АНАЛИЗ БИГАРМОНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДАМИ ИТЕРАЦИОННЫХ РАСШИРЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 519.63

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 153

АНАЛИЗ БИГАРМОНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МЕТОДАМИ ИТЕРАЦИОННЫХ РАСШИРЕНИЙ

Мельцайкин Евгений Андреевич, e.meltsaykin@gmail.com Ушаков Андрей Леонидович ushakoval@susu.ru Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск, Российская Федерация Аннотация. В статье приводится описание анализа бигармонических моделей методами итерационных расширений. Различные стационарные физические системы в механике моделируются с помощью краевых задач для неоднородных уравнений Софи Жермен. Используя бигармоническую модель, т.е. краевую задачу для неоднородного уравнения Софи Жермен, описывают прогибание пластин, потоки при течениях жидкостей. С помощью разработанных методов итерационных расширений получаются эффективные алгоритмы решения рассматриваемых задач.

Ключевые слова: бигармонические модели; методы итерационных расширений.

ANALYSIS OF BIHARMONIC AND HARMONIC MODELS BY THE METHODS OF ITERATIVE EXTENSIONS

Meltsaykin Evgeniy Andreevich, e.meltsaykin@gmail.com Ushakov Andrey Leonidovich ushakoval@susu.ru South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation

Abstract. The article describes the analysis of biharmonic models by iterative extension methods. Various stationary physical systems in mechanics are modeled using boundary value problems for inhomogeneous Sophie Germain. Using the biharmonic model, i.e. boundary value problem for the inhomogeneous Sophie Germain equation, describe the deflection of plates, flows during fluid flows. With the help of the developed methods of iterative extensions, efficient algorithms for solving the problems under consideration are obtained.

Key words: biharmonic models; methods of iterative extensions.

Введение

Рассматривается бигармоническая модель, т.е. смешанную краевую задачу для неоднородного бигармонического уравнения в ограниченной области на плоскости flc!2

А2й = / (1)

с краевыми условиями четырех типов

дй дп

дй ^ = ^

Г0

= 0,й = 1гй

Г1

= 0,1гй = 12й

= 0,

= 0,

где

дП = s, s = Г0 иГг иг2 U Г3, Г игГ = 0, iï j, i, j = 0,1,2,3,

11й = Ай + (1 — а)п1п2йху — п\йхх — п^йуу, дАй д . . л ? ? л

12й = + (1 — à) — [п1п2[йуу — йхх) + (nj — ni ) йху),

щ = — cos(n, х), п2 = — cos(n, у), а Е (0; 1).

Бигармоническую модель можно сформулировать как скалярную модель, задачу представления функционала в форме скалярного произведения

й ЕЙ: [й, Щ = £"( Р)УР ЕЙ, Рё Я', (2)

где соболевское пространство

др

г0 иг =

Й = Я(П) = Е Ж22(П): V билинейная форма, скалярное произведение

Г„иг2 = °

[й, у] = Л(й,у) = ^ (аДйДт; + (1 — а)(йххРхх + 2йхуРху + йууРууа Е (0; 1),

а

если / - заданная функция, то функционал

F(г) = (й, р) = ^ [уйО..

а

Для задачи (2) следующее предположение обеспечивает существование и единственность ее решения [1, 4]

3С1,с2 Е (0;+«>): ^ЦЯ|£|(п) < Л(V,А) < с2||Е Й.

Такие задачи в рамках изучаемого направления методы фиктивной области исследовали, например, А.М. Мацокин, С.В. Непомнящих [3], С.Б. Сорокин [5], Г.И. Марчук, Ю.А. Кузнецов, А.М. Мацокин [2] и др. При решении приведенных задач имеются проблемы. Перспективное направление методы фиктивной области по решению этих задач также имеет проблемы. Будем, использовать, что, если задачи, рассматриваемые как системы аналогичны, то они имеют аналогичные свойства, а методы решения этих задач будут также аналогичны между собой. Для разработки новых эффективных методов будем применять обобщения метода фиктивной области, т.е. методы итерационных расширений. В методе фиктивной области на примере механики увеличиваем реакцию опоры и жесткость материала на фиктивном продолжении, т.е. дополнительно используем выбор двух параметров. Минимизируем ошибку в норме более сильной, чем энергетическая норма возникающей задачи. Применяем метод минимальных невязок с указанием условий достаточных для его сходимости. При этом новом подходе относительные ошибки предлагаемых итерационных процессов мажорируются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями. Основной целью описываемых работ являлась разработка асимптотически оптимальных методов решения приведенных задач [6-9].

1. Анализ бигармонической модели

1.1. Бигармоническая модель

Приведем решаемую задачу при ш = 1 и фиктивную задачу при ш = II

йшЕЙш: Лш (йш, ) = ^ (^^ Е Йш, ^ Е Й'ш (3)

где используем Соболевские пространства

= йш (Пш ) = \х>шещ (Пш ): ц

= 0, ш

= 0

на ограниченных областях с!2 с границами

= , = Гш 0 и Гшд и Тш 2 и Гш,з> Гш,1 П = 0, если / Ф ), ) = 0,1,2,3, пш - внешние нормали у , билинейные формы при аш Е [0; +гс>), ош Е (0; 1)

ЛШ , ) ^ + (1 )( ^ШХХ^ШХХ + 2^шху^шху + .

У каждой из задач в (3) существует и единственное решение при выполнении предположений [1, 4]

2 2 Бс1, с2 £ (0;+^): С1|| ||ш|(Пш) < Лш (, ) < с2|| 1 £ Нш.

Если - заданная функция, то

^)= .

В решаемой задаче при ^ = 1, % = 0, Г10 Ф0. В фиктивной задаче при ш = II, //7 = 0, й/7 = 0.

1.2. Продолженная бигармоническая модель и ее аналитическое исследование

Приведем продолженную задачу

и £ V: Л1(й, 1гР) + Л„(и, V) = F1(/1i7)Vv £ К, (4)

где используем расширенное пространство решений

др

г0иг! =

V = V(П) = £ Ж22(П): V

ГоиГ2 = 0

Полагаем, что область решения у исходной задачи дополняется до прямоугольника

й и й,, = П, йх и й,, = 0, О.,, с Е2,

граница у прямоугольной области

5П = 5,5 = Гг и Г2, Гг ПГ2 = 0. Считаем, что границы первой области и второй области пересекаются

дй1 П дйИ = 5,5 = Г10 П Г// 3 Ф 0, п - внешняя нормаль у ЗП. Подпространство решений продолженной задачи

п\й = 0

П\й„ = 0, ^о = ^3,

Уг = ^(П) = ^У! £ V:

В формулировке продолженной задачи применяем оператор проектирования

1Х: V ^ У1 = ¿т11,1г = II.

Введем подпространства

% = Р3(П) = {^з : ^з У2 = ?2(П) = {р2 £ ?: Л(Р0) = 0, V 1?0 £ Р0},

К = ^ ф Ф ^з = ^т/, = ® ^ = ^20^3 Прямые суммы рассматриваются, используя скалярное произведение, порождаемое билинейной формой

Л(и, р) = Лг(и, у) + ЛИ(и, у) V и, V £ К. Предполагается, что билинейная форма такова, что

3С1, с2 £ (0;+^): С1||£||^2(П) < Л(V, г?) <с2||£ К.

Используем положение о возможности продолжения функций

3& £ (0; 1], Д2 £ [&; 1]: &Л(Р2, Р2) < Л„(Р2, Р2) < Д2Л(Р2) Vv £ К. Заметим, что

Нш (йш ) = (йш ), ю£{1, П}.

Исследование продолженной бигармонической модели проводится модифицированным методом фиктивных компонент [6, 7, 9]:

йк Е

V: Л(йк — йк~1, V) = —т^_1(л1(й^-1,1гР)+ Лп(йк~1, V) — ^1(/1, г?)) УР Е V, т0 = 1, Т-к—1 = т = , к Е N \{1}, ЕК1сК

Р1+Р2

(5)

Введем норму

= 7Л( Ю-

Теорема 1. Выполняются оценки сходимости

|йк — й| _ < г||й° —й||гк Е N.

где

£ = 51цк~1, =

= Ы <1

^ — 1,0 < + А

1.3. Продолженная бигармоническая модель при дискретизации и ее численный анализ

Проведем дискретизацию продолженной модели, когда

П = (0; М X (0; Ь2), Гг = {М X (0; Ь2) и (0; Ъг) X {Ь2}, Г2 = {0} X (0; Ь2) и (0; Ъг) X {0}, Ъг, Ь2 Е (0; +«>).

Введем сетку

; У/) = — 1,5)Л1; (у — 1,5)Л2),

ь2

Л =--,=--, / = 1,2, ...,т, / = 1,2, ...,п,т — 2,п — 2 Е N.

ш — 1,5 п — 1,5

Рассматриваем сеточные функции в узлах сетки

= у{х1; у]) Е М, I = 1,2..., т, у = 1,2..., п, т - 2, п - 2 е N.

Используем восполнение для сеточных функций

(*;>/) = / = 2,...,от -1, у = 2,...,« -1, от - 2,л - 2 е К,

¥1' (л) = [2//]¥(х/Н1 -1 + 4) + ¥(х/Н1 -1 + 3) - [(/ + IVт]Ч(х/Н1 -1 +1),

¥2] (у) = [2/]]¥(у/И2 - } + 4) + ¥(у/И2 - } + 3) + [(} + IV(у/И2 - } +1),

2

0,5г2, г е[0;1], - г2 + 3г -1,5, г е [1;2],

0,5 г2 - 3 г - 4,5, г е[2;3], 0 г г (0;3).

* ( г) =

Определяем, что базисные функции вне прямоугольника равны нулю

ф''--/ у) = о, (х; у) € П, / = 2..., т -1, у = 2..., и -1, ш - 2, и - 2 е N.

Линейные комбинации из базисных функций дают конечномерное подпространство в расширенном пространстве

т—1 н-1

У =

V.

1=2 }=2

Рассмотрим продолженную модель в матричной форме

5г7 = /,/е1лг, (6)

полагая, что оператор проектирования зануляет коэффициенты при базисных функциях носители, у которых не лежат целиком в первой области, а продолженная матрица и продолженная правая часть у системы определяются равенствами

(Вй,у) = К^щЩ + Лп(м,у) V«,V Е V, ) = /ЗДу) УУ Е V,

{/,*)= = 7ЩИ2, V = О^,...,^)' Е ЛГ =(#я -2)(и -2).

При этом занумеруем первыми коэффициенты при базисных функциях с носителями, целиком лежащими внутри первой области. Далее занумеруем коэффициенты при базисных функциях носители, которых пересекают границу и первой, и второй области. Закончим нумерацию на коэффициентах при базисных функциях с носителями, целиком лежащими внутри второй области. Тогда векторы имеют следующую структуру

V = (V/, , уз')', й = (щ , О' ,0)', 7 = (Л' ,0', 0)'.

Матрица имеют структуру

Л„ Л12 0

В = 0 Л02 Л23

0 Л32 лзз

Определим матрицы

(Л^,?) = Л^у), (Лпй,у) = Ап(и,у) \/й,г е V.

Матрицы имеют структуру

"Л/1 Л/2 0" "0 0 0

> и Л 21 Л 20 0 , л11 = 0 Л 02 Л 23

0 0 0 0 л 32 лзз

Зададим расширенную матрицу

"Л/1 ^12 0 " Л„ А-12 0" "0 0 0

Л = Л: + Лп = Л 21 Л 22 Л 23 = Л 21 Л 20 0 + 0 Л 02 А 23

0 Л 32 л 33 0 0 0 0 А 32 А33

Введем соответствующие подпространства

К = {V = (чХХУ еШ1*:У2 = 0,У3 = о},

V

= |у = (ч'ХХУ еКл:у1 = 0Д2 = о|

V = V/ 0 Уз,

= |у = (\'|',у2',у/ )' е М^ : Л, ¡у, +Л12у2 = 0, А32у2 + Л33у3 = о|.

Имеют место разложения

У1®У2®У3 = У1® Кп, У1 = Ух © У2, Кп =К2ФК3.

Приведем предположения о продолжении в матричной форме

ад Е (0; +<ю), ¡32 е [Д; +<ю): Д (Лу2,У2) < (ЛпУ2,У2) < ДЛ(ЛУ2,У2> УУ2 Е К2

Продолженная бигармоническая модель в матричной форме

"Ап ^12 0 ' й1 71

Бй = 7, 0 Л 02 Л 23 0 = 0

0 Л 32 л 33 _ 0 0

Исходная задача в матричной форме, фиктивная задача в матричной форме

Ли"1 = 7ъ

^02 Л 23

^32 ^33

й 2 0 й 2 0

й3 0 ? й3 0

" С11 С12 0 " "Ап Л12 0" "0 0 0

С = Л1+гЛц, С21 С22 С23 = А{1 А{0 0 + 7 0 Л02 Л23

0 С32 С33 _ 0 0 0 0 Л32 Л33

При исследовании продолженной бигармонической модели в матричной форме, зададим расширенную матрицу по-новому

Л12 0] Г0 0 0 "

, ;ке(0;+СО).

Используем выполнение положений о продолжении функций следующей форме

3/1 Е (0; у2 е1л; : (У2) < (ЛАПУ2,ЛпУ2) < у1{{0?2) Vv2 е $2,

Зае (0; +<ю): (Л^,Л^) < а2(Л^,Л^) е Г2.

Для решения задачи (6) как обобщение модифицированного метода фиктивных компонент применим метод итерационных расширений [8, 9]:

йк Е : С(йк - йк~х) = -тк_х(Вйк~1 - /), к е ТЧ,

(7)

где соответственно вычисляются невязки, поправки и эквивалентные невязки

г*"1 = Бйк-1 - 7, -1 = С"1 Тк-\ т!к-1

Определим норму

Пс 2

С2у , И VV

Теорема 2. Для процесса (7) выполняется такая оценка

uk - u

с2

<s

-0 -

u - u

£ = 2(у2/Г1)(а/у)к-\ксК

с2

Приведем алгоритмическую реализацию метода итерационных расширений для бигармонической модели. Используем метод минимальных невязок для решения задачи (6).

I. Начальное приближение, итерационный параметр

VU0 е V1, т0 = 1.

II. Невязка

rk~l = Bük~l - f ,k e N.

III. Квадрат нормы абсолютной ошибки

IV. Поправка

V. Эквивалентная невязка

wk-l:Cwk~l = rk-\keK

VI. Итерационный параметр

VII. Очередное приближение

йк = йк~1 - Tk_xwk-\ к е N.

VIII. Критерий остановки итераций

< Е0Е2, ке NX!!}, Е е (0; 1). Литература

1. Aubin, J.-P. Approximation of Elliptic Boundary-Value Problems[Text] / Aubin J.-P. //New York: Wiley-Interscience, 1972. - 360 p.

2. Marchuk, G.I. Fictitious Domain and Domain Decomposion Methods. Russian Journal Numerical Analysis and MathematicalModelling, [Text] / Marchuk G.I., Kuznetsov Yu.A., Matsokin A.M. // 1986, vol. 1, № 1. P. 3-35.

3. Matsokin, A.M. The Fictitious-Domain Method and Explicit Continuation Operators. Computational Mathematics and Mathematical Physics[Text] / Matsokin A.M., Nepomnyaschikh S.V.// 1993, vol. 33, № 1. P. 52-68.

4. Oganesyan, L.A. Variation-Difference Methods for solving Elliptic Equations. Erevan[Text] /, Izd-vo AN ArmSSR, 1979. - 235 p.

5. Sorokin, S.B. Analytical Solution of Generalized Spectral Problem in the Method of Recalculating Boundary Conditions for a Biharmonic Equation[Text] / Oganesyan L.A., Rukhovets L.A. // Siberian Journal Numerical Mathematics, 2013, vol. 16, № 3. P. 267-274.

6. Ushakov, A.L. About Modeelling of Deformations of Plates[Text] / Ushakov A.L.// Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2015, vol. 8, № 2. P. 138-142.

7. Ushakov, A.L. Investigation of a Mixed Boundary Value Proble for the Poisson Equation[Text] / Ushakov A.L. // 2020. - Proceedings - 2020 International Russian Automation Conference, RusAutoCon 2020, article ID 9208198, P 273-278.

8. Ushakov, A.L. Numerical Anallysis of the Mixed Boundary Value Problem for the Sophie Germain Equation. [Text] / Ushakov A.L. // Journal of Computational and Engineering Mathematics, 2021, vol. 8, № 1. P. 46-59.

9. Ushakov, Â.L. Ânalysis of the Mixed Boundary Value Problem for the Poisson's Equation[Text] / Ushakov A.L.// Вulletin of the South Ural State University Ser. Mathematics. Mechanics. Physics, 2021, vol. 13, № 1. P. 29-40.