АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Анализ бесконечных систем линейных уравнений в задаче сложных колебаний защемленной прямоугольной пластины

С.О. Папков, Ю.И. Папкова Севстопольский государственный университет, Севастополь

Аннотация: Рассматривается задача о сложных (гибких) колебаниях защемленной по контуру прямоугольной ортоторпной пластины. Общее решение задачи, тождественно удовлетворяющее уравнению колебаний, строится на основе метода суперпозиции в форме двух рядов Фурье. Граничные условия полного защемления приводят к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов в общем решении. Доказывается единственность ограниченного нетривиального решения бесконечной системы на собственной частоте колебаний, находится асимптотика неизвестных, строится эффективный алгоритм решения. Приводятся примеры численной реализации разработанного алгоритма для вычисления собственных частот и собственных форм колебаний пластины.

Ключевые слова: пластина, колебания, собственные частоты, планарные силы, метод суперпозиции, бесконечная система линейных уравнений, асимптотика.

Введение

Задача о поперечных колебаниях прямоугольной пластины относится к числу старейших классических проблем. Еще в начале XIX века опыты с демонстрацией фигур Хладни, благодаря эстетическому аспекту, привлекли внимание широкой общественности к проблеме колебания пластин. Попытки математического описания проблемы, в свою очередь, дали мощный толчок к развитию аппарата математической физики. Чрезвычайная важность пластины, как элемента в структурной механике и инженерных приложениях, привела к появлению большого числа работ, где проблема колебаний изучалась на основе различных подходов [1 - 3]. Тем не менее, несмотря на долгую историю, точное аналитическое решение задачи о поперечных колебаниях прямоугольной пластины удалось построить лишь для случая, когда две противоположные стороны пластины шарнирно-оперты, в остальных случаях используются приближенные подходы, хотя попытки построения точного решения для иных граничных условий до сих пор продолжаются [4, 5].

и

Ниже рассматривается задача о сложных колебаниях ортотропной прямоугольной пластины с защемленными краями, которая сводится к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. На основе обобщения [6] закона асимптотических выражений Б.М. Кояловича, построен эффективный алгоритм вычисления собственных частот и форм пластины.

Математическая модель

Рассмотрим колебания прямоугольной ортотропной пластины {(х,у) е[-а;а] х [-Ь;Ь]} толщины к, равномерно сжатой под действием

нагрузок и Ыу перпендикулярно ее сторонам. Уравнение сложных колебаний пластины относительно прогиба w(х, у, г) = Ж(х, у^^ имеет вид:

^д 4ж д 4ж ^д 4ж 2ж 2ж ^ л

А—г + 2ВЪ——- + Б2—- + Ых—- + N—- - Б1П4Ж = 0 (1)

1 дх4 3 дх2 ду2 дУ дх2 у ду21 W

где П = а у ш2р к / Б1 - безразмерный частотный параметр, р - плотность

материала, ю - круговая частота, А, Б2,03 - упругие постоянные.

Условия жесткого защемления всех сторон пластины имеют вид:

дЖ

при х = ±а: Ж = 0; фу = -— = 0 (2)

дх

дЖ

при у = ±Ь : Ж = 0; фх = — = 0 (3)

Для построения общего решения уравнения (1) используем метод суперпозиции, описанный в [7]. Следуя данному подходу, общее решение задачи может быть представлено в виде суммы четных и нечетных составляющих по каждой из координат:

Ж = Ж00 + Жл + ^10 + Ж11 (4)

Разделяя переменные в уравнении (1 ) получаем общее решение в виде

да да

Ж= X (АпИ] (рпку) + БпИ] (рпкуЖ (апкх) + £ (СпНк (] + БпНк {цП]х))Г] (Р„уу) (5)

п=1 п=1

где тригонометрические и гиперболические функции в зависимости от типа симметрии обозначены, как:

feos z, j = 0 ich z, j = 0

■ ' j i; hj (z)=i ь , • 1-

[sin z, j = 1 [sh z, j = 1

Константы разделения выбираются в форме, обеспечивающей полноту

тригонометрических рядов (4) на границе пластины:

anj =

к

a

n -1 + — 2 2

Р =к Pnj b

n -1 + — 22

(6)

Величины pnk, pnk и qnj, qnj являются корнями следующих характеристических уравнений:

Dp + (Ny - 2Da2)p2 + Dа4 - Nxа2 - ЦQ4 = 0, Drf + (Nx -2D3PV + D2P4 -NyP2 -D1Q4 = 0,

(7)

(8)

Заметим, выбор констант разделения в форме (6) приводит для любого типа симметрии к тождеству Тк (ыпка) = Т\ ($пр) = 0, что позволяет выполнить краевые условия на функцию прогиба Ж тождественно, если положить:

C Hk (qnja) A =-B

Cn = -7 ; An = Bn

Hk (4nja)

Hj (Pnkb) Hj (Pnkb) '

(9)

Подстановка соотношений (9) в условия на углы поворота фу и фх приводит к двум функциональным уравнениям вида:

dWu

8x

= £ (-1)nBnH] (Pnkb)a nk

4 (Pnky) H—(pnk^

n=1

Hj (pnkb) H(Pnkb)

+

+

£ DnHk (q—a)

n=1

V±£ j\Fnku) ÄÄj\FnkuJ J

a)

nj > „ k\ inj

_ H'k (q—a) H'k (q—a)

V 4nnHk (q—a) " qnJHkj

T j (P—y) = 0

8W,„

8y

= 1 BnHj (pnkb)

y=b

n=1

pnk

H(pnkb) „ h;(pnkb)>

pnk

V j r

H,(pnkb) H—(pnkb)

n

Tk (ankx) +

(10)

+ X (-1)nDnHk (qnjü)Pnj

n=1

j\rnk ) J Hk (qnjx) Hk (%Х)Л

= 0

Ик (дп]а) Ик (дп]а)) (11)

Далее, для определения неизвестных коэффициентов Фурье Вп и Эп используем разложения по тригонометрической системе функций:

да

x=a

да

Hj (pnky) Hj (pnky)_ 2(plk - p2nk) ^ (-1)™ j (ßmj.y)

b

-2 2

Hj (pnkb) Hj (pnkb) b ti (ß2mj + pn2k Xßi + pn2k)

Hk (qnjX) Hk (qnjX)_ 2 (qj - qj ^ (-1)m а^^Т; (а^х)

~k\4.nj f _

Hk (qn,a) Hk (4n,a)

a

I

—'fcmk + qw)(a mk + qm)

(12)

(13)

inj"у у m—1 V mk \lnjs\ mk ' "-inj-

Подстановка (12), (13) в равенства (10), (11) приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений следующего вида:

2

Z 2 m-1 — 4

а

а nkZ 2n

D1 \m 11 (а2nk + qlj )(a2nk + q2mj)

Z

2m

D 2

ßn,Z 2n-1

2 L^2,m n—1\r nj

относительно неизвестных:

-I_

D2 a 2,m1 pm, )(ßn,+pm,)

(m = 1, 2, ...)

(14)

D

Z2m-1 —^(-1)mDmHk(qmja)(q2j -qm), ^

(D

DD3

(-1)m+1 BmHj (Pmkb)(Pmk - Plik),

К

a„

а

/ H'k(qmia) H'k (дща)Л

ß (q2 -q2 )

rmj \zimj zimj / b

q,

mj

Hk (Яща) 4mJ Hk (4mja)у

mk\rmk pmk )

- H'j (pmkb) H'J (pmkb

pmk

' pmk '

ч Я (&к*) Я ,

Анализ бесконечной системы.

Для оценки регулярности бесконечной системы (14) используем дигамма-функцию которая позволяет точно вычислить ряды из модулей коэффициентов бесконечной системы:

а пк [А а

S2m-1 — 4

D2 2

D1 A1,m |

I

1(а 2nk + qlj)(а 2nk + qlj) К

D1 ^lA1,ml(qm;j- q^)

f Г1 + k + iaqt Л

V v

mj

2

n

V

+ k iaq л +

' mj

V

2

n

У

S2m — 4

D1 2

D2 A, 1 2,m |

+ V ß

+ k iaq. л

mj

2

n

V

4 + k iaq

___U

v 2 n УУ

(15)

"J

2,m I n—1 (ßnj + pmk )(ßnj + pmk ,

D1

D2 П 1 A2,m 1 (p2mk - pI, )

С f

V

V v

Л

mk

1 ±1+^ 2 n

b

n

b

4

и

V

1+/ , ^Ртк 2 л

+ у

1 + / ¡Ьр^

mk

2

л

V

1 + / ¡Ьр

mk

2

л

(16)

Учитывая асимптотику выражений при m — да:

a

pmk P+^mk ; Pmk = Р-^пй ; qmj Q+fimj ; qmj 5А1,т '^/П , ГЛ \Г>2 ;

(в+ + в- )Р

т/

А, =

2,п

(Р++ Р- )Р.

2 , в± =

Щ

Б, ±^11 ) : -1\1)2

а

р± =

а3 ±7 а : - а)

а

и поведении дигамма функции:

1

V(z) = 1п г---... (г — да, | argz |<л)

21

(17)

можно найти, что при увеличении номера т ряды в условиях регулярности системы (14) стремятся к одному и тому же значению предела, зависящему

от комбинации упругих констант д/)))) /= г как:

1гт ^

2п-1

1гт ^

2 щ

-42 аг&зЛ лл/г -1

1

2

(18)

Таким образом, из оценки (18) следует, что для бесконечной системы (14) всегда найдется такой номер МК, начиная с которого сумма модулей коэффициентов строго меньше единицы, т.е. будут выполняться условия квазирегулярности. Это, в свою очередь, позволяет использовать [8] разложение системы (14) на совокупность вполне регулярных бесконечных систем и одну конечную систему. Действительно, замена вида:

N.

2т =^Х1т21 (m>NR) I=1

(19)

приводит бесконечную систему (14) к совокупности вполне регулярных бесконечных систем относительно Х,т с одинаковой матрицей:

X

/Ъп

ТМпЛ1п +Мт1, (т = МК + 1,МК + 2,...)

(20)

п=И К+1

где Мтп - коэффициенты системы (14).

а

2

т—»да

т—»да

и

Так как константа в (18) строго меньше единицы, то из ограниченности Мт1, выступающих в роли свободных членов (20), следует, что каждая из систем (20) имеет единственное ограниченное решение. Таким образом, вопрос о существовании ограниченного решения для исходной квазирегулярной системы (14) сводится к вопросу существования решения у

конечной системы относительно первых неизвестных {^т}т=1:

С да

=Х Мтп + У Мт1 г]

п=1 ^ /=Мя + 1

гп, (т = 1, 2,..., Щ (21)

Равенство нулю определителя конечной системы (21) также дает дисперсионное уравнение для определения собственных частот пластины.

Найдем аналитически асимптотику решений систем (20). С этой целью проведем замену переменных вида:

г2то-1 = ВХ^щУт; г2т = аткХт . (22)

Тогда преобразованные системы (20) для каждого I = 1, 2,..., ЯК принимают вид (2ЫГ = ; т = Ыг +1, Ыг + 2,...):

2Р„

у1 - Ут}

У ]

т

А1,т V

А ^ ХП , М2т-1,/в

А п=х+1 (а Пк + Ч2т} )(а Пк + Чщ) А1/4

X1 = 2а тк

т

А, \

2,т 1

А ^ у] , М2 т,/а тк

(23)

а п=г+1(РП}+р*)(в]}+Кк) А/4

и удовлетворяют обобщению закона асимптотических выражений Б.М. Кояловича при:

г (1) = г (2) = 1; ¿(1) = п ; ¿(2) = а (24)

'п 'п Ьт КтУ' Ьт ^тк . (24)

Действительно, используя известные значения рядов [9], можно получить, используя введенные выше обозначения, следующие формулы:

1 _а Н[ (да) 5И V 1 - Ъ Н}(РЪ) 5

}1

у 1 = Нк (да) 5к1 у

у а]к + д2 2д И к (да) 2д2 , у Р]к + Р2 2 рН] (рЪ) 2 р2 ' Тогда для системы (24) ряды в условиях регулярности можно вычислить точно:

да

и

сК - 2в £1

с 2т-\ 2И т/л т^

Н (йт]а) Н (дща) 5^- дЩ,)

----1--

ЧщНк (Ят/а) ЧтНк (Чт,а) ЩЛ

1

ЧтН'к(дща) дщн'к(дща)

Нк (Ят,а) Нк (Ят!а)

А Г

Я:

\

\Кт\П-1(а 1к+чШ, )(а Пк+ЧШ, )

22

2

- 2п

с2ш - 2ашкл п

V £2

а

тк

Н; (РткЬ) н; (РшкЬ) 5Л( рЩ, - рШк)

—-~----'--2 _2-

РткН1( РшкЬ) РткН1( РшкЬ) ЬРткРтк РшкН'; (РшкЬ) РшкН; (РткЬ)

Ш

£\ у

П ^ /

\ А 2,ш ^ £2 П-\(Р П+рШк )(Р П+РШк)

Н/Ш) Н,( РшкЬ)

Переходя к пределу при т — да, получаем, что значения рядов стремятся снизу к единице Иш 8Щг - \, т.е. ограниченные решения систем (23) имеют

ш—да

общий ненулевой предел:

(24)

1т у1т - ^ х1т - К1 > 0.

т—да т—да

Тогда, согласно формуле замены (22), для нетривиального решения однородной квазирегулярной бесконечной системы (14) будет верна оценка:

^2ш-\ - £ / Р/ ^2ш - Щ'4/ ашк (т — да)

(25)

Численные результаты

На основе представленной теории был разработан алгоритм вычисления собственных частот и собственных форм колебаний пластины, который был программно реализован в пакете МаШетайса. В таблице №1

л

даны собственные частоты Л-40 квадратной изотропной пластины с защемленными краями под действием гидростатической нагрузки N - Ыу - -4, вычисленные согласно представленному в работе подходу

рядом с аналогичными результатами из [1], а также [10]. Заметим, что в [1] использовался метод возмущений для определения собственных частот. В работе [10] использовали вариационный метод для определения нижней границы собственной частоты и классический метод Рэлея - Ритца для вычисления верхней оценки. Снова можно увидеть полное соответствие всех результатов.

в

т

\

\

На основе предложенного метода были рассчитаны первые пять собственных частот квадратной ортотропной защемленной пластины при варьировании свойств материала и значений сил Ых и Ну. Данные результаты представлены в таблицах №2,3.

Таблица №1

Собственные частоты для квадратной изотропной пластины

а 2 Нн ж2 Д Нижняя граница [10] Верхняя граница [10] [1] РгеБеП;

5 49.580 49.847 49.628 49.581

10 59.922 60.392 60.019 59.926

15 68.580 69.271 68.566 68.585

20 76.124 77.088 - 76.171

30 89.268 90.656 - 89.272

50 110.60 112.90 - 110.59

100 148.26 154.98 - 150.55

200 207.79 215.69 - 207.73

Таблица №2

Первые собственные частоты О для защемленной квадратной пластины: изотропный материал Д = Д; Д = ТДД

п Нх = Ну = 0 а2 N Ь2Ыу аНх = N = 0.2 ж2Д ж Д а2 N Ь2 Ну — у — 0 5 ж2Д ж2Д ' а 2 Нх = 1 ж2 Д1 Ну = 0 Нх = 0 Ь 2 Ну _1 ж2 Д1

1 2.999 2.883 2.673 2.668 2.668

2 4.284 4.191 4.038 3.865 3.865

3 5.201 5.121 4.992 4.189 4.189

4 5.735 5.662 5.545 4.992 4.992

5 5.749 5.677 5.563 5.388 5.388

Таблица №2 соответствует изотропному материалу, в то время как в таблице №3 даны собственные частоты для ортотропной пластины при

и

Д = 3Д; Д = д/ДД . Можно увидеть, что увеличение значений сил Ых и Му в любой комбинации приводит к уменьшению значений собственных частот колебаний пластины.

Во всех рассмотренных случаях первая собственная частота (фундаментальная собственная частота) всегда достигается для симметричных по обеим осям мод.

Таблица №3

Первые собственные частоты О для защемленной квадратной пластины: ортотропный материал Д = 3Д; Д = ТДД

п Мх = Му = 0 а 2 Мх Ь 2 Ыу х = у = 0.2 т2Д т2Д а2 N Ь2 Му аМх = М = 0.5 п2Д т Д а 2 Мх = 1 тг Д Му = 0 Мх = 0 Ь 2 Му т2 Д

1 2.689 2.521 2.170 2.157 2.128

2 3.499 3.321 2.979 3.314 2.432

3 4.115 4.009 3.833 3.625 3.639

4 4.525 4.371 4.103 4.333 4.009

5 4.643 4.528 4.337 4.447 4.339

Выводы

Представленный метод дает возможность построения аналитического решения задачи в значительно более широком диапазоне частот и при большей вариации значений контурных нагрузок по сравнению с известными методами. На основе анализа соответствующей бесконечной системы линейных уравнений удается построить в аналитической форме асимптотику ее нетривиального решения. Проведенные численные исследования для задач колебания ортотропных пластин с защемленными краями показали хорошее совпадение с известными в литературе классическими результатами, полученными на основе энергетического подхода.

Таким образом, полученные асимптотически точные решения задач колебаний и устойчивости прямоугольных ортотропных пластин могут использоваться, как эталонные при отладке численных и численно -аналитических методов, для вычисления собственных частот и критических сил с заданной точностью в том диапазоне параметров, где энергетические методы приводят к системам высокой размерности.

Литература

1. Leissa A.W. Vibration of Plates (NASA SP-160). Washington, DC: Govement Printing office, 1969. 353 p.

2. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости // Инженерный вестник Дона, 2013, №1. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n 1y2013/1516.

3. Дородов П.В. Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины // Инженерный вестник Дона, 2013, №2. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1636.

4. Xing Y.F. and Liu B. New exact solutions for free vibrations of thin orthotropic rectangular plate // Composite Structures, 2009, 89. P. 567-74.

5. Papkov S.O. A new method for analytical solution of in-plane free vibration of rectangular orthotropic plates based on the analysis of infinite systems // Journal of Sound and Vibration, 2016, 369. P. 228 - 245.

6. Папков С.О. Обобщение закона асимптотических выражений Кояловича на случай неотрицательной бесконечной матрицы // Динамические системы. 2011, Т.1 (29), № 2, С. 255-267.

7. Papkov S.O. Vibrations of a Rectangular Orthotropic Plate with Free Edges: Analysis and Solution of an Infinite System // Acoustical Physics, 2015, Vol. 61, № 2, P. 136-143.

8. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анали за, 5-е изд. М.-Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

9. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981, 800 с.

10. Weinstein A. and Chien W.Z. On the vibrations of a clamped plate under tension // Quarterly Journal of Applied Mathematics, 1943, Vol. 1, pp. 61-68.

References

1. Leissa A.W. Vibration of Plates (NASA SP-160). Washington, DC: Govement Printing office; 1969, 353 p.

2. Shlyakhin D.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2013, №1. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n 1y2013/1516.

3. Dorodov P.V. Inzhenernyj vestnik Dona, 2013, №2. URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1636.

4. Xing Y.F. and Liu B. Composite Structures. 2009. 89. pp. 567-74.

5. Papkov S.O. Journal of Sound and Vibration, 2016, 369. pp. 228 - 245.

6. Papkov S.O. Dinamicheskiye sistemy. 2011. T.1 (29), № 2. pp. 255 267.

7. Papkov S.O. Acoustical Physics. 2015. Vol. 61, No. 2. pp. 136-143.

8. Kantorovich L.V., Krylov B.I. Priblizhennyye metody vysshego analiza [Approximate Methods of Higher Analysis] 5-e izd. M.-L.: Fizmatgiz, 1962. 708 p.

9. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O.I. Integraly i ryady. Elementarnyye funktsii [Integrals and series: Elementary functions]. M.: Nauka, 1981, 800 p.

10. Weinstein A. and Chien W.Z. Quarterly Journal of Applied Mathematics, 1943, Vol. 1. pp. 61-68.