Аналитическое описание диаграммы растяжения металлов на основе упругоинертной модели
Г. М. Волохов,
д-р техн. наук,
заведующий
лабораторией
ОАО «Научно-
исследовательский
и конструкторско-
технологический
институт подвижного
состава»
(ОАО «ВНИКТИ»)
Д. А. Князев,
научный сотрудник ОАО «ВНИКТИ»
М. В. Тимаков,
инженер ОАО «ВНИКТИ»
Рассматривается введение элемента «инертность» и понятий вероятности разрыва и вероятности восстановления упругого элемента. Представлено качественное объяснение возникновения петли гистерезиса на конкретной модели. Приведено расчетное построение кривой растяжения в координатах сила - деформация.
Структурными элементами основных реологических моделей металлов Максвелла, Фойгта и Кельвина [1] являются упругий и вязкий элементы.
Определяющим соотношением для упругого элемента является закон Гука а = Ее, где а - механическое напряжение, Е - модуль Юнга, е - относительная деформация. Если наделить упругий элемент способностью скачкообразно менять зависимость силы упругости, возникающей в нем, от деформации (например, рваться), то можно описывать его соотношением
ц =
-к-А1, 0<Д/<Д/0 О, Д/>Д/0 -к' А1, Д/<0
(1)
где к и к' - жесткость; А/ - абсолютная деформация.
Иными словами, при накоплении в упругом элементе при растяжении энергии Е 0 он переходит в новое состояние, в котором перестает быть упругим элементом (взаимодействия нет). Предлагается называть эти состояния полноценной связью и дефектной связью.
Переход из одного состояния в другое и обратно - это вероятностные процессы. Допускаются вероятности наступления события перехода упругого элемента в неупругое состояние (вероятность разрыва связи) Р и возврата в исходное упругое состояние (вероятность восстановления связи) Р .
штй^г ' /
щШп /
И////
щи
Щ:/
Дли на
Рис. 1. Достижение силой критического значения по деформации модели абсолютно пластического тела
№ 3 (58) 2015
(Транспорт Российской Федерации» | 41
Если дополнительно ввести элемент «инертность» как некое хранилище запаса кинетической энергии, то основной физической характеристикой такого элемента будет масса как мера способности элемента препятствовать изменению его кинетической энергии, а определяющим соотношением будет второй закон Ньютона в форме ¿^та, где Р - сила, т - масса, а - ускорение.
Основываясь на предложенной модели, можно описать упруго-инертный процесс поведения материала реального тела, состоящего из большого числа элементов, и построить диаграмму растяжения в координатах сила - абсолютное удлинение.
Если допустить, что во время совершения работы А0 и растяжения модели в среднем стабильно случайным образом один элемент будет переходить в неупругое состояние, то можно оценить конечное усилие, при котором начнется лавинообразное увеличение дефектных связей, а следовательно, быстрое увеличение длины модели в условиях действия постоянной внешней силы.
На рис. 1 пунктиром обозначены линейные зависимости между силой и деформацией для одного, двух, трех и т. д. упругих элементов (справа налево). График показывает зависимость между силой и абсолютным удлинением.
На начальном этапе (в левой части рис. 1), когда все элементы упругие, зависимость силы от удлинения линейна и описывается первой пунктирной линией. Как только одна из связей стала дефектной, т. е. один из элементов перестал быть упругим, деформация модели описывается второй пунктирной линией, далее — аналогичным образом. При последовательном увеличении силы форма кривой растяжения отличается от первоначальной - линейной.
Если задать численное значение жесткости к1 одного упругого элемента, начальное количество связей N и значение работы А0, после совершения которой возникает разрыв одной связи, то можно рассчитать, при каком количестве оставшихся полноценных связей деформация перестанет зависеть от приложенной силы, и определить аналитический вид зависимости силы от удлинения.
На рис. 2 приведена иллюстрация к расчету формы диаграммы растяжения. При полноценных N + 1 связях деформирование системы будет описываться прямой 0А, при полноценных N + 1
Рис. 2. Форма диаграммы растяжения
связях - прямой ОС, а при полноценных N - 1 связях - прямой ОЕ. Коэффициенты жесткости системы, соответственно, будут к№1 = N + 1) • кр kN = N • кр = = N - 1) • кг
Если деформированная система будет находиться в состоянии А, описываемом деформацией Х№1 и силой упругости Р^, и произойдет случайный разрыв одной из связей, то оставшиеся N связей из состояния В с той же деформацией Х№1 растянутся до равновесного состояния Р. Прирост потенциальной энергии этих N связей численно будет равен площади «трапеции равновесия» Х№1 - В - Р - Хр. Если эта площадь меньше А0, то можно еще совершить работу по растяжению модели, переведя ее в состояние С, в котором разорвется еще одна случайная связь, а затем оставшиеся Хн-1 связей из состояния D растянутся до равновесного состояния Е, компенсировав силу Р^ Далее — по той же схеме, пока площадь «трапеции равновесия» не станет равна А0. В этом случае начнется лавинообразный разрыв связей, так как всякий раз система, не достигнув состояния равновесия, будет терять очередную связь.
Деформацию на каждом шаге в этом случае можно рассчитать из геометрических соображений по формуле
(2)
Р. = к. • Х..
1 1 1
(3)
Если выразить пошагово деформацию через А0, к1 и N, то получится следующее:
„2 _ 2Д,
_ 2Д, 2Д, (4)
у-2 _ 2Д) , 2А0 - —-+ ... + --
Следовательно, деформацию модели на .-м шаге последовательности (4) можно представить в виде
х - У 1
к, '#ЛГ0-;
(5)
Силу упругости, возникающую в модели на г'-м шаге, можно рассчитать по формуле
а значение силы, соответственно, можно рассчитать по формуле
^--^■^■тч-(б)
Для постоянных к1 = 0,1, А0 = 1, N = 100 график зависимости = /(ХД рассчитанной по формулам (5) и (6), представлен на рис. 3.
В зависимости от начального количества полноценных связей при наступлении критического состояния количество оставшихся связей
42 | «Транспорт Российской Федерации»
№3 (58) 2015
lyX'
Рис. 3. Диаграмма растяжения модели
(в условных единицах силы и условных единицах длины)
Зависимость числа оставшихся связей от их начального количества
N, 10 100 1000 3000 5000 10000 15000 20000
N 7 61 607 1820 3033 6066 9099 12131
% 70,00 61,00 60,70 60,67 60,66 60,66 60,66 60,65
уменьшается таким образом, что в процентном отношении наблюдается закономерность, представленная в таблице.
При увеличении начального количества связей их конечное число при критическом растяжении стремится к постоянной величине 60,65...% от исходного значения N0.
Если N достаточно велико, то и в критическом состоянии их останется еще много, чтобы сделать следующие формул (5) и (6), перейдя от дискретных значений величин к непрерывным:
Область определения функции (9) лежит в интервале от 0 до Хк, где Хк можно найти, решив уравнение
= 0. (10)
dF_ dX
UN0-j {N0-x » » ■■
Nn Nn-i
Тогда (5) выразится как
К *ra-i
или
F = ki-N0-Xx \-Хг
2-Л 2
12-Л
(11)
N = N„-i = Nne2-A'
(8)
Используя (5) и (8), выражение (6) можно переписать в виде
к,х'
F = N0e~fe,-X.
(9)
что аналогично функции пластичности а = Ее(1 - а)), где а - напряжение, Е -модуль продольной упругости, е - деформация, ае - безразмерная функция пластической деформации (0 < ае < 1).
Используя (9), можно вычислить работу, совершаемую при деформировании модели:
А = 1^^0-Х-е 2А° dX о
_ ^х1
1-е" ^
(12)
Потенциальная энергия оставшихся полноценных связей равна
_ КХ1 у-2
(13)
Разность между (12) и (13) составит потери механической энергии при растяжении:
S = N0-A0
ух'
1-е'"-
(14)
-k.-N.-e 2А° ■—.
»1 о 2
При достижении критического со-
стояния Xm=tj-потери энергии со-
3-еч
Решение уравнения (10) дает зна-
чение = , а число полноценных V К
оставшихся связей Nк = N0e-0's, следовательно, отношение числа связей в критическом состоянии к начальному числу связей равно
^Е. = е-°'5 «0,606530...
В выражении (9) разложение экспоненциального множителя в ряд Тейлора дает
s«p=JVA,- И-
что менее 9,1 % от полной работы на интервале [0; Хк ].
Дальнейшее развитие и уточнение модели позволит аналитически описывать площадь петли гистерезиса и оценивать минимальную механическую работу, которую необходимо совершить за один цикл нагружения, чтобы стало накапливаться повреждение металла. Следует попытаться применить модель к исследованию узлов различных механизмов при их циклическом нагруже-нии, в том числе различных частей подвижного состава. И
Литература
1. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1975. 401 с.
2. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. 272 с.
3. Илюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.
№ 3 (58) 2015
«Транспорт Российской Федерации» | 43