Аналитическое решение критической задачи для плоского гомогенного реактора с внутренним отражателем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.039.51(075.8)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЛОСКОГО ГОМОГЕННОГО РЕАКТОРА С ВНУТРЕННИМ ОТРАЖАТЕЛЕМ

А.В. Кузьмин

Томский политехнический университет E-mail: kuzminav@tpu.ru

Проведена аналитическая оценка влияния центрального отражателя на примере плоского реактора в одногрупповом и диффузионно-возрастном приближениях. Со стороны внешнего отражателя вводится эффективная граница, что существенно упрощает математическую постановку критической задачи. Апробация решения проведена для одного из состояний исследовательского реактора ИРТ-Т.

Введение

Оценка критических размеров или критической концентрации (массы) горючего является основной задачей теории ядерных реакторов. В общепринятом изложении рассмотрение критической задачи ограничивалось реакторами классической геометрии (сфера, неограниченный цилиндр и пластина) без отражателя нейтронов и с его применением с соблюдением центральной симметрии. Причем исторически сложившееся внешнее расположение отражателя отвечало существующим на то время конструкциям ядерных реакторов.

Влияние внутреннего отражателя рассматривалось только в одногрупповом приближении для предельных случаев его диффузионных характеристик: для вакуума и черного тела. Такой подход позволял заметно упростить математическую постановку задачи (исключалось уравнение диффузии). Результаты решения критической задачи в одно-групповом приближении получили применение в расчетах отдельных типов реакторов (например, тяжеловодных реакторов) и в теории центрального поглощающего стержня.

Более чем полувековой опыт эксплуатации ядерных реакторов выявил целесообразность применения центральных или внутренних отражателей. Например, в высокотемпературном реакторе с гелиевым теплоносителем ГТ-МГР отражатель представляет собой конструкцию, набранную из графитовых блоков различной конфигурации [1]. Он включает в себя не только обычные в применении отражатели: верхний, нижний и боковой, но и центральный отражатель.

Активная зона реактора ГТ-МГР состоит из призматических графитовых блоков и поэтому обладает меньшим термическим сопротивлением по сравнению с активной зоной из шаровых твэ-лов. Наличие центрального графитового отражателя повышает аккумулирующую способность реактора и тем самым снижает скорость разогрева активной зоны при ухудшении теплоотвода. Одновременно такая кольцевая компоновка обеспечивает лучшее выравнивание энергораспределения по активной зоне и, как следствие, меньшие удельную мощность энерговыделения и температуру топлива.

В исследовательском реакторе ИРТ-Т применение не только внешнего, но и внутреннего отражателей обусловлено необходимостью увеличения средней плотности потока нейтронов [2, 3]. Этой же цели служит и выбор бериллия в качестве материала отражателя.

Распределение плотности потока тепловых нейтронов в общем случае проводится численными методами в многогрупповом приближении и в многомерной постановке. Целью работы является получение аналитической оценки влияния центрального отражателя на примере реактора ИРТ-Т и с учетом принимаемых допущений носит скорее методический характер.

> >

2 1 3

Внутренний Активная зона Внешний

отражатель - ловушка нейтронов твэл твэл отражатель

H / 2 x

H 2 / 2

H 3 / 2 -3-►

Рис. 1. Схема расположения элементов реактора ИРТ-Т

Активная зона реактора ИРТ-Т в плане представляет собой прямоугольник со сторонами 6x8 ячеек квадратного сечения. По периферии в один ряд располагаются бериллиевые блоки отражателя, в центре находится бериллиевая ловушка нейтронов (внутренний отражатель), включающая 4 ячейки, остальные ячейки занимают тепловыделяющие сборки, омываемые легководяным теплоносителем. В целом расположение элементов по вытянутой стороне прямоугольника относительно оси симметрии имеет вид, представленный на рис. 1, где Н/2 - границы соответствующих зон.

Задачу о реакторе с внутренним и внешним отражателями будем решать в одногрупповом и диффузионно-возрастном приближениях, для простоты считая активную зону гомогенной и в форме неограниченной пластины.

0

Одногрупповое приближение

Распределение потока нейтронов Ф1 в активной зоне, внутреннем и внешнем отражателях в одно-групповом приближении принято описывать следующими волновыми уравнениями:

АФ1+Х12Ф1= 0,

ДФ2 -хф = 0, АФ3 -хФз = 0,

(1) (2) (3)

где х1, Х2, Х3 - материальные параметры среды активной зоны, внутреннего и внешнего отражателей.

Используем следующие граничные условия для решения уравнений (1-3):

х = 0 УФ2(0) = 0,

х = Я72 Ф2(И1/2) = Ф1(Н1/2),

х = #1/2 В2 ^Ф2^/2) = ДУф(Я1/2), х = Н2/2 Ф^Н2/2) = Фъ(Н2/2),

х = Н 2/2 Б1УФ1(Н2/2) = Б3УФ3(Н1/2), х = Н3/2 Ф3(Н3/2) = 0,

где Д - коэффициенты диффузии.

Применение внешнего отражателя толщиной Т снижает утечки нейтронов и дает экономию активной зоны равной эффективной добавке [4]:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

5эф =—агйя

Х1

АХ1 Ахз

Упростим задачу (1-9), для чего введём эффективное граничное условие

х = Н 2/2 + 5эф = Н эф/2 Ф1( Нэ^2) = 0. (10)

Таким образом, задача на критическое состояние будет определяться системой ур. (1, 2, 4-6) и (10).

Решения волновых уравнений (1) и (2) известны и имеют вид:

ф1(х) = С181п(Х1х) + С2 совСх х) ф2(х) = Сз^Х х) + СсЬ( Х2х) •

Удовлетворяя эти решения граничным условиям, получим систему алгебраических уравнений. После снижения порядка системы до двух и затем, освободившись от констант, получим критическое уравнение для реактора в форме неограниченной пластины с центральным отражателем:

Б2хЖх2 Н,/2) = -БlХlctg(Хl(НЭф/2 - ^ /2)) (11)

Из этого уравнения при заданной толщине внутреннего отражателя и известных материальных характеристиках можно найти критическое значение размера активной зоны.

Исходная система алгебраических уравнений позволяет найти выражения пространственного распределения плотности потока нейтронов только с точностью до какой-либо константы С. Для

нахождения законов распределения нейтронов в активной зоне и отражателе в явном виде зададим дополнительное условие:

х = 0 Ф2(0) = Ф' = /(Мр) (12)

и в результате получим законы распределения [6]:

Н3/2 - х)) 8т(х(Н/2 - ^/2))' ( ) Ф2( х) = Ф*сИ(х2 х) (14)

Если принять, что Ф*=1, тогда решения (13, 14) будут иметь вид, представленный на рис. 2.

Ф, отн.ед.

Ф (х) =Ф*сИ(х2 Н^2) —

26,07

3,0 -

2,0 -

1,0

0

Эффективная добавка

X.

30

10 20 30 X, см

Рис. 2. Распределение потока нейтронов по активной зоне и центральному отражателю

Двухгрупповое приближение

Более высокое диффузионно-возрастное приближение учитывает замедляющиеся быстрые и диффундирующие тепловые нейтроны. Также воспользуемся эффективным граничным условием.

Внутренний отражатель

К= 0

Ф„ -—

г,г= 0

Активная зона

Ф1

-Замедление

ФФ 1 1

Деление

Ф^УЦ

Ф,--^ Ф 2

Утечки быстрых нейтронов

Утечки тепловых нейтронов

Н1 /2

Заданная толщина

Рис. 3. Схема двухгрупповых процессов

Н 3 /2

Эффективная граница

В соответствии со схемой двухгрупповых процессов (рис. 3) критическая задача в осесимме-тричной декартовой постановке будет включать следующие уравнения баланса нейтронов для: • активной зоны И1/2<х<Н3/2:

ДДФ, -Еф + къаф2 /ф = 0, (15)

ДДФ2 -Еаф2 + фЕф = 0; (16) внутреннего отражателя 0<х<И1/2:

А,ДФг -Еяф = 0, (17)

А,ДФ2г -ъаФ + ЕКФ = 0. (18) Граничные условия представим в виде:

ДФ1г = 0, ДФ2г = 0,

(19)

(20)

Ф, (^/2) = Ф1(Н1/2), А^, (Н1/2) = ДУФД Н1/2),

Ф*( Н1/2) =Ф2( ^/2),

В2гЧФ2г (^/2) = Б^Ф^/Т), (21)

Ф1(НЪ12) = 0, Ф2(НЪ11) = 0, (22)

х = 0 х = Н1/2

х = Н1/2

х = Н3/2

где ЕаТ, Ея - макроскопические сечения поглощения тепловых и увода быстрых нейтронов, см-1; к„, Ф - коэффициенты размножения бесконечной среды и вероятности избежать резонансного захвата.

Законы распределения потоков нейтронов в активной зоне и отражателе

Поскольку уравнения (15) и (16) симметричны относительно потоков, то это дает основание считать, что потоки оцениваются волновыми уравнениями с одним и тем же волновым числом [4, 5]:

ДФ1 + а Ф1 = 0,

ДФ2 + а Ф2 = 0, (23)

откуда выразим лапласианы в виде

ДФ1 = -а Ф1,

ДФ2 = -а Ф2

и подставим их в (15) и (16). В результате получим: (а2Д + ЕД)Ф1 = кЕаХФ2 /ф, (а2 Б 2 +Еа т )Ф2 = фЕя Ф1.

После деления одного уравнения на другое и введения квадрата длины диффузии тепловых нейтронов Ь2=Вг/ЕаТ и их возраста т=Д/£й после несложных преобразований получим:

кю = (1 + а212) ■ (1 + а2т).

Это квадратное уравнение относительно а2 имеет два корня: а2=ц2и а22=-у2,где ¡л2и у2-чи-сленные константы, аналогичные материальному параметру [4]:

1 (1 1 ^ 1 (1 1 ^2 к -1 Т+1 (Т+Я+Т-1=

1 1

:а1 +Т+

(24)

Таким образом, ур. (23) для быстрых нейтронов распадается на уравнения:

ДФ1 +л2Ф1 = 0, ДФ1 -V2Ф1 = 0

и его решение есть линейная комбинация решений последних уравнений:

Ф1 (х) = А^т(лх) + А 2со$,(лх) +

+А ^(ух) + А 4ch(vx). (25)

Аналогично получим общий вид решения для потока тепловых нейтронов:

Ф2( х) = В ^т(лх) + B2cos(лx) +

+В 3sh(vx) + В 4Л(ух), (26)

где Д=8Д, а 8 - соответствующие коэффициенты связи.

В уравнении диффузии для быстрых нейтронов в отражателе (17) отсутствует член генерации быстрых нейтронов, поскольку среда не мультиплицирующая, поэтому система уравнений (17, 18) перестает быть симметричной и распадается на два последовательно решаемых уравнения. Однородное уравнение для быстрых нейтронов, запишем в виде:

Дф1г -вФ = 0,

где в^г=Ецг/Бцг. Общее решение этого уравнения известно, и его можно записать в виде:

Ф1г (х) = ^ ■ ¡Л(Д,х) + ■ оНР^х).

Поскольку должно выполняться условие симметрии (19), отсюда следует /¡=0, и решение примет вид:

Ф1, (х) = ^ ■ ch(вlrx) = ^ ■ ch(в,х). (27)

Поток тепловых нейтронов в отражателе определяется ур. (18). Найдем вначале решение однородной части этого уравнения:

Д,ДФ2аг -ЕаФ = 0 или с вводом параметра р\г=ЕаТг/ Б1г=1/ Ц

ДФ°2, -РЖ = 0.

Аналогично, в силу условия (19), его решение будет определяться зависимостью:

ф2°г(х) = 02 ■ сЧв2гх) = О ■ с^рг х),

а решение неоднородного уравнения (18) можно записать в виде:

Ф2г (х) = О ■ сЦр2Г х) + ^ ■ ch(в, х). (28)

Для удобства общие решения уравнений (15-18) перепишем в виде:

Ф1 (х) = А1Х1 + А2 Х2 + А3Г1 + А4 У2,

Ф2( х) = 5 1А 1Х1 + S2 А 2 Х2 + Б3 А 371 + Б4 А 4Г2,

Ф1г (х) = ЕХ,,

Ф2г (х) = ОХ 2, + Б^Х,,

где А, Д О - константы, определяемые из граничных условий; функции - Д=8т(лх), Х2=ео8(лх), ^Щус), 72=СЩУ), Х^еЩДх), Х2=еЩв2х); 8;, 82, 83, 84, 8 - коэффициенты связи.

(29)

2

Поиск коэффициентов связи

Процедура определения коэффициентов связи подробно изложена в [4, 5], покажем её на примере нахождения значения Подставим неоднородную часть решений Ф1г(х)=¥Х1г и Ф1г(х)=8г¥Х1г в ур. (18):

АА^АГ „ -Еаг + ЕД,г¥ХХг = 0.

С учетом уравнения АХ1г =Х1г/ т получим

1г/ т-Еа ^ + ЕД КX 1г = 0,

откуда

Я. =-

Е я т

(30)

г Е т - / т Е т (т - Ь 2)

а,Тг 2г г а, Тг V г г

Аналогично определяют другие коэффициенты связи:

Ч>Ек = Ч>Ек

$1 = $2 =

Еа,т +«1^2 Еа т (1+а'Ь ) УЕ я

= $4 =

Еа ,т (1 -а,2 Ь2)'

(31)

(32)

Выражения (30-32) для коэффициентов связи остались прежними [4, 5], что объясняется идентичностью исходных уравнений.

Условие критичности

Для определения констант в общих решениях уравнений (29) удовлетворим их граничным условиям (20-22):

А1У1] + А 2У2] + А 3^] + А 4^] = F [Х1 г ], А 1[ X1] + А ,[ X 2] + $3 А з^] + $3 А ¿У2] = = £ Р[ X1Г ] + 0[ X 2Г ], Б1А 1 [ VX1 ] + Б1А 2 [ VX 2 ] + Б1А 3 [ У71 ] + +в; А 4^] = ^ ], $1Б2 А 1 [ VX1 ] + $1Б2 А 2 [ VX2 ] + Б2 А 3 [ VI! ] +

+$3 Б 2 А 4 [ V ^2 ] = Б 2 ¿гР^ г ] + Б^от 2Г ],

А 1( Xl) + А 2 (X 2) + А 3(11) + А 4(12) = 0, $1А 1( X1) + $1А 2 (X 2) + $3 А 3(11) + $3 А 4(12) =0.]

Напомним, что граничные условия (19) мы уже использовали, что позволило получить уточненные решения (27) и (28).

Квадратные скобки использованы здесь для обозначения функций и их производных на границе активной зоны и отражателя, круглые - на эффективной границе зоны.

Система (33) имеет нетривиальное решение только в случае, если ее определитель равен нулю:

А =

м ад [71] и ад] о ад] ад2] зд] вд] - Зг^г ] -ад ]

= В^,] D;[VX2] D1[V71] В;^72] - D1г[VX1г ] 0

= S1D2[VX1] S1D2[VX2] Х3В2[У7;] Х3В2[¥72] - В2 гSг[VX1г ] - В2 г[VX2 г ]

№) (X 2) ® (72) 0 0

Sl(Xl) ад2) 83(7;) 53(72) 0 0

(33)

(34)

Детерминант системы (34) при заданной толщине внутреннего отражателя и известных материальных характеристиках (условие критичности) позволяет найти эффективное значение критического размера активной зоны. Экономия отражателя определяется по известной формуле [4] и позволяет найти истинное значение критического размера.

Определение констант в уравнениях

распределения потоков нейтронов

Чтобы вычислить распределение потоков в активной зоне и отражателе необходимо знать критический размер активной зоны и постоянные А1, А2, А3, А4, О и Д ур. (29). Поскольку число неизвестных превышает число исходных уравнений, то законы распределения можно найти лишь в неявном виде с точностью до определенной константы. Для установления законов распределения нейтронов по активной зоне и внутреннему отражателю в явном виде воспользуемся дополнительным условием:

х = 0 Ф1г (0) = Ф1"11П,

откуда следует

ФГП = Р • сЬ^ • 0) = Р.

Другие константы примут вид:

А _ Ф"'"[X 1г] - А2[X2] - А3[71]- А4[72]

-Ф"

[ X,]

Ш»] - у а3Г^-Л[У72](-а[72])

[VX 2] -а[ X 2] А _-ФТ81 - А483 А _ -Ф™п(82Е,1 -8£)

83-83£2)

где

81 = в[ Xlг]• ([VX 2]-а[ X 2])-(а[ X, ]--p[VXlг ])• ((X 2) -в[ X 2 ]),

82 = ((71) -в[7]) • (^2]-а[X2]) --([V!;] -а[7 ]) • ((X 2) -0[ X 2]),

83 = ((72) -07 ]) • ([VX 2] -а[ X 2]) --([У72] -а[72 ]) • ((X 2) -0[ X 2]),

= X 1г ]• (^ 2]-а[ X 2]) --(а[ Xlг ] - p[VXlг ]) • ($1 (X 2) - $1 в [X 2 ]), ^2 = ($3 (71) - в ]) • (№ ] - а[X2 ]) --([V7l]-а[7 ]) • ($1( X 2) - $1в[ X 2]),

^3 = ($3 (72) - $1в[72 ]) • (№] - а[X2]) -

-([V72] - а [72 ]) • ($1( X 2) - $10[ X 2]), р = В17В1, а = [VXlV[Xl], в= (XlV[Xl].

Обсуждение результатов

Проверка решения сделана на примере реактора ИРТ-Т, активная зона которого набрана из вось-митрубных тепловыделяющих сборок. На конец

кампании на мощности 12 МВт реактор имеет следующие характеристики активной зоны: т=45,831 см2, Д= 1,632 см, Д=0,292 см, ЕаГ=0,10352 см-1, ф=0,973, £„=1,3463 и отражателя: т=92,037 см2, Д,=0,538 см, А=0,373 см, £,^=0,00873 см-1, Х2=42,745 см2. При построении графиков распределения нейтронного потока удобно принять ФГ=1, и тогда для нашего случая коэффициенты будут равны: 4=0,472388, А2=2,528782, Л?=85,387631, А4=-85,387631, /=1, С=-0,57191. Для определения среднего потока тепловых нейтронов по активной зоне необходимо найти эффективную добавку отражателя. Результаты решения в среде МаШСАО представлены на рис. 4.

Эффективность отражателей принято оценивать не только по экономии активной зоны, но и по изменению отношения среднего потока тепловых нейтронов к его максимальному значению. Для реактора без отражателей оно известно [4, 5] и равно 0,637. Если применить внешний бериллиевый отражатель, то это отношение составит 0,939.

В случае применения центрального отражателя (рис. 2) значение этого отношения в одногруппо-вом приближении по данным [6] получилось равным 0,82. Этот результат не является неожиданным и может быть объяснен в первую очередь тем, что одногрупповая модель не учитывает вклад в накопление тепловых нейтронов в отражателе за счет замедления быстрых нейтронов.

Решения в двухгрупповом приближении (рис. 4) наглядно показывают роль центрального отражателя. Эффективность нейтронной ловушки позволяет поднять отношение среднего потока тепловых нейтронов к его максимальному значению до 0,966.

отн.ед. 6,94 11,37 21,28

Г ф

N -

н-

t

ZZ л активная зона эф фе кт ieu ия \

дойакка 4

Ф*

р

20 X,

Рис. 4. Распределение потока нейтронов

Следует отметить, что при переходе к эффективной границе деформируется распределение нейтронного поля вблизи границы раздела зона -внешний отражатель. Более детальный учет распределения потребует увеличения порядка системы и заметного усложнения выкладок.

0

0

5

10

15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Перспективные ядерные топливные циклы и реакторы нового поколения / В.И. Бойко, Д.К. Демянюк, Ф.П. Кошелев, В.Н. Мещеряков, И.В. Шаманин, В.В. Шидловский. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - 490 с.

2. Исследовательские ядерные реакторы / Г.А. Бать, А.С. Коче-нов, Л.П. Кабанов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоато-миздат, 1985. - 280 с., ил.

3. Исследовательский ядерный реактор ИРТ-Т: Пособие по производственной практике и стажировке / В.А. Варлачев, О.Ф. Гусаров и др. - Томск: Изд-во ТПУ, 2002. - 56 с.

4. Основы теории и методы расчёта ядерных энергетических реакторов / Г.Г. Бартоломей, Г.А. Бать, В.Д. Байбаков, М.С. Алху-

тов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1989. -512 с., ил.

5. Мёррей Р. Физика ядерных реакторов. - М.: Атомиздат, 1961. -292 с.

6. Цыпленков К.В., Кузьмин А.В. Влияние центрального отражателя на распределение потока нейтронов в тепловом реакторе // Современные техника и технологии: Труды XI Междунар. научно-практ. конф. молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - Т. 2. - С. 484-486.

Поступила 13.06.2006 г.