Аналитическое решение уравнений задачи переориентации орбиты космического аппарата в отклонениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

(винклеровской) подложкой, при котором перемещение и нормальное напряжение связаны равенством

a(p,t) = -H-uk(0,t), к = 1,2, (5)

а также непрерывный контакт пластины с упругим полупространством. В последнем случае предполагалось распространение упругих волн в полупространстве.

Проведены расчеты для гармонического внешнего воздействия U(t) = Uo sin fit. Получена зависимость амплитуды тока от частоты колебаний /3, определены перемещения Uk{Xk,t).

При использовании в задаче граничных условий вида (5) изучено влияние коэффициента жесткости Н на характеристики выходного тока. При возрастании жесткости наблюдалось увеличение амплитуды тока при одновременном уменьшении резонансного значения /3. Моделируя в численных экспериментах неограниченный рост жесткости получаем результаты, совпадающие с расчетами при жестком закреплении (см. [1]).

Расчет для пластин, контактирующих с упругим полупространством, показал, что отношение Sss/sw упругой податливости пьезокерамики к податливости sw материала полупространства оказывает существенное влияние на амплитудно-частотную характеристику. Явно выраженный пик на характеристике наблюдается в случае, когда величины S33 и sw различаются значительно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Панкратов В. Л/.. Ольшанский В. Ю., Нагар Ю. Н., Серебряков А. В. Влияние диссипации на характеристики измерителя угловой скорости на основе взаимного пьезоэффекта // Авиакосмическое приборостроение. 2010. № 8. С. 3-8.

УДК 629

И. А. Панкратов, Ю. Н. Челноков

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОТКЛОНЕНИЯХ

Рассматривается задача переориентации орбиты космического аппарата (КА) в случае минимизации интегрального квадратичного (относительно фазовых переменных и управления) функционала качества. Для

169

постоянного управления найдено аналитическое решение фазовых и сопряженных уравнений задачи переориентации круговой орбиты КА в отклонениях.

В работе [1] показано, что фазовые и сопряженные дифференциальные уравнения нелинейной краевой задачи оптимальной переориентации орбиты КА в отклонениях имеют вид

б?АЛ ит

2 = АЛ о fEg, f^ = —(cos Lp i\ sin p i2)j

dtp с p (1)

— = — c = const, r = —-,

at rz 1 + e cos p

dAM

2—-— = 4«ivectAA + AM о dt

% = 2^ + — (AAi sin ip - AN2 cos ip) - (2)

dt r dt с

Верхняя волна - символ сопряжения.

Аналитическое решение уравнений (1), (2) для произвольного управления неизвестно. В работе [3] было найдено аналитическое решение фазовых уравнений ориентации круговой орбиты КА для постоянного

управления. Аналогичное решение в этом случае имеет кватернионное дифференциальное уравнение (1), в котором осуществлен переход к новой независимой переменной - истинной аномалии:

ДЛ0 = Ci cos[s+((£> - ifQ)] + Gfsm[s+(p - <^0)] + +C^cos[s"((^ - <po)] + Of sin[s~(<£ - (p0)}.

Здесь s+ = 0.5\/2 + TV2 + л/4 + 47V2, s" = 0.5\/2 + N2 - V4 + 47V2, CA,j = 1,4, - произвольные постоянные интегрирования, находимые из начальных условий; N = иг3/с2, = r~(0).

Кватернионное дифференциальное уравнение (2) способом, описанным в [3], сводится к линейному неоднородному обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами относительно скалярной части кватерниона AM:

2"V + (2 + N + = Acos [s+ & ~ ■*)] + (3)

+В sin [s+ (ip - tfo)] + С cos [s~ (ip - ipo)] + D sin [s~ (tp - .

Здесь A = F (C2a, Cf, s+) , В = F (-Cf, Cf, s+) ,

С = F (CA C* s~) , D = F (-Gf, CA s~) , y, s) =

= air2s [2ys - x (2 + N2 - s2)] /с.

Общее решение (3), найденное с помощью метода вариации произвольных постоянных, имеет вид

ДМо = (СМ

+ (СМ +

Dt

DA

^з

cos[s+(v? - <А))] + (СгО) cos[s~(ip - tpо)] + (CM) +

DA

2

l>a

4

sin[s+(</? - (/?o)] + sin[s~(v? - <£o)]-

Здесь

2s+

(s-r-(s+rj (6^) + ^) = /^) = -

+a] + В (<p - <p0) + VC2 + L>2

vM2 + Б2

2s+

sin [(s+ - s~) О - <£o) - /3]

sin [2s+ (ip - ip0) +

— s~

sin [(s+ + (ip — <fio) + /3]

2s+ 2s~ 2s~

_ \ 2

(s+Г - (s-)

(s+)2 - (s-)2

(Сз(^)

Da

^з

Da

4

Mp),

hj(tp), j = 2,4, - сложные функции, имеющие такую же структуру, как и h\(if)\ tg а = А/Б, tg (3 = C/D\ DA, j = 1,4, - произвольные постоянные интегрирования, находимые из начальных условий.

Компоненты векторной части сопряженного кватерниона имеют вид AMi =A(s+)

+А(8~) АМ2 =A(s+)

АМз =A(s+)

+ЖО

B(s+, cosp, sin у, CM, C2(<p), Dt Dt C2a) B{s+, cosp, sin^, CM, -CM, -Dt Dt, -Cf)

B{s~, cosp, sin tp, CM, CM, Dt Cf) B(s~, cosp, sm<p, CM, -CM, ~Dt Dt ~Ct)

B(s+, sinp, -cos^, CM, С2{ф), Dt Dt C2a) B{s+, sinp, -cos^, CM, -CM, ~Dt Dt ~Ct)

B{s~, sin tp, -cosp, CM, CM, Dt, Dt, Ct) B(s~, ship, -cos p, CM, -CM, ~Dt, Dt, ~Ct)

E(s+, CM), C2(p), Dt, Cf)

E(8+, cm, -cm, -Dt, ct)

E(s-,CM,CM,Dt,Cf) E(s~, CM, МІР), -Dt, Ct)

где

A(s) = (cos[s(v? - Po)] sin[s(> - </?0)D, B(s, f(<p), g(<p), v(<p),w(<p), a, b, c) = -2f(<p) [v'(<p) + s (w(<p) + a)] /N+

+M {й

v"(/p) + 2sw>(/p)+[^-s*)(v(/p) + b)

4a!

E(s, v(<p),w(<p), a, b) = -4

N2

N2

v'"(<p) + 3sw"(<p) + ( 1 + — - 3s2) v'(<p) +

+ ( s2 - 1 - — ) s (w(<p) + a)

2 алЪ

4(1 + N2) N~2 '

N

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 0801-00 810).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Панкратов И. А., Челноков Ю. Н. Решение задачи оптимальной переориентации орбиты космического аппарата в отклонениях // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2010, Вып. 12, С, 174-176,

2, Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения, М,: Физматлит, 2006. 512 с.

3, Панкратов И. А., Челноков Ю. П. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ориентации круговой орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер, 2011, Сер, Математика, Механика, Информатика, Т. 11, вып. 1, С, 84-89,