Анализ и обработка экспериментальных данных при деформировании полимеров и углепластиков Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 5196515393 Е. В. АМЕЛИНА

С. К. ГОЛУШКО В. С. ЕРАСОВ С. В. ИДИМЕШЕВ Ю. В. НЕМИРОВСКИЙ Б. В. СЕМИСАЛОВ А. В. ЮРЧЕНКО Н. О. ЯКОВЛЕВ

Конструкторско-технологический институт вычислительной техники СО РАН, г. Новосибирск Всероссийский научно-исследовательский институт авиационных материалов ГНЦ РФ, г. Москва

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, г. Новосибирск Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск

АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ ПОЛИМЕРОВ И УГЛЕПЛАСТИКОВ

Статья посвящена разработке математического аппарата, предназначенного для обработки и анализа экспериментальных данных, получаемых при испытаниях образцов полимерных матриц и композиционных материалов на их основе. Проведен анализ и предложены пути устранения наиболее значимых артефактов в экспериментальных данных, связанных с особенностями проведения испытаний и измерений. Предложен ряд подходов по аппроксимации получаемых в экспериментах диаграмм деформирования материалов, один из которых основан на полиномиальном и кусочно-полиномиальном приближениях методом наименьших квадратов, другой использует приближения без насыщения. Проведен сравнительный анализ эффективности рассмотренных методов для получения аналитических приближений диаграмм деформирования полимеров и углепластиков при различных видах испытаний. Ключевые слова: полимеры, углепластики, диаграммы деформирования, обработка экспериментальных данных.

Введение. Углепластики являются перспективными композиционными материалами, область применения которых постоянно расширяется. В настоящее время они активно применяются в конструкциях и сооружениях ответственного назначения: в авиа- и ракетостроении, в космической технике, в гражданском и промышленном строительстве.

Наличие возможности правильного предсказания поведения углепластиков в различных условиях эксплуатации является необходимым фактором успешного проектирования и применения композитных конструкций и сооружений. Нелинейное деформирование углепластиков, различное поведение при растяжении и сжатии, ярко выраженная анизотропия свойств, существенная зависимость

характеристик композитов от их структурных параметров требуют разработки и применения новых структурных моделей материала [1—2].

При построении структурных математических моделей композиционных материалов исследователи используют набор базовых экспериментов по деформированию композита в целом и его отдельных компонент. Анализ полученных наборов данных позволяет сформулировать ряд гипотез о деформировании композита и характере его разрушения, которые и становятся основой математической модели.

Цель настоящей работы заключается в разработке математического аппарата, предназначенного для обработки и анализа экспериментальных данных, получаемых при испытаниях полимерных матриц и углепластиков, приведении этих данных

45

Я! С

& ж

I

ф Ш к а с га X

30

15

- V / *

- 4? S

s / у

/ / S ¿г / tjr У

0 0.005 0.01 0.015 0.02

Деформация

Рис. 1. Диаграммы деформирования связующего материала ВСЭ-1212

2.5

11,5

к Ц

ё 1

0.5

2 обр. ца

0.5 1 1.5

Датчик деформации, %

Рис. 2. Диаграммы растяжения (а) и сжатия (б) образцов полимерной матрицы ВСЭ-1212 до обработки

к формату и виду, удобному для построения математических моделей современных композиционных материалов.

Постановка задачи и подходы к ее решению.

В ФГУП «ВИАМ» ГНЦ РФ создан углепластик ВКУ-28 — перспективный композиционный материал, разработанный для авиационной промышлен-

ности, представляющий собой волокнистый композит с углеродным наполнителем марки Torayca Industries T-800, а в качестве связующего материала используется высокодеформативная эпоксидная смола ВСЭ-1212.

В рамках проекта «Разработка и совершенствование технологий проектирования и создания новых перспективных композиционных материалов (углепластиков) и конструкций из них для авиационной и других отраслей промышленности», поддержанного грантом РФФИ № 13-01-12032-офи_м, разработана программа испытаний и реализован комплекс экспериментов на растяжение, сжатие, трех- и четырехточечный изгиб образцов полимерной матрицы ВСЭ-1212 и углепластика ВКУ-28.

Для построения и последующего применения математических моделей деформирования углепластиков необходимо провести анализ полученных экспериментальных данных и построенных на их основе диаграмм деформирования, провести анализ артефактов испытаний и измерений, причин их возникновения, разработать методы и алгоритмы для аппроксимации экспериментальных данных аналитическими функциями, провести сравнительный анализ различных форм аналитического приближения диаграмм деформирования и методов их получения.

Обработка экспериментальных данных для различных видов деформирования материала является первым шагом к построению математической модели. При этом технология обработки данных не может быть универсальной, т.к. зависит от многих факторов: методики проведения эксперимента, аппаратуры, состояния образцов и т.д.

В настоящей статье для демонстрации разработанной методики обработки экспериментальных данных ограничимся рассмотрением двух видов испытаний: растяжением и сжатием. Все испытания проведены при нормальных условиях согласно ГОСТ 4651, 11262, 25.601, 25.602.

На рис. 1 представлены усредненные диаграммы деформирования образцов матрицы ВСЭ-1212 при растяжении и сжатии.

Для традиционных материалов, например, металлов, диаграммы растяжения и сжатия близки, особенно при малых деформациях. Однако для рассматриваемого полимера это не так. Секущие модули упругости матрицы при сжатии и растяжении отличаются почти в 2 раза, т.е. полимерный материал является разносопротивляющимся. Из рис. 1 также следует, что диаграмма на сжатие практически линейна, тогда как диаграмма при растяжении имеет нелинейный вид. Эти эффекты должны быть учтены при построении соответствующей математической модели.

На рис. 2 приведены графики зависимости удлинений от нагрузки при растяжении и сжатии для образцов связующего материала ВСЭ-1212.

Наряду с образцами полимерных матриц, были рассмотрены образцы углепластика ВКУ-28, при изготовлении которых все волокна были уложены в одном направлении (однонаправленный углепластик).

На рис. 3а представлены результаты испытаний на растяжения и сжатие экспериментальных образцов углепластика ВКУ-28 вдоль направления укладки волокон. В экспериментах на растяжение хорошо виден эффект упрочнения (увеличение секущего модуля упругости), который отмечался и в других работах [3]. В отличие от связующего

Рис. 3. Диаграмма деформирования углепластика ВКУ-28: (а) — нагрузка приложена вдоль направления укладки волокон, (б) — поперек волокон

0.05 0.1 0.15 ~ " 5 6 7

Датчик деформации, % Перемещение траверсы, мм

Рис. 4. Обработка артефактов измерений: (а) — устранение эффекта поджатия цепочки; (б) — устранение пилообразных артефактов проскальзывания на диаграммах растяжения

материала, углепластик не проявляет эффекта раз-носопротивляемости при совпадении направления нагружения с направлением армирования, однако если приложить силу поперек направления укладки волокон, то этот эффект вновь имеет место (рис. 3б).

Обработка экспериментальных данных. При

обработке экспериментальных данных необходимо избавиться от артефактов, получаемых на экспериментальных установках, а также преобразовать эти данные в значения величин, необходимые для построения соотношений упругости. Это касается, например, восстановления деформаций по значениям перемещений траверсы экспериментальной установки.

На основе анализа полученных диаграмм деформирования и стандартов испытаний был выдвинут ряд гипотез, позволяющих исключить артефакты измерений. Первым из таких артефактов является начальный участок диаграммы деформирования при испытаниях материала на сжатие (рис. 4а), на котором наблюдается нетипично быстрый рост деформаций, замедляющийся впоследствии, что более характерно для пористых или сотовых мате-

риалов. Подобный эффект отмечен и в работе [4]. Наиболее вероятной причиной возникновения этого артефакта является поджатие цепочки испытательной машины, которое отражается на диаграмме при измерении перемещений по ТУ. Для устранения этого артефакта применялись гипотезы о том, что на начальной стадии жесткость материала максимальна и деформирование происходит практически линейно, следовательно, соответствующая диаграмма на начальном участке также должна быть близка к линейной.

Другой артефакт измерения в испытаниях проявляется в виде пилообразных скачков (резких снижений измеряемых значений силы) на диаграмме растяжения углепластика ВКУ-28 (рис. 4б). Такое поведение не может быть обусловлено начальным разрушением материала, например, вследствие возникновения трещин, поскольку угол наклона диаграммы в проведённых экспериментах сохраняется. Более вероятно, что рассматриваемый эффект связан с проскальзыванием образца в зажимах. Для восстановления диаграмм деформирования следует исходить из гипотезы о непрерывности и гладкости диаграммы вплоть до момента возникновения

160

га 120

¥

1 80 *

к а с

га

I 40

* * и .......

- 7 1

й/

//

0.06 0.12 Деформация

0.18

Рис. 5. Аппроксимация экспериментальных данных (пунктир): (а) — полиномами /(х), (б) — полиномами без свободного члена /*(х), (в) — кусочно-полиномиальными функциями Р.(х), (г) — полиномами на основе метода без насыщения р.(х)

в образце очагов начального разрушения. Для этого необходимо «склеивать» участки диаграммы на скачках путем переноса участка диаграммы справа от скачка вдоль оси напряжений так, чтобы сохранить непрерывность и гладкость кривой.

Как было отмечено выше, полученные из экспериментов данные необходимо преобразовать в значения величин, необходимые для построения соотношений упругости. Восстановление деформаций и напряжений для каждого способа измерения определяется методологией, описанной в ГОСТах или соответствующей документации.

Аппроксимация экспериментальных данных. Следующей важной задачей при обработке экспериментальных данных является аппроксимация экспериментальных диаграмм деформирования гладкими функциональными зависимостями, удобными в смысле применения операторов дифференцирования и интегрирования.

Такие зависимости должны быть легко вычислимы в любой точке диаграммы и должны обеспечивать достаточно точное приближение экспериментальных данных. Важно помнить, что чем более сложный вид аппроксимации используется, тем более сложная задача возникает при анализе напряженно-деформированного состояния конкретной конструкции.

Для построения приближений рассмотрено два подхода. Первый опирается на аппарат метода наименьших квадратов (МНК) [5]. При этом для учёта всех особенностей диаграмм деформирования используется большое количество экспериментальных данных (в текущих исследованиях использовано несколько тысяч измерений).

Второй подход, реализованный с помощью методов приближения без насыщения [6 — 7], напротив, минимизирует количество необходимых экспериментальных данных, позволяя строить приближения, используя только несколько пар значений напряжения-деформации (достаточно от 3-х до 7 выборочных измерений).

Для демонстрации и сравнения различных видов аппроксимаций рассмотрим диаграмму сжатия полимерной матрицы, т.к. она имеет наиболее сложный, с точки зрения аппроксимации, вид.

Рассмотрим аппроксимирующую функцию

к

в виде /(х) = ^bsgs(х), хе[х0,х1], где Ь!! — неизвестные коэффициенты, д(х) — известные функции, х0 и х1 — границы промежутка, на котором аппроксимируются данные. Для поискапараметров с помощью МНК необходимо разрешить переопределенную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Погрешность аппроксимации для разных способов аппроксимаций

Таблица 1

Д (о) 8МБ Д (о) 8МБ Д (о) X* 8МБ Д (о) 8МБ

Д 1,33x10-! Д1* 2,35х10-1 Сп 0,1015 5,49х10-3 Р1 1,47х10-1

Дп 5,28х10-2 Дп* 6,57х10-2 аз 0,0851 1,91х10-3 Рп 6,4х10-2

Дз 1,05х10-2 Дз* 1,15х10-2 С4 0,0895 4,46х10-4 Рз 1,5х10-2

Д4 8,78х10-3 Д4 1,14х10-2 Р 4 1,2х10-2

Д5 5,12х10-3 Д* 5,52х10-3 Р5 6,4х10-3

Рб 2,6х10-3

Для численного сравнения точности различных видов аппроксимаций используем величину относительного среднеквадратичного о тклонения функции Д(х) от исходных данных р(е1)

БМБ = -

тах р(е,)

/=1,...М

П м

& ЕД тV р)12

(1)

Полиномиальная аппроксимация. При полиномиальной аппроксимации приближающая функция Д(х) представляет собой многочлен вида Д(х) = Ъд+Ъ1х+Ъ2х2+---+Ъкхк. Преимущества представления искомой функции в виде полиномов заключаются в широких возможностях по построению аппроксимаций требуемой точности и удобной аналитической работой с ними.

На рис. 5 приведены результаты аппроксимации экспериментальных диаграмм с помощью полиномов до пятой степени включительно. Аппроксимации полиномами первой (к=1) и второй (к = 2) степени не являются удовлетворительными, тогда как полиномы третьей степени (к = 3) намного лучше описывают экспериментальные данные (табл. 1). По значениям среднеквадратичного отклонения видно, что использование полиномов 4-й степени не приводит к значительному улучшению точности приближения. Поэтому, выбирая между полиномами 3-й и 4-й степеней, остановимся на 3-й степени. Полиномы 5-й степени аппроксимируют экспериментальные данные с высокой точностью.

Кусочно-полиномиальная аппроксимация. Другим перспективным подходом к аппроксимации экспериментальных данных является применение кусочно-полиномиальной аппроксимации. Такой подход позволяет снизить обусловленность СЛАУ, избавиться от осцилляций, не имеющих физического смысла, и как следствие получить приближение высокой точности. В случае кусочно-полиномиальной аппроксимации:

С т X) =

Дто), X я [х0, X*), ДМ, хя [х*,Х1],

где х* — точка склейки, Дп'(х) — полином степени п.

Точка склейки выбиралась автоматически последовательным перебором с малым шагом, так чтобы обеспечить наименьшее значение среднеквадратичного отклонения от исходных данных. Условия согласования задавались с учётом свойства гладкости диаграмм деформирования, т.е. в точке склейки требовалась непрерывность значений функции и её производной.

Рассмотрим кусочно-полиномиальную аппроксимацию двумя полиномами второй, третьей и четвёртой степени (рис. 5). Аппроксимация полиномами второй степени хорошо приближает экспериментальную кривую в среднеквадратичном смысле, но имеется участок, близкий к точке склейки, где видно отклонение. Использование полиномов третьей степени нивелирует визуальные отличия экспериментальных данных и приближающей функции. Такая кусочно-полиномиальная функция, как и полином 5 степени, имеет 6 варьируемых коэффициентов, но аппроксимирует данные точнее и не осциллирует. Приближения двумя полиномами четвёртой степени представляют самую точную аппроксимацию, полученную в ходе проведения исследований (табл. 1).

Аппроксимация с помощью методов без насыщения. Предположим, что механические свойства рассматриваемого материала таковы, что диаграммы деформирования обладают высокой степенью гладкости. Используя это свойство, можно минимизировать объём экспериментальной информации, необходимой для построения достаточно точных аппрокситаций. Воспользуемся для этого приближениями без несыщения онтерполяционными полиномами с узлами Чебышёва [6 — 7]

Рм (Р) =

1

-о уЮлр-

г П

(2)

Здесь гт = сст

тм+1) т=о

х ссъТМ агссс8/) (2т - 1)ж-

г - г

(3)

2М

узлы интерполяции,

которые являютсп корнями полинома Чебышёва

1

х

степени М; p(t) — пр иближаемая функция, отображенная на отрезок [—1, 1] линейным преобразованием t =-2-fx - ^Äj, t g[-1,1], x e[0, x1 ]; M

(xi -x0) V 2 ) — степень полинома. Указанные полиномы позволяют на гладких функциях достичь оценки точности с асимптотикой наилучших приближений, т.е. минимизировать число свободных параметров в представлении решения. Таким образом, приближения (3) используют минимальное количество узлов для восстановления решения с достаточной точностью. Приближения экспериментальной зависимости напряжений от деформаций а = f (s) полиномами (3) представлены на рис. 5.

Заключение. Рассмотренные выше подходы не исчерпывают всех возможностей по построению символьных математических формул, приближающих исходные данные, но дают представление о необходимых и достаточных пределах аппроксимации, с точки зрения требований по точности, и высокую вариативность выбора конкретных математически форм для использования в структурных моделях углепластика и конструкционных элементов на его основе.

Библиографический список

1. Vasiliev, V. V. Advanced Mechanics of Composite Materials / V. V. Vasiliev, E. Morozov. — 2-nd Edition. — Elsevier Science, 2007. - 504 р.

2. Голушко, С. К. Прямые и обратные задачи механики композитных пластин и оболочек вращения / С. К. Голушко, Ю. В. Немировский. — М. : Физматлит, 2008. — 432 с. — ISBN 978 — 5 — 9221—0948 — 2.

3. Lagace, P. A. Nonlinear stress-strain behavior of graphite/ epoxy laminates / P. A. Lagace // AIAA Journal. — 1985. — Vol. 23, № 10. — P. 1583—1589.

4. Адамов, А. А. Численная обработка экспериментальных данных, полученных с использованием современных испытательных машин, для идентификации реологических моделей / А. А. Адамов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2013. — Т. 6, № 2. — С. 131 — 139.

5. Лоусон, Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Ч. Лоусон, Р. Хенсон. — М. : Наука. — 1986. — 232 c.

6. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Ба-бенко. — М., Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2002. - 358 с.

7. Семисалов, Б. В. Нелокальный алгоритм поиска решений уравнения Пуассона и его приложения / Б. В. Семисалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54., №7. - С. 1110-1135.

АМЕЛИНА Евгения Валерьевна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Конструкторско-технологического института вычислительной техники (КТИ ВТ) СО РАН, г. Новосибирск.

ГОЛУШКО Сергей Кузьмич, доктор физико-математических наук, доцент, директор КТИ ВТ СО РАН, г. Новосибирск; заведующий лабораторией анализа и оптимизации нелинейных систем Института вычислительных технологий (ИВТ) СО РАН, г. Новосибирск.

ЕРАСОВ Владимир Сергеевич, кандидат технических наук, начальник лаборатории Всероссийского научно-исследовательского института авиационных материалов (ВИАМ) ГНЦ РФ, г. Москва. ИДИМЕШЕВ Семен Васильевич, младший научный сотрудник КТИ ВТ СО РАН, г. Новосибирск. НЕМИРОВСКИЙ Юрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института теоретической и прикладной механики СО РАН, г. Новосибирск. СЕМИСАЛОВ Борис Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник КТИ ВТ СО РАН, г. Новосибирск. ЮРЧЕНКО Андрей Васильевич, кандидат физико-математических наук, заместитель директора ИВТ СО РАН, г. Новосибирск.

ЯКОВЛЕВ Николай Олегович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник ВИАМ ГНЦ РФ, г. Москва.

Адрес для переписки: amelinaev@kti.sbras.ru

Статья поступила в редакцию 11.09.2015 г. © Е. В. Амелина, С. К. Голушко, В. С. Ерасов, С. В. Идимешев, Ю. В. Немировский, Б. В. Семисалов, А. В. Юрченко, Н. О. Яковлев

Книжная полка

51/Б94

Буховец, А. Г. Алгоритмы вычислительной статистики в системе К : учеб. пособие для вузов по направлению «Прикладная информатика» / А. Г. Буховец, П. В. Москалев. - 2-е изд., перераб. и доп. -СПб. : Лань, 2015. - 147 с.

В учебном пособии в краткой форме излагается теоретический материал и приводятся примеры решения практических задач по разделам: линейная алгебра, теория вероятностей, методы оценивания и проверки гипотез, метод главных компонент, регрессионный и кластерный анализ с применением свободной системы статистической обработки данных и программирования Я. В приложениях к настоящему пособию содержатся сведения по установке и использованию системы Я, а также листинги программ, которые могут быть использованы в учебном процессе.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Прикладная информатика», программа которых предусматривает изучение современных средств и методов вычислительной статистики.