CC BY
24
УДК 536.7
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАЧАЛЬНОГО ПРОЦЕССА НАГРЕВА КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
© 2009 г. В.Н. Козлов1, А.И. Акимов2, М.А. Фатыхов3
1Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, ул. Политехническая, 29, г. Санкт-Петербург, 195251, postbox@stu.neva.ru
2Оренбургский государственный педагогический университет, ул. Советская, 19, г. Оренбург, 460844, root@ospu. esoo .ги
3Башкирский государственный педагогический университет, ул. Октябрьской Революции, 3а, г. Уфа, р. Башкортостан, 450000, office@bspu.ru
1Saint-Petersburg State Politechnical University, Politechnicheskaya St., 29, St-Petersburg, 195251, postbox@stu.neva.ru
2Orenburg State Pedagogical University, Sovetskaya St., 19, Orenburg, 460844, root@ospu.esoo.ru
3Bashkir State Pedagogical University Oktyabrskaya Revolutciya St., 3a, Ufa, R. Bashkortostan, 450000, office@bspu.ru
Рассматривается аналитическое решение задачи теплопереноса для начального этапа изготовления композиционных материалов. Приводится постановка задачи и математическая модель для двухслойной среды. При решении поставленной задачи использован операционный метод Лапласа. Рассмотрены решения для некоторых частных случаев.
Ключевые слова: теплофизика, теплоперенос, массоперенос, математическая модель, композиционные материалы, аналитическое решение, операционный метод, двухслойная среда.
The analytic solution of a problem of heat and mass transfer in the two-layer medium during the initial stage of manufacturing of composite materials is considered. Statement of a problem and mathematical model for the two-layer medium are resulted. Its solving is based on the operational Laplace's method. Solutions for some special cases are discussed.
Keywords: thermal physics, heat transmission, mass transfer, mathematical modeling, composite materials, analytical solution, operational method, two-play medium.
Композиционные материалы обладают уникальными упругими и прочностными свойствами, которые превосходят некоторые параметры металлических изделий. Это предопределило тот факт, что наибольшие успехи в практическом использовании композиционных материалов достигнуты в аэрокосмической технике (сопловые блоки ракет, носовые конуса), производстве газотурбинных двигателей (лопатки турбин), вертолетостроении. Уже сейчас эти материалы широко применяются в строительстве скоростных автомобилей, корпусов экстремальных яхт и гоночных судов, спортивного инвентаря, стоматологии и т.п. Важнейшими факторами, сдерживающими применение большинства композиционных материалов, явля-
ются высокая стоимость и серьезные проблемы технологического характера, затрудняющие высокую степень реализации прочности в деталях. Поэтому основные усилия исследователей и производственников направлены на совершенствование технологических процессов изготовления материалов и изделий из композиционных материалов.
Композиционные материалы представляют собой макрогетерофазные системы, состоящие из двух и более разнородных компонентов, обладающих различными физическими и механическими свойствами. Один из компонентов, непрерывный по объему, является матрицей, а прерывный, разделенный в объеме композиции компонент считается армирующим и со-
стоит из высокопрочных волокон, нитевидных кристаллов, тонкодисперсных частиц и др.
Высокое качество изготовления таких изделий достигается при соблюдении определенных технических и технологических требований. Одним из методов изготовления их служит полимеризация, производимая в установках автоматического ведения технологического процесса (АВТП). Основным элементом их является специальная пресс-форма с электроподогревом. Для процесса полимеризации необходим режим равномерного прогрева и удержания температуры на определенном уровне с последующим плавным охлаждением. В связи с этим, прежде всего, возникает задача изучения начального этапа нагрева многослойного материала при электронагреве.
Для простоты рассмотрим двухслойную среду. Для общности рассуждений будем предполагать, что в одной из сред поглощаются электромагнитные волны с интенсивностью f (t)exp(-/x), где f (t) - функция источников тепла, зависящая от времени; у - коэффициент поглощения излучения. При этих условиях требуется найти вид функции ft), обеспечивающей наиболее благоприятный режим нагрева рассматриваемого материала [1].
Требуется найти функции T (t, x), T2 (t, x) и ft) из условий:
дТ ~дГ " д2Т дх2
a1 '
дТ2 д2Т2
ИГ ~ a2 ' дх2
Т1\t=0 = = т21=0 =1
1, t > 0, x < 0;
т = т
2 х=0
= 0;
' V '"Z"
, дх dx
= 0;
=0
дТ2 I
X=0 = i(t) :
дх
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где q(t) - заданная функция из класса с1(/>0), обращенная в нуль при t = 0; Т - температура; t - время; х - координата; а - коэффициент температуропроводности среды; X - коэффициент теплопроводности среды; индексы 1 и 2 относятся к двум средам.
Задача (1) - (6) описывает процесс прохождения интенсивных распределенных источников тепла во второй среде (х>0) с учетом нагревающего излучения.
Решение прямой задачи будет выражаться формулами
t ад
7}(/,х) = /(т)Г/Охг(1 -т,х,у)г~гуау , х<0; (7) о о
t ад
Г2((,х) = |/{т)ёт\ G22(t -т,х,у)е~г*уф>, х>0, о о
гДе (t, X, у) =
G22(t, X У) =
(h1 + b2) '4na2t
exp
(-f + -f )2
Va1 Va2
2j na2t
exp
(x - у)2
exp
4t
(X + у)2
(b + ьЯ-
7ra0t
=exp
( x + у)2
h =
Дифференцируя функцию T (t, x) в (7) по x, под-
dT
ставляя в условие -^ —1 = q(t), получаем
h t х
дх у' exp
У
4a2 (t -т)
-Г' у
Ф = q(t) •
2(Ь + 0 ^жа^ -т)3
Применяя к этому уравнению преобразования Лапласа с учетом формулы
exp
-J-a
V a
а ' exp
f 2 а
4a 2t
2л/ я a 313
, a > 0, будем иметь
h _х
, \ ' f(s) J exp h1 + h2 0
-(J— + У) у
d'у = i(s)
или
h1h2 h + h2
f(s) =iw •
( I—
s
+ 1 i(s)(s - a2Y2) V h1 h2 у
4®2
Отсюда f(s) =- ^
sis - rja2
Переходя к оригиналам с использованием формулы
r 1 i— = + ^VaTexp(a2r2t) Г1 + erf (/л^)] Vs - rJ«2 "Vnt
и теоремы о свертке, получим решение задачи в виде
f (t) = -' 1 +1 JX[i (т) - a2^2i(T)]>
1
(8)
d1,
^Tr(t-z)
+r(/«=exP «2/2 (t - ^X1 + er/(rr/«2(t-7))),
2 x 2
erf (x) = —= J exp(-z )dz.
4ж о
Формула (7) после подстановки в нее решения (8) позволяет анализировать особенности изменения температуры в двухслойном композиционном материале.
Рассмотрим решение уравнения (7) для некоторых частных случаев.
1. Пусть q (t) = c = const. Тогда q (t) = 0 ,
21 1 1 U
f( ) 2Г 2h1 h2 ) liLV^i -т)
+ 7y["2exp(a2y2(t-т))(^ erf (yja2(t -т) ))
(9)
dT •
Так как ^ «10 м /c, r ~ 10 м , и рассматривая
1
времена, удовлетворяющие условиям t«.
a2y
exp(a2 -y2(t - т)) « 1 , erf (y/yja2(t -т) yja2(t -т)
у/Я
h
1
получим
9 1 1
f (t) =-a2y2C (- + -)
2 J- + r<Ja2t - 4
V ж 3
, 2\l^ + 02 * ~ '1 b2 ' ""
Так как последнее выражение в (9) значительно
меньше, чем первое, имеем f (t) = 2a2у С(
\ + b2)\ ж '
где С - постоянная.
Полученное решение означает, что интенсивность распределенного источника тепла растет со временем по закону, пропорциональному -Jt , т.е нелинейно.
Так как при малых временах влияние теплопроводности в изменении мало, то приближ-нное решение системы имеет вид т2 = 4а2у2С{2- +—)tjte~yx.
3 t- b2
Так как в (8) выражения, находящиеся во внутренней квадратной скобке, положительны, то знак функции f(t) определяется знаком выражения, стоящего в первой квадратной скобке. Оно отрицательно, если q't) -а2у2q(t) < 0 .
Решая это неравенство, имеем q < С exp(a2 y2t) (С = const), среда нагревается за счет источников тепла.
Если q = Сexp(a2y2t), f (t) = 0 , т.е. источники тепла во второй среде не создаются, а вся энергия затрачивается на электрический нагрев излучателя.
Если q > С exp(a2y2t), f (t) < 0 , следовательно, среда охлажденная.
2. Пусть q (t) = at. Тогда q'(t) = а ,
1 1
f(t) = aj- + - J (1 - ay2T)
b b
'2 J 0
1
>/ж(t -T)
■ yja^exp(a2y2 (t - t))(1 + erf (yJäjt-T)))
dT.
Полученные решения позволяют анализировать распределение температуры в композиционном материале с учетом изменения режима работы источника тепла.
Литература
1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972. 680 с.
Поступила в редакцию
15 января 2009 г.
