CC BY
44
Сальникова М.К., Герасименко К.В., Макаренко Я.Н.
УДК519.714
АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО И СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ
В работе проводится сравнение подходов к прогнозированию нестационарных процессов, построенных на использовании методов сингулярного разложения и анализа Фурье, в предположении, что итоговый прогнозируемый ряд формируется как сумма прогнозов простейших сигналов, предварительно полученных путем соответствующих разложений.
Спектральный анализ рядов Фурье позволяет увидеть структуру сигналов, определяемую физической природой элементов, составляющих систему. Суть анализа состоит в разложении исходного (случайного) сигнала в ряд по фиксированной системе базисных функций с условиями их частотной избирательности и применимости к колебательным процессам. Для исследования частотной структуры случайного процесса применяют его основной параметр — спектральную плотность мощности, которая интерпретируется как распределение среднего квадрата амплитуды процесса по частотам [1].
Однако область применения анализа Фурье ограничена следующими требованиями:
- исследуемая система должна быть линейной и стационарной;
- аддитивная помеха, действующая на выходной сигнал системы, не зависит от исследуемого сигнала и представляет собой случайный стационарный процесс;
- за счет ограниченности длины выборки реальных временных рядов восстановление происходит с погрешностью, величина которой обратно пропорциональна объему выборки как лЫ .
Исследования в области "динамического спектрального анализа" ("динамический анализ Фурье", "спектрально-временное карти-
рование" [2] и т.п.) частично снимают указанные проблемы. При таком способе рассмотрения задачи, весь интервал наблюдения изучаемой функции /((),£ е [0,Т1, разбивается на N
. Т
равных частей длины ~~и затем на каждом
из полученных интервалов строится спектр Фурье ф, (ю). Получается квазидвумерное спектрально-временное представление процесса/^ ). Однако возникает трудно формализуемая проблема выбора оптимальных длин интервалов разбиения Л. Необходимо искусственно прибегать к различным приемам для того, чтобы иметь возможность обрабатывать реальные процессы, длина которых всегда ограничена конечной выборкой статистических данных, в то время как Фурье-анализ подразумевает наличие бесконечной области определения сигнала. Также при исследовании реальных процессов искажается информация о фазовом спектре, за счет чего имеет место неточное формирование корреляционной функции, что ведет к значительному искажению формы и параметров выделяемых гармоник сигнала.
Кроме того, использование для прогнозирования суммарного сигнала бесконечного числа элементарных составляющих, полученных разложением Фурье, затруднено в связи с необходимостью сохранения фазовых сдвигов между этими составляющими в процессе их обратного сложения.
Идея «динамического спектрального анализа» нашла свое продолжение в вейвлет-ана-лизе [3]. В отличие от традиционно применяемого при анализе данных преобразования Фурье, результаты, полученные с помощью вейвлет-анализа, зачастую обладают большей информативностью и способны непосре-
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
дственно выявлять особенности исследуемого процесса, которые при традиционном подходе анализировать затруднительно.
Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определёнными свойствами солитоно-подобной функции (вейвлета) посредством масштабных изменений и переносов.
При этом для вейвлет-анализа наибольшее значение имеют параметры сдвига и масштаба, нежели частота как в случае анализа Фурье. Таким образом, данный метод ближе к сингулярному анализу. Для того, чтобы масштабный параметр мог интерпретироваться как частота, необходимо, чтобы исходная вей-влет-функция у(^) обладала необходимыми спектральными свойствами, т.е. чтобы её преобразование Фурье можно было рассматривать как "спектральную линию".
Результат вейвлет-преобразования есть разложение сигнала по семейству функций вейвлет-базиса, образованному из единственной функции ) с помощью переносов Ь во времени и растяжений а также во времени. Вейвлет-преобразование можно представить как непрерывный блок оконных преобразований Фурье с различными окнами для каждой частоты.
Вейвлет-анализ, благодаря подвижным частотно-временным окнам, одинаково хорошо выявляет как низкочастотные, так и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство даёт большое преимущество при анализе процессов, так как быстрые вариации сигналов (высокочастотные характеристики) хорошо локализованы, а для выявления медленно меняющихся характеристик достаточно хорошего низкочастотного разрешения.
Однако вейвлет-анализ не лишен недостатков. В частности реализация всех свойств вейвлетов иногда сдерживается значительным объемом необходимых вычислений и сложностью математического аппарата, который оборачивается низкой скоростью обработки данных.
Сингулярное преобразование можно также представить в двухпараметрической форме, если рассматривать информационную матрицу развертки совместно с парами собственных векторов сингулярных чисел этой матрицы [4]. Роль набора базисных функций выполняет набор собственных векторов (ортонорми-рованный). При этом методика сингулярного
разложения разделяет процедуру двумерного разложения на два этапа. На первом этапе сигнал переводится в двумерное представление с практически равноправными координатами, на втором производится сингулярное разложение этого двумерного представления по двум системам ортогональных функций. Интерпретация набора этих функций не является жёстко фиксированной, как в вей-влет-анализе, а определяется параметром разложения и особенностями самого исходного сигнала. Анализ, выполненный авторами, показал, что в случаях отсутствия или исключения медленных трендов, получается разложение, достаточно схожее с вейвлет-преобразо-ванием, а для строго периодических сигналов и при соответствующем выборе параметров сингулярное разложение фактически осуществляет разложение в ряд Фурье.
Таким образом, на основании проведенного сравнения можно отметить следующие преимущества сингулярного разложения перед методами спектрального анализа.
1. Набор функций разложения порождается самой исследуемой функцией процесса f(t) и длиной окна.
2. Длина строки (окна) сингулярной матрицы развертки позволяет легко варьировать качество и состав выделяемых составляющих.
3. Возможность управляемого восстановления исходного процесса по интерпретируемым компонентам, в отличие от практически однозначных компонент Фурье- и Вейвлет-преобразований.
4. Отсутствие для реальных временных рядов граничного эффекта по параметру сдвига, определяемого, например, жесткой фиксацией набора вейвлет-функций.
5. Представление отдельной собственной сингулярной функции в виде линейного фильтра показывает, что он обладает не комплексной, как в случае Фурье, а действительной частотной характеристикой, что снимает проблемы, связанные с моделированием фазовых сдвигов между составляющими.
Одно из существенных отличий метода сингулярного разложения состоит в способности осуществлять многовариантный прогноз (восстановление исходного сигнала на ожидаемом интервале времени), согласованный с одним из вариантов разложения на аддитивные элементарные компоненты. В то же время методы спектрального анализа ориентированы на однозначное выявление составляю-
УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рис. 1. Сравнение методов сингулярного разложения с методами спектрального анализа применительно к задачам прогнозирования (в блоках плюсом отмечены преимущества метода, минусом - недостатки).
щих, соответствующих физической природе сигнала. Также стоит отметить, что Вей-влет-анализ из-за априорной локальности на- 1. бора базисных функций практически не приспособлен к построению прогноза (рис. 1.).
Таким образом, из результатов проведенного анализа следует, что при корректном применении аппарата сингулярного разложения 2. конечным его итогом будет набор экспоненциально затухающих синусоидальных сигналов, каждый со своей амплитудой и частотой. При этом предполагается, что исследуемая система линеаризована или процесс квазистациона-рен в области некоторого квазипостоянного 3. среднего значения и длина окна, определяющего размерность матрицы развертки (кос- 4 венно — дифференциальный порядок исследуемой динамической системы), имеет оптимальное значение.
БИБЛИОГРАФИЯ
Bernard Widrow, Michael A. Lehr, 30 Years of Adaptive NeuralNetworks: Perceptron, Madaline, and Backpropagation //Artificial Neural Networks: Concepts and Theory, IEEE Computer Society Press, 1992, pp.327 — 354. Smetnev,. A.S., Kulambaev, В.В., Akasheva, D.Y., (1992), Late venricular potentials comparative value of time domain analysis and spectro-temporal mapping. XXIII international congress in electrocardiology // Book of abstracts, 104.
Daubechies I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets. — Comm. Pure. Apl. Math., vol. 41 (1998), pp. 909-996. Elsner J.B. and Tsonis A.A. Singular Spectrum Analysis. A New Tool in Time Series Analysis. New York and London: Plenum Press, 1996. 463p.
