CC BY
32
УДК 621.314.5
В. Г. Макаров
АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ОБОБЩЕННОМ СТАТИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Ключевые слова: преобразование электрической энергии, математическое моделирование.
С помощью переключающих функций записаны законы изменения напряжений обобщенного статического преобразователя электрической энергии. Использование переключающих функций позволяет формализовать процесс записи уравнений электрического состояния.
Keywords: electrical energy conversion, mathematical modeling.
With the help of switching functions are written down laws of change of voltages of the generalized static converter of electric energy. Use of switching functions allows to formalize process of recording of the equations an electric condition.
Введение
В [1] рассматривается математическая модель обобщенного статического преобразователя электрической энергии, разработанная с применением математического аппарата теории графов. На основании схемы замещения обобщенного статического преобразователя электрической энергии составлено дерево структурного графа, сформированы топологические матрицы, с использованием которых записаны уравнения обобщенного статического преобразователя электрической энергии по первому и второму законам Кирхгофа, а также по методу контурных токов. Для учета состояния силовых вентилей предлагается использовать переключающие (коммутационные) функции. Отличительной особенностью рассматриваемой математической модели обобщенного статического преобразователя электрической энергии является введение переключающих функций непосредственно в топологические матрицы
Теоретические положения
На рис. 1 представлена схема замещения трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии [1].
В схеме на рис. 1 вентильные элементы представлены идеальными ключами S-| - S6,
имеющими активные сопротивления R-| - R6, источник питания разделен на секции, а точки О и N соединены нейтральным проводом. В [2] показано что, подобный вариант построения силового полупроводникового преобразователя характерен для случая связанных электрических сетей.
На рис. 2 показан структурный граф преобразователя. При этом ветви дерева показаны толстыми линиями, а хорды - тонкими.
При записи системы уравнений, описывающих электромагнитные процессы в обобщенном преобразователе электрической энергии, используются следующие топологические матрицы: матрица инцидентности узел - ветвь [A], матрица сечений [D] и матрица главных контуров [B].
Для структурного графа на рис. 2 матрицу инцидентности записываем при условии, что каждая ветвь характеризуется коэффициентом инцидентности h. Если ветвь направлена к узлу, то коэффициент инцидентности отрицателен (— h), если ветвь направлена от узла, то коэффициент инцидентности положителен (+ h), если ветвь не инцидентна узлу, то коэффициент инцидентности равен нулю. В общем случае коэффициент инцидентности узел-ветвь является некоторой линейной или нелинейной функцией тока или напряжения ветви. Если в соста-
160
ве ветви имеется вентильный элемент с независимым управлением, то коэффициент инцидентности является некоторой функцией времени, которую часто называют переключающей (коммутационной) функцией, и только в частном случае, когда в ветви коммутатор отсутствует, коэффициент инцидентности И равен ±1.
Рис. 1 - Схема замещения трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии
Рис. 2 - Структурный граф обобщенного преобразователя электрической энергии
В зависимости от текущего состояния вентильного элемента переключающая (коммутационная) функция может принимать следующие значения:
Г1, если вентиль открыт И| =\п [0, если вентиль закрыт
где I - номер вентильного элемента.
Полученное в [1] матричное уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии по методу контурных токов не позволяет в явном виде записать выражения напряжений преобразователя.
Проведем анализ математической модели обобщенного преобразователя электрической энергии, рассмотренной в [1], с целью определения законов изменения напряжений преобразователя при условии, что для управления силовыми вентилями используется 180-
161
градусный закон коммутации. Временные диаграммы переключающих функций силовых вентилей обобщенного преобразователя электрической энергии для 180-градусного закона коммутации приведены на рис. 3.
Рис. 3 - Временные диаграммы переключающих функций при 180-градусном законе коммутации
Основные результаты
Уравнение обобщенного статического преобразователя электрической энергии по второму закону Кирхгофа имеет вид [1]:
1ч, ]
[В][и] = |в, ][в2 Л
[их ]
= 0.
(1)
где [В] - матрица главных контуров, [и] - матрица напряжений структурного графа, [и ] -матрица полюсных напряжений, [их ] - матрица напряжений хорд.
Как показано в [2], матрицы входящие в (1) имеют вид:
О Р О А В С
[В,]
И, И, И,
- И2 2 _с 2 .с -
со .С СО _С со .С
.С - .С .С -
ю .С ю _С И5
(О .С - со .С - И6
И, сч _С со .С •^т .С ю .С со .С
и Л
Со ■о 3 Сч Са Сь С О
[их ]
сч 3 со 3 ч- 3 ю 3 ю 3
Можем записать (1) в виде:
[В,][ип ]+ [В2][и х ]= 0.
Подставив матрицы в (2), получим:
т
т
И1 И1 И1
И2 - И2 И2
Из Из Из
И4 - И4 И4
И5 И5 И5
И6 - И6 И6
+
И1
И2
Из
И4
И5
И6
= 0, (3)
Первое уравнение в (3) запишем в виде:
И1ы0 + И-и + И1иа + И1ы1 = 0 .
Второе имеет вид:
И2и0 - И2ис + И2иа + И2и2 = 0 .
Сложив (4) и (5), получим ( + И2 )и0 + иа) + И1иЙ - И2ис + И1и1 + И2и2 = 0.
Пренебрегая падением напряжения на силовых ключах, считаем, что и1 = и2 = 0.
Тогда (6) можем записать в виде:
(1 + h2 )ио + иа ^ -И1^ + И2ис .
Аналогично получим:
(Из + И4 Хио + иь Ь-!^ + И4ис ;
(5 + И6 )ио + ис Х= -И5^ + И6ис .
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
На основании временных диаграмм переключающих функций на рис. 3 можем записать:
И + 1^ = 1; Из + И4 = 1; Гц + 1^ = 1. (10)
Суммируем (7) - (9) с учетом (10) и известного условия симметрии трехфазной системы, которое имеет вид:
иа + иь + ис = 0 .
Получим выражение напряжения ио
(- ( - Из - И5 )ud + ( + И4 + И6 )Uq
ио =
3
Подставив (12) в (7) - (9), получим выражения фазных напряжений:
(- 2И1 + Из + И5 )Jd + ( - И4 - Иб )с .
иа =
иь =
ис =
( - 2Из + И5 )ud + (- И2 + 2И4 - Иб )ис 3
( + Из - 2И5 )Ud + (- И2 - И4 + 2Иб )ис
з
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
На основании (13) - (15) для линейных иаь, иьс, иса напряжений получим: иаЬ = иа - иь = (з - И1 )ud + (2 - И4 )ис ; (16)
иЬс = иь - ис = (5 - Из )) + (4 - И6 )) ; (17)
иса = ис - иа = (1 - И5 )ud + (6 - И2 К . (18)
Обозначив напряжение между узлами й и О на рис. 1 как напряжение питания обобщенного статического преобразователя электрической энергии Ц , можем записать
ип
(19)
и
и
о
о
и
и
d
d
и
и
с
с
х
X
и
и
а
а
и
и
ь
ь
и
и
с
с
Равенство (19) позволяет записать законы изменения напряжения и0 , фазных иа, иь , ис и линейных иаЬ, иЬс, иса напряжений обобщенного статического преобразователя электрической энергии для 180-градусного закона коммутации в следующем виде:
ио =(- И + И2 - Из + И4 - И5 + И6 ; 6 (20)
иа =(- 2И! + 2И2 + Из - 1% + И5 - 1^ ; 6 (21)
иь = (И1 - И2 - 2Из + 21% + И5 - Иб; (22)
ис =( -^ + Из --2И5 + 2Иб; 6 (23)
иаь =(- И1 + И2 + Из - И4 ; (24)
иЬс =(- Из + И4 + И5 - И6 ; (25)
иса =(- И5 + И6 + И1 - И2 . (26)
На основании (20) - (26) построены временные диаграммы напряжений обобщенного статического преобразователя электрической энергии, приведенные на рис. 4.
Рис. 4 - Временные диаграммы напряжений обобщенного статического преобразователя электрической энергии при 180-градусномзаконе коммутации
164
С помощью аналогичных преобразований могут быть получены законы изменения напряжений обобщенного статического преобразователя электрической энергии при любых законах управления силовыми вентилями и для любого количества фаз. В данном случае переключающие функции силовых вентилей являются функциями времени, однако в ряде случаев они могут быть функциями токов или напряжений преобразователя. При этом в математическую модель обобщенного статического преобразователя электрической энергии потребуется ввести дополнительные условия.
Выводы
1. На основании математической модели обобщенного статического преобразователя электрической энергии, разработанной с использованием математического аппарата теории графов, могут быть получены законы изменения напряжений преобразователя при любых законах управления силовыми вентилями и для любого количества фаз.
2. Законы изменения напряжений обобщенного статического преобразователя электрической энергии записаны с использованием переключающих функций силовых вентилей, являющихся функциями времени. Однако при введении дополнительных условий полученные выражения могут быть использованы и в тех случаях, когда переключающие функции являются функциями токов или напряжений преобразователя.
3. Использование переключающих функций силовых вентилей, позволяет формализовать процесс записи уравнений электрического состояния электротехнических устройств, работающих совместно с обобщенным статическим преобразователем электрической энергии. Это позволяет снизить трудоемкость подготовительных операций на этапе создания математической модели, а также при компьютерном моделировании.
Литература
1. Макаров, В. Г. Математическая модель обобщенного статического преобразователя электрической энергии / В. Г. Макаров // Вестник Казан. технол. ун-та.- 2011. - Т. 14, № 19. - С. 70 - 76.
2. Макаров, В. Г. Применение теории графов к моделированию статических преобразователей электрической энергии / В. Г. Макаров // Вестник Казан. технол. ун-та.- 2011. - Т. 14, № 16. - С. 102 - 105.
© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КНИТУ, electroprivod@list.ru.
