Аналитические и численные аспекты решения задачи движения вязкой слабосжимаемой жидкой смеси по вертикальной прямолинейной трубе круглого сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.542

Сорокина Наталья Владимировна,

ассистент

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОЙ СМЕСИ ПО ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРУБЕ

КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

Россия, г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, sorokinaspbpu@gmail.com

Аннотация. В работе рассматривается вариант численного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарное течение вязкой жидкости по вертикальной прямолинейной трубе круглого сечения. Полученный результат не является окончательным, по причине того, что предложенная схема аппроксимации является самой простой и обеспечивает лишь первый порядок точности. Компьютерное моделирование показало, что такая аппроксимация подходит лишь для маленького временного промежутка.

Ключевые слова: нестационарная гидродинамика, жидкие смеси, слабая сжимаемость, вертикальная труба, математическое моделирование, численное решение.

Natalia V. Sorokina,

Assistant

ANALYTICAL AND NUMERICAL ASPECTS OF THE SOLUTION OF THE PROBLEM OF A VISCOUS WEAKLY COMPRESSIBLE LIQUID MIXTURE MOTION THROUGH THE VERTICAL PIPE OF THE CIRCULAR CROSS-SECTION

Russia, St.Petersburg, Peter the Great Saint-Petersburg Polytechnic University, sorokinaspbpu@ gmail.com

Abstract: The paper considers a way of the numerical solution of a system of partial differential equations describing the nonstationary flow of a viscous liquid along a vertical straight pipe of circular cross-section. The result obtained is not final, because the proposed approximation scheme is the simplest and provides only the first order of accuracy. Computer modeling has shown that such an approximation is suitable only for a small time interval.

Keywords: non-stationary hydrodinamics, liquid mixtures, weak compressibility, vertical pipe, mathematical modeling, numerical solution.

Введение

Задача исследования движения вязкой жидкости по вертикальной трубе возникает в сфере добычи нефтепродуктов. Необходимо спрогнозировать давление, вязкость и скорость той смеси, что поднимается из

глубины по трубе. Понять, будут ли, к примеру, изменения давления настолько критичными, что приведут к частичному разрушению оборудования.

Известно, что аналитическое решение уравнений, описывающих реальные физические процессы, возможно лишь для узкого класса задач (например, уравнение теплопроводности или волновое уравнение на прямой или в областях простой формы). В остальных случаях приходится применять численные методы для получения приближённого решения задачи. Здесь на пути встают вопросы сходимости и устойчивости численного алгоритма.

1. Математическая модель

Уравнения, описывающие движение вязкой слабосжимаемой жидкости по вертикальной цилиндрической трубе круглого сечения имеют вид [1]:

др др дь _ + + р— = 0, дг дг дг

дь дь 1

— + V— = -рg + —

дг дг р

д V

дгдг

А

т

др дг ' д2ь 1 дь

дг2

дг

п д V др + 1—г- — дг2 дг

(1) (2) (3)

Система уравнений (1)-(3) была получена на основе основных уравнений гидродинамики [2]. Три уравнения содержат в себе три неизвестных функции: плотность р(г), давление р(г) и скорость ьг (г,г,г). Для однозначной разрешимости этих уравнений необходимо иметь начальные и граничные условия:

• давление на входе трубы и возле стенки:

р (г ,0, г ) = ро, (4)

' др +др' ч дг дгу

0.

(5)

г=Я

плотность в начальный момент времени и на входе трубы:

р( г, г,0 ) = ро, (6)

р( г ,0, г ) = р; (7)

скорость в начальный момент времени:

и( г, г,0) = р(г, 7); (8)

• скорость возле стенки трубы:

ь(Я, г,г) = 0; (9)

• скорость на выходе трубы:

и( г, Ь, г ) = у( г, г). (10)

Предположим, что плотность слабо меняется при изменении координаты 7, следовательно, в уравнении (1) можно пренебречь произведением др

, т.к. оно очень мало по сравнению с остальными слагаемыми.

дг

2. Построение разностной схемы

Для поиска численного решения системы (1)-(3) введём равномерную сетку:

Щ = = г ■ кг, г = 0, М, кг = N, г0 = 0, гм = NI - сетка по переменной

г,

щ = \г- = 7 ■ Н2, 7 = 0,N, Н2 = Ь, г0 = 0, гм = ь1 - сетка по перемен-1 7 N I

ной г,

Т

Щ = |гк = к ■ К, к = 0, К, К = —, г0 = 0, гК = Т| - сетка по переменной

г.

Для аппроксимации уравнений воспользуемся конечными разностями. Рассмотрим уравнение (1), и с учётом предположения, сделанного выше, получим следующую разностную схему:

-к+1 „к „.к „.к

Р,7 ~Ри7 + рк Ч7 - 4,7-1 = \

+ рк -^ = 0.

К 7 К

Отсюда нетрудно получить

' 1 К7 -<7-1) К ^

V К У

V 7 У

Рк++1 =р7 7

(1')

Граничные и начальные условия для плотности аппроксимируются точно:

РР 7 =Р, (6')

РРИ

(7')

Так же поступим с уравнением (2):

„Л+1 „Л+1 „Л+1 . „Л+1

Ч+ . + - . + - Ч+ . —Л + V:

рк+1 _ рк+1 — ^¿+1,,/+1 ^''—1,1+1 ^¿+1,1—1' ^¿-1,]-1 (2) р'—11 _ р1 ^^г ' (2)

и его граничные условия

Р1о _ Ро, (4')

+1 +1 ( Рм, 7—1 — Рм —и—1 ) йг

йг-тРм

рМ, _^м,—1 гм—.,-Ч + РМ+, —1. (5')

му:

Для уравнения (3) применим простейшую явную разностную схе-

ик+1 — чк. , чк. — чк.,

', 1 ',1 + V , ''1 ', 1—1 _

к 1

_—Р1+Р

Г', 1

(

т

'+1,1

йг

—Ч1+ии—1,1 +1 4 1—<1,1

йг2 г йг

йг

чк — 2ук +ук + 1+1 2и1,1 ^ и1,1—1

йг2

Рк+1 — Рк+1 ^

р'',1 1—1 йг

Выразим у :

ч+1 _—рр +р

/Л, ]

(

т

. — 2чк. + чк 1 чк. — ук ,

'+1,1 ', 1 '— 1,1 , А ', / '—1,,

йг2

Г йг

„к+1 Л

+ 1

V .+,— 2у к. + у .. рк+1 — 1 ,

йг2

йг

(3')

ук —ук

—Ч —11 йг + Чк..

',1 йг ',1

Уравнение (1') решается на основе известных значений скорости и плотности на предыдущем временном слое. Уравнения (2') и (3') нужно решать совместно на одном временном слое, но последовательно по координате г, из-за граничных условий. Давление на новом слое по высоте вычисляется от стенки трубы к её оси.

Зададимся простыми начальными условиями: распределение Пуа-зейля для скоростей, одинаковая во всех точках плотность, заданный перепад давлений (рис.1, 2, 3).

Density, kg/m3

Рис. 1. Плотность в начальный момент времени

Pressure, Ра

0.5 1000 z,m

Рис. 2. Распределение давления в начальный момент времени

Velocity, m/s

Рис. 3. Распределение скоростей в начальный момент времени

После проведённых в среде МаЙаЬ вычислений получаем следующие результаты (рис.4,5,6).

Pressure, Pa

х 10 1.15

1.1

1.05 v

1 V

0.95 0.6

r,m

1000

0 0

200

z,m

Рис.4. Поле давлений

Density, kg/m3

Рис. 5. Плотность

Velocity, m/s

Рис. 6. Поле скоростей

Предложенная схема является условно устойчивой, и в рассматриваемой задаче приемлемые результаты получаются для небольшого временного интервала и маленького шага по времени.

В дальнейшем при аппроксимации уравнения (2), скорее всего, придётся пойти по другому пути. Так это уравнении можно проинтегрировать по г:

Р (г, г, г + / (г, г).

ог

Функцию f (z, t) логично определить как гидростатическое давление,

которое действует в жидкости помимо динамического, и которое зависит лишь от уровня подъёма жидкости, т.е. от координаты z (и неявным образом от t).

Заключение

Описанный в работе метод является лишь первым приближением к решению системы уравнений (1)-(3). Главная трудность состоит в том, что в эту систему входят дифференциальные уравнения разных порядков, а уравнение (3) является к тому же нелинейным. В дальнейшем будут рассмотрены методы аппроксимации, обеспечивающие большую точность данных уравнений, и методы решения, подходящие к системе дифференциальных уравнений в частных производных разного порядка.

Список литературы

[1] Sorokina N. A mathematical model of the viscous liquid mixture motion through a vertical cylindrical pipe // Mathematical modeling - Year 1, issue 4, 2017 -P.178-179

[2] Vallander, S.V. Lectures on fluid dynamics. - L.: Izd-vo Leningr. un-ta, 1973, 296 p. (in Russian)

[3] Guseinzade M.A., Ufin V.A. The nonstationary motion of oli and gas in the main pipelines. - M.: Nedra, 1981 [in Russian]

УДК 517.977.55

Богданов Сергей Сергеевич,

д-р.техн. наук, профессор, Генеральный директор «АО «Завод КРИЗО», Козлов Владимир Николаевич\ д-р техн. наук, профессор, Пономарев Алексей Геннадьевич2, канд. техн.. наук, доцент, Халиуллин Юрий Михайлович, д-р техн. наук, профессор, председательСовета директоров «АО «Завод КРИЗО

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И ДИСПЕРСИОННЫЙ ЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ АВАРИЙНЫХ СОСТОЯНИЙ

ОБЪЕКТОВ

Россия, г. Санкт-Петербург,

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

1 2

v1945kozlov@yandex.ru, alexey.g.ponomarev@gmail.com

Аннотация. В статье предложен метод решения задач идентификации аварийных и предаварийных состояний технологических объектов и систем по наблюдению координат состояния на основе показаний первичных датчиков на основе кор-