CC BY
45
УДК 629
М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОШИБОК БИНС, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕЙ В НОРМАЛЬНОЙ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕПОДВИЖНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО
ЗЕМЛИ ОБЪЕКТА
При построении и изучении алгоритмов функционирования бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) используются так называемые уравнения идеальной работы БИНС, т.е. дифференциальные и функциональные соотношения, связывающие проекции векторов кажущегося ускорения и абсолютной угловой скорости объекта, измеряемые чувствительными элементами БИНС (при условии их идеального функционирования), с навигационными параметрами (координатами местонахождения и проекциями скорости) и параметрами ориентации объекта. Возможны различные варианты таких уравнений [1-3]. В данной статье используются уравнения идеального функционирования БИНС в нормальной географической системе координат (НГСК), в которых в качестве промежуточных кинематических параметров ориентации используются параметры Эйлера (Родрига — Гамильтона) (см. [3]). Такого рода уравнения используются в настоящее время для построения высокоточных алгоритмов функционирования современных отечественных БИНС, построенных на волоконно-оптических или лазерных гироскопах и кварцевых акселерометрах.
В работе [4] для этих уравнений выведены полные и линеаризованные дифференциальные уравнения ошибок, которые позволяют изучать влияние на работу БИНС погрешностей чувствительных элементов (акселерометров и гироскопов), ошибок начального задания параметров ориентации и навигации, а также законов движения объекта. Для аналитического исследования, как правило, используются линеаризованные дифференциальные уравнения ошибок БИНС.
В некоторых частных случаях движения объекта становится возможным найти аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок. В работе [1] В. Д. Андреевым построены аналитические решения линейных дифференциальных уравнений ошибок определения декартовых координат объекта во вращающейся системе координат, имеющей начало в центре масс Земли и координатные оси, параллельные
осям геоцентрического сопровождающего трёхгранника, для случаев, когда объект неподвижен в инерциальной системе координат; движется с постоянной в инерциальной системе координат скоростью в неподвижной относительно инерциальной системы координат плоскости, проходящей через центр Земли; движется с постоянной скоростью вдоль земной параллели.
С помощью решения, полученного для движения объекта вдоль параллели с постоянной скоростью, В. Д. Андреев находит решение дифференциальных уравнений ошибок для случая неподвижного относительно Земли объекта. При этом для нахождения корней характеристического уравнения интегрируемых уравнений ошибок, которые входят в построенное решение, используются приближённые формулы, полученные с помощью метода Ньютона линейного уточнения корня. Этот случай, таким образом, рассмотрен в приближённой постановке, а для корней характеристического уравнения не получены точные формулы, позволяющие выразить их через коэффициенты исходной системы.
В данной статье рассматривается построенное точное аналитического решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС определения криволинейных координат объекта (долготы, широты, высоты) и проекций относительной скорости объекта на оси НГСК (см. [4]), образующих сложную систему уравнений шестого порядка, для случая неподвижного по отношению к Земле объекта при отсутствии погрешностей акселерометров и гироскопов. Найденное решение позволяет установить свойства уравнений функционирования БИНС в данном конкретном случае движения, а также аналитически оценить влияние неточного задания начальных условий интегрирования (погрешностей начальной выставки БИНС) на точность нахождения параметров навигации, и следовательно, может быть использовано при анализе точности работы БИНС, установленной на неподвижном относительно Земли основании.
Решение представлено в удобном для исследования виде, а для нахождения корней характеристического уравнения интегрируемых уравнений ошибок получены в явном виде точные формулы, которые выглядят следующим образом:
b = 4u2, c =4 R
4 (uN)2 - 8 (uH)2 - Rj*) 9* - 4uNuHa25
1
d = -2 (9*/R1 )3 , uN = ucos <£*, uH = usin p*, u = 7, 29211540"5c-1,|
9* = 9eoa2(1 + J sin2 p*)/(a + H*)2, R1 = a + H*, geo = 9, 78049 м/с2,
a25 = —2geoa2ó sin cos , a = 6378245 м, ó = 5,317 • 10-3,
где и H* — невозмущённые широта и высота объекта соответственно. Построенное аналитическое решение выглядит следующим образом:
t
AX(t) = S(t)MAX0 + y S(t - t)MB(r) dr, (1)
0
AX (t) = [Avn (t), Avh (t), Ave (t), AH (t), A^(t), AA(t)] AX0 = [Avn , Avh , Ave , AH0, A/, AA0]T.
T
Здесь АХ — вектор-столбец, состоящий из погрешностей определения проекций относительной скорости и криволинейных координат местоположения объекта, АХ0 — вектор-столбец, состоящий из начальных погрешностей задания тех же параметров, $ и М представляют собой матрицы размерности 6x6, элементы которых выражаются через невозмущённые (точные) параметры движения объекта, В — вектор-столбец, элементы которого выражаются через невозмущённые (точные) параметры движения объекта и погрешности начального задания его ориентации.
Первое слагаемое в правой части (1) описывает ошибки определения проекций относительной скорости и криволинейных координат местоположения объекта, обусловленные неточным заданием начальных значений проекций относительной скорости и криволинейных координат местоположения объекта, а второе слагаемое — ошибки определения этих величин, обусловленные неточным заданием начальной ориентации объекта в инерциальной системе координат.
Анализ построенного решения показывает, что все ошибки включают гармонические колебания с периодами, близкими к периоду Шулера (84,4 мин). Кроме того, собственное движение неустойчиво по всем переменным, а именно Аг>^, Аг>#, Аг>я, АН А^ и АЛ.
Отметим, что точные аналитические решения построены авторами статьи не только для случая неподвижного относительно Земли объекта, но и для случаев движения объекта вдоль экватора и вдоль параллели с постоянной скоростью на постоянной высоте.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы, М, : Физматгиз, 1966,
2, Бромберг П. В. Теория инерциальных систем навигации, М, : Наука, 1979,
3, Челноков Ю. Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твёрдого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения, М, : Физматлит, 2006.
4, Челноков Ю. Н., Логинов М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009, 10, С, 64-72,
УДК 531.38; 681.5 Е. И. Ломовцева, Ю. Н. Челноков
ПРИМЕНЕНИЕ БИКВАТЕРНИОНОВ В КИНЕМАТИКЕ СТАНФОРДСКОГО РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА
1. Схема манипулятора и системы координат. Станфордский манипулятор представляет собой шестпзвенный манипулятор, имеющий шесть степеней свободы: пять вращательных и одну поступательную. В качестве обобщенных координат выступают углы ^ поворота ¿-го звена относительно ¿-1-го [1]. Схема манипулятора и вводимые системы координат приведены на рисунке.
МесЬ/Ьотоусеуа/г.j pg
