CC BY
10УДК 622.24.051
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В ОПОРАХ ШАРОШЕЧНОГО ДОЛОТА
ANALYTICAL DETERMINATION OF RESPONSES IN CONE BIT BEARINGS
В. А. Пя.1ьчснк'ов
V. A. Pyalchcnkov
Определение реакций в опорах шарошечного долота при ра зличных вариантах взаимодействия вооружения шарошек с забоем является важной практической задачей, решение которой позволит оптимизировать конструкцию как опор, так и вооружения. Ее решению посвящено значительное число экспериментальных исследований. выполненных на различных устройствах 111. Вместе с тем представляет интерес попытка се аналитического решения.
В качестве модели будем рассматривать шарошку. установленную на цапфе на подшипниках качения и нагруженную оссвой силой Р. приложенной на расстоянии от оси долота (рис. I).
Тюменский .•осуг'ирстпепшлп на]»пе.'ажнл11 университет,.'. Тюмень
Ключевые слова: бурение, долото, шарошки, опори, пагружа Keywords: drilling, drill bit, cone bearing, the load
Рис. I. Расчетная схема ишрошечпого ухш
Можно предположить, что деформация корпуса шарошки будет незначительной по сравнению с дс<)юрмацией цапфы и контактными деформациями в подшипниках. и сю можно пренебречь. Лапу (за исключением цапфы) также будем считать нсдсформирусмой. Для того чтобы определить величины реакций в подшипниках. рассмотрим условия равновесия шарошки.
Шарошка должна находиться в равновесии под действием внешней силы Р и сил реакций в подшипниках. Будем считать, что периферийный и концевой роликовые подшипники воспринимают только радиальные, а шариковый замковый подшипник — осевую и радиальную нагрузки (рис. 2).
Для данной системы сил можно составить три аналитических условия равновесия:
Поскольку уравнений (I) недостаточно для определения всех неизвестных, то данная система является статически неопределимой, и для ее решения необходимо составить дополнительные уравнения, рассмотрев дс<|юрмацию системы. Примем, что зазоры во всех подшипниках равны нулю. поскольку при наличии зазоров степень статической неопределимости системы возрастает. До приложения нагрузки оси цапфы и шарошки совпадают. Цапфу рассматриваем как консольную балку, жестко защемленную одним концом. При приложении нагрузки цапфа деформируется. и ось ее занимает новое положение. Поскольку шарошка не связана жестко с цапфой, то после деформации их оси не совпадают (см. рис. 1). Если ось цапфы после деформации будет криволинейной, то ось шарошки в силу принятых ранее допущений остается прямолинейной.
г
Рис. 2. Схема аии действующих на шарошку
) ги = 0;Р ят ср0 - Г1Й - - = О,
= 0; Р сок <р0 - Г25 = о,
(О
Из условия подобия треугольников (см. рис. 1), можно получить выражение:
5-1— 5з 82—63 ——- = ——- . (2)
Выражение (2) удобно представить в виде
- = 53(52 - 5Х) + ад - 52). (3)
Из схемы перемещения шарошки относительно цапфы (см. рис.1) следует, что:
8г = 81у + 81к , (4)
= &2у + ¿>2к , (5)
= 53у + 8зк , (6)
где 8^у,82у,83у— перемещение точек 1, 2, 3 в результате упругой деформации цапфы; 81к, 82к, 8зк — перемещение точек 1,2,3 в результате контактных деформаций соответственно в малом роликовом, шариковом и большом роликовом подшипниках.
Рассмотрим деформацию цапфы как консольной балки, защемленной в лапе (рис. 3).
Рис. 3. Схема к расчету деформации цапфы
Очевидно, что без внесения существенной погрешности в резу льтат цапфу действительной формы (рис. 3 а) можно заменить цапфой у прощенной формы (рис. 3 б), имеюшей три цилиндрических участка, диаметры которых равны диаметрам беговых дорожек на цапфах малого роликового, шарикового и большого роликового подшипников. Силу перенесем на ось балки, добавив пару сил с моментом
М = (7)
2 4
Так как перенесенная на ось балки сила не влияет на изгиб балки, то при дальнейшем рассмотрении эту силу учитывать не бу дем.
Определим прогибы балки в точках приложения сил ^зк- Определение
перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального у равнения упру гой линии балки для рассматриваемого случая сопряжено со значительными тру дностями, которые заключаются в необходимости составления и решения системы линейных алгебраических уравнений для определения произвольных постоянных интегрирования. Число у равнений, составляющих систему, определяется как 2хп. где п — число у частков, на которые разбивается балка. В нашем случае необходимо было бы решать систему из К) у равнений, поэтому для определения перемещений в интересу ющих нас точках воспользу емся видоизмененным методом начальных параметров [2]. Преобразу ем сту пенчату ю балку (см. рис. 3 б) в эквивалентную балку постоянного сечения с моментом инерции /0. равным моменту инерции первого у частка балки. Чтобы балка постоянного ссчсния была эквивалентна исходной, необходимо у множить всс действу ющие внешние нагрузки на соответствующие коэффициенты приведения Д а в местах сопряжений различных ссчсний приложить дополнительные нагру зки \0 и .VI/ (рис. 3 в).
Определение коэффициентов приведения и подробные выкладки приведены в работе |3|. Произведя преобразования и введя рад дополнительных обозначений, полу чим окончательное выражение для определения прогибов цапфы:
= + В2Р2К + бз^зк - (8)
82у = + £?гЛк + В7РШ - ад*; (9)
= + ВгоРт + ВиРзк - В-[2Р-^. (10)
Коэффициенты Вл — ВУ1 являются постоянными величинами, зависящими от геометрических размеров и материала цапфы.
Перейдем к определению перемещений точек 1. 2. 3 (см. рис. 1). происходящих в резу льтате суммарных контактных деформаций в подшипниках, которые складываются из деформаций при контакте тел качения с шарошкой и цапфой. В малом роликовом подшипнике
Згк = 51кш + 81кп, (II)
где 81кш — перемещение точки 1 в результате контактной дс<|юрмации роликов и шарошки: (51/{1(— перемещение точки 1 в результате контактной деформации роликов и цапфы.
Деформацию будем определять в месте контакта наиболее нагруженного ролика. усилие на который при нормальном радиальном зазоре определяется как |4|
(?1 тах = > С2)
¿л
где — число роликов в подшипнике.
При контакте роликов с цапфой, что соответству ет слу чаю внешнего контакта двух цилиндров с параллельными осями из одинакового материала с коэффицисн-
том Пуассона М — 0.3, сближение осей можно определить из выражения, полученною Б. С. Ковальским [5], учитывающего не только деформацию в контакте, но и общую деформацию цилиндров:
= 0,579 f
+0,8141, (13)
где lPV dp 1 — длина и диаметр ролика; о, = Qunax — нагрузка на единицу длины
'pi
ролика. Е = 210 ГПа — модуль упругости стали. После подстановки и преобразования получим
dik„ = b13 * F1R (14)
^ _ 2.895 13 IP1ZP1
lnd-ygL1+0.8141. (15)
При контакте роликов с шарошкой, что соответствует случаю контакта цилиндра с цилиндрической полостью, сближение можно определить [6] из выражения
Slkut = 2-^p-qx{l-\nc), (16)
где
С = 1,08 (17)
Учитывая, что в нашем случае диаметр цилиндрической впадины с?„(1 в несколько раз больше диаметра цилиндра можно для вычисления перемещения с1шк1 воспользоваться эмпирической формулой [7], справедливой для контакта стального цилиндра с плоскостью
Л _ 0,462 д1тах
ю'УЩГг 1р1 ■ (,8)
Расчеты показали, что использование выражения (18) вместо выражения (16) при существующих соотношениях линейных размеров в подшипниках опоры долота вносит погрешность, величина которой не превышает 2,5 %. Потому будем использовать выражение (18), представив его в виде
(20)
8цш = В14 * , (19)
где
2.31-10"3
\ldpiZilpi
Таким образом, суммарная контактная деформация в малом роликовом подшипнике определяется как
«1 к = р1й(Вгз+Вы). (21)
Рассуждая аналогично, определим суммарную контактную деформацию в большом роликовом подшипнике:
йзк = РЗК(В15+В16), (22)
где
_ 2,895 15 Ip-iZE
+ 0,8141, (23)
^ _ 2.31*10~3 ^^
16 \Гс1рзгр31р3'
где с/р3,/рз,7рз—соответственно диаметр, длина и количество роликов в большом подшипнике.
Рассмотрим теперь шариковый подшипник. Для него суммарная контактная деформация определится как
к = 82 „к + д2шк. (25)
Сближение двух стальных тел с точечным контактом можно в общем случае определить по методике, изложенной в работе [7]. Подробные выкладки приведены в [3].
Подставив полученные выражения для перемещений в (3) и проведя преобразования, получим искомое условие, устанавливающее взаимосвязь между неизвестными реакциями в подшипниках опоры:
В 1 о Р,
-*18г1/? + В\9р2й + Яго^г/г +
В22/?2 с — 0;
(26)
С учетом системы уравнений (I) и ряда обозначений преобразуем выражение (26). Получим уравнение третьей степени с одним неизвестным Г2Й:
Ргп + Ни + С2Р2п + Сз ~ 0-
(27)
где С\, С2, С3 — коэффициенты, зависящие от размеров и материала детапей опоры, а также от величины и радиуса приложения силы Р.
Уравнение (27) может иметь один или три корня [8]. При решении учитываюсь только одно наибольшее по азгебраической величине значение Величины остальных реакций в подшипниках определяются из уравнений:
ГЗЙ
- #24Р\
- В2ЬР ~ ВгуРги.
(28)
Рщ ~ В28Р — В29Р2К.
Получить интересующие нас зависимости величин реакций в подшипниках опоры от силы Р и радиуса ее приложения Р в явном виде не представляется возможным, поэтому эти зависимости были получены в виде таблиц значений величин реакций при различных Р и /? для опоры долота 215.9К-ПВ. По результатам расчетов построены графические зависимости. При изменении радиуса /? происходит перераспределение нагрузки между подшипниками (рис. 4).
Рис. 4. Расчетные зависимости радиальных усилии в подшипниках от радиуса приложения внешнего усилия (Р=10КН)
25 20
I Ю I 5
I
3 0
-25
1 \ чз
2
/
/
/ /
20 40 60 80
Радиус приложения усилия, мм 2-Ргя; 3-^»,
При малом радиусе (R < 60 мм) расчетная радиальная нагрузка на периферийный роликовый подшипник отрицательна, то есть нагрузка воспринимается не нижними, а верхними роликами При перемещении точки приложения силы, действующей на шарошку от оси долота к периферии, нагрузка, действующая на концевой роликовый подшипник и шариковый замковый, уменьшается, а нагрузка на периферийный роликовый подшипник возрастает. Когда линия действия внешней силы проходит через центр нижнего, наиболее нагруженного шарика, нагрузка распределяется между всеми тремя подшипниками опоры, что значительно повышает контактную жесткость опорного узла. При изменении положения точки приложения нагрузки происходит перераспределение нагрузки между подшипниками.
Применение данной методики может позволить на стадии проектирования оценить влияние расположения вооружения на загруженность и долговечность подшипников опоры долота.
Отсок литературы
1. Пяльченков В. А. Устройство для измерения нагрузки на опорные подшипники шарошечного долота , Братин А. Ф.. Боднарчук В. А., Жуков Г. В.. Басанов Ю. И., Дрогомирецкий Я. Н., Авторское свидетельство № 1474251.- 1989. -Б. И.-№ 15.
2. Писаренко Г. С. Сопротивление материалов. - Киев: Вища школа, 1979. - 696 с.
3. Пяльченков В. А. Повышение работоспособности шарошечных долот путем рационального распределения нагрузок по элементам вооружения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. - М.. 1983. - 216 с.
4. Бейзельмаи Р. Д. Подшипники качения. Справочник. - М.: Машиностроение, 1975. - 572 с.
5. Пономарев С. Д. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 2. - М.: Машгиз, 1958. -974 с.
6. Справочник машиностроителя. Под редакцией Серенсена С. Б. Т. 3. - М.: Машпп, 1962. -651 с.
7. Спришевский А. И. Подшипники качения. - М.: Машиностроение, 1969. -632 с.
8. Бронштейн И. Н., Семендяев К, А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1980. - 976 с.
Сведения об авторе
Пяльченков Владимир Алексеевич, д. т. н.. доцент кафедры «.Прикладная механика», Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень. тел. 8(3452)200790. e-mail: pial228((l)rambler. г и
Piafchencov V. А.. Doclor of Technical Sciences, the assislant Professor ofthe chair c<Applied mechan-ics» Tyumen State Oll andGas Umversity. phone: 8(3452)200790, e-mail: pial228@rambler.ru
