапазона, низкой достигаемой основной и дополнительной погрешностей, простоте и функциональности оптимальной является однопроходная система чувствительного элемента
Библиографический список
1. Бурков, В.Д. Научные основы создания устройств и систем волоконно-оптической техники / В.Д. Бурков, Г. А. Иванов. - М.: МГУЛ, 2008.
2. Бурков, В.Д. Экоинформатика: Алгоритмы, методы и технологии: монография / В.Д. Бурков, В.Ф. Крапивин. - М.: МГУЛ , 2009.
3. Бурков, В.Д. Теория, расчет и проектирование приборов и систем: лабораторный практикум / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, Т.В. Потапов, М.Е. Удалов. - М.: МГУЛ, 2010.
4. Бурков, В.Д. Теория, расчет и проектирование волоконно-оптических приборов и систем: практикум / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов. - М.: МГУЛ, 2011.
5. Бурков В.Д. Отработка технологических параметров и режимов изготовления волоконно-оптических световодов методом регрессионного анализа.
Учебно-методическое пособие / В.Д. Бурков, В.А. Беляков, Д.А.Голодушкин, А.И. Кофанов и др.
- М.: МГУЛ, 2013.
6. Бурков, В.Д. Испытательный стенд для исследования оптических и волоконно-оптических приборов и систем / В.Д. Бурков, Л.В. Леонов, С.В. Перминов, И.А. Урванцев, и др. // Вестник МГУЛ
- Лесной вестник. - № 3. - 2012. - С. 180-183.
7. Бурков, В.Д. Лабораторный комплекс «Математическое моделирование чувствительного элемента волоконно-оптического датчика магнитного поля и электрического тока» / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, С.И. Чумаченко, М.Е. Удалов и др. // Свидетельство ОФАП об отраслевой регистрации разработки МГУЛ № 2561 от 17.06.2003.
8. Бурков, В.Д. Лабораторный комплекс «Моделирование технологического процесса измерения параметров волоконно-оптических световодов и волоконно-оптических кабелей» / В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, С.И. Чумаченко, М.Е. Удалов и др. // Свидетельство ОФАП об отраслевой регистрации разработки МГУЛ № 2562 от 17.06.2003.
9. Базаров, Е.Н. Лабораторный практикум по волоконно-оптической технике / Е.Н. Базаров, В.Д. Бурков, В.Т. Потапов, Ю.К. Чаморовский. - М.: МГУЛ, 1998.
10. Бурков, В.Д. Миниатюрный волоконно-оптический датчик электрического тока / В.Д. Бурков, А.Н. Демин // Сб. науч. статей докторантов и аспирантов МГУЛ, 2013. - С. 31-39.
11. Патент РФ № 2213356, В.Д. Бурков, Болдырева А.Ю., Исаков В.Н., Кузнецова В.И., Кухта А.В., Малков Я.В., Потапов В.Т., Потапов В.Т., Удалов М.Е., Шалаев В.С. «Волоконно-оптический датчик магнитного поля и электрического тока». За-явл. МГУЛ 28.06.2000, опубл. 27.09.2003.
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В ВЫЕМКЕ
и между двумя телами
В.И. МЫШЕНКОВ, проф. каф. прикл. мат. и мат. моделирования МГУЛ, д-р физ.-мат. наук, Е.В. МЫШЕНКОВА, доц. «НИУ «МЭИ», канд. физ.-мат. наук
Явление отрыва потока встречается во многих отраслях техники, связанных с движением жидкости и газа, и вызывается воздействием различных устройств: уступов, ступенек, выемок и других элементов. Практически при обтекании любого выпуклого тела возникает отрывное течение. Исследованию отрыва потока посвящено много экспериментальных и теоретических работ [1, 2], в которых получен ряд важных результатов. В настоящей работе рассматривается
myshenkov. @mgul.ac.ru отрывное течение, возникающее в выемке и между двумя последовательно расположенными телами при числах Рейнольдса Rex < 200, поскольку при больших числах Rex обнаружилась неустойчивость используемой разностной схемы. Ранее подобные задачи рассматривались для случая течения несжимаемой жидкости и результаты их носили в основном качественный характер [3, 4]. Поскольку задача об обтекании выемки является моделью задачи обтекания иллюминатора
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 2/2014
133
