Аналитические инволюции в R Текст научной статьи по специальности «Математика»

154 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 26В10

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ИНВОЛЮЦИИ В R

А.В. Субботин, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: virchQbsu.edu.ru

Аннотация. Описывается класс аналитических инволютивных отображений в R. Ключевые слова: инволюция, отображение, аналитические функции, алгебраические объекты.

В предыдущих публикациях авторов (см. [1-3]) было введено понятие обратимых во времени динамических систем и начато их систематическое исследование. Напомним, что динамическая система

X = F(X) , F : Rd м Rd (1)

называется обратимой, если отображение F таково, что для него существует инволюция W пространства Rd (эндоморфизм пространства, для которого при любом X Е Rd имеет место равенство W(W(X)) = X), для которой выполняется

£ ЩХтF‘(X) = -Fj(W(X)) • j = 1 - d, (2)

j

где здесь и далее используется соглашение о том, что все суммирования, для которых не указаны пределы, производится в пределах от 1 до d.

Как видно из определения, центральную роль в понятии обратимой системы являются инволюции фазового пространства Rd системы. Поэтому для решения принципиального вопроса теории обратимых систем - распознавания того, является ли наперед заданная динамическая система обратимой или нет, нужно иметь как можно больше информации о свойствах инволюций, без которой невозможно решение этой задачи. В настоящем сообщении мы решаем вопрос об описании нетождественных инволюций W(x) при d =1, являющихся аналитическими функциями в некоторой окрестности своей единственной неподвижной точки. Указание на то, что этим классом исчерпываются все одномерные инволюции дано нами в [3] без подробного доказательства. Здесь приводим соответствующее доказательство.

Рассмотрим аналитические эндоморфизмы W : R м R. Если они инволютивными, то есть имеет место W(W(x)) = x для любого x Е R и не являются тождественными, то каждый из них имеет единственную неподвижную точку. Мы докажем, что класс всех таких эндоморфизмов описываются формулой W(x) = a — x, где a - произвольная постоянная.

Введем в рассмотрение алгебру A(1) последовательностей w = (wn; Е N+) с естественной операцией сложения, в которой операция умножения для каждой пары последовательностей u = (un; n Е N+), v = (vn; Е N+), обозначаемая посредством *, вводится

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 155

следующим образом:

(u * v)n (mjumvn-m . (3)

m=0 ' '

Легко видеть, что введенная, таким образом, бинарная операция *, действительно, удовлетворяет всех свойствам коммутативного алгебраического умножения. Единицей относительно умножения * является последовател ьность e = (1, 0, 0,...) так, что для любой последовательности w Е А(1) имеет место e * w = w * e = w. Множество последовательностей a01} = {w ; w0 = 0} составляют идеал алгебры A(1) так, что для любой u Е А« и для любой w Е aQ^ выполнявтся w * u Е Aq1^ . С подробностями использования этой и подобных ей алгебр коэффициентов степенных рядов можно ознакомится в обзоре [4].

Для любого элемента w Е А(1) его n-я степень wn определяется формулой

w„

m

У

(jl,---,jn):

jl+...+jn=m

ml

И-...jnl

wji •••wjn

(4)

Отсюда сразу заключаем, что если w Е А

(1)

О )

то

«)m = 0 при m > n .

(5)

так как в суммируемых произведениях Wj1 ...Wjn обязательно имеются нулевые множители.

Каждая из последовательностей алгебры А(1) определяет степенной ряд

x Е Z . (6)

W(x) = } —wm ,

Z—J n!

n=0

Результатом алгебраических операций с рядами такого рода являются ряды, у которых коэффициенты вычисляется посредством соответствующих алгебраических операций с последовательностями их коэффициентов в рамках алгебры А(1). Это следует из того, что для любых двух элементов u = (un; n Е N+), v = (vn; Е N+) из А(1) и соответствующих им рядов

ОО n ОО n

/у* ' V /у* ' V

x) = Y\ -ГUm , V(x) = V —Vm

' n! ' nl

n=0 n=0

имеет место формула умножения

v© xn

U(x)V(x) = n (u * v)n. (7)

n=0 l

Отсюда сразу следует, что для любого элемента w Е А(1) и соответствующего ему ряда (6) выполняется

© xn

Wn(x)© n W)n •

n=0

(8)

156 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

Пусть теперь ряд (6) определяет аналитическую инволюцию w(x) так, что для любого x Е К имеет место W(W(x)) = x. Будем считать, что она не является тривиальной, то есть отличной от тождественной, W(x) = x, x Е К. В этом случае она представляется монотонно убывающей функцией, определенной на всей оси К, и поэтому у нее всегда имеется единственная неподвижная точка x0, так как она представляется первой координатой единственной точки пересечения (x0, W(x0)) графика этой функции с биссектрисой 1-го и 3-го квадрантов на плоскости (x, W(x)}. Не ограничивая общности, будем считать, что элемент w, определяющий инволюцию, принадлежит идеалу аО^ алгебры последовательностей коэффициентов, так как для любой функции W(x), осуществляющей инволюцию, можно построить ряд Тейлора в соответствующей ей точке x0 и перенести начало координат на плоскости (x, W(x)) в точку (x0, W(x0)}- Таким образом, в ряду (5) коэффициент w0 = 0.

Запишем уравнение W(W(x)) = x в терминах ряда (6)

x

n=1

Уw Wn(x) = w у у (w

n! n! m).

n=1 m=1

v "v x v "v

^ m! n

m=1 n=1

wn

wa

m

m

m

Приравнивая коэффициенты рядов в левой и правой частях равенства и учитывая (5), получаем бесконечную систему уравнений для коэффициентов wm m Е N,

m

wn

^ n!

n=1

w„

^mi

me N.

m

(9)

Покажем теперь, что имеется единственная возможность удовлетворить этой системе уравнений в рамках сделанных нами выше предположений, а именно, положить w1 = — 1 и wn = 0 при n > 1.

Заметим, сначала, что при m = 1 в (9) имеется только одно слагаемое с n = 1, которое, ввиду (w*) 1 = w1; сводится к w^ = 1, то есть w1 = ±1. Рассмотрим, далее, значение m = 2, для которого (9), в виду (w2)2 = 2w2, принимает вид

w1w2 + w2w2 = 0 .

При w1 = 1, отсюда следует, что w2 = 0 а при w1 = —1 это равенство превращается в тождество.

Докажем индукцией по m, что в случае w1 = 1 все последующие компоненты последовательности w равны нулю. Положим, что это утверждение нами доказано для всех значений вплоть до некоторого m = I, то есть m2 = ... = mi = 0. Рассмотрим уравнение (9) при m = l + 1. Учитывая предположение индукции и равенство w1 = 1, оно в этом случае записывается в виде

ww+1 + wi+1w1+1 = 0 ,

откуда следует, что wl+1 = 0. Таким образом, в случае w1 = 1 получаем в качестве решения последовательность (0,1,0,...), что соответствует тривиальной инволюции w(x) = x, по договоренности, исключенной нами из рассмотрения.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 157

Рассмотрим случай, когда w1 = — 1. Пусть m = 3. В этом случае (9) принимает вид w1w3 + 2w|w1 + w3w3 = 0 или, учитывая w1 = — 1, 2w3 + w2 = 0. Далее при m = 4 равенство (9) превращается в w1w4 + 4w3w2w1 + 3w| + 6w3w2w^ + w4wf = 0 или, после подстановки w1 = —1, 2w3w2 + 3w3 = 0. Наконец, учитывая, что w3 = — w|/2, находим, что w2 = 0, и поэтому w3 = 0.

Далее, рассмотрим уравнения для значений m > 4, которые, ввиду w2 = w3 = 0, допускают представление в следующей форме:

wiwm

+Е

n=4

w- (wn

n! V

m

m-1

w 1 wm + wmwm + m! ^ n=4

wn

n!

n

У П

{jl,...,jn): k= 1

jl+...+jn=m

wjk jk!

0 , m = 4,5,....

(10)

Допустим, что система уравнений (10) допускает решение, у которого wm ф 0 при m > 1 и пусть s - первый номер из набора {4, 5,...} такой, что ws = 0. Заметим, что при w1 = — 1, если m - четное, то переменная wm, которая присутствует только в первых двух слагаемых, выпадает из уравнения, а при нечетном m уравнение (10) принимает

ВИД

wm

m!

~2

m-1

у

n=s

wn

n!

n

У п

{jl,...,jn): k=1

jl +...+jn=m

wjk

jk!

1

(11)

где в правой части wm отсутствует. Тогда из (11) следует, что s четное число, так как при нечетном s в уравнении (11) при m = s в каждом из слагаемых в правой части имеется, по крайней мере, одно, у которого в произведении wj1 wj2...wjn найдется множитель wjk с jk > 2 и все такие множители имеют номер а, меньшие s. Тогда, по определению номера s, все слагаемые равны нулю, что противоречит выбору s.

Положим в (11) m = 2s — 1. Тогда в сумме по n имеется только одно слагаемое cn = s, так как jk, к = 1,..., n равны либо 1, либо должны быть не меньше s. Если они все равны 1, то j1 + ... + jn = n < 2s — 1, что противоречит условию суммирования j1 +...+ jn = m = 2s — 1. Если, хотя бы один из номеров, например, j1 > s, то j1 +... + jn > s + n — 1. Тогда, ввиду условия суммирования, j1 + ... + jn = m = 2s — 1, получаем s > n, то есть имеется одна возможность n = s. Таким образом, из (11) следует, что

w2s-1

(2s — 1)! 2

-----------w .

2s!(s — 1)!ws

(12)

Положим, теперь, в (11) m = 3s — 2, которое является четным числом. Тогда, как уже было сказано выше, для четного m из (10) следует

3(s-1)

У

n=s

w—

n!

Е П

{jl,...,jn): k=1

jl+...+jn=3s-2

jk!

0.

(13)

В этой сумме может быть не более двух ненулевых слагаемых с n = s и n = 2s — 1. Во-первых, по той же причине, что и в случае cm = 2s — 1, имеем одно слагаемое n = 2s — 1

158 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

и при этом только одно из всех номеров, например, j1 = s, а остальные равны 1. В этом случае, j1 +... + jn = s + 2(s — 1). Во-вторых, если имеется еще одно значение п с wn = 0, то для него должно быть, по крайней мере, два номера, например, Д и js не меньших s. Тогда Д +... + jn > 2s + п — 2 и, с другой стороны, Д + ... + jn = 3s — 2, то есть п < s и поэтому п = s. При большем числе номеров jk > s нарушаются условия суммирования. Тогда, принимая в расчет эти два слагаемых, из (13) получаем

Ws s(s — 1) w2s + W2s-1 Ws

s! ' 2 (s!)s + (2s — 1)! ' (s — 1)!

0.

Подставляя в это выражение значение (12), приходим к равенству

w;

2(s!)s(s — 1)!

0,

из которого случае, что ws = 0, вопреки сделанному нами предположению.

Таким образом, в случае, когда wi = — 1 получаем, что все wm = 0 при m > 1, то есть единственным нетривиальным решением системы уравнений (9) является последовательность (0, —1, 0,...). Она соответствует инволюции W(x) = —x.

Итак, нами доказана следующая

Теорема 1. Все нетривиальные аналитические инволюции W : R м- R, W (W (x)) = x определяются формулой W(x) = a — x, a = const.

Литература

1. Субботин А.В., Вирченко Ю.П. Обратимые динамические системы // Proceedings XII of young scientists school "Non-local boundary value problems and problems of modern analysis and informatics", KBR, Terskol 3-7 December 2014 // Нальчик: Институт прикладной математики и автоматизации, 2014. - С.65-67.

2. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. О понятии обратимости динамических систем // Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics &; Physics. - 2015. - №5(202);

38. - C.138-147.

3. Вирченко Ю.П., Субботин А.В. Обратимые в широком смысле динамические системы // Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics &; Physics. - 2015. - №11(208);

39. - C.89-96.

4. Вирченко Ю.П., Витохина H.H. Алгебра последовательностей коэффициентов степенных рядов аналитических функций // Научные ведомости БелГУ. Сер. Физика. Математика. - 2010. - 11(82);19. - С.28-61.

ANALYTIC INVOLUTIONS IN R A.V. Subbotin, Yu.P. Virchenko Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: virchQbsu.edu.ru

Abstract. The class of analytic involution images in R is described. Key words: involution, analytic functions, algebraic objects.