CC BY
67
УДК 62.50:621.785.33
М.В. Мусатов, В.Б. Половикова, А.С. Моисеев, А.А. Львов
АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ТЕСТИРОВАНИЯ АЦП,
ОСНОВАННЫХ НА МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДАРТОВ
Проводится анализ применения разновидностей метода наименьших квадратов для улучшения качества оценивания параметров АЦП.
Метод наименьших квадратов, аналогово-цифровой
преобразователь, эффективное число бит
M.V. Musatov, V.B. Polovikova, A.S. Moiseev, A.A. L’vov ANALISIS OF THE ADC TESTING LEAST SQUARES TECHNIQUES
The article analyzes the use of varieties of the least-squares method to improve
quality of parameter estimation ADC
Least squares method, analog-to-digital converter, effective number of
bites
Современная электроника активно развивается в направлении цифровых систем, которые применяются во многих областях и деятельности человека. Существенная часть сигналов, на которые необходимо реагировать цифровой системе, являются аналоговыми. Для преобразования аналоговых сигналов в цифровые используются аналого-цифровые преобразователи (АЦП) с различными характеристиками, в зависимости от области применения. В связи с этим становится актуальной задача комплексной оценки параметров АЦП с целью выделения преобразователей с требуемыми характеристиками. Существует методика испытаний АЦП на основе классического метода наименьших квадратов (МНК), подробно описанная в международном стандарте IEEE 1241-2000 [3]. В результате испытаний оцениваются следующие параметры: среднеквадратичное
отклонение синусоидальной волны, восстановленной от исходного синусоидального сигнала по результатам с выхода АЦП; эффективное число бит (ENOB). Эти параметры являются одними из основных при оценке качества АЦП, однако их значения могут быть неточны из-за погрешностей измерений, связанных с параметрами эталонного сигнала и тактового генератора, задающего частоту дискретизации.
Приводится сравнительный анализ разновидностей МНК для построения алгоритмов, позволяющих существенно увеличить качество оценки параметров АЦП. В частности, рассматриваются методы, позволяющие увеличить точность оценки параметров на основе учета погрешностей тактовых сигналов (во времени) [4].
При несоблюдении основных предпосылок обычного МНК приходится корректировать модель: изменять её форму, добавлять или, наоборот, исключать факторы, преобразовывать исходные данные и т.п. Особенно часто на практике приходится сталкиваться с ситуациями, в которых возмущения модели имеют постоянную дисперсию и не коррелированы.
Нарушение условия гомоскедастичности возмущений означает, что дисперсия возмущения зависит от значений факторов. Такие регрессионные модели называются
156
моделями с гетероскедастичностью возмущений. Если справедлива гетероскедастичность возмущений, то оценки параметров модели обычным МНК не будут эффективными. Рассчитанные значения стандартных ошибок коэффициентов уравнения регрессии могут быть заниженными, а при проверке статистической значимости коэффициентов может быть ошибочно принято решение об их значимом отличии от нуля.
Условие некоррелированности возмущений может не выполняться при построении регрессионной модели по временным рядам исследуемых переменных, где из-за наличия тенденции последующие члены ряда могут зависеть от предыдущих членов, в модели имеется автокорреляция возмущений.
При наличии автокорреляции возмущений обычный МНК дает несмещенные и состоятельные оценки параметров модели, которые, однако, неэффективны, т.е. их дисперсии не будут наименьшими. По сравнению с гетероскедастичностью возмущений автокорреляция приводит, наоборот, к завышению стандартных ошибок коэффициентов уравнения регрессии. На основе таких результатов может быть сделан ошибочный вывод о несущественном влиянии исследуемого фактора на зависимую переменную.
Ковариации и дисперсии возмущений могут быть произвольными, т. е. задаваться некоторой положительно определенной матрицей Q:
[л(еет) = Q, (1)
где Q - ковариационная матрица вектора возмущений.
Модель множественной регрессии, для которой выполняется условие (1), называется обобщенной линейной моделью множественной регрессии (Generalized Linear Multiple Regression Model). Для получения несмещенных и наиболее эффективных оценок параметров такой модели применяют обобщенный метод наименьших квадратов (Generalized Least Squares), условие которого имеет вид: eTQ-1e ® min .
Вектор оценок b* параметров обобщенной модели определяется как
b* = (XTQ-1X)-1 XTQ-1Y . (2)
На практике ковариационная матрица вектора возмущений Q, как правило, неизвестна, и для реализации обобщенного метода наименьших квадратов приходится вводить дополнительные условия на структуру матрицы Q. Поэтому устранение гетероскедастичности и автокорреляции возмущений производят раздельно, для этого используют частные случаи обобщенного метода наименьших квадратов.
Для оценки параметров модели с гетероскедастичностью возмущений используется взвешенный МНК, являющийся частным случаем обобщенного МНК.
Для применения взвешенного метода наименьших квадратов необходимо сделать предположение о значениях o(ei). Обычно предполагают, что среднее квадратическое отклонение возмущений пропорционально значениям одного из факторов, предположительно делающих выборочную совокупность неоднородной.
Если имеется автокорреляция возмущений, то для оценки параметров модели используют другой частный случай обобщенного метода наименьших квадратов. Пусть по временным рядам переменных X и Y строится парная линейная модель
yt =b +Д x +e (t = 1 2 •••, n)
уравнение регрессии которой имеет вид
yt = b0 + b1 xt (t=1, 2, ..., n), (3)
где b0, b1 - оценки параметров b0 и b1, соответственно.
Первоначально исходные переменные и свободный член b0 уравнения регрессии преобразуются с помощью формул:
y't = yt - r(1)yt-1; x = x - r(1)xt-1; b0 = *0(1 - rw), (t = 2, 3, ., n),
где r(1) - коэффициент автокорреляции остатков первого порядка. В результате уравнение (3) трансформируется в уравнение
yt = b0+ b1xt, (t = 2, 3, ..., n),
параметры которого определяются обычным МНК. После этого вычисляются свободный член b0 исходного уравнения (3) по формуле
b0 = b0/(1 - Г(1)).
Основным недостатком описанной выше модели, является предположение о несимметричности МНК. Для симметричной модели (в предположении, что ошибки возможны как в матрице значений факторов X, так и в векторе значений результата Y) применяется общий метод наименьших квадратов (total least squares).
Общий метод наименьших квадратов (ОМНК) предложен Г олубом и Ван Лоаном, как метод решения переопределенных систем уравнений вида AX » B, где A е RmXn и Bе RmXd известные данные, а Xе RnXd неизвестные [1], и представляет обобщение метода аппроксимации с использованием классического МНК, в случае, когда матрицы A и B известны с ошибками.
Определение ОМНК связано с асимметрией классического МНК, поэтому он основан на минимизации (в смысле нормы Фробениуса) корректирующих составляющих DA и DB известных данных A и B , формирующих следующую систему уравнений:
Ax = B, A = A + DA, откуда следует (A + DA)X = B + DB, B = B + DB, (4)
Задача оптимизации для системы (4) будет выглядеть следующим образом:
min || DA, DB ||F,(A + DA)X = B + DB. (5)
Для решения задачи оптимизации (5), определим функцию Лагранжа L
L =|| DA, DB ||F +1 (Ax + DAx - B - DB). (6)
Геометрическая интерпретация ОМНК в линейном случае может быть
представлена как минимизация суммы квадратов расстояний до прямой l [2]
2
m
f(l) = E dist((x1’ уДl) ■ (7)
i=1
Для проверки работоспособности предложенных методик оценивания параметров АЦП с использованием разновидностей МНК, а также проверки качества моделирования условий испытания АТ ЦП проведена серия экспериментов. Для проведения испытаний использовалась программа, реализованная на встроенном языке системы Matlab.
Модель синусоидального сигнала задается в следующем виде: y = A + B sin( wt) + C cos( wt). Параметры синусоидального сигнала инициализированы следующими значениям A = 3,B = 2, C = 2, w = p/2. Для испытания использована модель трехразрядного АЦП, с частотой дискретизации wdiscr = 3p.
Ниже приведены характеристики восстановленных сигналов и среднеквадратичные отклонения от исходного сигнала.
ytest = 3 + 2sin(p/ 2) + 2cos(p/ 2) - эталонный тестовый сигнал
ytls = 2.4959 + 2.0182sin(p/2) + 1.9987cospt/2) - сигнал, восстановленный с
использованием общего МНК (TLS).
ytls = 2.4959 + 2.0465sin(p/2) + 1.9967cos(p/ 2) - сигнал, восстановленный с
использованием обощенного МНК (GLS).
yols = 2.4791 + 2.0465sin(p/2) + 1.9666cos(p/ 2) - сигнал, восстановленный с
использованием классического МНК.
Анализируя представленные характеристики, можно видеть, что применение общего МНК целесообразно с точки зрения улучшения качества оценивания параметров АТ ЦП, таких как среднеквадратическая ошибка и другие параметры, рассчитанные с её использованием.
ЛИТЕРАТУРА
1. Marquardt D. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters / D. Marquardt // SIAM J. Appl. Math., 1963, Vol. 11, P. 431-441.
2. Nocedal J. Numerical Optimization / J. Nocedal, S.J. Wright, Springer, New York,
1999.
3. IEEE Standard 1241-2000 IEEE Standard for Terminology and Test Methods for Anal og-to-Di gital C onverters.
4. Blair J. Corrected RMS error and effective number of bits for sinewave ADC tests / J. Blair, T. Linnenbrink Computer Standards and Interfaces, Vol. 26, No. 1, P. 43-49. Jan. 2004.
Мусатов Михаил Викторович -аспирант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского
государственного технического университета
Половикова Виктория Борисовна -
магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Моисеев Антон Сергеевич -магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Львов Алексей Арленович -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета
Статья поступила в редакцию 01.11.10, принята к опубликованию 15.11.10
