CC BY
6
УДК 621.928
АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ВОЛОКОН В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ
АНАНЬЕВ С.С., студ., МИЗОНОВ В.Е., д-р техн. наук, проф.
Предложена математическая модель волокна, представляющая его совокупностью точек, подчиненных жестким связям. Модель позволяет описывать движение волокна в потоке вязкой жидкости или газа и прогнозировать эволюцию его формы и ориентации.
Задача прогнозирования поведения волокнистых материалов актуальна для довольно широкого спектра химических технологий и смежных отраслей. Несмотря на то, что задача моделирования движения одиночных частиц в потоке газа достаточно хорошо сформулирована, математических моделей движения волокнистых материалов практически не существует, что значительно усложняет проектирование соответствующих технологических процессов. Ниже рассмотрен один из возможных подходов к решению этой задачи.
Идеальную модель гибкого волокна можно представить в виде тонкой нерастяжимой нити. Будем считать, что волокно имеет постоянные по его длине линейную плотность X и коэффициент изгибной жесткости w. Длина волокна равна I. Тогда его масса определится выражением т=Х1. Коэффициент изгибной жесткости w определим как потенциальную энергию свернутого в кольцо волокна единичной длины.
Несмотря на кажущуюся простоту этой модели, описать с ее помощью движение гибкого волокна в потоке вязкой жидкости или газа весьма затруднительно. Поэтому возникла идея рассматривать волокно как совокупность тонких, невесомых и нерастяжимых стержней, соединенных друг с другом посредством точечных шарниров, имеющих определенную массу. Будем при этом считать, что массы всех шарниров новой модели одинаковы, а длины соединяющих их стержней также равны. Это следует из условия постоянной линейной плотности идеального волокна.
Если число стержней, соединенных шарнирами, обозначить как п, то длина одного стержня равна А1=1/п, а масса одного шарнира -Ат=т/(п+1).
Положение 1-го шарнира модели определяется радиус-вектором г:. Каждый 1-ый стержень модели можно представить в виде вектора, соединяющего 1-й и (¡+1)-й шарнир: Аггп-ц-п
Эту модель волокна иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1 Расчетная модель волокна
Очевидно, что модуль любого вектора Аг: равен длине стержня А1. Это значит, что имеет место равенство
,2
АН
А1
= 1.
(1)
Это равенство является условием нерастяжимости идеального волокна.
Продифференцировав два раза по времени обе части этого равенства, получим
ч 2
(2)
Аг^Ал ГАГ, . = 0 А1 А1 I А1 ]
Для определения вектора ускорения 1-го шарнира необходимо знать все действующие на него силы. При отсутствии изгибной упругости это внешние силы О:, а также силы реакции (М)-го и 1-го отходящих от него стержней. Обозначим величину силы реакции 1-го стержня как 14. Условимся, что если имеет место растяжение стержня, то N¡>0, а если имеет место сжатие, то N¡<0. Очевидно, что направление этой силы
АГ:
соответствует единичному вектору -.
А1
Следовательно, на ¡-й шарнир со стороны этого
стержня действует сила
N
А1
а на (¡+1)-й
шарнир - сила
1 А1
Для ¡-го и (¡+1)-го шарниров в соответствии со вторым законом Ньютона имеем:
•• 1 Г _ . . АГ .. Аг:1
Г =—I О: + N—1 - К.,—1-1 : Ат I : ¡ А1 и А1
1
Г+1 =АтI О:+1 +
Аг:+1 _ м АЛ
А1
(3)
(4)
Вычтем из уравнения (4) уравнение (3), поделим обе части получившегося равенства на А! и, используя обозначение АОрОм-ф, получим
= +1 Гмм Аы _ 2ЦА! + Мм А-Ц!. (5)
А! Ат ^ А! А! ^ ¡_1 А1 ¡ А1 ¡+1 А1 ))
Это уравнение справедливо для всех I в интервале от 2 до (п-1). При 1=1 в уравнении
М АГ:_1
отсутствует член N^1 А1 , а при 1=п - член
N
А1
Подставив в уравнение (2) вместо А!
А!
правую часть уравнения (5), после преобразований получим
АГ' АГ'_1- _ 2^+^ =
А1 А1
А1 А1
АЧ + ГАП | Ат
А1 А! I А1
(6)
А!
При ¡=1...п последнее уравнение превращается в систему п линейных алгебраических уравнений с неизвестными N1, Решение этой системы дает неизвестные силы реакции стержней. Подставляя значения этих сил в соотношение (3), получаем уравнение движения ¡-го шарнира.
В шарнирно-стержневой модели не абсолютно гибкого волокна на каждый шарнир, кроме внешних сил и сил реакции стержней, действуют также силы, обусловленные изгибной жесткостью волокна.
В идеальной модели волокна коэффициентом изгибной жесткости « мы называли потенциальную энергию свернутого в кольцо волокна единичной длины. Это же определение можно распространить и на шарнирно-стержневую модель волокна. Однако, используя это определение , невозможно вычислить внутренние силы, возникающие в волокне из-за изгибной жесткости.
Поэтому для шарнирно-стержневой модели целесообразно ввести еще один коэффициент изгибной жесткости, который позволит вычислить величины этих сил. Обозначим его буквой к и определим его как коэффициент
пропорциональности между изгибающим моментом, возникающим в ¡-ом шарнире, и углом между векторами Агм и Ап. Между величинами « и к можно установить связь:
w = 2п 2кА1. (7)
Вектор изгибающего момента, возникающего в ¡-ом шарнире, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат отходящие от него стержни, то есть перпендикулярно векторам АГ'-1 и Ап. Как было сказано, величина этого момента прямо пропорциональна углу между этими векторами. Однако, если число стержней в модели достаточно велико (п—ю, А!—0), то этот угол достаточно мал (ф|—>0), и можно записать, что ф|«Б|пф|. Тогда величина момента равна М|«кБ1пф|
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что при малом угле ф| вектор изгибающего момента, возникающего в |-ом шарнире, равен произведению коэффициента изгибной жесткости к на векторное произведение единичных векторов Аги/А! и Аг/А!. Тогда моменты, действующие на (|-1)-й и |-й стержни со стороны |-го шарнира, определяются, соответственно, по формулам:
М'' 1 = к^Ы ХАГ1;
" А! А! (8) М„ = к ^ хАГы .
',' А! А!
Эти моменты обуславловают возникновение на концах каждого стержня пары сил. Эти силы приложены к шарнирам. Обозначим одну из этих сил, приложенную к ]-тому шарниру со стороны |-го шарнира, как Ру, причем ]=|±1. Так как каждая из сил Р|,м, Р|,|+1, имеет пару, то на |-ый шарнир со стороны его же самого действуют силы -Р|,и и -Р|,1+1. Сказанное иллюстрирует рис. 2.
Г+1
Рис. 2. Силы, обусловленные изгибной жесткостью волокна
Величины и направления изгибающих сил таковы, что
АГ'-1
Ми_1 = Р,м Х аГм = —АГ Х Р','_1А!; Аг
(9)
Мц+1 = Дг, Х Р,м = _-А- Х Р..+1А!.
Сравнивая уравнения (8) и (9), с учетом (7) можно записать
P =___ .rill
1 i i Л
i,i-1
P
k Ar =
Л! Al k Ari-1
w
Ar
i,i+1
Л! Л! 2n2A!2 A!
2n2A!2 A! ' w Ari-1
2 л|2
(10)
Так как на ¡-ый шарнир действуют силы Рм,:, Р:+1,:, -Р:,:-1, -Р:,:+1, то суммарная сила, обусловленная изгибной жесткостью, действующая на ¡-й шарнир, равна
Р = Р _ Р _ Р + Р =
П ■¡-•и ■^¡,¡+1 ■¡,м ^ ■ :+1,:
w ГАг
2--ъ-1 +
А1
- 2 Ari-r +Ari Ari+1
(11)
2n2AI2 ^ AI AI AI AI
При i=1 в последнем уравнении присутствует только последнее слагаемое, при i=n+1 - присутствует только первое, при i=2 -отсутствует первое, при i=n - отсутствует последнее.
При вычислении сил реакции стержней в системе (6) векторы Qi заменяются векторами Qi+Pi. Уравнение движения для i-го шарнира получается из уравнения (3) путем такой же замены.
Сумма внешних сил Qi, действующих на i-ый шарнир, складывается из двух составляющих: силы тяжести Fji и силы сопротивления среды Fei.
Если масса одного шарнира - Am, а g - ускорение свободного падения, то сила тяжести, действующая на каждый из шарниров, равна F-n=Am g.
Определим теперь силу сопротивления среды. Пусть скорость газа или жидкости в каждой точке пространства r равна U(r). Тогда скорость движения i-го шарнира относительно среды равна
иотн = Г,- - U(r,). Если коэффициент
сопротивления шарнира среде обозначить как с, то силу сопротивления можно найти по формуле Fci—сиотш.
Однако, если учитывать только поперечную составляющую силы сопротивления, пренебрегая продольной, то эта сила действует только в направлении, перпендикулярном ориентации волокна в данной точке. Поэтому, вычитая из предыдущего результата продольную
составляющую силы сопротивления, получаем окончательную формулу:
Особенно интересные результаты были получены, когда скорость этого течения менялась во времени по синусоидальному закону. Было замечено, что волокно конкретной длины и с конкретной изгибной жесткостью при определенной частоте изменения скорости течения двигалось быстрее волокон, имеющих ту же линейную плотность и коэффициент сопротивлению среды, но другую длину и изгибную жесткость. Будем называть эту частоту резонансной. В результате проведения вычислительных экспериментов получены графики зависимостей резонансной частоты потока от длины волокна и его изгибной жесткости (рис. 3). Величина изгибной жесткости меняется от нуля до практически бесконечности.
1/к1,м
- w/k2=0
-w/k2=0,001 м4/с -w/k2=0,01 м4/с -w/k2=1 м4/с
Рис. 3. Графики зависимостей резонансной частоты потока от длины волокна и его изгибной жесткости
На рис. 3 ki=hgX/cUmax, k2=UmaxX/h, где h -ширина трубы, Umax - максимальная скорость потока.
Полученные данные могут быть использованы для разработки принципиально нового способа разделения волокон по их длине и жесткости путем регулирования скорости потока, в котором они находятся.
FCi=-C
- If AMÏAM - Ii Aü|Aü
и°т™ 2 i и°т™ A! J A! 2 i^ A! J A!
(12)
Описанная модель волокна была запрограммирована на языке Turbo Pascal, а также в системе Matlab. Было рассчитано движение волокна в восходящем течении Пуазейля.
