Аналитическая оценка распределения опорного давления при полной подработке поверхности Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

УДК 622.831

В. А. Гоголин, Т.И. Кургузкина

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОПОРНОГО ДАВЛЕНИЯ ПРИ ПОЛНОЙ ПОДРАБОТКЕ ПОВЕРХНОСТИ

В настоящее время сложилось определенное единство в понимании общих закономерностей развития опорного давления, в то время как отдельные положения этого явления вызывают разные, часто противоречивые мнения.

Многообразие подходов и методов исследования [1-7] приводит к тому, что параметры распределения данной функции, такие как расстояние до точки максимума опорного давления и значение самого максимума в различных исследованиях далеко неоднозначны.

Неоднозначность значений может быть объяснена малой изученностью физико-механических и структурных параметров углевмещающей толщи, значительным разбросом значений этих параметров, а также не вполне адекватными постановками задач, которые используют методы теории упругости и сопротивления материалов, наиболее подходящие для металлических конструкций, а не для массивов горных пород.

В связи с этим представляется необходимым дать общую оценку возможного состояния опорного давления в краевой части пласта на основе имеющихся закономерностей поведения кровли и распределения напряжений в угольном пласте.

Рассмотрим изолированную очистную высотку длиной 2хо, проведенную в пласте мощностью 2к, залегающую горизонтально на глубине Н (к < Н, к < хо).

Подработка поверхности полная, т.е. х0> ^ . Напряженное состояние в пласте симметрично относительно середины длины выработки. Схема

к расчету области опорного давления приведена на рис. 1.

Закон нарастания нагрузки в зоне опорного давления от оо до отах согласно работе [7] можно считать прямолинейным.

Тогда в выбранной системе координат при О < х < а:

о = - у Н + оо + к х

где о - опорное давление; у - насыпной вес; Н -глубина разработки; оо - напряжение на краю выработки; к - коэффициент пропорциональности; х - расстояние от обнажения вглубь пласта.

Функция закона убывания нагрузки, согласно [6], может быть аппроксимирована как обратно пропорциональная квадрату расстояния от выработки.

Тогда при х < а:

с ~2

а о =

где с - коэффициент аппроксимации.

При х = а напряжение непрерывно, т.е.

о(а - О) = о(а + О), с

-уН + оо + к а

а

где а - расстояние до точки максимума опорного давления.

Дополнительная нагрузка на пласт равна нагрузке, снятой с почвы выработки.

Рис. 1. Схема к расчету области опорного давления

х

Уравнение баланса нагрузки (рис.1):

Sl + 82 = 8з + 84 где 81:, Б2, Б3, Б4 определяется из геометрических соображений как площади соответствующих фигур.

1 1 2

81 = 2 Н=2 Н с*89,

где ф - угол давления (ф = 50 - 640, зависит от крепости подрабатываемых пород)

82 = ] У-ао {^^

2 ^ к ) 2к

а

83 = \i-yH + &о + кх {X =

у -°о

к 2 1 I тт \2

=-упа + аОа н— а н------ЩН -оо) ;

2 2к

Рис. 2. Графики зависимостей а, Отах, Ь и К от Н при Оо=0,5 МПа

Рис. 3. Зависимость а от Н

Рис. 4. Зависимость Отах от Н

к

Рис. 6. Зависимость К от Н

84 = /

с йх = -а

0х

Тогда уравнение баланса нагрузки:

1 у12с18Р + -1 - &о{=

2 2к

к 2 1 ( тт \2 -

=-уНа + ооа н— а н----ЩН -оо) н—;

2 2к а

1 2 К 2 С

— уИ ^у + уИа — а0а-----------------а = —.

2 2 а

Решая систему двух уравнений с неизвестными а и с:

тт С

уИ +а 0 + ка = —;

а

2

1 2 к 2 С

— уИ ctgty + уИa — а0а---------------------а = —

2 2 а получаем квадратное уравнение:

3ка 2 — 4{уН — а о )а — уН 2^<§ = 0.

с единственным решением (а > 0):

а =

3к

Тогда максимальное напряжение :

3к

а

тах

—уИ + а 0 + ка .

Коэффициент концентрации напряжения:

(1)

(2)

60

50

40

30

20

10

0

Ь, м

0,2

0,4

0,6

0,8

Н=600м Н=500м Н =400м

• Н=300м

• Н=200м Н=100м

со, МПа

1,2

,4

0

1

Рис. 10. Зависимость Ь от со

Рис. 11. Зависимость К от с0

Рис. 12. Графики зависимостей а, стах, Ь и К от И при со = 0,5 МПа и Н = 300 м.

К = ■

а

тах

— уИ + а0 + ка

(3)

уН уН

Принимая 10% превышение уровня уН , определяем протяженность зоны опорного давления:

Ь =

С

1.1И

1

2 2 3

— уИа + а0а + ка

(4)

= а

1.1уН

Принимаем прочность пласта значительно меньше прочности вмещающих пород. Тогда, согласно работе [7]:

= 1,3<^ куб

с

о скуб к '

И

где оКуб - прочность куба достаточных размеров, вырезанного из пласта и испытанного в натуральных условиях.

Принимая к = 1 м, ф = 610, у = 2500 кг/м3 по формулам (1-4) определяем а, отах, К и Ь.

На рис. 2 и рис. 7 совмещены графики зависимостей расстояния до точки максимума а, максимального напряжения стах, длины зоны опорного давления Ь и коэффициента концентрации напряжения К от глубины разработки Н при со = 0,5 МПа и от прочности угля со = скуб при Н = 300 м соответственно.

Результаты расчетов а, стах, Ь и К для других значений С0 представлены на рис. 3 - 6, а для различных значений Н на рис. 8 - 11. .

Упростим формулу (1), пренебрегая в подкоренном выражении слагаемым (4 со2 — 8

у Нсо), имеющем меньший порядок относительно других.

Обозначим

А

= ^4у2 + 3ку^ф .

Тогда

а

2 у + А 3к

■ И

2а 0 3к

(5)

Из (2) и (З) следует:

A

G

max

З

Из (3) и (З) определяем

I. H + G o

З

(б)

V

yH

j

*=A -1

3y 3

пренебрегая вторым слагаемым, имеем

*=A .

3У

Определяем L по формулам (4), (5):

L

А

З.Зу

2у + А Зк

. h --

v

2g o

Зк

(7)

(В)

У

о,

При этом относительная погрешность для а, х и К не превышают 1%, для Ь максимальная относительная погрешность 3%.

На рис. 12 совмещены графики зависимостей а, отах, Ь и К от к при ао = 0,5 МПа и Н = 300 м.

Анализ формул (5 - 8) и исследование полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

- зависимость расстояния до точки максимума напряжения а, максимального напряжения 0'шах и длины зоны опорного давления Ь от глубины разработки Н линейная, коэффициент концентрации напряжения К с увеличением Н меняется

незначительно, т.к. обратно пропорционален 20[Й;

- расстояние до точки максимума напряжения обратно пропорционально у] О о , максимальное напряжение и коэффициент концентрации напряжения пропорциональны у[&() , а длина зоны опорного давления обратно пропорциональна 4О о , (Оо &куб).

- расстояние до точки максимума напряжения пропорционально максимальное

напряжение и коэффициент концентрации напряжения обратно пропорциональны -\[к , а длина зоны опорного давления пропорциональна

4к.

Таким образом, в работе получены аналитические выражения для определения расстояния до точки максимума напряжения, максимальной нагрузки, длины зоны опорного давления и коэффициента концентрации напряжения, позволяющие оценить распределение опорного давления при полной подработке поверхности; выявлены их зависимости от глубины разработки, прочности угля и мощности пласта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ардашев К.А. Исследование и анализ проявлений горного давления при разработке мощных крутых пластов Прокопьевско - Киселевских месторождений и месторождений Кузбасса. Дис. д-ра тех. наук. - Л. 1968.

2. Борисов А.А. Исследование вопросов горного давления методом объемных моделей // Исследование горного давления. - М.: Госгортехиздат. 1960.

3. Борисов А.А. Расчет горного давления в лавах пологих пластов. - М.: Недра. 1964.

4. Вылегжанин В.Н., Егоров П.В., Мурашев В.И. Структурные модели горного массива в механизме геомеханических процессов. - Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ие. 1960.

5. Егоров П.В. Предупреждение горных ударов. - Кемерово. КузПИ. 1984.

6. Лехницкий С.Г. Теоретическое исследование напряжений в упругом анизотропном массиве вблизи подземной выработки эллиптического сечения. - Л. ВНИМИ. 1962.

7. Петухов И.М., Линьков А.М., Сидоров В.С. Теория защитных пластов. - М.: Недра. 1976.

□ Автор статьи:

Гоголин Вячеслав Анатольевич докт. техн. наук, проф. каф. прикладной математики

Куркузкина Татьяна Ивановна - ст. преп. каф. высшей и прикладной математики (Московский Государственный Университет коммерции. Кемеровский институт)