6XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
УДК 62-82
Зимин Алексей Иванович Zimin Aleksey Ivanovich
Доктор технических наук, профессор Doctor of Technical Sciences, Professor Московское высшее общевойсковое командное училище Moscow higher military command school Чабунин Игорь Сергеевич Chabunin Igor Sergeevich Кандидат технических наук, доцент Candidate of Technical Sciences, Associate Professor Московское высшее общевойсковое командное училище
Бронникова Лариса Михайловна Bronnikova Larisa Mikhailovna Краснокаменский горно-промышленный техникум Krasnokamensk Mining and Industrial Technical School
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ
ANALYSIS OF FLUID MOTION IN TIME-DEPENDENT HYDRAULIC RESISTANCES
Аннотация: В статье рассмотрено нестационарное движение жидкости для технических устройств (аппаратов) роторного типа, которые снабжены элементами с гидравлическими сопротивлениями, параметры которых зависят от времени. Получено уравнение, решения которого позволяют определять влияние различных факторов на параметры нестационарного движения жидкости через гидравлическое сопротивление, зависящее от времени. Рассмотренный подход к анализу нестационарного движения жидкости можно распространить и на анализ движения жидкости через другие гидравлические сопротивления, зависящие от времени, задавая или определяя из соответствующего эксперимента функцию «коэффициент гидравлического сопротивления - время».
ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ
Abstract: The article considers the non-stationary fluid motion for technical devices (apparatuses) of the rotary type, which are equipped with elements with hydraulic resistances, the parameters of which depend on time. An equation is obtained, the solutions of which allow us to determine the influence of various factors on the parameters of non-stationary fluid movement through hydraulic resistance, depending on time. The considered approach to the analysis of non-stationary fluid motion can be extended to the analysis of fluid motion through other time-dependent hydraulic resistances by setting or determining the function «coefficient of hydraulic resistance - time» from the corresponding experiment.
Ключевые слова, нестационарное движение жидкости, уравнение Бернулли, гидравлический аппарат, переменное гидравлическое сопротивление.
Keywords: unsteady fluid motion, Bernoulli equation, hydraulic apparatus, variable hydraulic resistance.
Классическая гидравлика, или по-другому - техническая механика жидкости, изучает стационарное движение жидкости, т.е. такое движение, при котором параметры жидкости постоянны во времени. Вместе с тем, очевидно, что реальные движения жидкости в природе и технических устройствах являются неустановившимися, нестационарными, зависящими от времени и, более того, являются прерывистыми движениями. т.е. характеризуются значительной нестационарностью. Нестационарная техническая механика жидкости изучает реальное движение жидкости в различных технических устройствах с преимущественно разгонно-тормозным режимом течения жидкости в энергопреобразующих элементах этих устройств. Предметом нестационарной технической механики жидкости является зависящее от времени движение жидкости в технических устройствах с целью установления основных закономерностей этого движения для
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ их использования при решении различных прикладных задач инженерного, эксплуатационного характера.
Нестационарное (неустановившееся) движение жидкости - такое движение, при котором скорости частиц жидкости и величина давления в жидкости в различных точках пространства различны в различные моменты времени. Т.е., скорость и и давление р жидкости в общем случае являются функциями не только пространственных координат, но и времени: и = и у, z, p = p у, z,
С другой стороны, стационарное (установившееся) движение жидкости - это такое движение, при котором скорости частиц жидкости и величины давления в жидкости в различных точках пространства неизменны в различные моменты времени, но могут отличаться от точки к точке, оставаясь постоянными для конкретной точки пространства. Скорости и давления, изменяясь во времени в данной точке пространства, изменяются также при перемещении частицы жидкости из одной точки в другую точку. Говоря по-другому, скорость и давление жидкости являются функциями только пространственных координат той области пространства, в которой движется рассматриваемый поток жидкости: и = и у, z), p = p у,
При стационарном (устоявшемся) движении жидкости в отличие от нестационарного (неустановившегося) движения выполняются условия равенства нулю частных производных по времени компонентов скорости течения жидкости и давления жидкости: дux /д t = 0; диу /д t = 0; дш /д t = 0; дp/д t = 0.
Следует признать, что стационарные движения жидкости (в определённом выше смысле) в реальной технической (инженерной) практике встречаются крайне редко.
Не ограничивая общности, рассмотрим так называемые нульмерные нестационарные течения жидкости, т.е. такие движения
ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ жидкости, параметры которых зависят только от одной координаты -временной и не зависят от пространственных координат.
При выводе и формулировке законов нестационарной технической механики жидкости применяются методы теоретической механики. Однако, значительная сложность процессов, протекающих в нестационарно движущейся жидкости, не позволяет получить полное теоретическое решение задачи для любых геометрических параметров пространственной области, в которой рассматривается движение жидкости. Поэтому приходится существенно упрощать модель движения жидкости, до некоторой степени упрощать описание гидромеханического процесса, а теоретические методы дополнять данными, полученными из экспериментов.
Характерным примером нестационарного движения жидкости является движение жидкости гидравлических сопротивлениях, зависящих от времени. Такое движение жидкости - это движение жидкости преимущественно в устройствах с разгонно-тормозным режимом течения рабочей среды в элементах этих устройств (такими устройствами являются, например, двигатели внутреннего сгорания, карбюратор, гидравлические передачи, гидромеханические сирены, различные диспергирующие и эмульгирующие устройства технологического назначения).
Рассмотрение и анализ нестационарных движений жидкости будем проводить для таких течений, параметры которых зависят только от времени и не зависят от пространственных координат, для технических устройств (аппаратов) роторного типа, которые снабжены элементами с гидравлическими сопротивлениями, параметры которых зависят от времени (будем называть их прерывателями течения). Прерывание потока жидкости происходит за счет изменения (чаще всего, периодического изменения) геометрических параметров устройства, обусловленного движением элемента (например,
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ цилиндрического ротора с каналами в его стенках), движущегося по определённому (заданному) закону относительно неподвижного элемента (например, цилиндрического статора с каналами в его стенках) устройства. Ротор и статор размещены на одной оси с некоторым постоянным радиальным зазором между ними. При этом зависимость гидравлического сопротивления от времени такого устройства, достаточно резкая, т.е. движение жидкости в этом случае -прерывистое.
Значительная сложность нестационарных гидромеханических процессов в прерывателе (в частности, зависящие от времени начальные и граничные условия для скорости и давления) не дают возможности использовать уравнения Навье-Стокса, поскольку непосредственное описание нестационарных гидромеханических процессов в прерывателе связано с использованием нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными начальными и граничными условиями, по большей части неизвестными. Значительную, можно утверждать, особенную трудность для решения дифференциальных уравнений движения вызывает то, что границы расчётного участка рассматриваемой пространственной области подвижны. В связи с этим необходим поиск простых, но эффективных, корректных моделей течения, соответствующих реальному нестационарному гидромеханическому процессу.
Математической моделью, в достаточной мере полно и корректно отражающей основные закономерности нестационарных гидромеханических процессов в прерывателе роторно-статорной гидравлической машины, образованном каналом вращающегося ротора и неподвижного статора и радиальным зазором между ротором и статором, является уравнение Бернулли [1, с. 35], записанное с учетом
ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ того, что жидкость в таком, говоря обобщённо, гидравлическом
сопротивлении движется нестационарно:
2 2 dv v v Bw Ap
pl — + Al — + ç— +-= —
dt 2d 2 2d p
(1)
vit ) = f
где p - коэффициент количества движения жидкости; S0
- мгновенное значение средней по сечению канала статора скорости
жидкости, функция времени, подлежащая определению; -
объемный расход жидкости, функция времени, подлежащая
s
определению; S0 - площадь сечения канала статора (выходного отверстия),; p - плотность жидкости; l - суммарная толщина боковых стенок ротора и статора и радиального зазора 5 между ротором и статором; A - коэффициент гидравлического сопротивления трения; d
- гидравлический диаметр каналов прерывателя; Ap - перепад
давления на прерывателе; dt ) - зависящий от времени коэффициент местного гидравлического сопротивления прерывателя, заданная функция времени; B(t) - зависящий от времени коэффициент гидравлического сопротивления, учитывающий потери напора, линейно зависящие от скорости жидкости, заданная функция времени; w - коэффициент кинематической вязкости жидкости.
Данное уравнение отличается от обычно приводимого в курсах гидравлики уравнения Бернулли тем, что в него включена производная скорости по времени, а коэффициенты p, A и d являются «нестационарными», т.е. отличающимися от соответствующих коэффициентов, которые используются в стационарном режиме (и приводятся в справочниках). Эти коэффициенты являются функциями времени, определяемыми из экспериментов. Указанное отличие определяется тем, что эти коэффициенты зависят от времени в
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ соответствии с изменением распределения скоростей, турбулентных пульсации и среднерасходной скорости жидкости, а также от вида нестационарного процесса.
Учитывая то, что рассчитанные с учетом нестационарности касательного напряжения на стенке канала потери давления всего на несколько процентов больше потерь давления, рассчитанных для стационарного случая, примем коэффициент X равным стационарной величине. Коэффициент Р с достаточной для инженерных расчетов точностью можно принять равным единице [1, с. 37]. Поскольку характерные величины времени нестационарного гидромеханического процесса в прерывателе значительно превышают время распространения упругих колебаний 1/с (с - скорость звука в жидкости), примем, что жидкость несжимаема. Таким образом, уравнение (1) принимает вид:
Лу 1 I — + -& 2
^ V2 /Л 2
XI — + д(г V2 +
Ар Р
(2)
Необходимо учесть влияние давления, генерируемого прерывателем, на параметры гидромеханического процесса, - давления акустической природы. Принимая источник давления акустическим монополем [2, с. 195], излучающим в полупространство, для переменного давления, генерируемого выходным отверстием канала статора, можем записать:
Р^ ) =
Р
£0 Лу
7 &
(3)
Давление, генерируемое выходным отверстием канала статора переменно, является функцией времени, и в фазе положительного давления несколько тормозит движение жидкости. Аналогичное
ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ действие оказывает и давление, генерируемое входным отверстием канала ротора, поскольку работает в противофазе с выходным отверстием. Тогда уравнение (2) принимает вид:
БуУ '
I + (1 + Г)
«0 ж
йу 1
— + -
йг 2
ж >:
+
й
Ар Р
(4)
Здесь Г - квадратный корень из отношения площадей выходного и входного отверстий прерывателя, образованного указанными каналами и радиальным зазором между ними. Кроме того, здесь учтено, что в важных для инженерной практики случаях сопротивление трения существенно меньше местных гидравлических сопротивлений.
Из структуры уравнения (4) видно, что учет влияния генерируемого переменного давления на движение жидкости в прерывателе роторного аппарата сводится к увеличению эффективной
1е = I + (1 + Г)
длины прерывателя до величины
V
«о ж
В дополнение к статическому перепаду давления
Ар
«двигающему» жидкость через прерыватель, необходимо учесть влияние на процесс течения давления, возникающего из-за вращения жидкости в полости ротора, и действующих в этом случае центробежных сил инерции:
1 9 9
¿РФ = ^Рп кр (5)
где О - угловая скорость ротора, Rp - радиус внешней поверхности ротора (поверхности, обращённой к статору.
Тогда уравнение (4) сводится к следующему виду:
XI МЕЖДУНАРОДНАЯ НА УЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
2 Б\чЛ 1
+- =
Л у
(6)
Из этого достаточно громоздкого дифференциального уравнения можно тем не менее сделать очевидный вывод о том, что в начальный интервал времени, когда гидравлическое сопротивление прерывателя велико (каналы ротора и статора не совпадают), а скорость жидкости ещё мала (напор жидкости ещё не успел разогнать жидкость), зависимость скорости жидкости от времени линейна:
Уравнение (6) целесообразно решать численно методом Рунге-Кутты [3, с. 175], для широких интервалов изменения коэффициента гидравлического сопротивления, гидродинамического напора жидкости, угловой скорости вращения ротора, значений зазора между ротором и статором. Начальные условия для величины ускорения жидкости принимаются нулевыми, а для скорости жидкости - из решения соответствующего квадратного уравнения (при нулевом ускорении уравнение (7) обращается в алгебраическое уравнение) при нулевом ускорении (отрицательный корень при решении квадратного уравнения следует отбросить, т.к. отрицательная скорость (т.е. течение жидкости навстречу перепаду гидродинамического давления) в данной ситуации невозможна.
Решения уравнения (6) позволяют определять влияние различных факторов на параметры нестационарного движения жидкости в каналах роторно-статорного аппарата - через гидравлическое сопротивление, зависящее от времени. Рассмотренный подход к анализу нестационарного движения жидкости можно
(7)
ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ распространить и на анализ движения жидкости через другие гидравлические сопротивления, зависящие от времени, задавая или определяя из соответствующего эксперимента функцию «коэффициент гидравлического сопротивления - время».
Библиографический список:
1. Зимин А.И. Прикладная механика прерывистых течений. - М.: Фолиант, 1997.- 308 С.
2. Лепендин Л.Ф. Акустика.- М.: Высшая школа, 1978.- 240 С.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1978. - 576 С.
