Анализ гипотезы Римана Текст научной статьи по специальности «Математика»

АНАЛИЗ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА Кобрушко А.Т.

Кобрушко Анатолий Тимофеевич - пенсионер, г. Пинск, Республика Беларусь

Аннотация: в статье предложен алгоритм идентификации нетривиальных нулей дзета-функции Римана, рекомендована к проверке точная величина вещественной части дзета -функции Римана, предложена тестовая модель для модели Римана, обоснована формула суммы простых чисел с дублерами.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, нетривиальный нуль, простое число, высота интервала, дублеры простых чисел, вещественная часть дзета-функции, тестовая модель.

Формулировка гипотезы:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Казалось бы, проведенные Линделёфом в 1908 году численные эксперименты должны поставить точку в доказательстве выше сформулированной гипотезы. Построенные им графики дзета-функции в достаточно широком диапазоне значений вещественной части дзета-функции (от -3 до 3) убедительно свидетельствуют о правоте Римана: при вещественной части дзета-функции, равной /, график выглядит наиболее компактным, полным и выразительным.

Забегая вперед, отметим, что как показал анализ гипотезы, декларируемая цифра Римана '/2 близка к истине, так как для практических целей идентификация нулей при этом дает приемлемые однозначные результаты.

Но в данном случае вопрос точности величины вещественной части дзета-функции Римана , провозглашенная институтом Клея как суть гипотезы, имеет теоретическое и можно сказать, принципиальное значение.

Математическое сообщество интересует не только это, а вернее не столько это, а доказательство эффективности использования комплексной модели Римана в поисках простых чисел, взаимосвязь нетривиальных нулей и простых чисел.

Кроме этих основных вопросов существенным и любопытным является вопрос большого количества нетривиальных нулей, значительно превышающего интервал исследования и стремительный рост их с высотой

Ответить на последний вопрос стало возможным благодаря созданию альтернативной модели с вещественными числами, которая, в какой- то мере может претендовать в качестве тестовой для модели Римана и, по сути, оказалась ключом к ее разгадке. Визуальное представление предложенной модели показано на рисунке 1.

Как видим, на нем нанесены ряды натуральных чисел: начиная с нуля (слева рисунка) вертикального ряда натуральных чисел и в верхней части рисунка - горизонтального ряда тех же чисел. Под каждым нечетным числом верхнего ряда нанесены вертикальные ряды соответствующих чисел с соответствующими интервалами между ними. Эти числа являются делителями чисел основного вертикального ряда.

На рисунке можно увидеть наклонные ряды чисел (делителей) по прямым исходящим от нуля через каждую тройку. Естественно, что по мере увеличения числа рядов угол наклона их к вертикальному ряду уменьшается, расстояния между смежными делителями в этих очередных рядах увеличивается на 2 единицы.

На первой прямой, проходящей через первую тройку (по счету сверху вниз) содержатся все нечетные числа, которые можно рассматривать как делители самих на себя, через вторую - делители четных чисел, через третью - делители нечетных чисел и т.д. чередуются четные и нечетные ряды вплоть до бесконечности.

Рассматривая ряды чисел по горизонтали, увидим точки пересечения линий этих рядов линиями наклонных рядов, которые (точки) соответствуют простым числам (или их дублерам).

Таким образом, на теоретически обоснованной модели показан фрагмент снимка завершенного распределения простых чисел с которого как будто считывается информация дзета-функцией Римана - это и простые числа и их дублеры ( на рис. 1 помечены точками),

Представленная схема распределения простых чисел и их дублеров на плоскости рисунка 1 позволяет определить их общую сумму по следующей формуле:

(-гт(Т))2'

где: в общих скобках есть классическая формула суммы простых чисел на высоте Т.

При условии, что все простые числа с дублерами фиксируются нетривиальными нулями дзета-функции, сумма их должна быть так же адекватна формуле (1). Такое распределение нетривиальных нулей представлялась автору до получения информации по первым нулям Грама.

Идентификации первых трех нулей Грама по алгоритму автора (см. форм. 3 и 4) обнаружила несостоятельность такого суждения.

Дзета-функция Римана фиксирует только часть простых чисел, доля которых на низких высотах очень мала, что можно проиллюстрировать фактами. На первый взгляд найденные Грамом первые три нуля расположены сравнительно близко друг от друга, однако это не так.

При сплошной фиксации нулями простых чисел на самом деле между первым и вторым нулями должны располагаться нули еще семи простых чисел:97,101,103,107,109,113,127, между вторым и третьим нули четырех простых чисел:137,139,149,151.

Такие издержки в распределении нулей дзета-функции Римана на малых высотах вызваны вероятней всего, как « капризами» Золотого Ключа, так и большой плотностью простых чисел с расстояниями между ними в масштабе мнимых чисел бывает менее единицы. Такое имеет место и по парным простым числам на любых высотах, если они еще сохранились.

Это неприятное явление на современной стадии изученности проблемы исключает возможность прогнозировать динамику роста суммы нетривиальных нулей.

Обратимся к формуле суммы нетривиальных нулей Римана (2) [Книга 1, гл. 16] и сопоставим ее с (1):

т т

— *(1п (-) (2)

2тт У У2пУ 4 '

Таблица 1. Суммы нетривиальных нулей по формулам Римана и автора

Высота интервала Формула 1 Формула 1 Формула 2

Т при высоте Т при высоте Т/2п при высоте Т/2п.

50 60 4 8

500 4512 220 269

1000 14112 648 648

10000 741794 62460 10145

Как видим, сумма нетривиальных нулей по формуле Римана сильно отличается в меньшую сторону от таковой по формуле (1).Судя по таб.1, где только в интервале 0 - 50 фактически находится примерно 60 простых чисел с дублерами, против 8 нулей расчетных по формуле Римана.

Объясняется это двумя причинами: различием масштабов представления этих сумм - по

т

Риману в масштабе мнимых чисел, то есть при в ы с оте , по автору в масштабе натуральных чисел при высоте Т, кроме этого по причине различия структуры формул.

В том и другом случаях формулы для сумм нетривиальных нулей не верны, так как они исходят из предположения фиксации нулями всех подряд простых чисел, что, как отмечалось выше, не соответствует действительности.

Наблюдаемое превышение количество нулей относительно интервала исследования имеет место благодаря фиксации нулями большой части дублеров простых чисел, количество которых с высотой стремительно растет.

Такая ситуация вызывает ложное представление о якобы сплошной фиксации нулями всех простых чисел.

Нет сомнения в том, что использование вещественной расчетной модели позволило объяснить читателю такой вопрос как источник генерации большого количества нетривиальных нулей.

До последнего времени оставались открытыми вопросы, почему нетривиальные нули бывают четными, которые должны быть адекватны простым нечетным числам, почему они бывают кратны простым числам?

Абсурдным является выражение всех нулей (в предположении, что хотя бы часть из них простые числа) иррациональными числами.

Набор таких казалось бы дефектных нулей содержится уже в первой тройке полученных Грамом: 14,134,....,21,022... и 25, 010.

Учитывая изложенное, ответ может быть только один - все нетривиальные нули дзета-функции Римана не являются простыми числами.

Как оказалось, все эти нули, как четные, так и нечетные, непосредственно ничего конкретно не выражают. Более того, они внесли определенную сумятицу, так как многие исследователи гипотезы по-своему приписывали нули к простым числам, чему способствовало множество случайных совпадений нетривиальных нулей с простыми числами.

Но все это, как установлено на данный момент, оказалось ложью.

Вопрос, почему все нули иррациональны, не стоит, так как все мнимые числа в модели Римана разделены на иррациональное число 2л. Следовательно, безальтернативным способом преобразовать иррациональные нули в натуральные, которыми являются простые числа, является умножение нулей на 2тс.

А теперь немного о предложенной модели автора.

Используя предложенную модель, обнаруживаем некоторое сходство ее с комплексной моделью Римана

Процесс генерации нетривиальных нулей по модели Римана осуществляется путем последовательного увеличения мнимой части комплексной переменной, что на практике означает увеличение высоты вершины треугольника при сохранении положения его основания, т.е. 1/2.

По предложенной модели с натуральными числами, то же осуществляется путем увеличения высоты интервала, но при сохранении положения вершины треугольника и неизменной цифры 3, пересекаемой всеми наклонными линиями (аналогично неизменной вещественной части в модели Римана)

Естественно, что предложенная модель натуральных чисел и модель Римана тесно связаны посредством общей цифровой информации, что позволяет частично трансформировать их одна в другую.

В результате полной трансформации вещественная часть модели Римана должна быть равной 3/2тс= 0,477707., вместо декларируемой Риманом (0,5). Эту цифру следует проверить специалистам по расчетам нулей дзета-функции.

Выше было сказано, что нетривиальные нули ничего конкретно не выражают, но это не совсем так. На самом деле все они являются фундаментом простых чисел, так как перевод их в нормальный масштаб получим следующее соотношение, обозначив нетривиальный нуль символом (0):

0 = Р / 2тт (3) Р = 0*2 т (4)

Примеры: 14,134725...* 2т= 88,811095.. « 89=14,164789.....*2т

21,022040.. *2т= 132,085 3 70.. « 1 3 1=20,849297....*2т

25,014856.. *2т=157,147840..« 1 5 7=24,987326.....*2т

Если взять за эталон первый нуль Грама, вычисленный с большой точностью известным математиком А. Одлыжко [Книга 1, гл. 16] при вещественной части А и оказавшийся равным 14.134725.., то абсолютно точная его величина, полученная методом обращения простого числа 89 ,как показано в первой строке примера, равна. 14.164789....

Из этого следует, что вещественная часть дзета -функции Римана не равна точно А.

Установив связь нетривиальных нулей и простых чисел, появилась возможность проверить качество полученных разными авторами нетривиальных нулей, путем обращения известных простых чисел. На основании анализа этих материалов усовершенствовать методы получения нулей более точными, без большой сложности обосновать истинную величину вещественной части дзета-функции Римана.

Все это позволит находить простые числа за пределами уже достигнутой высоты, в том числе рекордно большие простые числа.

Основные выводы

1. Обнаружена и исправлена многолетняя ошибка в идентификации нетривиальных нулей дзета-функции Римана, Простое число - это произведение нетривиального нуля ( 0) на 2т.

2. Обнаружены факты не сплошной, как предполагалось ранее, фиксации нетривиальными нулями простых чисел.

3. Предложена уточненная величина вещественной части дзета-функции Римана, равная 3/2т =0,4777070..

4. Создана натуральная модель распределения простых чисел, позволившая в полной мере доказать гипотезу Римана.

401 1 2 3 4 5 6 7 8 ■ 9 10 И -Т7 13 14 15 15 "17 18 19 20 21 22 "23 24 25

2 \

«Д N

4 ч

Ь \ N

Б V тл; т

7 \ \7

\\ \ ■V— \ \

9 3 \ Ч)

10 \ *

II \\ \ V ч

12 \ \ 3 \

13 и 1. Чл ■ч?

14 у \ \ л 7

1Ь 1 ц \ 5 Г—

15 \\ \ Ч \

17 \ N..

18 } ч,

19 \\ \ \

¿и и 5 \

21 \ * \

и \ , \ \ ч п. N

23 н »\ \

24 3 г -г л

25 д г* > Ч,

¿Ь \\

27 —з ■П 9 \

28 \ у у V, ч

24 V ч.

30 \\ \ 5 —т л л

31 1 1 \ у 1 V

"32 п \ \

33 \ 3 1 \ \ ц \

34 \\ \\ \ \ \ > 14

35 Т5 7 \ ч

35 пз; -г 9 ч

37 \ и -г- V™ у Чи

38 \ Гм п \ Т- \ 14

39 —* и 1 \ \ ц ч

40 Т5 \ к ч

41

а 3 N 7 \ \ \ Я

43 ц ду \ л V Ч

44 ТТ \ \ 11 \ ч

4Ь 3 \ -т- 5 \

45 и 1 \ \ 1 \ Л

47 1 1 \ \ у \ \

48 3 V \ Л

49 \ » у

50 \\ \ \ \ V, А

51 3 и \ \ \

52 и \ \ \ \ и \

53 \\ \ $ у V ч

54 3 1А ТТ \

ЬЬ р\ у

56 \ \ ? V

57 3 \ \ \ \ \

58 \ \ 1 т— \ у \ у

"59 \ \ \ "Г V \

50 3 и \ \ л \

51 \ \ \ \ V к V-

\ 9 \ у,

63 3 ' т у \ Л

54 \ \ \ V

65 5 \ \ \ \ и

55 - 3 А \ \ 11 *

57 —г ГТ"

| 68

Рис. 1. Модель распределения простых и составных чисел Список литературы 1. Дербишир Д. «Простая одержимость». Изд. Астрель, 2010. 464 стр.