CC BY
52
Д. Лыонг Хак, В.В. Алексеев, Ю.Ю. Громов,
ФГБОУ ВПО «Тамбовский доктор технических наук, доктор технических наук,
государственный профессор, профессор,
технический университет» ФГБОУ ВПО «Тамбовский ФГБОУ ВПО «Тамбовский
государственный государственный
технический университет» технический университет»
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПОЗНАВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМЕ ПОДДЕРЖКИ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
ANALYTICAL MODEL OF RECOGNITION OF INFORMATIONAL PROCESS IN DECISION MAKING SUPPORT SYSTEM
Представлена разработанная для системы поддержки принятия решений про -цедура идентификации математической модели информационного процесса, основанная на алгоритмах типовой идентификации. Для представления динамических характеристик информационного процесса использовался аппарат кубических сплайнов.
In operation the procedure of identification of a mathematical model of the informational process developed for decision making support system, based on algorithms of typical identification is presented. For representation of dynamic characteristics of informational process the means of cubic splines are used.
Во многих областях человеческой деятельности исследователи сталкиваются с проблемами построения математических моделей информационных процессов, что влечет большой объем вычислений и значительные затраты времени. Для решения этой проблемы авторами предлагается разработка информационной системы поддержки принятия решений (ИСППР), позволяющей в автоматизированном режиме определять динамические характеристики объектов и строить математические модели, что значительно сократит затраты времени.
В общем случае построение модели для конкретного объекта требует по результатам измерений входного х (t) и выходного y (t) сигналов отнесения данного объекта
к определенному классу объектов. Если динамические характеристики объекта описываются оператором A, то при наличии результатов измерений входной и выходной случайных функций (переменных) задача идентификации сводится к определению некой оценки A оператора A .
Оптимальный оператор объекта в классе всех возможных операторов по критерию минимума среднего квадрата ошибки, называемый также оператором условного математического ожидания или регрессией выходной переменной y(t) относительно входной переменной х (t), определяется следующим образом:
~(t) = Ax(s) = M{y(t)| xst, s e T}. (1)
Допущением в работе является то, что авторы ограничились, на данный момент, рассмотрением класса линейных моделей и, следовательно, оптимальный оператор ищется в классе линейных операторов. Для модели линейного объекта оптимальная оценка импульсной характеристики g(t,s) по критерию минимума среднего квадрата
ошибки определяется из уравнения
г
гух (г,°) = 1 g(t, *)г« (г,°—, (2)
г -т
где Т — интервал времени наблюдения, (г ,о) — корреляционная функция случай-
ного сигнала х(г), а гух.(г, О) — взаимная корреляционная функция случайных сигналов У(г) и х (г) [!]•
Когда случайные функции х(г) и у(г) являются стационарными и стационарно связанными, оптимальная оценка оператора определяется из уравнения
гух (0 = АГхх (г -t), (3)
а импульсная характеристика стационарной линейной системы — из интегрального
уравнения Фредгольма первого рода
гух(г,о) = 1 £(тКх(г-t)dт, -¥< 1 <¥ • (4)
0
Для решения задачи идентификации при использовании (4) производится классификация априорной информации, встречающейся на практике [2]. Классы определяются качественным поведением гх(г) и гух(г).
В ИСППР корреляционные функции гх (г) и гух (г) поступают в виде цифрового графического изображения или в виде набора значений {гг, / (гг)}. Для перевода цифрового графического изображения в соответствующий набор {гг, / (гг)} авторами разработана специальная процедура распознавания, описание которой не приводится из-за ограничений на объем материала.
Представление и хранение функций в ИСППР реализовано с помощью кубических сплайнов. Разработана процедура преобразования набора {гг,/(гг)} в множество соответствующих кубических сплайнов (г)}.
Так, заданы сетка а = г0 < г1 < г2 < ... < гп = Ь и соответствующие значения /(гг). Расстояние между смежными узлами: Иг = хг - хг-1, I = 1, п . В соответствии с [3] функция S(г) удовлетворяет следующим условиям:
1. На каждом отрезке [гг -1,гг ] функция S(г) является полиномом третьей степени.
2. Функция S(г), ее первая S'(t) и вторая S№(t) производные непрерывны на сегменте [а, Ь] .
3. S0г ) = /) = /г , г 1 П ■
4. На концах сегмента [а, Ь] функция S''(t) удовлетворяет условиям
S//(а) = S"(Ь) = 0 . Однако следует отметить, что на концах сегмента [а, Ь] могут быть
заданы в принципе и другие условия, например: S''(а) = А, S"(Ь) = В .
Таким условиям удовлетворяет только один сплайн [3].
Для построения сплайна необходимо определить коэффициенты полиномов третьей степени на каждом из отрезков [гг-1, гг]. Для этого сопоставим отрезку [гг-1, гг ] полином Sг (г), для удобства записанный в виде
- , — ,
Si (г) = а + Ьг (г - гг) + (г - г, )2 + (г - г, )3,
2 6
г е [гг-1, гг ], г = 1, п.
Непрерывность сплайна в узлах гг, г = 1,п -1 и выполнение условия 3 при г=0 дают
bihi ~ir h +~7hi = f - fi-i, i =1, n. (5)
-г 2 -г
— к + —
2 г 6
Непрерывность первой и второй производной сплайна означает, что
(8)
d . — c,h - = ъг- b,-i, i = 2n, (6)
dihi = ct -ci-1, i = 2,n . (7)
Граничные условия 4 дают еще два уравнения:
f S"(t0) = S» = c1 - d 1h1 = 0,
1 sn (tn) = sn(b ) = c„ = 0.
Решение системы линейных уравнений (5)—(8) позволяет определить значения bt, с t, dt, i = 2, n.
В [2] представлены таблицы откликов линейных систем на возмущения видов rXXл(t) = Ae“a|t|, rXx’2(t) = Ae“a|t| cos (Ot, rXX’3(t) = (A + A1 11 |)e“a|t|, а соответствующие им
Т
корреляционные функции входа и выхода ryx(t) представлены в ИС в виде
STrllJ(t) при t > 0, ___
где j = 1,3 .
ST/,l (t) =
'w 4 '
ry
?T, j,l
S’j (t) при t < 0;
Процедура идентификации объекта в ИС состоит из следующих этапов.
Э Э
1. Получение экспериментальных кривых rxx (t), ryx (t) и определение кубиче-
э э
ских сплайнов Sr (t), интерполирующих функцию r (t).
ryx ‘уХ
2. Определение параметров функций rXfn,1(t) = Ae“a|t|, rXXXXc1T’2(t) = Ae-at| cos(Ot, r-’3(t) = (A + A1 11 |)e“a|t|, при которых значение функции погрешности
T
e( t) = Z (rx=X(t) - rln’1 (t ))2 минимально.
t= t0
3. Соотнесение вида гэ (t) с одним из rX^n(t). Выбирается такой j-й вид функции rxx ,] (t), при котором достигается минимум функции погрешности rxx (t) от rxx , 1 (t).
4. Определение из гэ(t) = crX(kt) масштабного коэффициента к и постоянного множителя c.
5. Определение промежуточной взаимной корреляционной функции выходной и входной переменных r™ (t) = kryX (t / k) .
6. Определение вида ryXX(t) , близкой по форме к гЭ1Т(t) аналогично в п.3 , и соответствующих коэффициентов дифференциального уравнения объекта
ryx (t) + a1ryx (t) + a2 r'yx (t) + a3 ryx (t) = b0rXX (t) + b1rXX (t) + b2 rxx (t) .
Разработанная процедура позволяет ИСППР провести идентификацию объекта управления, т.е. определить динамические характеристики объекта и построить его математическую модель.
ЛИТЕРАТУРА
1. Основы автоматического управления / под. ред. В. С. Пугачева. — М.: Наука, 1974. — 719 с.
2. Типовые линейные модели объектов управления / С.А. Анисимов, И. С. Зайцева, Н.С. Райбман, А.А. Яралов; под ред. Н.С. Райбмана. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 264 с.
3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 355 с.
REFERENCES
1. Osnovyi avtomaticheskogo upravleniya / pod. red. V.S. Pugacheva. — M.: Nauka, 1974. — 719 s.
2. Tipovyie lineynyie modeli ob'ektov upravleniya / S.A. Anisimov, I.S. Zaytseva, N.S. Raybman, A.A. Yaralov; pod red. N.S. Raybmana. — M.: Energoatomizdat, 1983. — 264 s.
3. Zavyalov Yu.S., Kvasov B.I., Miroshnichenko V.L. Metodyi splayn-funktsiy. — M.: Nauka, 1980. — 355 s.
