Анализ эффективности метода нелокального улучшения в задачах оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

© И.Д. Бурлаков

АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДА НЕЛОКАЛЬНОГО УЛУЧШЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 12-01-98011-р_сибирь_а, 13-01-92200-Монг_а

Рассматривается проекционный метод нелокального улучшения в нелинейных задачах оптимального управления, для которого приводятся результаты численных экспериментов по анализу эффективности.

Ключевые слова: задача оптимального управления, нелокальное улучшение, вычислительный эксперимент.

I.D. Burlakov

EFFECTIVENESS ANALYSIS OF METHOD FOR NONLOCAL IMPROVEMENT IN OPTIMAL CONTROL PROBLEMS

A projection method for nonlocal improvement in nonlinear optimal control problems is considered, for which the results of numerical experiments on the analysis of effectiveness are submitted.

Keywords: optimal control problem, nonlocal improvement, numerical experiment.

Введение

Теория оптимального управления развивалась во многих научных школах, включая отечественные, которые внесли значительный вклад в ее становление. Было разработано множество численных и приближенных методов решения задач оптимального управления, которые продолжают развиваться по разным направлениям (A.B. Аргучинцев, A.C. Булдаев, В.И. Гурман, В.А. Дыхта, В.И. Зубов, В.Б. Колмановский, В.Ф. Кротов, В.А. Срочко, А.И. Тятюшкин, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько и другие).

В. Ф. Кротов в своей работе [10], описал общий метод глобального улучшения управлений на основе достаточных условий. Близкими к глобальному методу являются так называемые нелокальные методы улучшения в дифференциальных системах, разрабатываемые в работах В.А. Срочко и А.С. Булдаева.

Методы нелокального улучшения в отличие от локальных методов (например, метода условного градиента) не используют операцию слабого или игольчатого варьирования управления на каждой итерации с параметрическим поиском улучшающего управления (который является довольно трудоемким) в достаточно малой окрестности улучшаемого управления.

Нелокальное улучшение в различных классах задач оптимального управления опирается на точные формулы приращения целевых функционалов, т.е. на формулы без остаточных членов разложения. В результате получается улучшающая последовательность, которая может быть минимизирующий, на основе которой можно построить приближенное решение задачи.

А.С. Булдаев и В.А. Срочко в [3, 4, 5, 8] получили результаты для нелинейных, линейных, линейно-квадратичных и полиномиальных по состоянию задач оптимального управления, обладающие свойством нелокального улучшения управлений с использованием специальных сопряженных систем и краевых задач. Эти подходы дают возможность улучшать неоптимальные управления, удовлетворяющие принципу максимума, включая особые управления. А.В. Аргучинцев в работе [1] точные формулы приращения использовал для поиска решения задач оптимального управления гиперболическими системами.

В работе проводится численный анализ сравнительной эффективности новых модификаций нелокальных методов улучшения с использованием точных формул приращения для общих нелинейных задач [4].

1. Постановка задачи

Будем рассматривать задачу оптимального управления со свободным правым концом:

Щ = f(x(t),u х(^ ) = х0, (1)

и (t )еи, t е Т = [г0, t1 ], (2)

Ф (и) = р(х(t1 )) + |Г (х(t), и (t), ¿) dt ^ inf, (3)

«о

где х (t) е К" - вектор состояния, и (t) е Кг - вектор управления. В качестве допустимых управлений рассматривается множество V кусочно-непрерывных на ^ ] функций со значениями в выпуклом компактном множестве и ^ Кг. Промежуток управления t1 ] и начальное состояние х0 заданы.

Аналогично [3] предполагаются выполненными следующие условия:

1) функция р(х) непрерывно-дифференцируема на К", вектор-функции Г (х, и, t), f (х, и, t) и их производные Гх (х, и, t) , Ги (х, и, t) , fx (х, и, t), ^ (х, и, t) непрерывны по совокупности аргументов ( х, и, t) на множестве К" хи х Т;

2) функция f (х,и, t) удовлетворяет условию Липшица по х в К" хи х Т с константой L > 0

(х, и, t) - f (у, и, t)|| < Цх - у|| .

Эти условия гарантируют существование и единственность решения х (t, V), t е[^, ^ ] системы

(1) - (2) для любого допустимого управления V(t) , t е t1 ].

Решать поставленную задачу (1) - (3) будем при помощи модифицированного проекционного метода нелокального улучшения управлений с дифференциально-алгебраической сопряженной системой [3, 4, 5]. Этот метод не содержит операцию выпуклого или игольчатого варьирования управления на каждой итерации улучшения.

Введем функцию Понтрягина

Н (р, х, и, t) = ^р, f (х, и, t- Г (х, и, t), где р (t, и, V) - сопряженная переменная.

Для допустимого управления и е V и фиксированного параметра а > 0 рассматривается проекционное отображение

иа (р, х, t) = Ри (и (t)+аНи (р, х, и, t)), t е ^ ], где Ри - оператор проектирования на множество и в евклидовой норме.

Дифференциальный принцип максимума (ДПМ) в задаче (1) - (3) для управления и е V с помощью отображения иа представляется в виде

и (t) = иа (р (t,и, V), х(t,и), ^, t е^0, ^ ], а > 0. (4)

Для выполнения ДПМ достаточно проверить условие (4) хотя бы для одного а > 0 .

Далее рассмотрим дифференциально-алгебраическую сопряженную систему [4, 5]:

р (t ) = -Н ( р (t), х (t), * (t), t)-г (t), (5)

р(tl) = -Рх (х(^))-Ч, (6)

Н ( р (t), у (t), * (t), t)-Н ( р (t), х (t), * (t), t ) =

(Нх (р(t),х(t),*(t),t) + г(t),у (t)-х(, (7)

Р (У (^ )) - Р (х (^ )) = < (х (t1)) + q, у (t1) - х (^ )} . (8)

Величины г (t) и ч всегда можно выразить из соответствующих алгебраических уравнений (7) и (8) (возможно и не единственным образом) [4, 5]. Такая модификация сопряженной системы позволя-

ет получить [5] формулу приращения целевой функции в задаче (1) - (3) , которая не содержит остаточных членов разложений.

Если в задаче (1) - (3) f (х, и, I) , F (х, и, I) линейны по х, то из [4, 5] следует, что г (I) = 0, а если (р( х) линейна, то q = 0 .

Пусть дифференциально-алгебраическая сопряженная система допускает решение р (I, и, V), ^ е[^, ^ ] для допустимых управлений и, V при ч = и (7) , х = х (7, и), у (¿) = х V). Таким образом, решив систему (5) - (8) можно однозначно определить отображение Р (и, V) = р (I, и, V) ,

^ е ] на множестве V х V (возможно, не единственным образом).

Применим метод проекционных возмущений [4], где в качестве параметра возмущения рассматривается параметр проектирования а > 0 .

V(^ = Ри (и(г)+а(Ни (р(г,и,V),х(t,V),и(t),^ + ^(t))), t е Т. (9) 5 (t) находится из алгебраического уравнения

Н ( р (t, и, V), х ( ^ V), V (t), t)- Н ( р (t, и, V), х (^, V ), и ^ ), t ) =

{Ни (р(t,и,V),х(t,V),и(t),t) + 5(t),V(t)-и(t^ . (10)

Невозмущенное условие получается из возмущенного (9) - (10), при а = 0 , которое имеет тривиальное решение V (t) = и (t), t е ^ ].

Итерационный процесс решения задачи (9) - (10) имеет вид

/+1 (0 = Ри (и0 (0 + а(Ни (р(t,и0,/), х(t,/),и0 (0,^ + 5(t))) , (11)

Н(р(X,и0,V?),х(t,/),V' (t),t)-Н(р(X,и0,V'),х(t,/),и0 (t),t) =

(ии (р(t,и0,Vк),х(t,Vк),и0 (^,^ + 5(t),Vк (t)-и0 (^, t е Т, (12)

где и0 е V - начальное приближение. 5 (t) выражается из (12), причем, при вычислении 5 (t) надо учесть некоторые условия:

1. Если все компоненты л>к (t ) = и0 (t) , то алгебраическое уравнение (12) выполняется тождественно. В этом случае компоненты 5 (V) могут принимать произвольные значения, тогда полагаем значения всех компонент 5 (7) = 0;

2. Если, хотя бы одна компонента вектора л>к (t) Ф и0 (t) , то полагаем значения всех остальных компонент 5{ (^) = 0 . Тогда для этой компоненты однозначно определяется соответствующая компонента 5 ^) из формулы (12).

В случае линейной по управлению задачи (1) - (3) полагаем 5(t) = 0, t е Т. [4, 5].

Итерационный процесс для расчета дифференциально-алгебраической сопряженной системы (5) -(8) представляется в форме:

рк+1 « = -Н (рк+1 (0,х0 (0,и0 (0,0-г(0, (13)

рк+1 (1 ) = -% (х0 (^ ))- q , (14)

Н(рк (I),хк (t),и0 (I),t)-Н(рк (I),х0 (t),и0 (I),t) =

(Нх ( рк (t), х0 (t), и0 (t), ^ + г (t), хк (t)-х0 (t)) , (15)

cp(xk (t,)) — p (X (t,)) = (x0 (t,)) + q, xk (t,) — x0 (t,)). (16)

где pk (t) = p(t,u0, vk), xk (t) = x(t, vk).

Вычисляя r (t) и q из уравнений (И) - (!6) также необходимо учитывать некоторые условия:

L Если все компоненты xk (t) = x0 (t), то алгебраическое уравнение (И) выполняется тождественно. В этом случае компоненты r (t) могут принимать произвольное значение, тогда выбираем значения всех компонент r (t ) = 0. Также, если в конечный момент выполняется xk (t, ) = x0 (t,), уравнение (!6) обращается в тождество, поэтому задаем q = 0 для всех компонент;

2. Если, хотя бы одна компонента вектора xk (t) ^ x0 (t), соответствующая компонента r (t) однозначно определяется для этой компоненты из формулы (И) при условии равенства нулю остальных компонент. Если при этом t = t,, то соответствующая компонента для q определяется из уравнения (,6) при условии равенства нулю остальных компонент.

В случае линейной по управлению задачи (!) - (3) полагаем r (t ) = 0, t е T, q = 0. [4, 5].

2. Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент проводится на известных задачах в плане их численного решения тем или иным методом.

В примерах вычисленные значения управляемых, фазовых и сопряженных переменных запоминались в узлах равномерной сетки с шагом дискретизации At = Ю 3 на отрезке [t0, t, ]. В промежутках

между соседними узлами сетки значение управления принималось постоянным и равным значению управления в левом узле. Численный расчет задачи проводился до первого улучшения. Далее строилась новая задача, и итерационный алгоритм повторялся. В качестве критерия остановки выбиралось

условие Ф(uk^) — ф(ык) < ф(пк) •£ , где £ > 0 - заданная точность (в примерах s = Ю-4). Эффективность методов также зависит и от алгоритмов, используемых для решения вспомогательных задач, например, интегрирование дифференциальных систем. Численное решение фазовых и сопряженных задач Коши осуществлялось методом Рунге-Кутта-Вернера пятого или шестого порядка точности с помощью библиотеки IMSL языка Fortran PowerStation 4.0 [2]. За единицу трудоемкости, аналогично [3, 7], взято решение задачи Коши отдельно для фазовой и сопряженной системы. Сравнительный анализ методов решения проводится по суммарному количеству задач Коши.

Пример 1. Рассмотривается задача, связанная с оптимизацией некоторого химического аппарата [9] (стр. 255 - 263). Данная задача также рассматривалась в работе [7].

x, (t) = — (k, (u) + k2 (u) + k3 (u)) x,, x, (0) = \ < x2 (t) = k, (u ) x, — k4 (u ) x2, x2 ( 0 ) = 0,

x3 (t) = k4 (u) x2 — k5 (u) x3, x3 (0) = 0.

u(t)е [0,823], t е[0Д]. Ф (u) = — x3 (^ ^ min.

Система дифференциальных уравнений описывает реакции, протекающие в смеси трех веществ, где xi (t), i = \ 2,3 - их концентрация. Первым веществом является сырье, второе - промежуточный

продукт, а третье - окончательный результат. Управление u (t) является температурой, от которой зависят интенсивности реакции.

Функции ki (u), из системы дифференциальных уравнений, имеют вид

Е ( 1 1

I = 1,...5

к (и) = С, ехр у ' 1 [ R 658 и.

Данный вид характерен для химической кинетики. Значения постоянных (аналогично [7, 9]) равны

С = 1.02, С2 = 0.93, С3 = 0.386, С4 = 3.28, С5 = 0.084, R = 1.9865, Е1 = 16000, Е2 = 14000,

Е3 = 15000, Е4 = 10000, Е5 = 15000.

В [9] данная задача решалась при помощи метода проекции градиента (МПГ), в [7] - методом условного градиента (МУГ) и методом условного квазиградиента 1-го порядка (МУК - 1), т.е. методами градиентного типа. В данной работе проводится расчет при помощи нелокального метода улучшения. Для решения задачи введем необходимые конструкции.

Функция Понтрягина для заданной задачи записывается следующим образом: Н (р, х, и, t) = -р1 [к1 (и) + к2 (и) + к3 (и)] х +

+р2 [кх (и ) х! - к4 (и ) х2 ] + р3 [к4 (и) х2 - к5 (и ) х3 ] .

Градиенты:

Н = -Л [к1 + к2 + к3 ] + р2к1 , Нх2 = -р2к4 + р3к4 , Нхъ = -р3к5 .

3

Ни = - р1 х1

Е ё1 (и)

1=1

+ р2 ( и ) - р2 х2 ё4 (и ) +

+р3х2ё4 (и ) - р3 х3ё5 (и ),

, ч ёк (и) Е / ч где ё (и )= Л ' = —Ц-к, (и), 1 = 1,...,5. л ' ёи Ки2 л '

Так как в данной задаче f (х, и, t), F (х, и, t) и (р(х) линейны по х, значит дифференциально-алгебраическая сопряженная система сведется к стандартной

р1 (t) = Р: [к1 (и) + к2 (и) + к3 (и)] - Р2к1 (и), Р: (1) = 0, р2 (t) = р2к4 (и) - р3к4 (и) , р2 (:) = 0, р3 (t)= р3к5 (и) , р3 (:) =

Итерационный процесс (11) - (12) для рассматриваемой задачи выглядит следующим образом: ик+1 (t) = Ри (и0 (t) + а(Ни (рк (t),хк (t),и0 (t),t) + 5(t))) ,

Н(рк (t),хк (t),ик (t),t)-Н(рк (t),хк (t),и0 (X),X)

К х ) = ■

ик (V)- и0 (V)

-Ни (рк ( V), хк (V), и0 ( V), V) . к = 0,1,2,..

Здесь хк (V) и рк (V) - решение фазовой и сопряженной системы, соответственно, на к -ой итерации метода. 5 (V) вычисляется, соблюдая условия описанные выше.

В качестве начального приближения выбиралось управление и0 (V) = 600 . В таблице 1 приводятся

результаты, полученные рассматриваемым методом (ПМНУ), при различных значениях параметра

а , и методами из [7, 9] (МУГ, МУК - 1, МПГ) (Ф обозначает наилучшее значение функционала). Для МПГ не указано число задач Коши, в связи с тем, что Р. П. Федоренко в [9] не вводил критерий трудоемкости.

Таблица 1

Сравнительный анализ эффективности

Ф Число задач Коши

МУГ -0.43620 876

МУК - 1 -0.43682 215

МПГ -0.435 —

ПМНУ (с = 104) -0.43735 47

ПМНУ (с= 103) -0.43558 155

ПМНУ (с= 105) не сходится —

При дальнейшем уменьшении параметра возмущения возрастает количество решенных задач Ко-

ши и падает точность значения функционала. При увеличении параметра возмущения до с = 105 (и выше) ПМНУ не сходится.

На рисунках 1 и 2 показаны итоговое значение управления (рисунок 1) и фазовые траектории (рисунок 2) решения задачи, рассчитанные модифицированным проекционным методом нелокального

улучшения.

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0.8 0, 1

Рис. 1. Управление

о,9 -

- -I

Рис. 2. Фазовые траектории

Пример 2. Рассмотривается задача оптимального управления шаговым электродвигателем [3,7]. с, (t ) = х2,

, (t) = -ax2 - b

u, sin (2x,) + u2 sin f 2x, + 2T j + u3 sin f 2x, - 2T

(t) = x,2 + k,u, + k2u2 + k3u3.

u.

T

x, (0) = y, x2 (0) = 0, x3 (t) = 0

(t)е[0Дб], i = ,,2,3, t e [0,0.05]. ф(u) = x3 (0.05) ^ min.

Здесь x, (t) - положение вала двигателя, x2 (t) - его скорость, x3 (t) - требование стабилизации

электродвигателя. Управления u, (t), u2 (t), u3 (t) соответствуют квадратам токов в обмотках. Требуется минимизировать функционал, т.е. привести положение вала к нулю при минимальных затратах.

Значения параметров (аналогично [3, 7]) равны

к. = 0.00,, i = ,,2,3; a = 50, b = Ю00.

В [7] данная задача решалась с помощью метода условного градиента (МУГ) и методами условного квазиградиента ,-го и 2-го порядка (МУК - ,, МУК - 2), в [3] с помощью метода проекционных возмущений условия оптимальности (МПВУО). В данной работе сравниваются результаты, полученные этими методами, с результатами модифицированного проекционного метода нелокального улучшения.

Аналогично примеру , введем необходимые конструкции.

Функция Понтрягина:

( (

H (p, x, u, t) = p,x2 - p2

ax2 + b

v

u, sin (2x,) + u2 sin | 2x, + 2T | +

f 2t ||| / 2 ч

+u3 sin |2x, ——j + p3 (x, + k,u, + k2u2 + k3u3).

Градиенты:

f

Hxi = -2bp2 u, cos (2x,) + u2 cos

2x +--I + u cos

, 3 J 3

V

2t

2x--

v

Hx = 0,.

x3

2t

+ 2 P3x, Hx2 = P, - ^

2t

Составим дифференциально-алгебраическую сопряженную систему (q = 0, так как (р( х) линейна по х):

2т

2т

p, = 2bp2 u, cos (2x,) + u2 cos I 2x, +--I + u3 cos I 2x,--

3

3

-2 p3 x, - Г (t)

p2 = ap2 - P, - r2 (t) , p3 = -r3 (t),

p, (0.05) = 0, p2 (0.05) = 0, p3 (0.05) = -,, где r (t) определяется из уравнения (!5):

3

Н (рк (V), хк (V), и0 (V), V)-Н (рк (V), х0 (V), и0 (V), V)

г (7) =

хк ( V )- х0 ( V )

-Нх (рк (V),х0 (V),и0 (V),V) , 1 = 1,2,3.

При его вычислении необходимо учитывать условия, описанные выше. хк (V) и рк (V) - решение фазовой и сопряженной системы, соответственно, на к -ой итерации метода Применим итерационный процессе (11) - (12), где 5 (V) = 0, так как задача линейна по управлению. В качестве начального

приближения возьмем управление и0 (V) = 0, 1 = 1,2,3 .

В таблице 2 приведены результаты, полученные для различных параметров а в методах МПВУО

, *

[3] и ПМНУ, и результаты, полученные методами из [7] (МУГ, МУК - 1, МУК) (Ф обозначает наилучшее значение функционала).

Таблица 2

Сравнительный анализ эффективности

Ф Число задач Коши

МУГ 0.00817 617

МУК - 1 0.00988 410

МУК - 2 0.00792 287

пмну (а = 102) 0.00779 309

мпвуо (а = 102) 0.00779 309

пмну (а = 150) 0.00778 229

мпвуо (а = 50) 0.00783 593

пмну (а = 50) 0.00784 477

Уменьшая параметр возмущения до а = 10 в методе ПМНУ получаем значение функционала

Ф = 0.00794 при трудоемкости 243 задачи Коши (при дальнейшем уменьшении возрастает количество решенных задач Коши и падает точность значения функционала). При увеличении параметра возмущения до а = 200 (и выше) ПМНУ не сходится.

Полученные значения управления и фазовых траекторий изображены на рисунках 3, 4 и 5. Итоговое управление и2 = 0 и на рисунках не представляется.

^ |

------ 1 ^-♦-♦-»

0,01 0,02 0,03

0,04 0,05

Рис. 3. Управления 17

1,1 ,

0,2 ■

"ОД 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Рис. 4. Фазовая траектория Х1 (I)

0,01 [ 0,02 0,03 0,04 0,05

-20 ■

-40 ■

-60 ■

-ВО ■

-100 ■

-120 ■ -X 2

Рис. 5. Фазовая траектория х2 (I)

По таблице 2 видно, что для параметра X = 150 (экспериментально подобранного) ПМНУ оказывается более эффективным, так как он дает лучшее значении функционала, затрачивая при этом меньшее число задач Коши. При сравнение ПМНУ с МУГ, МУК -1, МУК - 2 видно, что значение функционала, полученное ПМНУ меньше значения функционала для других методов. Таким образом, сравнительный анализ показывает, что рассматриваемый метод является эффективным и по трудоемкости, и по значению целевого функционала.

Заключение

Традиционно для решения задач оптимизации применяются градиентные процедуры [6, 9], в которых в общем случае релаксация по функционалу обеспечивается лишь локально. Методы возмущений не гарантируют релаксацию функционала на каждой итерации, но компенсируют это отсутствием операции параметрического поиска. Нелокальность улучшения обеспечивается фиксированностью параметра возмущения. Данное свойство (нелокальность улучшения) при поиске решения является существенным фактом повышения эффективности. Проведенные численные расчеты продемонстрировали в рамках рассматриваемых задач повышенную эффективность нелокальных методов по сравнению с градиентными процедурами.

Литература

1. Аргучинцев А.В. Решение задачи оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболической системы на основе точных формул приращения // Известия высших учебных заведений. Математика. 2002. № 12. С. 23-29.

2. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL. Ч. 3. М.: Диалог-МИФИ, 2001. 368 с.

3. Булдаев А.С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Издательство Бурятского госуниверситета, 2008. 260 с.

4. Булдаев А.С., Моржин О.В. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений // Вестник Бурятского госуниверситета. 2010. Вып. 9: Математика, информатика, с. 10 -17.

5. Булдаев А.С., Моржин О.В. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Известия Иркутского госуниверситета. Серия «Математика». 2009. Т. 2, № 1. С. 94-106.

6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

7. Срочко В.А., Антоник В.Г., Мамонова Н.В. Вычислительное сравнение методов градиентного типа в задачах оптимального управления // Известия Иркутского государственного университета. Математика. 2007. № 1. С. 275-290.

8. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Наука, 2000. 160 с.

9. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 487 с.

10. Krotov V. F. Global methods in optimal control theory. New York: Marcel Dekker, 1996. 408 p.

Бурлаков Иван Дмитриевич, аспирант кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, e-mail: [email protected]

Burlakov Ivan Dmitrievich, postgraduate student, applied mathematics department, Buryat State University.

УДК 517.93

© О.Р. Козлова

применение метода вектор-функций ляпунова к задаче нормирования воздействий

Дана обобщенная постановка задачи нормирования внешних воздействий для непрерывных динамических систем. С использованием векторных дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова (ВФЛ) получены достаточные условия свойства Я-технической устойчивости, составляющего основу задачи нормирования. Для квазилинейных систем дана процедура построения ВФЛ и нелинейной системы сравнения, используемых для построения алгоритмов проверки свойства технической устойчивости.

Ключевые слова: техническая устойчивость, вектор-функции Ляпунова, нормирование.

O.R. Kozlova

APPLICATION OF LYAPUNOV'S VECTOR FUNCTIONS METHOD TO A PROBLEM OF EFFECTS NORMALIZATION

The generalized definition of an external effects normalization problem for continuous dynamic systems is given. The sufficient conditions of Я-technical stability containing the basis of normalization problem have been obtained by use of vector differential inequalities and Lyapunov's vector functions (LVF). For quasi-linear systems the procedure of construction LVF and nonlinear comparison system, used for construction technical stability checking algorithms has been given.

Keywords: technical stability, Lyapunov's vector functions, normalization.

Введение

Задачи нормирования внешних воздействий возникли, прежде всего, в связи с проблемами охраны окружающей среды. Применительно к экологии задача нормирования состоит в определении для каждого из источников антропогенных воздействий таких пределов, при соблюдении которых исключаются нежелательные изменения природной среды и обеспечиваются приемлемые для здоровья человека условия [4]. Однако подобная постановка оказывается полезной и при решении других прак-