Аналитическое сшивание элементов ионно-оптических систем с идеальной пространственно-временной фокусировкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.534.3

Ю.К. Голиков, К.В. Соловьёв

АНАЛИТИЧЕСКОЕ СШИВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ИОННО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИДЕАЛЬНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ

ФОКУСИРОВКОЙ

Yu.K. Golikov, K.V. Solovyev

St. Petersburg State Polytechnical University, 29 Politekhnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia

ANALYTICAL CONNECTION OF IDEAL SPACE-TIME FOCUSING

ION SYSTEM ELEMENTS

В статье дано описание новой идеологии синтеза идеально фокусирующих ионно-оптических систем путем сшивания их элементов без потери качества фокусировки в местах сшивки. Описанная теория применена для построения электростатической ионной ловушки.

ИОННАЯ ОПТИКА, ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ИОННАЯ ЛОВУШКА, ИДЕАЛЬНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ФОКУСИРОВКА.

A new approach to ideal ion optical system synthesis using analytical connection of ion optical elements is described. The method discussed prevents loss of ideal focusing in a place of elements junction. The theory described is used to build electrostatic ion trap.

ION OPTICS, ELECTROSTATIC ION TRAP, IDEAL SPACE-TIME FOCUSING.

Принцип идеальной пространственно-временной фокусировки (ИПВФ) в статических электрических полях с потенциалом, содержащим аддитивную компоненту, квадратичную по одной декартовой координате, был впервые предложен в работе [1]. Этот принцип дал начало целому направлению динамической масс-спектрометрии [2 — 5], интенсивно развивающемуся в последние несколько лет и приведшему к появлению нового класса аналитических приборов с рекордными параметрами. Конструирование традиционных корпускулярно-оптических систем позволяет использовать дискретные элементы ионного тракта, обеспечивая оптимальное сочетание фокусирующих и диспергирующих элементов прибора. В процессе же синтеза систем с ИПВФ необходимо решать задачу сохранения непрерывной квадратичной зависимости потенциала по одному из направлений (для определенности — по координате ¿) вдоль

всего пути следования ионного пакета, так как в противном случае идеальная фокусировка разрушится. В то же время следует обеспечивать удержание (и даже фокусировку) пучка в плоскости его поперечного движения. Аналогичная проблема удержания решается в ловушках Пауля [6] за счет переменного поля, а в ловушках Орбитреп [3 — 4] — за счет использования углового момента и, соответственно, существующей при определенных начальных данных эффективной радиальной потенциальной ямы. Если мы строим, например, электростатическую систему с плоскостью симметрии, то лишены указанных способов решения данной задачи. Рассмотрим поле гиперболоида, определяемое соотношением

(1)

ф = —ах2 + ßy2 + yz2 ;

-а + ß + у = 0; а, ß, у > 0.

Данное поле обеспечивает финитность движения ионов по координатам z и у, но

не по х. В то же время из фрагментов потенциалов (1) с различными коэффициентами вполне можно собрать систему, в которой реализуется и удержание по х. Действительно, зависимость потенциала (1) от х представляется перевернутой параболой, с которой «скатываются» частицы. Если же взять три смещенных друг относительно друга параболы, то их фрагменты позволяют реализовать потенциальную яму, в которой две крайние (с большей амплитудой) будут служить берегами, а средняя парабола — дном ямы. Этой идее использования фрагментов, как кажется на первый взгляд, противоречит требование аналитичности потенциала. Покажем, что это не так.

Рассмотрим далее некоторую одномерную кусочно-непрерывную функцию:

/(х) = {/о(х), х е] - да, Х1]; У1 (х), (2) х е]х1,х2];. . . /(х), х е]хп, + <»[}.

Введем в рассмотрение также функцию Хевисайда:

Н(х) = {0, х < 0; 1, х > 0}.

Очевидно, что

Н(-х) = {1, х < 0; 0, х > 0}.

Построим также вспомогательную П-образную функцию:

О(х, х1, х2) = (Н(х2 - х) + Н(х - х1)) / 2 = = {1, х е [х1, х2]; 0, х € [х1, х2]}.

Тогда функция /х) (см. формулу (2)) может быть записана в виде

/(х) = /0(х) Н(х1 - х) + /пН(х - хп) +

п-1 (3)

+Е / (х) О (х, х1, х1+1),

1=1

где /, 1 = 0,..., п, могут обладать на всей числовой оси любой степенью гладкости, а их сшивка определяется обобщенными функциями Хевисайда.

В общем случае (3) не будет даже кусочно-непрерывной. Функция Н может определяться как пределы некоторых непрерывных функций, взятых с соответствующими коэффициентами, например таких, как гиперболический тангенс (Ш) или арктангенс (аг^). Если точного совпадения значений / (х) и / (х) вблизи точек х. (х — точки сочленения фрагментов) не требуется, вполне резонным будет заменить функции Хевисайда в выражении (3) приближающими их непрерывными агрегатами — например, такими (рис. 1, а):

Н (х) = (1 + 01 ах )/2. (4)

Данная идея может быть реализована и при синтезе ионно-оптического тракта ионной ловушки из фрагментов полей вида (1) или каких-либо иных. Алгоритм такого построения использует методы теории функций комплексного переменного для распространения поля с плоскости симметрии системы в пространство. Существенной яв-

Рис. 1. Функция Н(х), а = 1 (а) и построенный на ее базе аннулятор к(х, у) (б) (см. формулы (4), (5))

ляется структура двумерно-гармонических функций-аннуляторов, определяемых соотношениями

Поле ловушки можно представить в виде

к(х, у) = 1т (/ Н(х + I у)) =

1 зИ 2ах

= — +-

2 2(со8 2ау + сИ 2ах)

(5)

и дающая возможность осуществить указанную стыковку фрагментов полей.

Вид аннулятора (5) при а = 1 представлен на рис. 1, б.

Итак, рассмотрим применение аннуля-торов для синтеза ионных ловушек с квадратичной зависимостью потенциала от

Ф = £2 - У2 + Я(х, у),

(6)

где Дх yg(х, у) = 0, т. е. трехмерно-гармоническая функция представлена суммой двух двумерно-гармонических.

При этом вторая функция в выражении (6) в значительной степени произвольна, и зависимость от х входит в него только через структуру функции ^ Следовательно, конструируя определенным образом g, можно обеспечить пространственно-временную фокусировку пучка по этой координате. Задавая зависимость g (х, у), не следует забы-

Рис. 2. Технология построения требуемого одномерного потенциала с использованием аннуляторов; (7, Нр Н2— аннуляторы, Р2, Ръ — параболы

вать, что необходимо также гарантировать удерживающее воздействие поля на пучок по координате у.

Рассмотрим для начала процесс построения функции / (х) = g (х, 0) как процедуру сшивания квадратичных функций, обеспечивающую создание требуемого х-профиля потенциала. Идея состоит в выделении участков парабол путем умножении этих парабол на аннуляторы с последующим сложением результатов умножений:

g(х, 0) = £ к ((х - х; )2 + с,) х

;=1

а (х - аТ ) + 1 х ,

2

(7)

где к, х1, с1, — параметры согласования.

Графически схема данного алгоритма представлена на рис. 2. Результат построения искомого одномерного потенциала приведен в правом нижнем углу рисунка.

Следующий шаг — восстановление поля в пространстве — следует за распространением (аналитическим продолжением) функции g с прямой на плоскость:

g(х, у) = 1т ( ; /(х + ; у)). (8)

При переходе к трехмерному рассмотрению процесс синтеза может интерпретироваться как процесс сочленения трех гиперболоидов (1).

Аналитическое сшивание элементов посредством аннуляторов приводит к тому, что происходит существенная деформация эквипотенциалей вблизи области сшивания, обусловленная структурой поля аннулято-ров. Дело в том, что функции аннуляторов (в данном случае) имеют особые точки. Однако при соответствующем выборе параметра (параметр а на рис. 1) особенности поля расположены на достаточном расстоянии от области распространения пучка и представляется возможным обеспечить вполне приемлемую конфигурацию полезадающих электродов (рис. 3).

Потенциал системы дается выражением

4

ф = 12 - у2 +Х (х - х1) у X

=1

1 (9)

X 51(х - х„ у, а,., Ь, ) + 2 ((х - х1 )2 - у2 + с1) X

где

^ = 1 +

X ^(х -х1 ,у,а1 ,Ь,),

- (2ау)

соз (2ау) + сИ (2а(х - Ь))'

- зИ (2а(х - Ь))

(10)

соз (2ау) + сИ (2а(х - Ь))

Значения входящих в выражение (9) параметров определяются в процессе оптимизации ионно-оптических свойств ловушки.

=

Таким образом, в работе описан новый принцип синтеза идеальных ионно-оптических систем, базирующийся на введении специальных функций-аннуляторов, позволяющих обеспечить «бесшовное» со-

единение элементов системы. Идеи проиллюстрированы примером синтеза электростатической ионной ловушки с идеальной пространственно-временной фокусировкой пучка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. С. SU № 1247973, СССР, МПК7 H

01 J 49/40. Времяпролетный масс-спектрометр / Галль Л.Н., Голиков Ю.К., Александров М.Л., Печалина Е.Э., Холин Н.А.; заявл. 16.01.1985; опубл. 30.07.86, Бюл. № 28. - 3 с., ил.

2. Голиков, Ю.К., Краснова Н.К., Соловьев К.В., Никитина Д.В. Интегрируемые электростатические ионные ловушки // Прикладная физика. 2006. № 5. С. 50 - 57.

3. Hu Q., Noll R., Li H., Makarov A., Hardman M., Cooks G. The Orbitrap: a new mass spectrome-

ter// J. Mass Spectrom. 2005. Vol. 40. P. 430-443.

4. Perry R.H., Cooks G.R., Noll R.J. Orbitrap mass spectrometry: instrumentation, ion motion and applications// Mass Spectrometry Reviews. 2008. Vol. 27. P. 661-699.

5. Golikov U., Solovyev K., Sudakov M., Ku-mashiro S. Multi-Reflecting Ion Optical Device. Patent US. No. 8 237 111 B2, 2012.

6. March R.E., Todd J.F. Quadrupole ion trap mass spectrometry. Hoboken: J. Wiley & Sons, 2005. 346 p.

REFERENCES

1. Gall L.N., Golikov Yu.K., Aleksandrov M.L., Pechalina E.E., Kholin N.A. Vremyaproletnyi mass-spektrometr [Time-of-flight Mass Spectrometer]. Certificate of Authority SU, 1986, No. 1247973. (rus)

2. Golikov Yu.K., Krasnova N.K., Solovyev K.V., Nikitina D.V. Integrable electrostatic ion traps. Prikladnaya Fizika, 2006, No. 5, pp. 50-57. (rus)

3. Hu Q., Noll R., Li H., Makarov A., Hardman M., Cooks G. The Orbitrap: a new mass spectrometer. J. Mass Spectrom, 2005, Vol. 40, pp. 430-443.

4. Perry R.H., Cooks G.R., Noll R.J. Orbitrap mass spectrometry: instrumentation, ion motion and applications. Mass Spectrometry Reviews, 2008, Vol. 27, pp. 661-699.

5. Golikov U., Solovyev K., Sudakov M., Kumashiro S. Multi-Reflecting Ion Optical Device. Patent US, 2012, No 8 237 111 B2.

6. March R.E., Todd J.F. Quadrupole ion trap mass spectrometry. Hoboken. J. Wiley & Sons, 2005. 346 p.

ГОЛИКОВ Юрий Константинович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры

физической электроники Санкт-Петербургского государственного политехнического университета.

СОЛОВьЁВ Константин Вячеславович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физической электроники Санкт-Петербургского государственного политехнического университета 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 k-solovyev@mail.ru

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013