Аналитическое представление решения системы уравнений Колмогорова (оценка качества системы) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 519.21

А.С.Сорокин

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ КОЛМОГОРОВА (ОЦЕНКА КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ)

Известно, что всякая марковская модель системы технического обслуживания описывается системой дифференциальных уравнений [1, 2]:

,1Рк(0 =£ЛиР,(х).к = 1...п . (1)

йі

і=1

В системе (1) последовательным исключением функций Р(), ¡=2,..,п получаем уравнение резольвенты для функции Р](I) :

п

"-■■■ (2)

к=0

Тогда имеет место структурная формула решения уравнения (2) [3]:

х0

і=1

П(гі - г]) І=1>І ^

-1

егі(х-і)

І( і)йі

(3)

Проиллюстрируем этот алгоритм на примере, взятом из статьи Рыбалко В.В. [4].

Система дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова) имеет вид:

йР1(і)

йі

= -Р1( і)( Л14 + &12 ) + рз( і)М31 +

+ Р4( і)М41 + Р5( і)М51 + Р6( і)Иб1';

^ = -Р2 (і)( І23 + ¿24 +Ьб) + Р1 (і)1;

СР3(і)

Сі

= -Р3( і)( Л35 + М31 ) + Р2( і)Л23;

= ~Р4(Г)( Л45 +М41) + Р!(Г)Х41 + Р2(Г)Х24, = -Р5 (1)^51 + Р3 (Г)Л35 + Р4 (ОЛ45 ;

= - Р6(0М61 + Р2(Г)Я26. (4)

Начальные условия: Р1(0)=1, Рк(0)=0,

к=2,..,6.

При значениях параметров

Л1 =0.012 ; Л2з=0. 2 ; Л14=0.02 ;

Л26=0.004 ; Л24=0.2 ; Л45=0.2 ; Лз5=0.0056;

!и61 =0.004; ц31 =0.05;

/и51 =0.05; и41 =0.02. система (4) принимает вид:

= -0.04 Р^і) + 0.05Р3(і) +

+ 0.02Р4 (ї) + 0.05Р5 (ї) + 0.004Р6 (ї);

йР2(і)

йі

. = -0.404Р2 (і) + 0.02Р1 (і);

СР^ = -0.0556Р3 (і) + 0.2Р2 (і);

(5)

Сі

= -0.22Р4 (і) + 0.02Р1 (і) + 0.2Р2 (і); Щр- = -0.05Р5 (і) + 0.0056Р3 (і) + 0.2Р4 (і);

= -0.004Р6 (і) + 0.004Р2 (і).

Т.Рііі) = 1 і=1

Решая систему (5), получаем базис Грёбнера [5, 6]:

й5Р1(і) =-0 04й4Р1(і) + й3Р1(і) +

йґ

йґ

39232-10 ~8 й Р1І{) -13549-10 ~7

йґ

+ 42436 -10-9Р1(і)-61321-10-8Р2(і) +

+ 3125-10-11Р3(і) + 9058-10-8Р4(і) +

+ 3125-10~11Р5(і) +1024-10~15Р6 (і); с Р1(і) = -0.04 й Р1(і) + 0.0004 й Р1(і) +

йі4

сії3

+ 39232-10-8 -13549-10 -8Р1(і) +

1715-10 -6Р2(і) - 625-10-8Р3(і) +

+ 406-10 ~6Р4(і) +16'10 -4Р5(і) -

-256 -10~12Р6(і); с Р1(1) = 0.04 С Р1(1) + 0.0004 Ср1(1) +

йі3

сіґ

+ 39232 -10-8Р1(і) - 50425 -10-7 Р2(і) + +125-10 -6Р3(і) -1732-10-6 Р4(і) +

+125-10 -6Р5(і) + 64-10 -10Р6(і);

+

+

Р1(10 Р2(1:) 0.04^^

1:, час 0.02 ■ ■

0 20 40 60 Ь, час

Рис.1. Вероятность состояния Р() 0 20 40 60

Рис. 2. Вероятность состояния Р2('()

Р 3(1)+Р 5(1) 0.4

Рис. 3. Вероятность состояния Р()+ Р()

Рис. 4. Вероятность состояния Р4(^

Рис. 5. Вероятность состояния Р()

Рис. 6. Среднее время безотказной работы Тср(0

9

Ж Р1(21) = -0.04 + 0.0004Р1 (Г) +

Ж2

т-3

+14-10~ Р2(1) -0.0025Р3(1) +

-6

0.0056Р4 (Г) - 0.0025Р5 (Г) -16-10 и Р6 (Г);

= -0.04Р1(0 + 0.05Р3(0 +

+ 0.02Р4( ?) + 0.00Р5(1) + 0.0004Р6( I);

^Р^) = 1

г=1

Исключив из системы (6) функции Р(0, г=2,..,6, получим уравнение резольвенты для функции Р1^) :

+ 0.718 + 0.1495 ^2р>1(1) +

Жг4 йг Ж2

+ 917-10 -5ЖРар- + 35-10 -6Р1(1) --17776-10 -9 = 0.

Характеристическими числами уравнения (7) являются:

(6) г1 = - 0.004, г2= - 0.209, г3= - 0.102,

г4= - 0.400.

Тогда с помощью структурной формулы (3) получаем явное аналитическое решение системы

(5) в виде:

Р1(1) = 0.0120 -ег1 - 0.076-ег2 + 0.560-ег3 -

- 0.0029 -ег4 + 0.506;

Р2{() = 0.0006 - ег1 - 0.0077 - ег2 + 0.037- ег3 -

- 0.055-е1"4 + 0.025;

Р3(1) + Р5(г) = 0.0099 - ег1 + 0.37- ег2 -

- 0.75- е3 - 0.003 - ег4 + 0.375;

(7) Р4(1) = 0.0017 - ег1 - 0.288 - ег2* + 0.157 - ег1 +

+ 0.06-ег4 + 0.069;

Р6(г) = -0.024 -ег1 + 0.00015 -ег2 -

- 0.0015-е г3 + 0.00055 -ег4 + 0.025.

На рис. 1-5 показаны аналитические решения Р(), Р2(1), Р}(г) + Р5О), Р4О), Р6^) . Точками указаны данные, полученные В.В. Рыбалко [4] численно методом Рунге-Кутта.

Известно, что интеграл от вероятности работоспособного состояния Р$), взятый по интервалу от нуля до времени, соответствующего её стационарному значению, дает среднее время безотказной работы системы:

Тср (г) = -2.94 - ег1 + 0.36- ег2 - (8)

- 5.52 - ег3 + 0.007 - ег4 + 0.506 - г + 8.086.

На рис. 6 показана аналитическая оценка

ТсрС0.

Функционал, характеризующий качество

функционирования системы, вычисляется из

¿0) = <2(1)/Щ1) , (9)

где

2(г) = -2.94-ег1 + 0.36-ег2 - 5.52 -ег3 +

+ 0.007 - ег4 + 0.506 -г + 8.086,

Я(г) = 2.94 - ег1 - 0.36- ег2 + 5.52 - ег3 -

- 0.007 -ег4 + 0.494-г - 8.086.

На рис. 7 показано аналитическое решение ¿(г) . Максимальное значение функционала ¿(г) достигается при г=0.59 и равно 46.7 .

Отметим, что функционал (9), характеризующий качество функционирования системы, с помощью (8) преобразуется к виду:

Тср(г)

?cp(t)

Tcp(t)

J(t)

(10)

г-Тср(г)

Представление (10) зависит как от среднего времени безотказной работы Тср(г), так и от времени работы г.

На рис. 8 показано аналитическое решение ¿(г) в зависимости от среднего времени безотказной работы Тср(г) и от времени работы г.

Преобразуем функционал (10) к виду:

тср(г)

J (t)

где

Рис. 8. Качество функционирования системы J(t) как функционала среднего времени безотказной работы Тср(і) и времени работы і На рис. 9 показано аналитическое решение J(і) в зависимости от относительного среднего времени безотказной работы Тср(і)/і .

Таким образом, на приведенном примере показано, что система уравнений Колмогорова, характеризующая состояние объекта, имеет всегда единственное аналитическое решение и позволяет

Рис. 9. Качество функционирования системы J(t) в зависимости от относительного среднего времени безотказной работы Tcp(t)/t

производить оценку качества системы технического обслуживания объекта.

Отметим, что предложенный эффективный алгоритм расчета относительного времени пребывания системы технического обслуживания в работоспособном состоянии не требует составления отдельной программы и легко реализуется в любом символьном математическом пакете.

Все символьные выкладки данной работы выполнены в пакете DERIVE 5.05. Заметим, что приведенный эффективный алгоритм легко может быть реализован также и в пакете MAPLE 9.5.

J(t)

t

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М. 1964. 576 с.

2. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход. Пер. с нем. -М.: Радио и связь, 1988. 392 с.

3. Сорокин А. С. Структурные формулы некоторых классов аналитических функций в конечносвязной области // Матем. сб. 1997. Т. 188. №12. С. 107-134.

4.Рыбалко В. В. Оценка качества системы технического обслуживания энергетических объектов // Exponenta Pro. Математика в приложениях. -М.: 2003. №3. C. 58-61.

5. Сорокин А.С. Алгоритм решения систем уравнений Колмогорова (оценка качества системы технического обслуживания) // Труды Всероссийской научной конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». -М.: 2004. С. 389 -397.

6. Аладьев В.З., ШишаковМ.Л. Автоматизированное рабочее место математика. -М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 752 с.

□ Автор статьи:

Сорокин Андрей Семенович

- канд. физ.-мат.наук, доцент, ст.н.с. ( филиал КузГТУ в г. Новокузнецке)

УДК 550.837

Н.В. Трушникова

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФОРМЫ ТЕПЛОВОГО ИСТОЧНИКА В МАССИВЕ ПО ИЗМЕРЕННОМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМУ ПОТЕНЦИАЛУ

НА ПОВЕРХНОСТИ

Одной из задач электрометрического контроля состояния горного массива является проблема локации подземных тепловых источников техногенного происхождения по данным измерения потенциала электрического поля (или его градиента) на дневной поверхности массива [1-3]. В работах [4,5] исследованы обратные задачи определения формы поверхности источника тепловыделения, в которых математические модели построены при следующих предположениях:

1) источник "локализован" в некоторой выпуклой замкнутой области D с неизвестной границей S;

2) известны координаты, по крайней мере, одной точки M(0,0,-H) eD [5];

3) горный массив - изотропная среда.

В данной работе рассматривается математическая модель для плоского случая, построенная с помощью логарифмического потенциала и сводящаяся к нелинейному интегральному уравнению первого рода. Для этой модели первое предположение необязательно, а для определения H>0 предлагается методика с использованием результатов [1, 3]. Также предлагается способ линеаризации изучаемого интегрального уравнения и алгоритм решения задачи-на основе метода регуляризации А.Н. Тихонова

[6]. Пусть в плоскости (t,x) имеется аномалия, сосредоточенная в области D, которая создает

электростатическое поле с потенциалом р(і,х)

(вне области О). При этом область D задается в виде:

О={(і,х) :і1<і <12,, -И <х <-Н+х(ф }, где х(Е) - неизвестная функция, а горный массив расположен в полуплоскости х <0 (х=0 - дневная поверхность) (рис.1).

С учетом третьего предположения и результатов [1] потенциал р(і,х) записывается в виде:

р(t,x) = -РР\\ іп1^, (1)

2ж О г

где Р - эффективная плотность зарядов на границе х(ф , г = УІ (і -£)2 + (х -г/)2.

J lX

' IJ ■* ЛҐ//ГГҐ/Г/Г f 1 1 0 і У т D

-Н

Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи