CC BY
22
ортотропных цилиндрических оболочек при динамическом и статическом нагружениях осевой сжимающей силой, внешним давлением или при комбинированном нагружении.
Для решения системы (25) нагрузка представляется в виде функции времени. Например, осевую силу при статическом нагружении можно представить в виде:
Р = с0-1, (26)
где с0 - скорость нагружения, в статических задачах она должна выбираться так, чтобы не возникал динамический эффект. При нагрузках, изменяющихся во времени, принимается известная функция.
В [4] решение представляется в виде одночленной функции с перебором чисел тип. Однако расчеты показывают, что в этом случае имеет место завышение значений амплитуд гармоник перемещений, особенно на начальном этапе выпучивания. Здесь решение (24) представляется в виде ряда с ограниченным числом членов. Сравнение численных результатов, полученных из решения, основанного на одночленной аппроксимации, и решения с удержанием даже небольшого числа членов ряда, показывает лучшую сходимость. Методом подбора установлено, что для расчета реальных конструкций достаточно ограничиться пятью удерживаемыми членами. Критические нагрузки в этом случае оказываются ниже на 2-г7 % (меньшее значение соответствует оболочкам с большим удлинением 1/г), чем при одночленной аппроксимации. Увеличение числа удерживаемых членов ряда сверх пяти приводит к неоправданному возрастанию машинного времени при изменении критических нагрузок не более чем на 1 %.
Для определения критической нагрузки используется динамический критерий устойчивости оболочки, вытекающий из критерия устойчивости Ляпунова, для чего уравнения (25) приводятся к нормальному виду задачи Коши путем введения новых переменных
Полученные уравнения могут быть решены методом Рунге-Кутта-Фальберга. Отличные от нуля начальные значения амплитуд смещений, необходимые для инициализации движения, принимаются настолько малыми, насколько позволяет ЭВМ и программное обеспечение.
Решение системы (25) даст зависимости £,=//0 (рис. 2), из которых, задавшись мерой опасного состояния оболочки, можно получить критическое время, а затем критическую нагрузку. За критическое принимается время, при котором ускорение опасной гармоники равно нулю, а скорость максимальна (точки перегиба К, на рис. 2). Это время для каждой из гармоник, т. е. для различных сочетаний чисел полуволн вдоль образующей т и чисел воли по кольцу п будет разным. За критическое принимается наименьшее. Критическая нагрузка затем определяется из (26).
Литература
1. Григолюк Э.И. II Изв. АН СССР. 1958. №1. С. 6.
2. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., 1973.
3. Кобелев В.Н. и др. Расчет трехслойных конструкций. М., 1984.
4. Тимофеев А. С. II Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д, 1995. С. 74-78.
5.Александров А.Я. и др. Расчет трехслойных панелей. М., 1960.
6. Устарханов О.М. Вопросы прочности трехслойных конструкций с регулярным дискретным заполнителем: Дис... д-ра техн. наук. Ростов н/Д, 2000.
Ростовский военный институт ракетных войск
18 января 2002 г.
УДК 539.3
АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕСТКИХ ПОРОМАТЕРИАЛОВ
©2003 г. Черноус Д. А., Шилько С. В.
Methods for predicting the deformation behaviour of the rigid porous materials based on the analysis of the simplified structural element obtained in the pivoted model of the material structure are suggested. The element that makes it possible to obtain the most precise estimations of the mechanic characteristics is chosen.
Пористые материалы, в частности поропласты, получили в последнее время широкое распространение в строительстве, машиностроении, производстве товаров широкого потребления. Они активно используются при протезировании опорно-двигательной и зубочелюстной систем, в частности при создании искусственного периодонта. В связи с этим актуален
подробный анализ их механических свойств. Статистический метод моментных функций, метод самосо-гласования и вариационный подход Хашина-Штрик-мана оказываются неприемлемыми для прогнозирования механических характеристик пористых материалов малой плотности[1]. Более адекватны в этом случае методы структурного моделирования [2, 3].
Ячеистые полимеры классифицируют по деформационным характеристикам, условно разделяя на жесткие и эластичные [3]. Жесткие поропласты определяются как материалы, в которых полимерная матрица находится в кристаллическом или аморфном состоянии ниже температуры стеклования. Согласно этому определению, в эластичном пористом полимерном материале температура полимерной матрицы должна быть выше точки плавления для кристаллического состояния или.температуры стеклования. Типичным представителем жестких поропластов является пенополиуретан, большинство эластичных ячеистых полимеров составляют пенорезины.
Для описания деформирования жестких пористых материалов используется модель в виде стержневой конструкции [1]. В ней выделяется структурный элемент (СЭ) из 4-х стержней, соединенных в одном узле.
1. Метод расчета
Эквивалентный структурный элемент. В работе [I] было показано, что оптимальной с точки зрения точности описания реальной структуры и прогнозирования модуля Юнга является модель пористого материала малой плотности, состоящая из хаотически ориентированных 14-гранных ячеек. Однако ее использование для описания нелинейного поведения пористых материалов связано со сложными математическими преобразованиями. В связи с этим для прогнозирования деформационного поведения жестких пористых материалов при одноосном напряженном состоянии предлагается использовать упрощенный СЭ, представленный на рис. 1. Будем рассматривать деформирование данного СЭ только вдоль одного из стержней. При использовании упрощенного структурного элемента нет необходимости в проведении ориентационного усреднения для перехода от СЭ к представительному объему моделируемого материала. Кроме того, параметры упрощенного СЭ могут подбираться для наиболее точного соответствия результатов моделирования экспериментальным данным.
Для СЭ, показанного на рис. 1,
3^|Зq + ^^2/4
Vf-
4l=4
= q + H2^6.
(1)
4я(<7 + 1/2л/б)3 Здесь V] - объемная доля содержания твердой фазы, численно равная отношению кажущейся плотности пороматериала к плотности материала твердой фазы; <7 — отношение длины свободной части стержня 10 (вне участков соединения стержней) к длине стороны поперечного сечения г; qL - отношение общей длины стержня Ь к длине стороны поперечного сечения. При последующих вычислениях было установлено, что результаты моделирования не зависят от величины г. Следовательно, можно положить г = 1,
Единичные векторы, направленные вдоль стержней, имеют следующие координаты:
'O' 'cos(p)'
Єі = 0 . Є2 = 0
-1 \ У ч Sin(/?)
( -cos(/J)/2 Л ( -cos(/?)/2 'I
е3 = Scos(P)/2 • «4 = - V3cos(/?)/2
sin (р) \ / sin (Р)
Рис. 1. Эквивалентный СЭ для анализа деформирования жесткого пористого материала
Здесь Д называемый в дальнейшем «варьируемым» углом, - угол между наклонными стержнями и плоскостью ХУ. Значение р подбирается таким образом, чтобы наиболее точно описать экспериментальные данные. Введение угла Р не позволяет рассматривать СЭ на рис. 1 как элемент структуры реального материала. При анализе одноосного напряженного состояния по-ропласта представительный объем материала заменяется данным (рис. 1) СЭ. Поэтому СЭ на рис. 1 будем в дальнейшем называть эквивалентным. При деформировании данного СЭ (рис. 1) для сил, действующих на концах стержней, выполняются выражения
f2=f3 = f4=-1f,.
(2)
Деформация Bzz связана со смещениями точки приложения сил
£zz = г/1 -. пА^и + Axi2 sinР + AyL2 cosР). (3) ЦІ+ sm р)
Здесь Ахи, Ауи (і = 1..2) - изменения координат конца стержня в локальной системе координат ху, связанной с г-м стержнем, как показано на рис. 2. Для определения Дхг.1 следует положить Fx = Fb Fy = 0, а для определения Ах a, Ayi2 принято
F F =F22ll 1 з . у I 3
Решение задачи сильного изгиба упругопластического стержня. Для определения смещений Axl„ AyLl конца стержня при заданных силах F* и Fv необходимо решить задачу сильного изгиба упругопластического стержня (с учетом больших прогибов). Упругопластическое поведение материала стержня будем описывать функцией пластичности Ильюшина/і (еи) [4].
Рис. 2. Схема сильного изгиба стержня В этом случае связь напряжений и деформаций будет иметь вид
=20//,(£>„„ =20/(1-бО(£„)к
О = ЗК/Е .
Здесь хпт, ьпт, а, в - девиаторные и шаровые части тензоров напряжений и деформаций; Сг, А/ - модуль сдвига и всестороннего сжатия. Функция со(е„) определяется следующим образом
0, £„
/ \
Л 1--^
1 м
,£и >ет,
Е}7
1
Г =
і
-к
(FД. в1п(0 + у) - К соб(0 + у)) +
1
о с
вт(0 + у) + FJ соз(0 + у)) +
(4)
где £„ - интенсивность деформации; е, - интенсивность деформации, соответствующая пределу текучести; Ль а, - константы материала.
Для деформаций стержня можно использовать представление є,, =є0(1) +Лв'(1), єи=у(1)І2.
Здесь I - координата, отсчитываемая вдоль средней линии стержня в деформированном состоянии, X
- перпендикулярно /; 0 - угол поворота поперечного сечения стержня, связанный с деформацией изгиба; 0'
- производная от 0 по координате 1\у- угол поворота поперечного сечения стержня, связанный с деформацией сдвига; Єо — деформация средней линии, проходящей через центр тяжести поперечного сечения (растяжение-сжатие). Для произвольного поперечного сечения справедливы соотношения
М = \\аиШ, Р = \\аис18, е = |/ст^5.
5 і X
Интегрирование производится по площади поперечного сечения стержня. Здесь М - изгибающий момент; О, Р - поперечная и продольная силы. Уравнения равновесия стержня имеют следующий вид
2 = FJ, СО8(0 + у) - Ft 5Іп(0 + у), Р = Ft соьф + у) + Fy зіп(0 + у), (? = -М'.
После преобразований для функций 0(0, у(1) и е0(0 получим уравнения
в’ = —— (Рх sin(0 + 7)-FJ, со5(0+у)) +
В (4) к - коэффициент, связанный с неравномерностью распределения касательных напряжений по площади поперечного сечения. В качестве граничных условий для 0(1) будем рассматривать условия консольного закрепления (в (0) = в'(Ц = 0).
Таким образом, задав напряжение а^г, можно определить силы, действующие на стержни СЭ (2). Затем, решив систему (4), определим смещения точек приложения этих сил относительно точки соединения стержней. По найденным смещениям найдем деформацию Егг СЭ (3). Для упрощения расчетов положим, что наклонные стержни деформируются на части длины /0. а растяжение-сжатие вертикального стержня распространяется на всю длину Ь.
«Узловые» элементы». Наряду с эквивалентным СЭ рассмотрим элементы, являющиеся узлами ячеек пористого материала и далее называемые «узловыми» (рис. 3) [1, 2]. Для них рассматривается нагружение вдоль одного из стержней (стержня 1) без последующего ориентационного усреднения результатов.
Рис. 3. Узловые СЭ для анализа деформирования жесткого пористого материала
■ СЭ на рис. За является узлом ячейки в виде додекаэдра. Ориентация стержней для данного СЭ аналогична рис. 1, если положить Р = агсвт(1/3) = 20°. Выражения (1) - (3) примут вид
М'12 ,,»„+1Ыб.
У/ 8л/3(9 + 1/2 Тб)3 • Г, =а22б4зЬ\ К
1
£77 —
_з_
4 L
Д*н+Д*ц з+А^2
2л/2)
СЭ на рис. 36 является узлом 14-гранной ячейки (8 шестиугольных и 6 квадратных граней). В данном
Зл/з? + л/2/4
случае У/ = ■
32,/2(<7 + 1/2-/б)3 ’ ^1 = aZl 8л/2£2, F2 = F3' = -
-?£ = $ + 1/2л/б,
f4
3+2V2
^*21 ^zz —
_2_
3L
■ Л 1 A VJ A^ti+^t2 2+A^2 —
Выражение для компонент сил выполняется только при линейно-упругом деформировании. Но для упрощения расчетов будем использовать это соотношение и при анализе нелинейного поведения пористого материала.
2. Результаты моделирования и их обсуждение
Линейно-упругое деформирование. Одним из наиболее распространенных видов вспененных пластмасс являются пенополиуретаны [5]. Используем изложенную выше методику моделирования деформационного поведения для анализа механических свойств жесткого пенополиуретана. Для определения эффективного модуля упругости пористого материала в выражениях (4) можно пренебречь интегральными слагаемыми и положить: соз(0 + у) = 1,5т(0 + у) = 0 • Такой
подход позволяет исследовать линейно-упругое поведение пористого материала. На рис. 4 представлена полученная зависимость приведенного модуля упругости жесткого пенополиуретана EIEf от объемной доли содержания твердой фазы V) при использовании эквивалентного СЭ с углом наклона стержней Р = 60° (кривая 1). Кривая 2 на рис. 4 соответствует эмпирическому соотношению, предложенному в [3] р V 2
— = 0,65------!■--. (5)
Е, 0,23 + УГ
Кривая 3 построена с использованием СЭ в форме тетраэдра (рис. За). При построении кривой 4 использовался СЭ на рис. 36. При сопоставлении результатов расчетов с известными экспериментальными данными было учтено, что в работах [6 - 9] исследовался пенополиуретан при плотности блочного материала Pf= 1196 кг/м3 и модуле упругости Е1= 2300 МПа, в работе [3] - р/= 1050 кг/м3, Е/ - 2500 МПа. Предложенная методика позволяет достаточно точно прогнозировать модуль упругости жесткого пенополиуретана. Наиболее достоверные оценки модуля упругости обеспечивают эквивалентный СЭ и элемент, показанный на рис. 36. Результаты использования этих элементов практически совпадают с результатами использования эмпирического соотношения (5).
Нелинейно-упругое деформирование. Для жесткого пенополиуретана (как и для большинства пористых материалов) характерно отклонение зависимости напряжение-деформация от прямой пропорциональности уже при е < 1 %.
,2
Рис. 4. Зависимость приведенного модуля упругости жесткого пенополиуретана Е/Е/ от объемной доли содержания твердой фазы V/. Экспериментальные данные: ♦,<> - при растяжении и сжатии из [8]; Д - при сжатии из [6]; ■, □ -при растяжении и сжатии из [7]; в,°- при растяжении и сжатии из [3]; X - при сжатии согласно [9]
Это связано с нелинейным характером деформирования стержня в условиях сильного изгиба и может быть описано на основе предложенной методики. При этом система (4) решается без упрощений, сделанных в предыдущем разделе. На рис. 5а представлена диаграмма растяжения пенополиуретана при V/ = 0,052. На рис. 56 - диаграмма сжатия пенополиуретана при V/ = 0,075. Сплошная линия построена по результатам использования эквивалентного СЭ. Штрихпунктирная - с использованием структурного элемента, показанного на рис. 36. Пунктирная линия отражает линейный характер зависимости <Угг(£гг)-
Зависимости на рис. 5 позволяют сделать вывод о достаточно хорошем соответствии результатов моделирования экспериментальным данным. Данные диаграммы также объясняют эффект разномодульности -различия экспериментально определяемых значений модуля Юнга пористых материалов при растяжении и сжатии, когда модуль при сжатии оказывается ниже, чем при растяжении.
Упругопластическое деформирование. Для описания механического поведения жесткого пористого материала при больших (более 1 %) деформациях следует учитывать физическую нелинейность твердой фазы. В [3] был определен предел текучести монолитного материала от = 60 МПа. Если пренебречь упрочнением, то для материала твердой фазы жесткого пенополиуретана, исследуемого в [3], можно записать Р/= 1050 кг/м3; Е/= 2500 МПа; от = 60 МПа; А, = а, = 1
На рис. 6 представлены результаты использования изложенной методики для моделирования деформирования жесткого пенополиуретана с перечисленными характеристиками твердой фазы и V/ = 9 %. Кривые 1 соответствуют растяжению, кривые 2 - сжатию материала. Следует отметить, что эквивалентный элемент (сплошные линии) позволяет более точно описать нелинейное деформирование жесткого пенополиуретана, чем СЭ на рис. 3 б (штрихпунктирные линии).
При достижении сжимающим напряжением некоторого критического значения ас происходит потеря устойчивости ребер, ориентированных вдоль направления нагружения. Для жестких пористых материалов потеря устойчивости ребер сопровождается их разрушением. Следовательно, предел прочности при сжатии можно определить следующим образом •
1 кр
EJ
пЬ Г
На рис. 7 представлены зависимости пределов прочности при растяжении (кривая 1) и сжатии (кривая 2) для жесткого пенополиуретана, исследуемого в [3].
Рис. 5. Диаграммы деформирования жесткого пенополиуретана. Экспериментальные данные. □, о- растяжение (а) и сжатие (б) из [3]
Несколько заниженная оценка начальной жесткости (рис. 6) может, быть связана с неравномерным распределением материала между стержнями и узлом для реального пористого материала [3]. При деформациях є > 4 % происходит разрушение жесткого пористого материала.
Наряду с описанием кривых деформирования представляет интерес анализ прочностных характеристик жесткого пенополиуретана. Разрушение пористого материала при растяжении происходит из-за разрыва ребер ячеек, ориентированных вдоль направления нагружения. Следовательно, для эквивалентного СЭ (рис. 1) условие прочности при растяжении можно сформулировать следующим образом: ^ = сгт5. Воспользовавшись соотношением (2), для предела проч-ности при растяжении получим сгр = сгтЯ /(яЬ ).
■Vf,%
Рис. 6. Диаграмма упругопластического деформирования жесткого пенополиуретана.: о, о- экспериментальные данные для растяжения и сжатия соответственно согласно [3]
Рис. 7. Зависимость пределов прочности при растяжении и сжатии жесткого пенополиуретана от объемной доли содержания твердой фазы V/. Экспериментальные данные:*, О - при растяжении и сжатии из [3]; А, Д - при растяжении и сжатии из [6]
Можно отметить, что СЭ на рис. 1 позволяет получить приемлемые оценки прочностных характеристик жесткого пенополиуретана.
Установлено, что использование предложенного эквивалентного СЭ при Р = 60° позволяет достаточно точно описывать начальный участок (е < 4 %) диаграммы деформирования жестких пористых материалов и прогнозировать их прочностные характеристики. Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проекты Т00М-020 и Т02Р-014).
Литература
1. Черноус Д.А., Петроковец Е.М. II Материалы, технологии, инструменты. 2001. Т. 6. №4. С. 24-28.
2. Черноус Д.А. u dp. II Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7. №4. С. 533-545.
Ъ.Хильярд НК. и др Прикладная механика ячеистых пластмасс М., 1985.
4. Старовойтов Э. И. Основы теории упругости, пластичности и вязкоупругости. Гомель, 2001.
5. Булатов Г. А. Пенополиуретаны в машиностроении и строительстве. М., 1978.
6. Берлин А.А., Шутов Ф А Пенополимеры на основе реакционноспособных олигомеров. М., 1978.
7. Беверте И. II Механика композитных материалов. 1998. Т. 34. № 6. С. 823 - 838.
8. Menges G., Knipshild F. П Polymer Eng. Sci. 1975. Vol. 15. №8. P. 623-627.
9. Дементьев А.Г. и др. II Механика полимеров. 1972. Т. 8. №6. С. 976-981.
Институт механики металлополимерных систем им. В. А. Белого НАН Б, г. Гомель
8 мая 2002 г.
