CC BY
25
УДК 681.518.5:004.052.32 Д. А. Никитин
АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ОПТИМАЛЬНЫХ КОДОВ С СУММИРОВАНИЕМ, ПОЛУЧЕННЫХ НА ОСНОВЕ ВЗВЕШИВАНИЯ РАЗРЯДОВ ИНФОРМАЦИОННЫХ ВЕКТОРОВ, В СИСТЕМАХ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО КОНТРОЛЯ
Дата поступления: 25.11.2016 Решение о публикации: 16.12.2016
Цель: Исследование особенностей модульных взвешенных кодов и модифицированных взвешенных кодов при организации систем функциональной диагностики. Методы: Используются методы теории информации и помехоустойчивого кодирования, теории дискретных устройств и технической диагностики дискретных систем. Результаты: Описаны правила построения различных модификаций взвешенных кодов с суммированием, исследованы обнаруживающие характеристики этих кодов. Результаты исследований показали, что возможно построение двух различных модификаций кодов, которые дают наилучшие результаты с точки зрения обнаружения искажений и являются оптимальными при фиксированных длинах информационных и контрольных векторов. Эксперименты с набором контрольных комбинационных схем показали, что возможно построение систем функционального контроля с помощью модульного взвешенного кода с суммированием и модифицированного кода с суммированием, которые полностью исключают необнаруживае-мые ошибки для некоторых контролируемых схем. Также проведено изучение характеристик аппаратной избыточности систем функционального контроля, построенных по представленным кодам. При реализации таких систем функционального контроля наглядно продемонстрированы преимущества одного типа кодирования перед другим на каждом конкретном примере из набора тестовых комбинационных схем LGSynth89. Практическая значимость: Использование различных модификаций кодов с суммированием позволяет проектировать системы функционального контроля, полностью исключающие вероятность возникновения необнаруживаемого искажения, а также обладающие небольшой аппаратной избыточностью.
Система функционального контроля, код Бергера, взвешенный код с суммированием, модульно взвешенный код с суммированием, модифицированный взвешенный код с суммированием.
Dmitrij A. Nikitin, postgraduate, nikitin239@gmail.com (Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University) RESPONSE ANALYSIS OF OPTIMUM SUM CODES OBTAINED BASED ON WEIGHING DATA VECTOR BITS IN FUNCTIONAL CONTROL SYSTEMS
Objective: Assess the specifics of weighted modular codes and modified weighted codes in organizing functional diagnostics systems. Methods: Methods of information theory and error-control coding, theory of discrete devices and technical diagnostics of discrete systems. Results: Rules for building different versions of weighted sum codes were described and distinctive characteristics of such codes examined. The research results have shown that it is possible to build two different versions of codes granting best results in terms of error detection and which are optimal at fixed lengths of data and control vectors. Experiments with combinational circuit setups have shown that it is possible to build functional control systems using modular weighted sum code and modified sum code that will fully rule out undetectable errors for certain controlled circuits. Additionally, hardware redundancy research was performed for the functional control systems built using the codes presented. In implementing such
functional control systems, advantages of one type of coding over the other were notably illustrated using each specific example from the set of test combinational circuits LGSynth89. Practical importance: The use of different versions of sum codes allows to plan functional control systems fully ruling out the possibility of undetectable errors and with little hardware redundancy.
Functional control system, Berger code, weighted sum code, modular weighted sum code, modified weighted sum code.
Введение
При организации систем функционального контроля используются коды с суммированием [1, 2]. Структура системы функционального контроля на основе разделимого кода представлена на рис. 1. В ее состав входит арифметико-логическое устройство F(x), реализующее систему булевых функций / /2, ..., />, блок контрольной логики С(х), вычисляю -щий значения контрольных булевых функций <^1, g2, ..., g> на основе входных воздействий, а также самопроверяемый тестер, который фиксирует соответствие между вычисленными значениями выходов блоков информационной и контрольной логики [3, 4].
Такое соответствие определяется с помощью применяемого кода с суммированием. Выходы блока контролируемого устройства
отождествляют с информационным вектором с т разрядами, а выходы блока О(х) - с контрольным вектором длины к. От выбора кода и его модификаций зависят такие важнейшие параметры систем функционального контроля как аппаратная избыточность и обнаруживающая способность системы.
Модификации взвешенных кодов с суммированием
В основе правил построения классического кода с суммированием, или кода Бергера [5], лежит сложение единичных информационных разрядов и дальнейшее представление полученного числа в двоичной форме в качестве контрольного вектора. Классический код с суммированием обозначается как £(т,к)-код, из-
Рис. 1. Структурная схема системы функциональной диагностики
быточность его равна к = |~^2(т +1) (запись ГЫ означает целое сверху от Ь). При распределении всех возможных информационных слов по контрольным группам в коде Бергера наблюдается неравномерность количества векторов в каждой группе в табл. 1, что приводит к тому, что кодом не обнаруживается 50 % двукратных ошибок, 37,5 % четырехкратных ошибок, 31,5 % шестикратных ошибок [6, 7].
Также могут быть построены различные модификации кодов с суммированием, в которых улучшены обнаруживающие характеристики по сравнению с классическими. В работе [8] было введено понятие оптимального кода, в котором при фиксированных значениях т и к информационные вектора распределены максимально равномерно по контрольным группам, такой код получил название оптимального и не обнаруживает в разы меньше искажений, чем классический код с суммированием. Для т = 4 в каждой контрольной группе будет содержаться по 2 информационных вектора из возможных 16 векторов; пример такого распределения представлен в табл. 2.
Оптимальный код с т = 4 имеет всего 16 необнаруживаемых искажений, а код Бер-
гера 8(4,3) не обнаруживает 54 искажения. Введем понятие эффективности кода, как отношение количества необнаруживаемых искажений в оптимальном коде к числу необна-руживаемых искажений в рассматриваемом коде. Данный коэффициент является относительной характеристикой, обозначается ^ и вычисляется по формуле
Эффективность рассматриваемого кода тем лучше, чем ближе значение ^ к единице. Эффективность классических кодов с суммированием редко превосходит значение 0,3 и никогда не поднимается выше 0,5 [8].
Также введем характеристику для определения обнаруживающих свойств кода, как отношение числа необнаруживаемых ошибок в коде к числу всех возможных возникающих искажений. Данный параметр обозначается, как у, и характеризует обнаруживающую способность кода. Классический код с суммированием не обнаруживает около 20 % от всех возникающих искажений [9, 10].
Улучшение свойств обнаружения ошибок кодами с суммированием достигается путем
ТАБЛИЦА 1. Распределение информационных векторов 8(4,3)-кода
Контрольные группы
0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0001 0011 0111 1111
0010 0101 1011
0100 0110 1101
1000 1001 1110
1010
1100
Контрольные группы
0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0001 0011 0111 1111 0110 1010 1101
1000 0010 0101 1011 0100 1001 1100 1110
ТАБЛИЦА 2. Пример одного из распределений информационных векторов
оптимального кода при т = 4
взвешивания разрядов заранее установленными натуральными числами [11-14].
Одним из способов повышения эффективности кода является применение взвешивания информационных разрядов прямой последовательностью натуральных чисел [15, 16], где контрольный вектор подсчитывается по следующему правилу:
т
ж = /.
1=1
Такой код назовем взвешенным кодом с суммированием, при его использовании снижается количество необнаруживаемых искажений, но при этом избыточность кода гораздо выше, чем в классическом коде с суммированием. Рассмотрим применение модульных принципов построения кода на основе взвешенного кода с суммированием. Выберем модуль такой же, как в коде Бергера [17]
Гк«2( т+1) 1
М = 2 , и представим суммарный век-
тор взвешенного кода с суммированием по данному модулю. Такой код называется модульным взвешенным кодом с суммированием и обозначается, как Ж5М(т,к). Рассмотрим перераспределение информационных векторов в (4,3)-коде по сравнению с классическим кодом с суммированием (табл. 3).
Данный алгоритм построения позволяет получить оптимальный код с точки зрения обнаружения искажений при фиксированных т, к и имеет 16 необнаруживаемых ошибок при
т = 4. Дальнейшие эксперименты показали, что для любых т этот метод дает возможность построить оптимальные коды с минимумом необнаруживаемых искажений.
Рассмотрим другую модификацию взвешенного кода с суммированием, основанную на использовании специального поправочного коэффициента [8]. За основу также берется код с суммированием с прямой последовательностью весов, далее вес информационного вектора Ж рассчитывается по модулю
М = 2^°®2 (т+1)-11. Затем рассчитывается поправочный коэффициент модификации а, как сумма по модулю 2 (ХОК) произвольного, заранее установленного, числа информационных разрядов. Результирующий контрольный вектор вычисляется, как Ж(тойМ) + аМ и записывается в двоичном виде. Назовем данный метод модификации ЯЖБ (т, к)-кодом.
Для примера возьмем (4,3)-код и применим ЯЖБ (т,к)-алгоритм модификации кода. В табл. 4 представлены результаты распределения информационных слов ЯЖБ (4,3)-кода с а, равным сумме по модулю 2 второго и четвертого информационных разрядов.
Модифицированный взвешенный (4,3)-код также является оптимальным и имеет 16 необнаруживаемых искажений. Дальнейшие эксперименты показали, что при определенном выборе коэффициента а для всех т = 2^20 этот алгоритм модификации позволяет построить оптимальный код. Однако су-
ТАБЛИЦА 3. Распределение информационных векторов ЖБМ (4,3)-кода
Контрольные группы
0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0111 0100 0010 0001 0110 0101 0011
1011 1000 1111 1100 1010 1001 1110 1101
ТАБЛИЦА 4. Распределение информационных векторов ЯЖ£(4,3)-кода
Контрольные группы
0 1 2 3 4 5 6 7
0000 0111 0101 0010 0001 0110 0100 0011
1010 1000 1111 1101 1011 1001 1110 1100
ществуют такие модифицированные взвешенные коды, которые полностью теряют свои помехоустойчивые свойства при «неудачных» выборах подсчета коэффициента а.
На рис. 2 приведен сравнительный анализ обнаруживающей способности для Б(т,к), ЖЗМ(т,к) и ЯЖЗ(т,к) оптимальных кодов. Из него можно сделать вывод, что обнаруживающая способность кода с суммированием в несколько раз хуже, чем у остальных кодов. Как известно, чем меньше значение показателя у, тем больше ошибок обнаруживает код.
Полученные ЖБМ(т,к)- и ЯЖ£(т,к)-коды являются оптимальными при фиксированных значениях т и к, их эффективность всегда равна единице, они обладают одинаковой обнаруживающей характеристикой и могут быть сравнены между собой, так как имеют одинаковую избыточность.
Эксперименты с контрольными комбинационными схемами
Так как в общем виде оба кода не обнаруживают одинаковое количество искажений в
информационных векторах, целесообразно проверить эффективность их применения на практике. За основу возьмем набор тестовых комбинационных схем из пакета Ь08уп1Ъ89 [18] и произведем эксперименты по сравнению обнаруживающей способности систем функционального диагностирования, построенных с использованием ЖМ(т,к)- и ЯЖ8(т,к)-кодов с а, которое вычисляется, как сумма по модулю два всех четных разрядов. Результаты экспериментов представлены в табл. 5.
Так как оба кода являются оптимальными с точки зрения обнаружения ошибок при фиксированных значениях т и к, доля необ-наруживаемых искажений в системах функционального контроля с использованием контрольных примеров сравнительно небольшая. В большинстве схем количество необнаружи-ваемых ошибок равно нулю. Для некоторых примеров лучшими обнаруживающими способностями обладает модульный код с прямой последовательностью весов Ж8М(т,к), для некоторых - наоборот, модифицированный взвешенный ^Ж^(т,к)-код, но выявить однозначного лидера с точки зрения обнаруживающей способности нельзя.
У
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
- 8(т,к)
- /\ №8М(т п,к)/Я Шт,к )
- / \
\
\
10
12
14
16
18
20 т
Рис. 2. Обнаруживающая способность кодов с суммированием
Рассмотрим результаты проведенных экс- нального диагностирования. Данный экспери-периментов по занимаемой площади на кри- мент проводился с помощью интерпретатора сталле для реализованной системы функцио- SIS [19], показатели представлены в табл. 6.
ТАБЛИЦА 5. Сравнение обнаруживающей способности на контрольных примерах
№ Контрольная схема Число выходов Общее количество необнаруживаемых ошибок Всего ошибок в схеме
WSM(m,k) RWS(m,k)
1 alu2 6 805 1452 61 988
2 b1 4 0 0 44
3 c17 2 0 0 234
4 cm138a 8 0 0 680
5 cm151a 2 0 0 14 592
6 cm162a 5 6277 6277 317331
7 cm42a 10 0 0 278
8 cm82a 3 4 0 648
9 cm85a 3 0 48 30 912
10 cmb 4 0 0 288218
11 decod 16 0 0 224
12 z4ml 4 0 0 4168
ТАБЛИЦА 6. Сравнение занимаемой площади на контрольных примерах
№ Контрольная схема Площадь контрольной схемы, усл. ед. Площадь системы функционального контроля в stdcell.genlib, усл. ед. о
WSM(m,k) RWS(m,k)
1 alu2 8856 11 280 16 128 0,699
2 b1 304 1144 984 1,163
3 c17 256 560 368 1,522
4 cm138a 560 4576 3656 1,252
5 cm151a 760 312 600 0,52
6 cm162a 1176 4464 3064 1,457
7 cm42a 640 9352 7384 1,267
8 cm82a 656 1160 1328 0,873
9 cm85a 992 1568 1672 0,938
10 cmb 1248 1368 1288 1,062
11 decod 800 20 552 23 400 0,878
12 z4ml 1600 3024 3128 0,967
а1и2 Ы с17 сш138 ст151 ст162 ст42 ст82 ст85 стЬ ёесоё г4т1 Рис. 3. Сравнение занимаемой площади для контрольных примеров
Коэффициент а позволяет определить, во сколько раз занимаемая площадь при использовании взвешенного модульного кода с суммированием с прямой последовательностью весов отличается от площади при применении модифицированного взвешенного RWS(m,k)-кода (рис. 3). При а < 1 выгоднее применять модульные алгоритмы взвешивания с точки зрения занимаемой площади, в случае а > 1 RWS(m,k)-код имеет преимущество при организации систем функционального контроля.
С точки зрения занимаемой площади системы функционального контроля, построенные по разным кодам, также существенно не различаются, среднее значение коэффициента а = 1,0787. По графику, представленному выше, видно, что для 6 схем из 12 выгоднее использовать WSM (т, к)-код, а для остальных 6 - RWS (т, к)-код.
Заключение
В статье описаны методы построения оптимальных взвешенных кодов, исследованы обнаруживающие способности этих кодов, а также представлены результаты проведенных экспериментов на наборе тестовых схем. По
данным результатам можно судить об эффективности использования помехоустойчивых кодов с суммированием при проектировании систем функционального контроля, а также о том, что для каждого контрольного примера метод кодирования стоит подбирать индивидуально в силу особенностей реализации того или иного контролируемого устройства. Также показано, что применение RWS(m,k)- и WSM(m,k)-кодов эффективнее классического кода с суммированием, модульный и модифицированный коды являются оптимальными с точки зрения обнаружения ошибок и обладают одинаковыми обнаруживающими характеристиками с точки зрения общего числа ошибок.
Библиографический список
1. Nicolaidis M. On-Line Testing for VLSI -А Compendium of Approaches / M. Nicolaidis, Y. Zo-rian // Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. - 1998. - N 12. - P. 7-20.
2. Мехов В. Б. Контроль комбинационных схем на основе модифицированных кодов с суммированием / В. Б. Мехов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2008. -№ 8. - С. 153-165.
3. Сапожников Вал. В. Самопроверяемые дискретные устройства / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников. - СПб. : Энергоатомиздат, 1992. - 224 с.
4. Ефанов Д. В. Синтез генераторов тестеров модифицированных кодов Бергера на основе свойств линейных и простых симметричных функций / Д. В. Ефанов // Изв. ПГУПС. - 2014. - Вып. 4. -С.99-109.
5. Berger J. M. A Note on Error Detection Codes for Asymmetric Channels / J. M. Berger // Information and Control. - 1961. - Vol. 4, issue 1. - P. 68-73.
6. Ефанов Д. В. О свойствах кода с суммированием в схемах функционального контроля / Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Автоматика и телемеханика. - 2010. - № 6. -С. 155-162.
7. Сапожников Вал. В. Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов, М. Р. Черепанова // Электронное моделирование. - 2016. - Т. 38, № 2. - С. 27-48.
8. Блюдов А. А. Построение модифицированного кода Бергера с минимальным числом необна-руживаемых ошибок информационных разрядов / А. А. Блюдов, Д. В. Ефанов, Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников // Электронное моделирование. -2012. - Т. 34, № 6. - С. 17-29.
9. Сапожников Вал. В. Предельные свойства кода с суммированием / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Изв. ПГУПС. -2010. - Вып. 3. - С. 290-299.
10. Ефанов Д. В. Три теоремы о кодах Бергера в схемах встроенного контроля / Д. В. Ефанов // Информатика и системы управления. - 2013. - № 1. -С.77-86.
11. Das D. Weight-Based Codes and Their Application to Concurrent Error Detection of Multilevel Circuits / D. Das, N. A. Touba // Proc. 17th IEEE Test Symposium. - California, USA, 1999. -Р. 370-376.
12. Das D. Low Cost Concurrent Error Detection Based on Modulo Weight-Based Codes / D. Das, N. A. Touba, M. Seuring, M. Gossel // Proc. of IEEE 6th Intern. On-Line Testing Workshop (IOLTW). - Palma de Mallorca, Spain, July 3-5, 2000. - Р. 171-176.
13. Сапожников Вал. В. Об одном классе кодов, пригодных для синтеза систем функционального контроля логических устройств / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Вестн. Ростов. гос. ун-та путей сообщения. - 2014. - № 2. -
C. 48-58.
14. Сапожников Вал. В. Взвешенные коды с суммированием для организации контроля логических устройств / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов // Электронное моделирование. -2014. - Т. 36, № 1. - С. 59-80.
15. Сапожников Вал. В. О способах построения кодов с суммированием с минимальным общим числом необнаруживаемых искажений в информационных векторах / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов, Д. А. Никитин // Изв. ПГУПС. - 2014. - Вып. 1. - С. 82-91.
16. Efanov D. Sum Code Formation with Minimum Total Number of Undetectable Errors in Data Vectors / D. Efanov, Val. Sapozhnikov, Vl. Sapozhnikov,
D. Nikitin // Proc. of 13th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2015). - Batumi, Georgia, September 26-29, 2015. - P. 141-148. DOI: 10.1109/ EWDTS.2015.7493112.
17. Сапожников Вал. В. Модульно взвешенный код с суммированием для систем технического диагностирования / Вал. В. Сапожников, Вл. В. Сапожников, Д. В. Ефанов, Д. А. Никитин // Информатика и системы управления. - 2015. - № 3. - С. 53-62.
18. Collection of Digital Design Benchmarks. -URL : http://ddd.fit.cvut.cz/prj/Benchmarks (дата обращения: 17.11.2016).
19. SIS: A System for Sequential Circuit Synthesis / E. M. Sentovich, K. J. Singh, L. Lavagno, C. Moon, R. Murgai, A. Saldanha, H. Savoj, P. R. Stephan, R. K. Brayton, A. Sangiovanni-Vincentelli. - Berkeley, Electronics Research Laboratory, Department of Electrical Engineering and Computer Science, University of California, 4 May 1992. - 45 p.
References
1. Nicolaidis M., Zorian Y. On-Line Testing for VLSI - A Compendium of Approaches. Journal of Electronic Testing: Theory and Applications, 1998, no. 12, pp. 7-20.
2. Mekhov V. B., Sapozhnikov V. V., Sapozhni-kov Vl. V. Kontrol' kombinatsionnykh skhem na os-nove modifitsirovannykh kodov s summirovaniem [Controlling combinational circuts based on modified sum codes]. Automatica i telemechanica [Automatics and telemechanics], 2008, no. 8, pp. 153-165. (In Russian)
3. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V. Samo-proveryaemye diskretnye ustrojstva [Self-calibrating discrete devices]. Saint Peterburg, Energoatomizdat Publ., 1992, 224 p. (In Russian)
4. Efanov D. V. Sintez generatorov testerov modifitsirovannykh kodov Bergera na osnove svojstv line-jnykh i prostykh simmetrichnykh funktsij [Synthesis of data test generators for modified Berger codes based on the properties of linear and simple symmetric functions]. Izvestiya Peterburgskogo universiteta putej soobshcheniya [The St. Petersburg Transport University Bulletin}. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2014, issue 4, pp. 99-109. (In Russian)
5. Berger J. M. A Note on Error Detection Codes for Asymmetric Channels. Information and Control, 1961, vol. 4, issue 1, pp. 68-73.
6. Efanov D. V., Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V. O svojstvakh koda s summirovaniem v skhemakh funktsional'nogo kontrolya [Concerning sum code properties in functional control circuits]. Automatica i telemechanica [Automatics and telemechanics], 2010, no. 6, pp. 155-162. (In Russian)
7. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Efa-nov D. V., Cherepanova M. R. Modulnye kody s sum-mirovaniem v sistemakh funktsional'nogo kontrolya [Modular sum codes in functional control systems] I. Svojstva obnaruzheniya oshibok kodami v informat-sionnykh vektorakh [Properties of error detection by codes in data vectors]. Elektronnoye modelirovanie [Electronic modeling], 2016, vol. 38, no. 2, pp. 27-48. (In Russian)
8. Bljudov A. A., Efanov D. V., Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V. Postroenie modifitsirovannogo koda Bergera s minimal'nym chislom neobnaruzhi-vaemykh oshibok informatsionnykh razryadov [Building a modified Berger code with minimal number of undetectable data bit errors]. Elektronnoye modelirovanie [Electronic modeling], 2012, vol. 34, no. 6, pp. 17-29. (In Russian)
9. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. Predel'nye svojstva koda s summirovaniem
[Ultimate properties of sum code]. Izvestiya Peterburgskogo universiteta putej soobshcheniya [The St. Petersburg Transport University Bulletin]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2010. 3, pp. 290-299. (In Russian)
10. Efanov D. V. Tri teoremy o kodakh Bergera v skhemakh vstroennogo kontrolya [Three theorems on the Berger codes in checker circuits]. Informatika i sistemy upravleniya [Information science and control systems], 2013, no. 1, pp. 77-86. (In Russian)
11. Das D., Touba N. A. Weight-Based Codes and Their Application to Concurrent Error Detection of Multilevel Circuits. Proceedings 17th IEEE Test Symposium. California, USA, 1999, pp. 370-376.
12. Das D., Touba N. A., Seuring M., Gossel M. Low Cost Concurrent Error Detection Based on Modulo Weight-Based Codes. Proceedings of IEEE 6th International On-Line Testing Workshop (IOLTW). Palma de Mallorca, Spain, 2000, 3-5 July, pp. 171-176.
13. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. Ob odnom klasse kodov, prigodnykh dlya sinteza sistem funktsional'nogo kontrolya lo-gicheskikh ustrojstv [On single code class suitable for synthesizing logical unit functional control systems]. Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putej soobshcheniya [The Rostov State University of Transport Bulletin], 2014, no. 2, pp. 48-58. (In Russian)
14. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V. Vzveshennye kody s summirovaniem dlya organizatsii kontrolya logicheskikh ustrojstv [Weighted sum codes for organizing logical unit control]. Elek-tronnoye modelirovanie [Electronic modeling], 2014, vol. 36, no. 1, pp. 59-80. (In Russian)
15. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Efanov D. V., Nikitin D. A. O sposobakh postroeniya kodov s summirovaniem s minimal'nym obshchim chislom neobnaruzhivaemykh iskazhenij v informat-sionnykh vektorakh [On building sum codes with minimum overall number of undetectable errors in data vectors]. Izvestiya Peterburgskogo universiteta putej soobshcheniya [The St. Petersburg Transport University Bulletin], 2014, no. 1, pp. 82-91. (In Russian)
16. Efanov D., Sapozhnikov Val., Sapozhnikov Vl., Nikitin D. Sum Code Formation with Minimum Total Number of Undetectable Errors in Data Vectors. Proceedings of 13th IEEE East-West Design &
Test Symposium (EWDTS'2015). Batumi, Georgia, 2015, 26-29 September, pp. 141-148. DOI: 10.1109/ EWDTS.2015.7493112.
17. Sapozhnikov V. V., Sapozhnikov Vl. V., Efa-nov D. V., Nikitin D. A. Modul'no vzveshennyj kod s summirovaniem dlya sistem tekhnicheskogo diagnos-tirovaniya [Modular weighted sum code for technical diagnostics systems]. Informatika i sistemy upravleniya [Information science and control systems], 2015, no. 3, pp. 53-62. (In Russian)
18. Collection ofDigital Design Benchmarks. URL: http://ddd.fit.cvut.cz/prj/Benchmarks/(retrieved on: 17.11.2016). (In Russian)
19. Sentovich E. M., Singh K. J., Lavagno L., Moon C., Murgai R., Saldanha A., Savoj H.,. Stephan P. R., Brayton R. K., Sangiovanni-Vincentelli A. SIS: a system for sequential circuit synthesis. Berkeley, Electronics research laboratory, Department of electrical engineering and computer science, University of California, 1992, 4 may, 45 p.
НИКИТИН Дмитрий Александрович - аспирант, nikitin239@gmail.com (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).
