CC BY
14
УДК 519.6
А.П. МОТАЙЛО
Херсонська державна морська академiя
АНАЛ1ТИЧНО-ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИЙ СПОС1Б ВИЗНАЧЕННЯ
МОДУЛЯ ЮНГА
Одтею з важливих задач технологи матерiалiв е визначення фiзико-механiчних властивостей матерiалiв при 1х виробництвi. Модуль Юнга як характеристика мiцностi матерiалу може бути знайдений експериментально у лабораторних умовах для стандартних зразюв. У випадках, коли неможливо провести стандартн випробування, актуальною е задача пошуку нових способiв визначення модуля поздовжньоI пружностi матерiалiв. У датй роботi запропоновано спо^б визначення модуля Юнга, який може бути застосований на зразках матерiалiв нестандартноI форми та розмiрiв.
Мета роботи - розробка способу визначення модуля поздовжньоI пружностi матерiалу на основi порiвняльного анализу результатiв математичного моделювання процесу, що вiдбуваеться у матерiалi пiд дiею навантаження, та обчисленого експериментально модуля Юнга.
Запропоновано метод, при якому вимiрюються лiнiйнi перемщення, що виникають при навантажент зразка матерiалу на малш площадц за допомогою iндентора та порiвнюються з локальними деформа^ями, як отримаш аналiтично для моделi зразка методом сюнченних елементiв. Отримано формулу залежностi модуля Юнга вiд перемщень, розрахованих аналiтично та експериментально. Точтсть визначення модуля Юнга аналiтично-експериментальним способом порiвнюеться з точтстю розв'язання аналогiчно'i задачi за допомогою стандартного випробування експериментального зразка призматичноi форми на триточковий згин. За критерш валiдностi випробувань прийнято величину вiдносноi похибки вiдхилень непрямих вимiрювань модулiв поздовжньо'1' пружностi, як були отриман як результати двох видiв незалежних експериментiв для зразюв матерiалiв.
Розроблений споаб визначення модуля Юнга перевiрено на зразках композицшних матерiалiв. До^джено вплив вибору сюнченно-елементно'1' решiтки на точтсть обчислення модуля поздовжньо'1' пружностi випробуваних зразюв. Точтсть проведених експериментiв задовольняе iнженерним вимогам, що дозволяе рекомендувати запропонований спосiб для використання на практиц при виршеннi задач оптимiзацii технологи матерiалiв. Застосування даного способу вирШуе додаткову задачу створення програмно-методичного забезпечення з визначення мехатчних характеристик матерiалiв. Перспективи подальших до^джень полягають в створеннi способiв визначення тших механiчних констант, оптимiзацii вiдповiдного программного забезпечення, а також застосування даного способу при розв^-зан^ задачi з визначення об'емного модуля Юнга ангзотропних композицшних матерiалiв, що використовують для створення функ^ональних покриттiв у суднобудувант.
Ключовi слова: композицiйнi матерiали, модуль Юнга, iндентор, метод сюнченних елементiв.
А.П. МОТАЙЛО
Херсонская государственная морская академия
АНАЛИТИЧЕСКИ-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
МОДУЛЯ ЮНГА
Одной из важнейших задач технологи материалов является определение физико-механических свойств материалов при их производстве. Модуль Юнга как характеристика прочности материала может бать найден экспериментально в лабораторных условиях для стандартных образцов. В случаях, когда стандартные испытания провести невозможно, актуальной является задача поиска новых способов определения модуля продольной упругости материалов. В данной работе предлагается способ определения модуля Юнга, который может применяться на образцах нестандартной формы и размеров.
Цель работы - разработка способа определения модуля продольной упругости материала на основании сравнительного анализа результатов математического моделирования процесса, происходящего в материале под действием нагрузки, и вычисленного експериментально модуля Юнга.
Предложен метод, при котором измеряются линейные перемещения, возникающие при нагружении образца материала на площадке малых размеров с помощью индентора и сравниваются с локальными деформациями, найденными аналитически для модели образца методом конечных элементов. Получена формула зависимости модуля Юнга от перемещений, рассчитанных аналитически и экспериментально. Точность определения модуля Юнга предложенным способом сравнивается с точностью решения аналогичной задачи с помощью стандартного испытания экспериментального
образца призматической формы на трехточечный изгиб. В качестве критерия валидности испытаний принята величина относительной погрешности отклонений косвенных измерений модулей продольной упругости, которые были получены в результате проведения двух независимых экспериментов для образцов материалов.
Разработанный способ определения модуля Юнга проверен на образцах композиционных материалов. Исследовано влияние выбора конечно-элементной решетки на точность вычисления модуля продольной упругости испытываемых образцов. Точность проведенных экспериментов удовлетворяет инженерным требованиям, что позволяет рекомендовать предложенный способ к использованию на практике при решении задач оптимизации технологии материалов. Использование данного способа решает дополнительную задачу создания программно-методического обеспечения для определения механических характеристик материалов. Перспективы дальнейших исследований состоят в создании способов определения других механических констант, оптимизации программного обеспечения, а также применения данного способа при решении задачи определения объемного модуля Юнга анизотропных композиционных материалов, используемых для создания функциональных покрытий в судостроении.
Ключевые слова: композиционные материалы, модуль Юнга, индентор, метод конечных элементов.
A.P. MOTAILO
Kherson State Maritime Academy
ANALITICAL-EXPERIMENTAL METHOD FOR DETERMINING THE YOUNG'S MODULUS
One of the most important tasks of materials technologists is to determine the physical and mechanical properties of materials during their production. Young's modulus as a characteristic of the strength of a material can be found experimentally in laboratory conditions for standard samples. In cases where standard testing is not possible, the challenge is to find new ways to determine the modulus of longitudinal elasticity of materials. In this paper, we developed a method for determining the Young's modulus, which can be applied to samples of irregular shape and size.
The aim of the work is to develop a method for determining the modulus of the longitudinal elasticity of a material based on a comparative analysis of the results of mathematical modeling of the process occurring in the material under the action of a load, and the calculated experimentally Young's modulus.
A method is proposed in which linear displacements occurring when a sample of a material is loaded on a small area using an indenter are measured and compared with local deformations found analytically for a model of the sample by the finite element method. A formula is obtained for the dependence of the Young modulus on the displacements calculated analytically and experimentally. The accuracy of determining the Young's modulus by the proposed method is compared with the accuracy of solving a similar problem using a standard test of an experimental sample of a prismatic shape for three point bending. As a criterion for the validity of the tests, the value of the relative error of deviations of indirect measurements of the moduli of longitudinal elasticity, which were obtained as a result of two independent experiments for samples of materials, was adopted.
The developed method for determining the Young's modulus is tested on samples of composite materials. The influence of the choice of the finite element lattice on the accuracy of calculating the modulus of the longitudinal elasticity of the test specimens was investigated. The accuracy of the experiments performed meets the engineering requirements, which makes it possible to recommend the proposed method for use in practice in solving problems of optimizing the technology of materials. Using this method solves the additional problem of creating software and methodological support for determining the mechanical characteristics of materials. Prospects for further research are to create ways to determine other mechanical constants, optimize software, and apply this method to solve the problem of determining the Young's volumetric modulus of anisotropic composite materials used to create functional coatings in shipbuilding.
Keywords: composite materials, the Young modulus, indenter, finite element method.
Постановка проблеми
Одним з основних питань при створенш технолопчних B^o6iB для суднового обладнання полiмерних композицшних матерiалiв (КМ) е забезпечення надшносп при !х тривалш експлуатацп. Особлива увага придметься розробщ нових методiв i матерiалiв для захисту корпуав суден вщ корозп та зносу. При цьому КМ е достатньо складним об'ектом з точки зору вивчення його мехашчних властивостей, що змiнюються в результата ди енергетичних полiв, а також залежать вщ природи наповнювачiв та технологи виготовлення. Як правило, пошук нових матерiалiв ведеться в напрямах створення нових речовин та комбiнування вщомих компоненпв. ^m^ieM оцшки параметрiв
формування матерiалу е його фiзико-механiчнi властивостi. Важливою характеристикою еластичностi та мiцностi матерiалу е його жорстк1сть або модуль Юнга.
Об'ектом дослщження е процес визначення модуля Юнга пружних матерiалiв. Процес визначення модуля поздовжньо! пружносп матерiалiв з достатньо високою точшстю, як правило, пов'язаний з проведенням численних стандартних випробувань. При цьому розмiри зразк1в матерiалiв е строго регламентованими [1]. У випадку необхщносп визначення модуля Юнга зразка матерiалу нестандартних розмiрiв постае задача пошуку iнших способiв визначення модуля поздовжньо! пружносп.
Предметом дослщження у данш роботi е точнiсть та меж1 застосування аналогично -експериментального способу визначення модуля Юнга пружних матерiалiв, який оснований на визначеннi лiнiйних перемщень, що виникають при навантаженнi зразюв матерiалiв на малiй площадцi за допомогою вдентора.
Для зразка матерiалу, що встановлений на жорстку основу та тддаеться мiсцевому натисненню iндентором, необхiдно визначити перемiщення iндентора у напрямi прикладеного навантаження, що дорiвнюють мiсцевiй деформацп зразка, та обчислити модуль Юнга матерiалу шляхом порiвняння перемiщень iндентора: знайденого експериментально та розрахованого теоретично iз застосуванням методу сшнченних елементiв (МСЕ).
Ан&ш останшх дослiджень i публiкацiй Найчастiше пружш характеристики матерiалiв визначають на спещальному обладнаннi для розтягування, стиснення та згину зразк1в [2]. Iншi методи визначення модулiв пружностi: ультразвуковий [3, 4], iз застосуванням вбудованих у матерiал волоконно-оптичних датчиков деформацiй [5-7], iз застосуванням засобiв тензометрп [8], - потребують використання вартiсного устаткування, спещальних лабораторних умов, великих затрат часу на проведения та обробку результапв експерименпв. Сучаснi методи оцшки та прогнозування деформацiйних властивостей грунтуються на математичному моделюваннi процесiв, що вщбуваються у матерiалах пiд дiею навантаження [9-11].
У данiй робоп пропонуеться аналiтично-експериментальний спосiб визначення модуля Юнга пружних матерiалiв, зокрема полiмерних КМ. В основу покладено визначення вертикальних перемщень, що утворюються при стисненш зразшв пiд дiею iндентора. Розрахунки для обчислення модуля Юнга виконуються за даними експериментальних вимiрiв локальних деформацiй та порiвнюються з результатами, яш отримано для моделi зразка МСЕ.
Чисельний розв'язок вщповщно! гранично! задачi знайдено засобами ушверсально! програмно! системи ск1нченно-елементного аналiзу (СЕА) ANSYS за умови дискретизацп розрахунково! областi окремо гексаедрами та тетраедрами, а також, програмно-методичного забезпечення, розробленого автором статтi у середовищi математичного процесора Maple, iз можливостями геометричного моделювання об'ектiв iз використанням примiтивiв у формi октаедрiв та тетраедрiв. Результати тестування авторського програмного забезпечення на задачi про розподш температури у замкненiй областi сшнченного об'ему опублiкованi у роботах [12, 13].
Формулювання мети дослiдження Метою роботи е розробка способу визначення модуля поздовжньо! пружносп матерiалу та порiвняльний аналiз результатiв математичного моделювання процесу, що вiдбуваеться у матерiалi пiд дiею навантаження, та модуля Юнга, обчисленого експериментально.
Викладення основного матерiалу дослiдження Розглянемо зразок iзотропного полiмерного КМ у призматично! форми лшшних розмiрiв a=110 мм, ¿=15 мм, h=10 мм (рис. 1), до якого прикладене розподiлене навантаження Р=100 H, що е результатом дп iндентора цилiндрично!' форми дiаметра d=2 мм.
Рис. 1. Геометрiя зразка матерiалу
Задача розрахунку перемщень у однорщному Í30Tp0nH0My пружному тiлi за умови вiдсутностi масових сил описуеться системою piвнянь Ламе [14]:
w2 1 5© А . 7-Z
V2ui +---= 0, i = 1,3 , (1)
1 - 2v dx¿
2 2 2 2 2 2 2 де V = 5 /Sxj+5 /dx2 + 5 /5x3 - оператор Лапласа,
и, - перемiщення вздовж координатно! oci 0xi;
x¡ - прямокутш декартoвi координати;
v - коефщент Пуасона;
© = 5uj / dxi + 5u2 / 5x2 + 5из / CX3 .
Позначимо + ^2 < J2/4} - множину точок верхньо! гранi
S1 = {ta,X2,0):<a2,<Ь2}, де £,,^ - прямoкутнi декартoвi координати в обласп Q. Сформулюемо граничнi умови:
1) ап\Q = 0 (i = 1,2), j = 0 (i j = Ü, / * 7], СТз3Q = P/A, (2)
де a7 - мехашчш напруження;
A = Ж2/4 - площа oблаcтi Q е S1 прикладеного навантаження;
2) U1S2 = U21 S2 = U3 S2 = 0 (3) де S2 = {xb x2, h): < a/ 2, ы < b 2};
3) (,ло),, = 0 (i,7 = ^ , (4)
7 l(51\Q)^53
де S3 = {(+ a2,x2,x3):|x2| <b/2,0<x3 <{(x1,+b/2,x3): |xj < a2,0<x3 <h}.
Для первинно! oцiнки перемiщень в обласп прикладеного навантаження P у напрямку oci 0x3 застосуемо розв'язок задачi Буcciнеcка для пружного iзoтрoпнoгo пiвпрocтoру [14]:
_ д _2 ^
u3 =
2Ж E Q
2(1 -v) + £_
Г r3 ,
pd Q, (5)
де v - коефщент Пуасона;
E - модуль Юнга; "л - прямокутш декаpтовi координати в обласп Q;
dP = p(£,, ")dE,d" = pdO. - елементарне навантаження;
r = xi)2 +("-Х2)2 + Х32 - вiдстань мiж точками K(£,,л,0)е Q та K1(xx,x2,x3)gQ .
Формула (5) не може бути застосована для розрахунку вертикальних перемщень у матеpiальнiй обласп сшнченого об'ему a х b х h, але piзниця вщповщних пеpемiщень на веpхнiй та нижнш основах зразка А = u3 (£,, л,0)- u3 (£,, л, h), де (£,, л)е^, дозволяе оцшити порядок величини вертикальних перемщень як U3 < А. На рис. 2 зображено графж залежносп величини пеpемiщень U3 ввд координати x3, обчислених за формулою (5) для E = 1 ГПа, v = 0,33 . Величина А» 0,0518мм знайдена для h = 10 мм.
Розв'язок задачi (1), (2) - (4) знайдемо МСЕ, використовуючи програмно-методичне забезпечення, розроблене автором статп у сеpедовищi математичного процесора Maple для розрахунку характеристик напружено-деформованого стану моделей твердих тш, та засобами ушверсально! програмно! системи СЕА ANSYS.
Результати розрахунку перемщень u3 в обласп Q для КМ з вщповщними пружними характеристиками пpедставленi в табл. 1, де М1, М2 - епоксиднi композити на основi олiгомеpy ЕД20.
Вiдмiтимо, що отримаш аналiтично значения u3 в обласп прикладеного навантаження вщповщають пеpвиннiй оцшщ А»0,0518 мм, pозpахованiй для заданих геометричних та пружних характеристик зразюв матеpiалiв М1 та М2.
u3
0055
1
\
\
\
\
0,005 -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 20
data points interpolating polynomial - cubic spline
Phc. 2. Tpa$iK nepeMi^eHt u3 = u3 (x3 )
Ta6nnua 1
BepTHKa^bHÏ nepeMÏ^eHHH u3 (mm)
MaTepian XapaiTepHCTHKH npy^HOcri Bugu CKÎHHeHHO-eneMeHTHHx pemiTOi
TeTpaegp, oiTaegp ANSYS
E (rna) V reicaegp TeTpaegp
M1 1 0,33 0,03320 0,03309 0,02620
M2 1 0,33 0,02960 0,03085 0,02991
,3,na npoBegeHHa MexamnHoro Bunpo6yBaHHa 3pa30K MaTepiany (pnc. 1) BCTaHOBnroroTb Ha ^opcTiy 0CH0By Ta HaBarna^yroTb Ha BigHOCHO Manin nno^ag^ Q y HanpaMy, H0pManbH0My go noBepxHi, 3agaHHM HaBaHTa^eHHHM P кiнцeм iHgeHTopa цнniнgpннноï $opMH giaMeTpa 2 mm. Ha pue. 3 306pa®eH0 eKcnepHMemanbHy ipuBy P = P U ), ^o BignoBigae Pmax = 100 H gna MaTepiany M1.
Phc. 3. fliarpaMa HaBarna^eHt 3pa3Ka M1
BenHHHHa Mogynro npy^HOcri E BH3HanaeTbca ^opMynoro:
e=y (AP )
ge k - ioe^i^eHT nirnHHoï 3ane®H0cri BepTHKanbHHx nepeMi^eHb U3 Big BenHHHHH, 06epeH0ï go E .
Ha 0CH0Bi gaHux nncenbHoro eicnepHMemy gna po3paxyHKy nepeMi^eHb U3, aid OTpHMam MCE, ^0 BignoBigaroTb gucipeTHO 3agaHHM 3HaneHHaM Mogyna roHra Big 1 rna go 5 rna (imepBan OHiiyBaHHx 3HaneHb E ), MeTogoM HaHMeHmnx KBagpaTiB (MHK) n06ygyeM0 nrnifey anpoiCHMa^ro U3 = ky, ge y = 1/E . Ha puc.4 gna MaTepiany Ml 306pa^eH0 rpa^ii 3ane®H0cri U3 = k ■ (1e) noianbHux ge^opMa^H Big Mogyna n03g0B®Hb0ï npy^HOCTi, aii p03pax0BaHi i3 3acT0cyBaHHaM nporpaMHoro 3a6e3neneHHa, ^0 po3po6neHe aBTopoM CTaTTi. KyTOBHH ioe^i^eHT niHiHHoï anpoKCHMaqiï npu цb0мy k « 0,0299. ,3,na anpoiCHMa^H, aii no6ygoBaHi 3a gaHHMH eicnepuMemy 3aco6aMH yHiBepcanbHOï nporpaMHOï CHCTeMH CEA ANSYS i3 BHKopncraHHaM pemiTOi 3 reicaegpiB Ta TeTpaegpiB, Bign0BigH0 MaeMO k « 0,0328 Ta k « 0,0262.
BigHomeHHa Au3 BH3HanaeM0 ai cepegHe eicnepuMeHTanbHe 3HaneHHa npy^HHx ge^opMa^H, ^0 AP
BignoBigae 3aranbH0My HaBaHTa^eHHM Pmax, to6to
Диз_ АР
-^шп и3,г - и3,г-1
Ешп г=Г
Р - Р
г-1
де ш - к1льк1сть навантажень/розвантажень; п - к1льк1сть груз1в;
изг - деформаци, що в1дпов1дають навантаженням Рг (г = 1, п), причому Р = ХП Рг .
Аи3 АР
Рис. 4. Апроксимацiя МНК и3 = £ (1 е) даних чисельного експерименту
для матерiалу М1
Д1аграш навантажень зразка матер1алу М1 в1дпов1дають значення ш = 3, п = 10, г 0,07496 (мм). Результати обчислення модуля поздовжньо! пружносп зразк1в матер1ал1в М1 та М2
аналгтично-експериментальним способом представлеш в табл. 2.
Таблиця 2
Матерiал Види скiнченно-елементних решiток к (мм *ГПа) Аи3 -3 (мм) АР Е (ГПа)
М1 Тетраедр, октаедр 0,0299 0,007496 3,99
ЛШУ8 (гексаедр) 0,0328 4,38
ЛШУ8 (тетраедр) 0,0262 3,50
М2 Тетраедр, октаедр 0,0301 0,00915 3,29
ANSYS (гексаедр) 0,0331 3,37
ANSYS (тетраедр) 0,0299 3,23
шп
Для перев1ркн достов1рносп отриманих розрахунк1в зразки матер1ал1в М1 та М2 було випробувано на триточковий згин. За формулами, яш наведеш в ГОСТ 955081 [2, С. 7], отримано експериментальш значення модул1в Юнга Е = 3,8 ГПа для М1 та Е = 3,3 ГПа для М2. Значення
вщносно! похибки даних за двома способами визначення модуля поздовжньо! пружносп в табл. 3.
Таблиця 3
_Вииосиа похибка вiдхилення значення модуля Юнга за даними двох експеримен^в_
Матерiал Модуль Юнга (ГПа) Вщносна похибка (%)
Аналгтично-експериментальний споаб Експериментальний спосiб на згин
М1 3,99 3,8 5
4,38 15,3
3,50 7,9
М2 3,29 3,3 0,3
3,37 2,1
3,23 3,03
Висновки
1. У данш робоп вперше пропонуеться cnoci6 визначення модуля Юнга пружних матерiалiв, в основу якого покладено визначення перемiщень iндентора на площадщ малих розмiрiв, що виникають тд дiею прикладеного навантаження, та мкцевих деформацiй моделi зразка матерiалу, розрахованими МСЕ.
2. Запропонований спосiб визначення модуля Юнга пружних матерiалiв за точшстю обчислень не поступаеться широко використовуваному експериментальному способу випробування на триточковий згин. При цьому розмiри зразка не мають бути строго регламентоваш стандартами ГОСТ [1] та допускаеться використання вже зруйнованих зразшв. Також даний спосiб е дуже простим та не вимагае наявностi вартiсного устаткування для проведення експериментiв.
3. Використання чисельних методiв, зокрема МСЕ, для розрахунку локальних деформацш, що виникають у пружному тiлi при заданому навантаженнi, вирiшуе додаткову задачу прогнозування залежностi деформацш вщ модуля поздовжньо! пружностi зразка дослщжуваного матерiалу.
4. За результатами випробування зразк1в КМ на стиснення запропонованим способом встановлено, що вщносна похибка вiдхилення значень модулiв Юнга вщ отриманих при випробуваннi експериментальних зразшв способом на триточковий згин становить 0,3-5% при використанш програмно-методичного забезпечення, розробленого автором статтi; 2,1-15,3% та 3,03-7,9% при застосуванш ушверсально! системи СЕА ANSYS iз дискретизащею розрахунково! областi гексаедрами та тетраедрами вiдповiдно. Величина вiдносноi похибки вщхилень непрямих вимiрювань модулiв поздовжньо! пружносп зразк1в матерiалiв у двох рiзних експериментах вказуе на валiднiсть результапв, як1 отриманi засобами СЕА, за умови дискретизацп розрахунково! областi тетраедрами та тетраедрами у ансамблi з октаедрами.
5. Даний спосiб може бути використаний для створення засобiв вимiрювання модуля поздовжньо! пружностi при розробщ нових матерiалiв та тд час контроля механiчних властивостей готових виробiв при !х виробництвi в загальному та транспортному машинобудуванш.
Список використаноТ лiтератури
1. Пластмассы. Методы определения модуля упругости при растяжении, сжатии и изгибе: ГОСТ 955081. - [Чинний ввд 19820107]. - М.: Издво стандартов, 2004. - 8 с.
2. Беляев Н. М. Сопротивление материалов / Н. М. Беляев. - М.: Наука, 1976. - 607 с.
3. Moore P. Nondestructive Testing Handbook / P. Moore // American Society for Nondestructive Testing. - 2007. - Vol. 7. - P. 319-321.
4. Мошйчук В. М. Методика ощнювання невизначеносп вимiрювання пружних констант матерiалiв / В. М. Мошйчук, О. В. Монченко, Ю. А. Олшник // Системи обробки шформацп. -2016. - Вип. 6 (143). - С.9396.
5. Lee D. Monitoring of fatigue damage of composite structures by using embedded intensitybased optical liber sensors/D. Lee, J. Lee, I. Kwon, D. Seo //SmartMaterials and Structures. -2001. - Vol. 10. -P. 285-292.
6. Leung C. K. Delamination detection in laminate composites with an embedded fiber optical interferometric sensor / C. K. Leung, Z. Yang, Y. Xu, P. Tong, S. K. Lee // Sensors and Actuators A: Physical - 2005. - Vol. 119. - №2. - P. 336-344. https://doi.org/10.1016/j.sna.2004.10.007
7. Кошелева Н. А. Экспериментальные исследования по определению деформаций образцов из полимерного композиционного материала с применением волоконно-оптических датчиков / Н. А. Кошелева, Г. С. Шипунов, А. А. Воронков, Н. П. Меркушева, А. А. Тихонова // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая техника - 2017. - № 50. - C. 26-35.
8. Богодухов С. И. Определение модуля упругости различных материалов с применением средств тензометрии / С. И. Богодухов, В. С. Гарипов, Е. В. Солосина // ВЕСТНИК ОГУ - 2014. - №4. - С. 289-294.
9. Балахонов Р. Р. Иерархическое моделирование неоднородной деформации и разрушения материалов композиционной структуры / Р. Р. Балахонов // Физическая мезомеханика - 2005. -Т.8. - №3. - С. 107-128.
10. Букетов А. В. Прогнозування деформацшних властивостей епоксидних композитних матерiалiв /
A. В. Букетов, Л.В. Кравцова, А. П. Шрог // Вюник ЖДТУ - 2013. - №4(67). - С. 7-11.
11. Букетов А. В. Епоксидш нанокомпозити: монография / А. В. Букетов, О. О. Сапронов,
B. Л. Алексенко. - Херсон: ХДМА, 2015. - 184 с.
12. Мотайло А. П. О численном решении стационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов на решетке тетраэдральной-октаэдральной структуры / А. П. Мотайло // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2014. - №25(196). - Вып. 37. - Белгород: "НИУ БелГУ", 2014. - С. 119-127.
13. Мотайло А. П. Побудова базису бтрамвди / А. П. Мотайло, А. Н. Хомченко, Г. Я. Тулученко // Радюелектрошка, шформатика, управлшня - №4 (39). - Запорiжжя: ЗНТУ, 2016. - С. 29-36.
14. Демидов С. П. Теория упругости / С. П. Демидов. - М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.
