Анализ энергосберегающего управления многомерными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Автоматика. Информатика. Управление. Приборы

УДК 62-52:66.012.37

АНАЛИЗ ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ Ю.Л. Муромцев1, В.А. Погонин2, Р.В. Гребенников1

Кафедры: «Конструирование радиоэлектронных средств и микропроцессорных систем» (1), «Информационные процессы и управление», ГОУ ВПО «ТГТУ»

Ключевые слова и фразы: гибридная модель; метод синтезирующих переменных; многомерный объект.

Аннотация: Рассматривается класс задач энергосберегающего управления многомерными объектами, для анализа которых предлагается подход, основанный на принципе максимума и методе синтезирующих переменных. Приводятся концептуальные положения данного подхода.

Большинство энергопотребляющих объектов имеют несколько входов и несколько выходов, то есть относятся к классу многомерных динамических систем, называемых MIMO-системами. Существующая теория решения задач оптимального управления такими объектами в основном базируется на методах аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) или синтезе линейных квадратичных регуляторов (ЛКР) [1]. Данная теория не получила развития для решения задач энергосберегающего управления в связи со сложностью оперативного определения видов функций оптимального управления, вызываемых изменением производственно-технологической ситуации. Создаваемая теория энергосберегающего управления в основном позволяет решать задачи управления одномерными объектами, то есть SISO-системами [2].

В статье рассматривается класс задач энергосберегающего управления, которые формализованно можно записать в следующем виде.

Объект, описываемый моделью динамики

2 = А2 (?) + Бы (?), t е[/0, ?к ] , (1)

требуется перевести из начального состояния 20 в конечное 2к , т.е.

2 (?0 )= 2° =( )т , 2 (?к )= ^ =( 21к— 20 )т, (2)

при выполнении ограничений на управляющие воздействия в каждый момент времени

" е[^?к] : ы (?)е [ынг, ывг ], I = 1 т (3)

и минимуме функционала

(к

Jэ = | /0и(() йі ® шіп, (4)

(0

где инг-, иві - границы изменения управляющего воздействия иі; А, В - матрицы

параметров объекта соответствующих размерностей; /о :Ят ®Я .

Модель (1) в предположении г(0) = 0 можно записать с помощью матричной передаточной функции Ж (р), то есть

г (р )=Ж (р )и (р), Ж (р )=( рЕ - А)-1 в =| \ж1} (р )|| йХт , (5)

здесь г (Р), и (Р) - соответственно г (() и и ((), преобразованные по Лапласу; (р) - передаточная функция, отражающая связь между (() и и^ (().

Модель объекта будем называть однородной по г, если все компоненты Жу (р) матричной передаточной функции (5) относятся к одному типу динамических звеньев, и квадратной, если п = т .

Модель объекта будем называть однородной по и, если все компоненты вектора относятся либо к «энергетическим», либо к «топливным». В первом случае решается задача на минимум затрат энергии и функционал (4) записывается в виде

к

J uт(t)Cu (t) dt, (б)

э

*0

где С - т х п - матрица весовых коэффициентов.

Во втором случае в задаче минимизируется расход топлива с функционалом

т

Jт = с]\и] (* )| (7)

*0 ] =1

где с] - весовой коэффициент для и] (*) .

В общем случае часть компонентов вектора и(*) может относиться к «энергетическим», а другая часть - к «топливным». В этом случае модель объекта называется гибридной по и и минимизируется функционал

tx (m m ^

Jr = J £cu2 (t)+ £ cj|uj (t)|

t0 V J=1 J=mi

dt . (8)

Для сокращения записи задачи (1)-(4) с учетом особенностей объекта и минимизируемого функционала введем понятие модели задачи энергосберегающего управления в виде кортежа

К =< М,^,£,О >, (9)

содержащего четыре компонента: М - модель объекта; ^ - вид функционала; £ - стратегия реализации оптимального управления (ОУ); О - накладываемые ограничения.

Например, модель задачи

К =<(2,2; ДА),(Jэ),(Пр),(и (*)) >

означает: модель М имеет размерность 2x2, то есть два входа, два выхода, и матрица А соответствует двойному апериодическому звену (ДА); функционал J - затраты энергии; стратегия £ - программная; ограничение О накладывается на компоненты вектора и (*) в каждый момент времени.

Основные трудности решения рассматриваемого класса задач (1) - (4) связаны с определением видов функций ОУ и* (*), I = 1, т и расчетом их параметров, а

также с проверкой существования решения задачи для задаваемого массива исходных данных.

Для анализа задачи энергосберегающего управления многомерными объектами используем подход, основанный на принципе максимума и методе синтезирующих переменных [3]. В основе данного подхода лежат следующие концептуальные положения.

1. Исходная задача заменяется базовой с нормированными временем и управлением. Это позволяет существенно сократить размерность массива исходных данных, причем сохраняется однозначная связь между результатами решений базовой и исходной задач.

2. Вводится массив синтезирующих переменных (Ц_,...,Ьп) размерностью п, который однозначно характеризует вид и параметры функции ОУ. Значения Ц, ; = 1, п рассчитываются по исходным данным задачи.

3. Число параметров функции ОУ не превышает п, и существуют соотношения для расчета параметров по значениям Ц,; = 1, п .

4. В пространстве синтезирующих переменных может быть выделена область Lc существования решения задачи. При этом граница Сс области Ьс не зависит от вида минимизируемого функционала и стратегии реализации ОУ.

5. В области Lc могут быть выделены области L] для различных видов

и

функций ОУ, при этом Lc = ^ L] , здесь и - число возможных видов функций

]=1

ОУ с п-параметрами.

Если для нормированного управления интервал граничных значений взят [-1; 1], то при L е Сс оптимальное управление принимает значения ±1.

Рассмотрим сформулированные положения на примере решения задачи <(2,2; ДА), (Jэ), (Пр), (и (*)) > . Пусть

-4 =\а" °П ], В =(Ь' 0 ], С =<1 0

V а21 а22) V0 Ь2) V01) (10)

в этом случае для определения ОУ и* (*) = (и* (*), и* (*)) задается массив исход-

ных данных

R-(ап, ап, a21, a22, b1, b2, мнЪ мв1, мн2> мв2> z°, z2, zf, z2 , l°, % )• (H)

Перейдем к базовой задаче с нормированным временем Т є [0; 2] и управлением и (т ) = (и (т ) и2 (т ))т, и (Т)є[ —1;1], і =1,2 . В результате нормирова-

ния модель объекта записывается в виде

Z = AZ (T)+ B (U (T) +AU),

(12)

здесь

— і a л a

A=

11 “12

a21 a22

B=

0b

C=

2

1 0 0 1

aij =—aij, bij =1 AtAuibi, AU =(AUi, AU2 )т

24

u+ u,.

Аі = ік - (о, Аиг- = иін - иів, АЦ- =—-----—, і, ] =1,2.

Аиі

Переход от и (і) к и (і) производится по формуле

иг- (і) = 1 (иін + иів) + 0,5Аиіиі (Т); і = іо + 0,5АіТ .

(13)

Утверждение 1. Если решение задачи <(2,2; ДА), (Jэ), (Пр), (и (*)) > при заданных исходных данных (11) существует, то виды и параметры функций ОУ и* (Т), ; = 1,2 при фиксированных ау и Ь;,;, ] = 1,2 однозначно определяются значениями синтезирующих переменных:

Ь1 = 21 -/11(2)21° -/12 (2)г2;

Ь2 = г2 - /21 (2) - /22 (2) г2, здесь /](2), ;,] = 1,2 компоненты матричной экспоненты ехр(АТ) при Т = 2.

Например, при

(14)

D = 0,25(an + a22)2 + «і2 «2і -«11«22 > 0.

Компоненты / (2) определяются выражениями:

(15)

где

/її (2) = -р 2V D

(«22 +b)e 2b-(«22 +a)e 2a

/12 (2) = ^ (e-2a- e-2b); /21 (2) = -% (e-2a- e-2b);

/22 (2) =

24Б 1

2^D

(aii +b)e 2b-(aii +a)e 2a

aii + «22

a = -—-4D-, b=-+ 4D .

(1б)

(17)

Определение 1. Вид функции ОУ U(T), при котором

VT е[0;2] компоненты U, (T)e(-1;1), i -1,2, назовем основным или базовым, а динамический режим - «ненапряженным».

Утверждение 2. Если решается задача <(2,2; ДА), (J3), (Пр), (u (t)) >, то в случае «ненапряженного» режима управление U (T) содержит два параметра £>1, £>2 и его компоненты определяются выражениями:

U (T)- b (/11 (T) D + /12 (T) D2);

- -/= = \ (18)

U2 (T)-b2 (/21 (T) D1 + /22 (T) D2 ),

здесь /ij (T)- компоненты матричной экспоненты exp(-АтТ).

Следует заметить, что компоненты /iJ- (T) можно получить, зная компоненты /j (T). Так, при выполнении условия (15) матрица exp(-АтТ) находится

транспонированием матрицы exp(AT) и заменой знаков показателей экспонент

на обратный (с «-» на «+»).

Утверждение 3. Расчет параметров для основного вида функции ОУ производится решением системы линейных уравнений:

D1 (b12j11,11 + b22j12,21) + D2 (b12j11,11 + b22j12,21) - A; D1 (b12j21,11 + b22 j22,21) + D2 (b12j21,12 + b2 j22,21) -L2

где коэффициенты jj, уц, i, j, ц e{1, 2} представляют собой интегралы вида

2 _

% jm - j /у (2 - t /m (t ), i, j, me {1,2}, (20)

0

где /ij (2 - T) компоненты матричной экспоненты exp (A (2 - T)).

Утверждение 4. Если выполняется условие (15), то компоненты базового управления U (T) представляют собой взвешенную сумму двух экспонент вида

U, (T)-D;pebT + D;ae“T, i - 1,2 с весовыми коэффициентами:

D1b - 2ьЬ) ^(a22 +b)D1 - a21D2 ];

(21)

D1a - ^[-(a22 +a)D1 + a21D2 ];

b г - -] (22)

D2b - ^^ |_(a11 +P) D2 - a12D1 ];

D2a-^ _-( a11 +a) D2 + a12 D1 ].

Следствие 1. Базовое управление (21) для задаваемых исходных данных имеет место, если выполняются условия (15), а и Р одного знака, а также:

(|Ар + Аа| £1) а(|Аре2Р + Аае2а|<1); (23)

(|Ар + Я2а| <1)л(|Аре2Р + Б^*). (24)

Пример 1. Пусть

л =1 -0'1 1 1 B = (° I. с =(1 0

. -0.07 -0.9 J \ 0 0.2 J I 0 1

z0 = I 0 |. zK = | 0,05 I. t0 = 0; = 2; м,„ = 1; м,-„ = 1.

ч0 / ^ 0,01 ,

В этом случае в соответствии с (14), (15), (17):

0,05; 12 = 0,01; Б = 0,09 > 0; а = 0,2; Р = 0,8. Решая систему уравнений (19), получаем:

Б1 =-0,00942; Б2 = 0,45384.

Согласно (18):

Ц (Т) =-0,000942/11 (Т) + 0,045384/12 (Т); и2 (т) =-0,001884/21 (Т)+ 0,090768/,2 (Т),

здесь

/11 (T )= (-0.1e0,8T + 0.7e0,2T);

0.6

0. 0.6 j_

0.6

/12(T)=-007(e0.2T -e0.8T);

/21 (T)= ^(e0'2T -ea8T);

/22 (T)= ^(0.7e0.8T -0.1e0 2T).

(25)

0,6

Используя формулы (22), можно записать управление Ц (Т) в форме (21):

и, (Т)= 0,0044 е0,8Т - 0,0578е0,2Т;

_ (26) и2 (Т)= 0,088е0,8Т -0,165е0,2Т.

Нетрудно проверить, что для данного управления условия следствия 1 выполняются, поэтому оно является оптимальным.

Определение 2. Если для рассчитанного с использованием формул (19), (21) управления и (Т) в формуле (18) или (21) выполняется лишь одно из условий

(21), (23), а второе не выполняется, то такой режим называется «полунапряжен-ным». Здесь подразумевается, что решение задачи при рассматриваемых исходных данных существует.

Пример 2. Пусть в исходных данных примера 1 изменилось только значение

и = (0,1; 0,01)т . В этом случае:

Ь1 = 0,1; Ь2 = 0,01; Б =-0,09753; Б2 = 0,9505;

Ц (Т) = 0,0127е0,8Т -0,02247е0,2Т; (27)

и2 (Т)= 0,2543е0,8Т -0,0642е°,2Т. (28)

Проверка условий (23), (24) для данного управления показывает, что условие (23) выполняется, а (24) не выполняется, так как ^2ре2Ь + £>2аеа = 1,164 > 1. Таким образом, здесь имеет место «полунапряженный» режим.

Для проверки существования решения задачи при «полунапряженном» режиме можно использовать принцип «разделения», который для т = 2 заключается в следующем.

Утверждение 5 (принцип разделения). Если в соответствии с определением 2 в задаче имеет место «полунапряженный» режим, то из задачи с двумя входами выделяется задача с одним входом (для которого условие (23) или (24) не выполняется) и проверяется существование выделенной задачи при скорректированном

значении 2К .

Коррекция 1К производится путем реализации компоненты Ц (Т), для которой условие «ненапряженности» выполняется.

Пример 3. Рассмотрим использование принципа разделения при условиях примера 2. Так как для компоненты Ц (Т) (см. (27)) условие (23) выполняется, то

используя это управление, рассчитаем промежуточные значения вектора / \т

2пр =( 2^ , хГ~

(z^p, Zn ) по формулам:

2

^ = |/п (2 -Т)ЪЦ (Т) <ЛТ;

0 (29)

г2пр = | /21 (2 - Т) ЬЦ (Т) ёТ.

0

Полученные значения 7^, 2^ используются для скорректированного конечного значения

^ккЛ

z1

ZKK 2 .

( ZKK пр А

Z1 - z1

V

_кк _пр

z2 - z2 ;

(30)

Далее решается задача расчета и2 (Т), параметры которого должны удовлетворять условиям:

2

zKK = j fl2 (2- T)b2U2j (T) dT;

0

2

z2KK = jf22 (2 - T) bU2j (T) dT; (31)

0

"T e[0;2j: U2j (T)e[-1;1j.

С учетом вида функции (28), которая при Т = 2 превышает граничное значение, в уравнения (31) подставляется функция

и2 (Т)= NеЬТ + ^еаТ, Т "[«Л), (32)

[ 1, Те[Тп;2],

где [0; Тп] - время переключения; 02$, Ад/ - параметры, значения которых отличаются от ^2р, 0>2а .

При расчете параметров Бур/, Ад/, Тп дополнительно к (31) используется равенство

Б2р/ ерТп + Б2а/ еаТп = 1. (33)

Если в результате решения (31), (33) получены параметры функции (32),

причем |02р/ + ^2а/1 £1 и Тп е[0;2], то решение исходной задачи с т = 2 суще-

ствует.

Использование метода синтезирующих переменных с соответствующим нормированием исходной задачи существенно облегчает создание программных модулей для автоматизированного синтеза алгоритмического обеспечения микропроцессорных устройств энергосберегающего управления многомерными объектами.

Статья подготовлена при поддержке гранта РФФИ 07-08-12218.

Список литературы

1. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Крас-мовского. - М. : Наука, 1987. - 712 с.

2. Гудвин, Г.К. Проектирование систем управление / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо. - М. : БИНОМ, Лаборатория знаний, 2004. - 911 с.

3. Муромцев, Д.Ю. Методы и алгоритмы синтеза энергосберегающего управления технологическими объектами / Д.Ю. Муромцев. - Тамбов, М., СПб., Вена : Нобелистика, 2005. - 202 с.

Analysis of Energy-Saving Control over Multidimensional Objects

Yu.L. Muromtsev1, V.A. Pogonin2, R.V. Grebennikov1

Departments: “Designing of Radio-Electronic Devices and Microprocessor Systems ” (1), “Information Process and Management ” (2), TSTU

Key words and phrases: hybrid model; method of synthesizing variables; multidimensional object.

Abstract: The set of tasks of energy-saving control over multidimensional objects is studied; the approach based on the principle of maximum and the method of synthesizing variables are proposed for their analysis. Conceptual propositions of this approach are given.

Analyse der energiesparenden Steuerung von den multidimensionalen Objekten

Zusammenfassung: Es wird die Klasse der Aufgaben der energiesparenden Steuerung von den multidimensionalen Objekten betrachtet. Fur die Analyse wird das Herangehen, das auf dem Prinzip des Maximums und der Methode der syntesierenden Variablen gegrundet ist, vorgeschlagen. Es werden die begrifflichen Lagen des gegebe-nen Herangehens angefuhrt.

Analyse de la commande conservant de l’energie par des objets multidimensionnels

Resume: Est examinee une classe de problemes de la commande conservant de l’energie par des objets multidimensionnels pour l’analyse desquels est proposee une approche fondee sur un principe du maximum et sur la methode des variables synthesantes. Sont cites les reglements conceptuels de cette approche.