CC BY
11УДК 621.9.02-229
В.П. Хранилов, Е.В. Тесленко, В.В. Андреев
АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ КОНСТРУКТОРСКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ В САПР
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Цель: выявление связи предлагаемой информационной модели формирования массива конструктивно-технологических параметров детали с моделями функционирования динамических систем автоматического управления.
Методология/подход: системный анализ особенностей применения предлагаемой модели, на основе признаков, характерных для динамических систем.
Результаты: проведенный анализ динамической модели при проектировании дает возможность определить предлагаемую математическую модель как структурно-параметрическую модель в пространстве состояний. Применение: разрабатываемая динамическая модель позволяет описывать процесс формирования конструктивно-технологических параметров при проектировании детали.
Оригинальность/значение: определение разрабатываемой модели как структурно-параметрической модели в пространстве состояний позволяет выработать общую терминологию, единый универсальный математический аппарат и выявить общие закономерности и единство в разнообразных приложениях.
Ключевые слова: автоматизированное проектирование, математическая модель, агрегат, конструктивно-технологические параметры деталей.
Внедрение технологий интегрированной поддержки жизненного цикла продуктов (ИПИ-технологий) активно проводится в передовых отраслях Российской Федерации (авиационная, атомная, машиностроение). На ряде предприятий этих отраслей внедрение находится не на начальной стадии, а далеко продвинуто за этап проектирования. Остро стоит вопрос реализации сквозного цикла проектирование/конечно-элементный анализ конструкции (CAD/CAE) и проектирование/изготовление с использованием станков с ЧПУ (CAD/CAM), проектирование/технологическая подготовка производства (CAD/CAPP).
Конкуренция на рынке изделий машиностроения, сопровождающаяся их усложнением и ростом номенклатуры, требует сокращения длительности конструкторско-технологической подготовки производства. Можно условно сказать, что в разработке и согласовании конструкторской документации взаимодействуют системы «конструктор», «технолог», «метролог».
Для успешного решения задачи управления конструкторско-технологическим взаимодействием систем «конструктор», «технолог», «метролог» при автоматизированном проектировании важен выбор математической модели, используемой в качестве основы алгоритма принятия решения.
При моделировании процесса управления массивом конструкторско-технологических параметров в условиях наличия вариантов в качестве основы предлагается использовать теоретико-множественную модель детали как объекта проектирования [1-3]:
{P} = ^{X},{Z},{V}] (1)
Выражение (1) задает описание способа преобразования параметров детали, заданных совокупностью описаний множества ее поверхностей, с целью исследования модели на предмет выявления в ней возможностей введения элементов автоматического управления, способных реализовать в формализованном виде процедуры автоматизированного проектирования для САПР. При таком подходе проектируемую систему можно представить в виде агрегата [4, 5, 6]
I = [T, {X}, {Z},{V},{fi},{Y},{r}, H, G], (2 )
где T - множество моментов времени; {X} - множество мгновенных значений входных воздействий; {Z} - множество технико-экономических требований, установленных техническим заданием; {V} - множество внешних факторов; {П} - множество допустимых входных
© Хранилов В.П., Тесленко Е.В., Андреев В.В., 2013.
воздействий; (У) - множество мгновенных значений выходных воздействий; {Г} - множество допустимых выходных воздействий; Н - оператор переходов, устанавливающий функциональную связь между переменными; О - оператор, устанавливающий связь между состоянием системы и ее выходной величиной, предопределяющей множество Г.
Такая кибернетическая модель определяет проектируемую систему как «черный ящик», имеющий входы, выходы и внутреннюю конструкцию.
Наличие в модели множества моментов времени Т при условии их дискретности позволяет использовать терминологию и математический аппарат теории конечных автоматов [6]. Введение дискретных отсчетов времени ¿0, ¿1, ¿2, • ••, ¿п не имеет цели отображения процессов функционирования проектируемой вычислительной системы во времени, а используется для фиксирования сложившихся в процессе целенаправленных интерактивных воздействий различных состояний системы. Далее отмеченные дискретные отсчеты времени целесообразно обозначить в виде целых неотрицательных чисел и называть тактами [6]. Множество дискретных состояний системы, представляющее множество вариантов назначения массива параметров детали со своими фиксированными наборами значений параметров, обозначим как 8 = {50, 51, 52, •.., sn}. Наличие множества решений, вызванное вариациями массива параметров деталей в процессе проектирования, изменением вектора требований к конструкции {X}, а также определяемое наличием управляющих воздействий со стороны ЛПР определяет факторы неопределенности принятия проектных решений при ее проектировании.
Учитывая особенности конструкторско-технологических стадий создания проекта детали, необходимо заметить, что реализация этих этапов, как правило, предусматривает выбор параметров формирующих ее геометрических поверхностей. В этом случае исходная обобщенная математическая модель трансформируется.
Исходные множества {и}, {П} отображают не входные воздействия, а управляющие воздействия ЛПР, то есть {и} - множество мгновенных значений управляющих воздействий (и}= (X). и {X} и {П} - допустимые значения векторов {X} и {X}, то есть {П} = (Х}доп. и {Х}доп.. Множество {Г} представляется множеством ограничений на конструктивно-технологические параметры детали {Р}доп.; {Г} = {Р}доп.. Множество {У} в (2) представлено множеством {Р} (1). Вводится {8} - множество состояний системы, интегрирующее мгновенные значения векторов {и} и {V}. Оператор О, устанавливающий связь между состояниями системы { 8} и конструктивно-технологическими параметрами детали { Р}, определяется функционалом Ф, выражающим теоретико-множественное соответствие
{д}= [{Х},{Х},^},{Р},Ф] с учетом определения разных способов осуществления этого соответствия в виде процедур, реализующих зависимости Рг = / (х1, х2, х3,...,хт). Оператор Н, устанавливающий функциональную связь между переменными, в дальнейшем определяется с использованием либо регрессионных зависимостей, либо при помощи моделей, построенных на основе искусственных нейронных сетей.
Таким образом, с учетом наличия управляющих воздействий со стороны ЛПР имеем модель
х = [Т, {8}, {и}, {П}, {Р}, {Г}, {V}, Н, Ф]. (3)
В развернутом виде с учетом приведенных преобразований:
X = [Т, {8}, {X}, {Х},{П}, {Р}, {Г}, {V}, Н, Ф]. (4)
Приведенный агрегат соответствует системе управления моделью формирования массива конструктивно-технологических параметров детали (рис. 1).
С целью описания множества дискретных состояний системы управления процессом формирования массива параметров детали (рис. 1) в процессе автоматизированного проектирования, представляющего множество вариантов реализации детали со своими фиксированными наборами параметров, вводится определение состояния системы 8. Применение его для развития теоретической базы автоматизированного проектирования требует корректного математического определения, обеспечивающего достоверность и обоснованность используемой при этом математической модели.
Рис. 1. Система управления процессом формирования массива конструктивно-технологических параметров детали Рр
Утверждение 2.1. Теоретико-множественная модель {Р} = Ф[{Х}, {2},{У}], определяющая связь между выходными параметрами {Р} детали, состояниями системы 8, параметрами элементов {X}, {2}, при воздействии внешних факторов {У} описывает поведение динамической системы X = [Т, {8}, {Х},^}, {П}, {Р}, {Г}, {V}, Н, Ф].
Доказател ьство
Определим свойства системы, описываемой моделью (3), рис. 1.
1. Заданы следующие множества: множество моментов времени Т; множество состояний 8; множества значений, определяемых входным управлением системы {Х},{2},{П},^}; множества выходных значений {Р}, {Г}; способ преобразования Ф={/Т^-{Р}}; способ преобразования Г={ф :Т-^и}.
2. Направление времени. Множество Т — упорядоченное подмножество множества действительных чисел - дискретных отсчетов времени t1, ... tn.
3. Пространство допустимых входных функций Г удовлетворяет следующим условиям:
а) нетривиальность. Множество {П} непусто. Система (рис. 5) замкнута. Основная функция автоматизированной системы - изменение {X} с целью поиска оптимального значения {Р} при соблюдении ограничений {X} е П {2} е П, ^}е П;
б) сочленение входных воздействий. Входной «отрезок» ф - функция ф е Г, заданная на временном интервале п Т. Если ф, ф"е Г и t1< t2 < t3, то найдется функция ф""е Г, для которой Ь]= ф (t1, t2] и t3) = t3] . Входной «отрезок»/(t1, t2] - функция/ е Ф, заданная на временном интервале п Т. Если/,/Ле Ф и t1< t2 < t3 , то найдется функция/"е Ф, для которой /t2]=/(t1, t2] и/t3) = /Л(t2, t3] .
4. Задана переходная функция состояния / которая определяет состояние э(0=/£ т, э, ф)е8, достигнутое в момент времени tе Т при управляющем воздействии ф е Г, если в начальный момент времени теТ начальное состояние э=э(т)е8. Функция / обладает следующими свойствами:
а) направление времени. Функция / определена для всех значений t>т и необязательно определена для всех значений t<т ;
б) согласованность. Равенствоt, э, П)= э выполняется при всех tеT, эе8, ф е Г;
в) композиционное свойство. Для любых значений ^ < t3 и любых состояний эе8 и всех входов ф е Г имеет местоt1, э, ф) = 3; t2,//(1^ t1, э, ф),ф);
г) причинность. Если ф, ф"е Г и ф(^ т) = т), то/Щ; т, э, ф) = /(t; т, э, ф").
5. Существует соответствие выхода q: Тх8^{Р}, определяющее выходную величину
Соответствие д(о, /(о; т, э, ф)) при ое(т, t] является выходным отрезком т] некоторой выходной функции Ф, которая задана на интервале (^ т]. Пара (т, э], где теТ и эе8, представляет событие в динамической системе Е. Множество Тх8 определяет пространство событий в этой системе.
Система является физически реализуемой, если ее выход и состояние в произвольный момент времени ¿0 является функцией только от тех входов, которые воздействуют на систему до момента времени ¿0.
Система детерминирована, так как ее выход и состояние в любой момент времени г можно достоверно определить по ее состоянию в некоторый момент времени г0< г и по известному входу из полузамкнутого интервала [¿0, г ). Полученные свойства 1- 5, 3а, 3б, 4а- 4г строго соответствуют аксиомам динамической системы Р. Калмана [5], что позволяет определить предложенную систему Е (3) как динамическую, а ее модель (1) отнести к разновидности динамических моделей. Что и требовалось доказать.
Утверждение 2.2. Множество 8 описывает состояние динамической системы Е в момент времени г , если оно удовлетворяет условиям согласованности [6].
Доказател ьство
Векторы 5(г0), г], где и(г0,г] обозначает входной отрезок на полузамкнутом интервале (г0, г ] , однозначно определяют выходной отрезок р[г0, г ) для всех начальных состояний 5(г0)е8 при всех значениях г > г0 и для всех входных функций ие П. В результате имеем
р (¿0, г]=/[ 5(г0); и(ь, г] ], илиу(г)=/[ ^0); и(ь, г] ]. (5)
Следствие 2.1. Из (5) следует, что Е является детерминированной системой, не имеющей случайных элементов, и не является упреждающей, так как настоящее значение выхода не зависит от будущих значений входа.
Пусть г1 - некоторый момент времени между г0 и г. Тогда для каждого входного вектора и(г0, г ] и наблюдаемого выходного вектора р (¿0, г], которые рассматриваются с момента времени г1 , так что они дают отрезки и(г1, г ] и р(г1, г], существует непустое подмножество элементов из пространства 8, обозначаемое через 8[5(г0); и(г0,г]], каждый элемент а которого удовлетворяет соотношению
р (гь г] = / [а; и(*0, г] ]. (6 )
Следствие 2.2. Условие (6) гарантирует, что каждой паре и(г0, г ] и р (г1, г] соответствует начальное состояние 5(г1) из 8.
Если и(г0, г] неизменно, а и(г1, г] изменяется на всех входах пространства входов системы Е, то пересечение множеств 8[5(г0); и(г0, г]], рассматриваемых на всех значениях и(г1, г], не является пустым множеством. Полученное условие и соотношение (6) определяют состояние системы Е в момент времени г , заданное начальным состоянием 5(г0) и входной вектор-функцией и(г0, г ]:
5(г) = С[5(^0); и(*0, г ] ], (7)
где О - однозначная функция своих аргументов. При этом любые два состояния а" и а" эквивалентны, если для всех значений и из пространства входов системы Е реакция системы, соответствующая начальному состоянию а", совпадает с реакцией, соответствующей начальному состоянию а"".
Следствие 2.3. Условие (7) гарантирует существование, по крайней мере, одного состояния в пространстве 8, которое относится ко всем возможным парам входов и выходов и(г1, г ] и р (г1, г] соответственно.
Следствие 2.4. Полученные условия (5)-(7) и следствия 2.1 - 2.3 индифферентны к непрерывному или дискретному характеру независимых переменных времени г [6], что позволяет обобщать подходы и методы исследования динамических систем, традиционно применяемые для непрерывных систем преобразования и обработки информации [7], описываемых дифференциальными уравнениями и в обязательном порядке имеющих пространства входных воздействий.
Полученные соотношения (5)-(7) выражают и полностью соответствуют условиям согласованности динамической системы, введенным Л. Заде при определении понятий состояния системы и переменных состояния [5, 6].
Что и требовалось доказать.
Замечание 2.1. Под управляющим воздействием и со стороны ЛПР в данном случае в процессе проектирования детали рассматриваются любые алгоритмы формирования наборов массивов параметров и изменения их значений, реализуемые САПР, или прямые воздействия проектировщика на параметры проектируемой детали. Определение информационной модели формирования массива конструктивно-технологических параметров детали как динамической системы, представляющей по своей математической сути три основных множества {X}, {X} - входных переменных и {Р} - интегральных выходных характеристик (при условии их корректного описания) с определенным отношением между их элементами Ф, заданным соответствием {q}=[{X, {X}, {V}, {Р}, Ф] в виде отображения множеств ^^{Х} (как аналогов входных воздействий) в множество { Р} (как аналог реакций системы), требует обязательного назначения для каждого варианта реализации системы, наряду с множеством входных воздействий, еще и множества состояний динамической системы. Введенное множество S определяет необходимую совокупность признаков, характеризующих объект, и позволяет идентифицировать его в данный момент времени, а также прогнозировать его дальнейшее поведение.
Анализ особенностей применения предложенной выше модели, проведенный на основе признаков, сформулированных в [7], позволил определить ее характерные свойства:
• динамичность. Обусловлена наличием зависимости выходных параметров модели не только от входных воздействий в текущий момент времени определяемых параметрами элементов, но и от их предыдущих значений в моменты - т ;
• нелинейность. Определяется тем, что реакция модели на изменения двух и более входных воздействий не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности;
• детерминированность. Определена отсутствием внутри модели элементов с неконтролируемым или стохастическим изменением их параметров и соответствующими зависимостями от них выходных параметров модели;
• дискретность. Задается характером изменения параметров элементов, принимающих значения из конечного множества величин и изменяемых в дискретно определенные моменты времени.
• стационарность. Определяется независимостью реакции системы от промежутка времени, на который эта реакция определена, при условии, что система находилась в заданном состоянии, определяемом зафиксированным конечным множеством элементов и их параметров. То есть основные соотношения (функционал Ф) и структура модели не меняются во времени.
Перечисленные свойства позволяют применить для ее описания математическое определение динамической модели [3, 5].
Такое определение позволяет выработать общую терминологию, единый универсальный математический аппарат и выявить общие закономерности и единство в разнообразных приложениях модели. В каждом конкретном применении путем введения условий, ограничений и упрощений становится возможным получение полезных результатов, адекватных практической реализации моделируемых систем.
Анализ предлагаемой динамической информационной модели формирования массива конструктивно-технологических параметров детали позволяет выявить ее непосредственную связь с моделями функционирования динамических систем автоматического управления, применяемыми в соответствующих САПР и построенными в соответствии с классическим определением динамической системы [5]. Действительно, в отличие от развиваемых в работах [8] моделей различных систем автоматического управления, где оператор С, устанавливающий связь между состоянием системы и ее выходной величиной, описывается в виде дифференциальных уравнений, в нашем случае С определяется функционалом Ф, выражающим теоретико-множественное соответствие {q}=[{X},{Z},{V},{Р}, Ф] с учетом воздействия внешних факторов {V}.
Таким образом, проведенный анализ динамической модели при проектировании дает
возможность определить предлагаемую математическую модель (3) как структурно-параметрическую модель в пространстве состояний [5, 6]. Модель позволяет описывать функционирование САПР в процессе формирования конструктивно-технологических параметров при проектировании детали [9, 10].
Библиографический список
1. Бурков, В.Н. Основы математической теории активных систем / В.Н. Бурков. - М.: Наука, 1977. - 255 с.
2. Хранилов, В.П. Нечеткая динамическая модель интерактивного распределения вычислительных ресурсов / В.П. Хранилов, Д.В. Прохоров // Системы управления и информационные технологии. 2006. № 4.1(26). С. 189-193.
3. Тесленко, Е.В. Динамическая модель управления конструкторско-технологическим взаимодействием в САПР / В.В. Андреев, В.П. Хранилов // Научно-технический вестник Поволжья. 2013. №3. С. 64-67.
4. Бусленко, Н.П. Моделирование сложных систем/ Н.П. Бусленко. - М.: Наука, 1978. - 400 с.
5. Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М. Арбиб; под ред. Я З. Цыпкина. - М.: Мир, 1971. - 400 с.
6. Стрейц, В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления: [пер. с англ.] / В. Стрейц; под ред. Я.З. Цыпкина. - М.: Наука, 1985. - 296 с.
7. Растригин, Л.А. Современные принципы управления сложными объектами / Л.А. Растригин. - М.: Сов. Радио, 1980. - 232 с.
8. Пупков, К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления: В 3 т. Методы современной теории автоматического управления / К.А. Пупков, Н.Д. Егупов. А.И. Баркин; под ред. Н.Д. Егупова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. Т. 3. - 748 с.
9. Андреев, В.В. Интеллектуальная информационная система технологического проектирования в CAD-системах / В.В. Андреев, Е.В. Тесленко // Научно-технический вестник Поволжья. -2011. №6. С. 90-92.
10. Тесленко, Е.В. Информационная модель массива параметров деталей машиностроения для системы технологического и метрологического сопровождения процесса проектирования/ Е.В. Тесленко, В.В. Андреев // Научно-технический вестник Поволжья. 2012. № 3. С. 40-44.
Дата поступления в редакцию 09.12.2013
V.P. Hranilov, E.V. Teslenko, V.V. Andreev
THE ANALYSYS OF THE DYNAMIC DESIGN-ENGINEERING INTERACTION
MANAGEMENT MODEL IN CAD
Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev
Purpose: Identification of the relationship between the proposed information model of the array design and technological parameters formation and the models of the automatic control dynamic systems.
Design/methodology/approach: The systematic analysis of the proposed model features based on the character of dynamical systems.
Findings: the analysis of dynamic model of the design makes it possible to define a mathematical model of how structural parametric model in the state space.
Research limitations/implications: Developed a dynamic model allows us to describe the formation of structural and technological parameters of the design details.
Originality/value: The model, which is developed as a structural-parametric model in the state space, allows to develop common terminology, a single universal mathematical formalism and to identify common patterns and unity in a variety of applications.
Key words: computer-aided design, mathematical model, assembly, constructive and technological parameters
of detail.
