АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОФИЛЯ СКОРОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ ПУАЗЕЙЛЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.507

Аналитический метод определения профиля скорости турбулентного течения жидкости в плоской задаче Пуазейля

Хатунцева О.Н.

Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва, ул. Ленина, 4А,

Королев, Московская область, 141070, Россия e-mail: Olga.Khatuntseva@rsce.ru

Статья поступила 17.05.2019

Аннотация

В работе теоретически найдены два решения плоской задачи Пуазейля. Одно из них соответствует ламинарному режиму течения, второе - турбулентному. Первое решение реализуется при любых значениях числа Рейнольдса и характеризуется параболическим профилем скорости во всей области течения жидкости, второе - реализуется только при достаточно больших значениях числа Рейнольдса и в центре плоского канала характеризуется логарифмическим профилем скорости. Множитель, стоящий перед функцией логарифма, является постоянной Кармана. Приведено сравнение результатов с имеющимися экспериментальными данными. Аналитические решения плоской задачи Пуазейля удалось определить из уравнений Навье-Стокса благодаря учету в них производства энтропии, обусловленного возбуждением стохастических пульсаций в потоке жидкости.

Ключевые слова: турбулентность, плоское течение Пуазейля, ламинарно-турбулентный переход, критическое число Рейнольдса.

1. Введение

Данная работа продолжает цикл публикаций [1-4], посвященных решению гидродинамических задач, допускающих аналитический подход к их рассмотрению. К сожалению, в силу своей сложности уравнения Навье-Стокса (УНС) имеют такие решения в ограниченном круге задач - для очень простых геометрий. Самыми известными из них являются [5]:

- задача Хагена-Пуазейля, описывающая течение несжимаемой нетеплопроводной жидкости в трубе кругового сечения;

- плоская задача Куэтта, описывающая течение несжимаемой нетеплопроводной жидкости, расположенной между двумя бесконечными параллельными плоскими пластинами, движущимися с постоянными скоростями в противоположных относительно друг друга направлениях в собственных плоскостях (течение происходит под действием сил вязкого трения, действующих на жидкость, и сдвигового напряжения параллельного стенкам);

- плоская задача Пуазейля, описывающая течение несжимаемой нетеплопроводной жидкости, также расположенной между двумя бесконечными параллельными плоскими пластинами, но в отличие от плоского течения Куэтта, течение происходит под действием перепада давления.

Во всех этих задачах [5-6] при интегрировании УНС в отсутствии учета

производства энтропии, возникающего в результате возбуждения стохастических пульсаций скорости, существует единственное аналитическое решение, описывающее стационарный профиль скорости при любых значениях числа Рейнольдса. В задаче Хагена-Пуазейля и в плоской задаче Пуазейля - это параболический профиль скорости, в плоской задаче Куэтта - линейный. Во всех случаях этот профиль соответствует ламинарному режиму течения.

Причем, решения задач Хагена-Пуазейля и Куэтта, помимо всего прочего являются устойчивыми в линейном приближении (для бесконечно малых возмущений) [6]. Данный вывод плохо соотносится с огромным количеством экспериментов, в которых при достаточно больших значениях числа Рейнольдса практически невозможно "удержать" жидкость в ламинарном состоянии -происходит потеря устойчивости и переход к турбулентному режиму течения.

Для плоской задаче Пуазейля условие линейной устойчивости не выполняется, однако, найденное минимальное - критическое число Рейнольдса, при котором может осуществляться переход от ламинарного к турбулентному режиму течения составляет, примерно, 5770 (по данным расчетов S.A. Orszag [5]), что намного превосходит экспериментально определяемые значения, величина которых равна, примерно, 1000.

В качестве попыток разрешения возникающих противоречий в вопросах устойчивости обычно выдвигаются предположения о неустойчивости течений к конечным возмущениям. Однако в такой постановке не вполне понятным остается отсутствие других (помимо ламинарных) квазистационарных аналитических

решений УНС, к переходу к которым и должны стремиться режимы течения при потере устойчивости.

В работах [1-4], [7] был подробно рассмотрен вопрос о возможности описания турбулентного режима течения жидкости с помощью УНС в расширенном фазовом пространстве и необходимости учета производства энтропии в таком процессе. С помощью предложенного в работе [1] подхода аналитически была решена задача течения жидкости в трубе кругового сечения (задача Хагена-Пуазейля), в работе [4] аналитически решена задача течения жидкости между двумя движущимися плоскими стенками (плоская задача Куэтта). В каждой из этих задач найдены два решения, одно из которых отвечает ламинарному, а второе - турбулентному режиму течения. В задаче Хагена-Пуазейля показано, что турбулентному течению соответствует логарифмический профиль скорости в центре трубы, аналитически определено значение постоянной Кармана. В плоской задаче Куэтта турбулентному течению соответствует профиль скорости, характеризующийся функцией гиперболического синуса, с параметром, зависящим от значения числа Рейнольдса.

В работах [2], [4] на основе метода «разрывных функций» предложен подход, позволяющий определить критическое значение числа Рейнольдса, при котором становится возможен переход от ламинарного к турбулентному режиму течения. В задаче Хагена-Пуазейля расчетное значение составило, примерно, 1970, в плоской задаче Куэтта, примерно, 305.

Воспользовавшись подходом, предложенным в [1-4], в данной работе попытаемся найти аналитические решения для двух режимов течения (ламинарного

и турбулентного) в плоской задаче Пуазейля.

Однако здесь следует подчеркнуть, что поиск аналитических решений в достаточно простых «модельных» задачах не является самоцелью. Основной мотивацией работы является разработка подхода, позволяющего учитывать в УНС особенности ламинарного и турбулентного режимов течения, для дальнейшего корректного интегрирования УНС, как аналитическими, так и численными методами.

Безусловно, численных решений задач гидродинамики на основе уравнения Навье-Стокса (УНС), как для ламинарного, так и для турбулентного режимов течения жидкости, в настоящее время существует огромное количество (см., например, [8-21]). Несколько десятилетий исследователи активно разрабатывают новые методы, позволяющие совершенствовать технику численного интегрирования УНС (см. [22-31]). Практический интерес к такого рода задачам нельзя переоценить, поскольку они встречаются повсеместно, начиная от вопросов, связанных с расчетом ветровых нагрузок на здания и конструкции, и заканчивая аэро- и гидродинамическими задачами в авиации и ракетостроении. Несмотря на это, на математическом уровне строгости так и не удалось ответить на главный вопрос: описывают ли УНС оба этих режима.

Уравнения Навье-Стокса представляют собой второй закон Ньютона для выделенного достаточно малого, но конечного объема изотермической жидкости, и описывают ускорение этого объема под действием силы, обусловленной градиентом давления и внешних сил, с одной стороны, а также вязкой силы, действующей по

поверхности этого объема, с другой стороны.

В случае детерминированного - ламинарного режима течения жидкости корректность использования УНС для описания такого процесса не вызывает сомнений. Однако при переходе к турбулентному режиму течения в жидкости возникает большое число дополнительных - стохастических степеней свободы. В связи с этим вопрос о возможности описания такой системы с помощью детерминированных уравнений Навье-Стокса остается открытым.

Используемые в настоящее время подходы к решению задач гидродинамики на основе УНС можно условно разделить на два класса: решения на основе приближенных «осредненных» методов и решения на основе прямого численного моделирования. Существуют также подходы на основе комбинаций этих методов (метод «крупных вихрей»).

В работах [1], [7] показано, что получение «турбулентных» решений при интегрировании УНС на основе прямого численного моделирования можно сравнить с моделированием стохастического процесса на основе аналоговых принципов. Приближенные численные методы (методы осреднения по Рейнольдсу, методы «крупных вихрей») изменяют УНС за счет введения дополнительных членов, описывающих корреляции пульсаций, и уравнений, моделирующих замыкание осредненных моментов пульсации. По сути, их решения уже нельзя рассматривать, как результат непосредственного интегрирования УНС. Поэтому вопрос о возможности или невозможности описания турбулентного режима течения

на основе УНС и подходы к решению этих уравнений, необходимо исследовать,

прежде всего, на примере тех задач гидродинамики, которые допускают аналитические решения, к числу которых, относится плоская задача Пуазейля.

2. Применение метода расширения фазового пространства с использованием стохастической переменной для описания турбулентности в плоской задаче Пуазейля.

Турбулентный режим, также как и другие стохастические процессы, обладает важным статистическим свойством - возбуждением большого количества независимых степеней свободы (пульсаций) на разных масштабах рассмотрения системы. При этом закон сохранения импульса для выделенного объема жидкости (в форме уравнений Навье-Стокса), записанный без учета такого процесса, нарушается, поскольку, не все суммарное воздействие, направленное на выделенный объем, идет на его ускорение: часть такого воздействия должно пойти на возбуждение дополнительных - внутренних - степеней свободы.

Параметром, характеризующим связь между микро- и макропроцессами, является энтропия [32] и, следовательно, в таком процессе необходимо учесть производство энтропии выделенного объема жидкости. Исходя из этого рассуждения, можно переписать уравнения Навье-Стокса, включив в их левую часть - полную производную по времени - дополнительный член, отвечающий за изменение скорости, при изменении энтропии 5 выделенного объема:

5 (, Г) = фЫ, г )]1п фЫ, г [р(, г)].

Труды МАИ. Выпуск № 106_http://trudymai.ru/

В выражении для энтропии функция <\p(t, r)] - это плотность вероятности

реализации возмущения скорости величины p(t, r) в заданный момент времени t в рассматриваемой точке пространства r .

Дифференциальная энтропия для распределения с ограниченной дисперсией максимальна в случае гауссова распределения вероятностей, то есть когда события происходят независимо друг от друга (не коррелированы). Изменение энтропии в стохастической системе будет характеризовать возникновение коррелированных событий.

Расширяя фазовое пространство дополнительной переменной, характеризующей энтропию S : (t, r )^(t, r; S), ускорение выделенного объема жидкости, на который действуют силы, стоящее в правой части УНС, можно записать в виде:

r V(t + At, r + Ar, S + AS)-V(t, r, S) a = lim —1---1--

At^o At

Добавляя и одновременно вычитая векторы в это выражение, его можно переписать в виде:

" V(t+At,r+Ar ,S+AS )-V(t ,r+Ar ,S+AS)

a = lim

At ^0

At

V(t,r +Ar,S+AS)-V(t,r,S+AS) V(t,r,S+AS)-V(t,r,S)' At At

В результате, можно заметить, что при выполнении условий: Лг ^ 0.

Лг^0

Л5 ^ 0, в полученном выражение для ускорения выделенного объема жидкости

Л ^0

дУ дУ сг

первое слагаемое равно: —; второе слагаемое: —г ■—- = (УУУ ; третье слагаемое:

дг дг сСг

дуг

д5 ' Сг '

Таким образом, учет влияния производства энтропии в выделенном объеме жидкости на его ускорение, приведет к изменению левых частей уравнений Навье-Стокса, характеризующих ускорение выделенного объема жидкости и представляющих собой полные производные по времени. В расширенном фазовом пространстве их можно записать, включив дополнительный член, отвечающий за изменение скорости, при производстве энтропии 5 в выделенном объеме:

дУ дУ сСБ 1

ч(УУ У + дУС5 = -1 ур + УЛУ + ?

дг 4 7 д5 Шг р Отсчет энтропии можно начинать с любого уровня и, поэтому, возникает неопределенность при постановке начальных и граничных условий в расширенном пространстве переменных к полученному уравнению. Чтобы этого избежать, представим модифицированное уравнение Навье-Стокса через переменную, характеризующую плотность вероятности реализации возмущения скорости:

дУ /-V? дУ 1 Ш5 Дт7 г

--ъ (УУ У ч------=--УР + уЛУ + / (1)

дг х } дф 85 8ф Сг р ' (1)

Производная ¿Р/Зср , входящая в уравнение (1), может быть определена как функциональная производная. Найдем ее значение:

% ' /= ~1Л> ^э ^^^ э к(р

э=0

= - J (in p(p) + 1)h(p )dp = (- (in p(p) +1), h) .

Откуда следует, что SS/ Sp = — in p(p) — 1. Поскольку,

- (in p + 1)др = д(— pin ер), то, обозначив, ~(p) = —p(p)in p(p), перепишем уравнение (1) в виде:

dV dVdS ^D AT? ?

+ VV V +--=--VP + vAV + f

v ' ^ J

дt дs dt р

Производство энтропии: dS|dt, можно охарактеризовать временным масштабом т , на котором происходит изменение энтропии стохастической системы на единицу. В результате, полученное уравнение можно представить в виде:

dV ¡r \r 1 dV 1 r r

+ (WV + - — = -- VP + vAV + f. (2)

dt т ds p v 7

Решением уравнения (2) (с граничными и начальными условиями, соответствующими конкретной задаче) будет являться значение скорости

V = V(t, r;т) = V(t, r,s (<);т), реализующейся с вероятностью <, в системе, в которой производство энтропии характеризуется временным интервалом т, в момент времени t, в точке r (x, y, z).

Для того чтобы корректно в общем случае описывать дополнительное слагаемое в левой части модифицированного уравнения Навье-Стокса, необходимо построить замыкающую модель стохастических процессов и метод их описания [3], [33-34]. Однако в тех случаях, когда дополнительный член уравнения существенно влияет на вид решения но, при этом, само решение практически не зависит от дополнительной переменной (в данном случае ~ ), можно обойтись без построения такой модели. Исследование показало, что описание плоского течения Пуазейля относится именно к такому классу задач.

Для этой задачи достаточно рассмотреть систему уравнений, состоящую из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости и модифицированных УНС:

у(рУ )= 0

д£+Уу)Мд£=-1ур+глУ ■ (3)

Я* V / - „

дг т д8 р

Задачу будем решать в классической постановке [5], а именно, в предположении, что скоростями в поперечных направлениях у иг можно пренебречь по сравнению с продольной скоростью У . Из чего следует постоянство давления в поперечных направлениях. Кроме того, в этом случае из уравнения неразрывности сразу вытекает, что продольная составляющая скорости У не зависит от значения продольной координаты х. Тогда систему уравнений (3) для описания стохастических пульсаций скорости при квазистационарном (когда дУ/дг = 0) течении вязкой несжимаемой жидкости, можно переписать в виде соотношения:

<

1 дУ 1 ар д 2У

+ У-

т дз р Ох ду2 Предполагая постоянство градиента скорости в продольном направлении, полученное уравнение можно переписать в виде:

Ъ2 дУ дУ _

— = ^2 + 2 , (4)

ту дз ду

где у = у/Ъ, Ъ - полуширина канала, V = ~(у, 3 )=У ¡и - безразмерная квазистационарная компонента скорости в продольном направлении в расширенном

~ ~ тт Ъ ОР

стохастическом пространстве с дополнительной переменной з , и = ----— -

2ру ах

скорость жидкости в центре канала при ламинарном режиме течения [1], у -вязкость жидкости, р - плотность жидкости.

Необходимо подчеркнуть, что в случае турбулентного режима, течение будет, безусловно, иметь пространственный - трехмерный характер. Однако нерассмотренные в уравнениях компоненты скорости будут иметь стохастический характер пульсаций. Они учитываются в уравнении (4) при введении переменной ~, отвечающей за общее производство энтропии в турбулентном режиме.

Уравнение (4) будем решать, используя граничные условия - «прилипание»

жидкости на стенках в отсутствии пульсаций: У(У) ~=±1 = 0, и условие симметрии

на оси канала: д~(у, 3 )/ду|

у=0 = 0,

У=0

Уравнение (4) можно упростить, введя вместо временного масштаба т безразмерный коэффициент у (0 <у< 1) - параметр, характеризующий

пространственный масштаб, и воспользовавшись соотношением: т

уЬ уЬ2

и ^Яе

где

Яе = иЬ/V - число Рейнольдса при ламинарном режиме течения жидкости, рассчитанное по характерному размеру полуширины канала.

Подставляя зависимость т(у) в уравнение, приходим к соотношению:

Яе дУ _ д2У

у д~ д~2

+ 2

Сделав в нем замену:

~(У ,у) = и(У ,у) - У

(5)

получим

Яе ди д2 и

у дs дУ

Решая уравнение (6) методом разделения переменных:

У(У= N (~)Ь (у),

(6)

(7)

получим два уравнения:

1 dN ау

N сУ Яе

d2F и , = аЬ

Ф

2

(8)

где а = а(у, Яе) - произвольная константа при любых фиксированных значениях параметров у и Яе. Нетрудно заметить, что нулевое значение константы а с учетом соотношения (5) и граничных условий к уравнению (4) соответствует

2

решению уравнений Навье-Стокса для ламинарного течения несжимаемой жидкости в плоском канале. Это решение будет также являться первым решением задачи течения жидкости в плоском канале с учетом стохастических возмущений скорости для любых значений числа Рейнольдса.

В случае а ф 0, решением первого уравнения (8) являются функции

ay ~

N(s ) ~ еRe . (9)

Гладкие решения второго уравнения (8) можно записать в виде:

F _ ch^Jay) F _ cos ЩУ )

F _ —Гг , где a > 0 ; F _-г=т~, где a < 0.

chyja cos^ |a|

Соответствующие им выражения для скорости имеют вид:

У(ЯУ)_ _y, a > 0, (10)

chyja

__ч cos(J\a\y) — У _

V(y,S)_-_y2 , a < 0. (11)

cos, / a

Рассмотрим поведение течения жидкости вблизи стенок канала. Для этого введем переменную ; = Ь - у или переменную <~ = 1 - у (здесь ; = ;/Ь , у = у/Ь), значение которой будем отсчитывать от стенки. Выражения (10)-(11) перепишем в виде зависимостей безразмерных скоростей от безразмерных расстояний относительно динамических значений скорости V* и длины у», соответственно (при этом, уу*1у ~1):

V Б ) у_

' •¡с

г

V

4~а

V V

1 - — У

V

a У /

ЛЛе яе- '

а

Г ,_г

1 V У 1 - — ~

л

V

V

а > 0

V (^у )

соб

V

V

а|

V V

1 - — у

\\

V

собл/ а

ЛУ яе^

V

! V у 1 - — у*

V у

л2

а < 0.

Поскольку динамические характеристики течения непосредственно у стенок канала в ламинарном и турбулентном потоках должны сохраняться, то

безразмерные значения динамических скорости и длины: V* = V*/и и у* = у*/Ь, входящие в эти выражения, можно определить, используя соотношение для скорости ламинарного течения V = 1 - у2:

1 с 1 V ж V

"И Р и1 ду у=1 б=0 1 иь ду у=1 б =0

у* У*V* V и 1 1

Ь V UЬV* Яе^ л/2Яе '

2

л/2Яе

( у* V* ¡V у 1).

(12)

(13)

здесь с - отнесенная к единице площади сила трения.

Используя соотношения (12), (13) перепишем выражения для скорости в виде:

VБ )_ У2Яе V ~ 2

г г

■\Га

1

V_V

ЦК 1

л/2~Я

\\

V

е И е яе-

1 V

V л/2Яе у

а > 0.

;

2

а

( Г

V(;, 3)_ л/2Яе

V " 2

соб

1 -

V_V

1

л/2Яе

у

соБл/ а

\ л

л/2Я

у

е

V

a < 0.

у

При нулевом значении стохастического возмущения (3 = 0) в точке ; = у* (и у*У*/у~ 1), значение скорости должно быть равно значению динамической скорости: V = V. Поэтому от полученных выражений можно перейти к уравнениям:

2

ек

V V

а

2Яе

зк

у

а

2Яе

л л уу

л/2яе

2 2л/2Яе

= 0, а > 0

л/2Яе

2

соб

V V

а

2Яе

+ Б1П

у

а

2Яе

tg^|\a\

л/2Яё

2 2л/2Яе

= 0 , а < 0

Предполагая, что \а/(2Яе)| < 1, и разлагая гиперболические и тригонометрические функции, содержащие числа Рейнольдса, в ряд Тейлора, запишем полученные уравнения с точностью до 0(1/ (2Яе)):

а — 2 2л/2Яе

— л[а • гклГа « 0 а > 0

(14)

^¡== — М • « 0 , а < 0.

(15)

При больших значениях параметра а (по абсолютной величине сравнимых со значением корня из числа Рейнольдса или превосходящим его), спектр решений, определяемых системой уравнений (14), (10) и (15), (11), будет практически сплошным, за счет быстроменяющихся тригонометрических функций. Эти решения

2

а

1

1

1

будут являться источником «белого» шума. Их вклад в создание квазистационарного профиля скорости в данной работе рассматриваться не будет. Для значений параметра а по абсолютной величине значительно меньших

числа Рейнольдса (или, наоборот, при фиксированных значениях |а| и достаточно

больших значениях числа Рейнольдса), уравнения (14)-(15) сводятся к виду:

у[а • « 0, а > 0, (16)

М • « 0, а < 0. (17)

Действительным решением уравнения (16) является значение лЮ ~ 0. Решения уравнения (17): ^/¡а^ « тт, где п - целые числа и 7г2п2 << V2Яе .

Решение уравнения (16) со значением л[а «0 соответствует ламинарному решению и в дальнейшем, при определении профиля турбулентного течения, нас интересовать не будет.

Частными решениями задачи для турбулентного течения вблизи стенок канала с точностью до 0(1/Яе) являются выражения для скорости, со значениями

параметров « тт, ап « -т2п2:

т2п2 +2 - ' 1 ^

(18)

V 2Яе у

Здесь приняты стандартные обозначения: V+ = ?)/у, = <^У,/у .

В линейном приближении в областях, где < 1, выражение (18) сводится к зависимости:

V + . (19)

Выражение (19) хорошо соотносится с экспериментальными данными для пристеночных областей канала.

Во всей области канала частными решениями задачи для турбулентного течения являются выражения, заданные соотношением (11) со значениями

параметров ^тг:

( m2n2 ~

~ /__\ cos(mny) у ~2

V(y,s) =-m-y-e Re -y2.

cos(mn )

Скорости, определяемые этим уравнением, будут характеризовать выделенные частоты в спектре решений. Общее решение можно представить в виде ряда:

/ m2n2 ~

cos (mny ) —^ту

V cos (mn) V

Или учитывая, что cjcos (mn) = (- l)ncn , можно записать

У(у,^) = Х(- 1Усп соз(тпуу *е спу2 . (20)

п п

Поскольку л2п2 <л]2Яе, то из уравнения (20) видно, что с увеличением числа Рейнольдса модуль показателя экспоненты будет уменьшаться. И, следовательно, при достаточно больших значениях числа Рейнольдса при описании течения в центральной части канала изменением стохастической переменной можно пренебречь. Поэтому, выбор записи уравнения Навье-Стокса в расширенном фазовом пространстве в виде уравнения типа (2) без учета уравнений, описывающих

2 2 т n

эволюцию траекторий в фазовом стохастическом пространстве, является оправданным при достаточно больших числах Рейнольдса.

Для того чтобы определить значения коэффициентов разложения, можно рассмотреть течение вблизи стенки канала. Для этого перепишем выражение (19)

для переменных V и у : у(у ) ^ « 2(1 - у).

Из этого выражения, а также выражения (20): У(у,%)%=0 = 2(1 - у )Хсп ,

у^1 п

следует соотношение: X сп = 1. Подставляя его в выражение (20), получим

п

п

у(у>% )=Х(- 1)псп С08(тпу)е Яе - у2. (21)

п

Причем, Х(- 1)"си = ~(у, %)?=0 = У0 - скорость в центре канала при турбулентном

п

режиме течения.

При заданном условии ж2п2 <<л/2Яе экспоненту в выражении (21) можно разложить в ряд Тейлора и записать это выражение в виде:

2 2

~. % ) ~ X (- 1)п сп С°^(жпУ ) - у 2 - X (- 1)п сп С0$(жпУ 1 .

п п Яе

В точке у = 1, учитывая, что X си = 1, можно записать:

п

п

у (у )~=1 X с

2 2 ж п

|у=1 ^ п Яе

Это выражение характеризует возмущение безразмерной скорости вблизи стенки, реализующейся с вероятностью, описываемой стохастической переменной % . Для

2 2 ж п

п

того, чтобы стохастическое возмущение скорости, с одной стороны, «диссипировало» на длине вязкого масштаба, а, с другой стороны, не исчезло полностью, «амплитуда» ее изменения на масштабе у = 1 должна быть порядка безразмерной динамической скорости. Вблизи стенки канала общее решение для скорости должно определяться суммой частных решений, умноженных на те же коэффициенты сп , что и в соотношении (20). Представляя динамическую скорость в виде разложения в ряд с коэффициентами сп: —спКп = 2Д/2Яе , можно

записать

—2п2/Яе ~ .

И, следовательно,

' Яе —

„2

2

СпП = I

п л/2Я£

Откуда немедленно следует соотношение:

л/2Яе

СпП 2

—

(22)

Принимая во внимание соотношение (18), запишем

V+И=— СпК+(г)=

г

.2 Л

V

2,-+2

Г 1 Л

У

С---— Спп2 + О

4л/2Яе V п

V 2Яе у

А учитывая выражение (22) и соотношение: — сп = 1, его можно переписать в виде:

V +(т)=Г-1Г2 + О

' 1 Л

л/2Я

е у

(23)

п

п

п

п

п

Недалеко от точки 6+ ~ 1 (по направлению к центру канала) можно выбрать точку 6+ и в ее окрестности рассмотреть разложение скорости. В области 6+ > 1 скорость может зависеть от отношений (<6+/6+)т, в которых степень т больше или

равна трем, при этом члены, содержащие выражения

66+п

где п - меньше или

равны двум, должны остаться прежними. Поэтому выражение (23) можно представить в виде:

Г

V+

6

V6 у

=6

6+ 1

V

6+ 2

Г

, 2 Л

V 60 у

+

6

2

6

у

V 60 у

1 -

V

6+ 2

+о

у

6

V

V6 у

л/2Яё

у

где т > 3.

Выражение, стоящее в скобках первого слагаемого в правой части последнего соотношения, является разложением функции логарифма: 1п (1+ 6+/60+), в окрестности точки 6+ = 6+ до квадратичного члена включительно. Поэтому в области 6+ > 1, в окрестности точки 6+, последнее выражение можно переписать в виде:

г

V4

6

V6 у

/

60+1п

1+

V

6 6

+ 0у

+

60

2

6

V6о у

60

V

2

+ о

у

Г Г

vv6о+у у

т > 3. (24)

Если приближаться к точке 6 = 1 (границе вязкого подслоя) со стороны центральной части канала (от точки 6+), то скорость У+ должна стремиться к значению единица, поэтому из выражения (24) следует соотношение:

1

2

4+ 1п

1+

V ^о;

11

—ъ О

24+ 4

1

т > 3.

Нетрудно видеть, что этой зависимости удовлетворяет значение 4+ ~ 2. При таком значении 4+, множитель, при квадратичном по 4+ слагаемом, входящем в уравнение (24), принимает значение, близкое к нулю. Это слагаемое в точности может быть не равно нулю, главное, чтобы оно по абсолютной величине было не больше кубического члена разложения логарифма, умноженного на 4+. То есть

должно выполняться условие: 1/(з<40+2)> 1/(24+14 . В этом случае, в области 44 > 1

члены разложения логарифма больше квадратичного, умноженные на 40, будут превосходить значение квадратичного слагаемого в выражении (24). Такому

условию удовлетворяют значения:

2 <4+< 1 + 773 « 2.53

При таких значениях 4+, выражение (24) можно переписать в виде:

!]п (1 + 4+ о((4+У ), т > 3, 0.4 <к = 1/ 4+ < 0.5.

К

При приближении к центру канала, при больших значениях переменной 4+:

4+ ^ V2Яе , единицей стоящей под знаком логарифма можно пренебречь. В этой

области канала полученное выражение можно записать в виде:

— « — 1п

— к

V У ;

+ В, где В = 1п к/к + О

V у ;

V4 у ;

т > 3

(25)

Поскольку в центре канала производная скорости должна быть нулевой, то

1

1

Труды МАИ. Выпуск № 106_http://trudymai.ru/

при больших значениях переменной 6: /у^л/2Ке, значение В в выражении

(25) должно стремиться к константе: B = ln к/к + O

v 2vy

^ const

4v,/V»i

Для того чтобы понять, где находятся границы области течения, скорость которого описывается выражением (25), в предположении, что B«const, вновь

перейдем к переменной y = 1 -<~ = 1 b, и представим функцию F в виде

соотношения:

F(у) - ~(y,s) + y2--—ln(1 -y)+y2 + + ^B . (26)

v Re»^ %=0 W2Re кл/TRe yl2Re V J

Произведем разложение: F = X cnFn. Из соотношения (8) при значении

n n

n

константы а = -ж2п2, можно получить уравнение для п -ых компонент функции Р :

а2 2 =-ж2п2 р. Домножая левую и правую части уравнения на коэффициенты сп , суммируя полученные выражения, запишем

Xсп^рг = -ж2Xспп-2Р . (27)

„ ау „

Учитывая, свойство линейности, а также соотношение: XспР = Р, левую часть

>1 >1

л

^ а'р а2 ^ „ а2р

уравнения (27) перепишем в виде: Xсп г~2 =~Т:2'XспР п =~рг. А, учитывая выражение (22), правую часть уравнения (27), запишем в виде:

2 2 2 I СпП 2Г„ -ж11спп2¥п =-я21спп2 -— = -у/2Ке(Рп). и, предполагая выполнение

п п I спп

п

I с„п2 Fя

^^ п п

соотношения: = -- * F (где функция F определяется выражением (26)),

^^ Спп

п

перейдем к уравнению:

а2 ^ау2+4zR£F * 0.

Подставляя в него выражение (26), получим соотношение:

--* 1 Ч2 + -1п ^/2Ке (1 -~ ))+^у2 + В +1 * 0

к42Ке (1 - ~)2 к у У 2 ^ .

Из него следует, что если В - медленно меняющаяся логарифмическая функция, значение которой стремится к константе в центре канала:

В = -1 - 1п(л!2Яе(1 -у))/к 1 - 1пл/2Яе/к, то в области: 0<у <(2Яе)п, где

п > 14, выражение (25) удовлетворяет уравнению (8) с точностью не хуже, чем

о((2Яе)-*), где к = 2п -12 > 0. (28)

При Яе~104 и п ^ 14, область течения, скорость которого описывается выражением (25) в пределах погрешности (28), составляет порядка десяти процентов от радиуса канала. Экспериментальное выражение для логарифмического профиля скорости в центральной области трубы кругового сечения имеет вид [5], [35]: —(у )/—*|Ке>>1 * 2.5 • 1п (уУ^у)+ 5.5 и составляет порядка пятнадцати процентов от радиуса трубы. Предполагается, что эта зависимость скорости турбулентного

течения жидкости от расстояния до стенки является универсальной и должна описывать скорость турбулентного течения в центральной области плоского канала.

Можно заметить хорошее совпадение полученных в данной работе результатов с экспериментальными данными. Линейный вид функции (19), характеризующий скорость турбулентного течения в пристеночной области, хорошо соотносится с экспериментальными данными. В центре плоского канала найдена логарифмическая зависимость скорости турбулентного течения от расстояния до стенки. Аналитически определенное значение постоянной Кармана, ограниченного диапазоном: 0.4 <к< 0.5, также можно считать хорошо совпадающим с экспериментальными данными.

Корректного сравнения значения параметра В , входящего в уравнение (25), полученного аналитически для плоского бесконечного канала и найденного экспериментально, провести довольно трудно, без учета дополнительного вклада решений уравнений (11), (15) и (10), (14) при абсолютных значениях параметра а, сравнимых со значением квадратного корня из числа Рейнольдса или превосходящих его. Эти решения являются источником шума, характеризуемого спектром, близким к сплошному. Механизм влияния этого шума на значение параметра В должен быть близок механизму влиянию на этот параметр шероховатостей на стенках. Учет особенностей этих решений планируется в будущих исследованиях.

Выводы

Разработан метод описания турбулентных стохастических режимов течения, с использованием модифицированных уравнений Навье-Стокса. В таком подходе уравнения Навье-Стокса записываются в пространстве, расширенном с помощью дополнительной переменной, характеризующей производство энтропии при возбуждении стохастических возмущений.

Данный подход позволил найти два решения плоской задачи Пуазейля: одно из которых соответствует ламинарному режиму течения, второе - турбулентному.

Первое решение во всей области течения жидкости характеризуется параболическим профилем скорости; второе характеризуется линейным профилем скорости у стенок и логарифмическим - в центре канала.

Аналитически найдено значение постоянной Кармана.

Сравнение полученных в работе результатов с имеющимися экспериментальными данными показали хорошее соответствие.

Библиографический список

1. Хатунцева О.Н. Об учете влияния стохастических возмущений на решения уравнений Навье-Стокса в задаче Хагена-Пуазейля // Труды МАИ. 2018. № 100. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=93311

2. Хатунцева О.Н. О нахождении критического числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода в задаче Хагена-Пуазейля // Труды МАИ. 2018. № 101. URL: http: //trudymai. ru/published. php?ID=96567

3. Хатунцева О.Н. О механизме возникновения в стохастических процессах гауссовских распределений случайной величины с «тяжелыми» степенными «хвостами» // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=98854

4. Хатунцева О.Н. Аналитический метод определения профиля скорости турбулентного течения жидкости в плоской задаче Куэтта // Труды МАИ. 2019. № 104. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=102091

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988. Т. VI. - 731 с.

6. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. - М.: Физмалит, 2005. - 288 с.

7. Хатунцева О.Н. О природе детерминированного хаоса в математике // Естественные и технические науки. 2017. № 11. С. 255 - 257.

8. Ларина Е.В., Крюков И.А., Иванов И.Э. Моделирование осесимметричных струйных течений с использованием дифференциальных моделей турбулентной вязкости // Труды МАИ. 2016. № 91. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=75565

9. Кудимов Н.Ф., Сафронов А.В., Третьякова О.Н. Численное моделирование взаимодействия многоблочных сверхзвуковых турбулентных струй с преградой // Труды МАИ. 2013. № 70. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=44440

10. Кравчук М.О., Кудимов Н.Ф., Сафронов А.В. Вопросы моделирования турбулентности для расчета сверхзвуковых высокотемпературных струй // Труды МАИ. 2015. № 82. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=58536

11. Ву М.Х., Попов С.А., Рыжов Ю.А. Проблемы моделирования течения в осевых вентиляторах аэродинамических труб // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http : //trudymai .ru/published.php?ID=29361

12. До С.З. Численное моделирование вихрей в течении Куэтта-Тейлора сжимаемого газа // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49670

13. Крупенин А.М., Мартиросов М.И. Верификация численной модели взаимодействия прямоугольной пластины с поверхностью воды // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49676

14.Крупенин А.М., Мартиросов М.И. Численное моделирование поведения трехслойной прямоугольной пластины при вертикальном ударе о жидкость // Труды МАИ. 2013. № 69. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=43066

15. Махров В.П., Глущенко А.А., Юрьев А.И. Влияние гидродинамических особенностей на поведение свободной поверхности жидкости в высокоскоростном потоке // Труды МАИ. 2013. № 64. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=36423

16. Dehaeze F., Barakos G.N., Batrakov A.S., Kusyumov A.N., Mikhailov S.A. Simulation of flow around aerofoil with DES model of turbulence // Труды МАИ. 2012. № 59. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=34840

17. Варюхин А.Н., Овдиенко М.А. Верификация программного комплекса OpenFOAM на задачах моделирования глиссирования морских летательных аппаратов // Труды МАИ. 2019. № 104. URL: http:// http : //trudymai .ru/published.php?ID= 102108

18. Маркина Н.Л. Алгоритмы численного решения уравнений Навье-Стокса при наличии кавитации // Труды МАИ. 2011. № 44. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=25052

19. Овдиенко М.А. Разработка расчетной модели глиссирования гидросамолета, оснащенного автоматически управляемыми интерцепторами // Труды МАИ. 2018. № 103. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=100571

20. Березко М.Э., Никитченко Ю.А., Тихоновец А.В. Сшивание кинетической и гидродинамической моделей на примере течения Куэтта // Труды МАИ. 2017. № 94. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=80922

21. Усачов А.Е., Мазо А.Б., Калинин Е.И., Исаев С.А., Баранов П.А., Семилет Н.А. Повышение эффективности численного моделирования турбулентных отрывных течений с помощью применения гибридных сеток со структурированными разномасштабными блоками и неструктурированными вставками // Труды МАИ. 2018. № 99. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=92088

22. Menter F.R. Zonal two equation k-w turbulence models for aerodynamic flows, AIAA Paper, 1993, N93-2906, pp. 21.

23. Shih T.-H., Liou W.W., Shabbir A., Yang Z., and Zhu J. A New k-e Eddy Viscosity Model for High Reynolds Number Turbulent Flows // Computers and Fluids, 1995, vol.

24. no. 3, pp. 227 - 238.

24. Spalart P.R., Allmares S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows, AIAA. Paper 92-0439 // 30 Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, 1992. DOI: 10.2514/6.1992-439.

25. Daly B.J., Harlow F.H. Transport Equations in Turbulence // Physics of Fluids, 1970, no. 13, pp. 2634 - 2649.

26. Menter F.R., Langtry R.B., Likki S.R., Suzen Y.B., Huang P.G., and Volker S. Correlation Based Transition Model Using Local Variables. Part 1. Model Formulation, ASME-GT2004-53452, 2004, pp. 413 - 422.

27. Launder B.E., Reece G.J., Rodi W. Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure // Journal of Fluid Mechanics, April 1975, vol. 68, no. 3, pp. 537 -566.

28. Spalart P.R. Strategies for turbulence modeling and simulation // International Journal of Heat and Fluid Flow, 2000, vol. 21, no. 3, pp. 252 - 263.

29. Launder B.E., Spalding D.B. Lectures in Mathematical Models of Turbulence, London, Academic Press, 1972, 169 p.

30. Wilcox David C. Turbulence Modeling for CFD. Second edition, Anaheim: DCW Industries, 1998, 174 p.

31. Yakhot V., Orszag S.A., Thangam S., Gatski T.B., Speziale C.G. Development of turbulence models for shear flows by a double expansion technique // Physics of Fluids, 1992, vol. 4, no. 7, pp. 510 - 520.

32. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Физическая кинетика. -М.: Наука, 2002. - 536 с.

33. Хатунцева О.Н. О влиянии учета изменения плотности вероятности случайных величин на динамику стохастического процесса // Физико-химическая кинетика в

газовой динамике. 2012. Т. 13. № 3. URL: www.chemphys.edu.ru/pdf/2012-11-20-010.pdf.

34. Хатунцева О.Н. Описание динамики марковских процессов в расширенном пространстве переменных // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII. № 1. C. 62 - 85.

35. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 712 с.