Аналитическая модель автоколебаний плоского предохранительного клапана Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 532.5

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОКОЛЕБАНИЙ ПЛОСКОГО ПРЕДОХРАНИТЕЛЬНОГО КЛАПАНА

© 2010 В.Я. Свербилов1, Г.М. Макарьянц1, М.В. Макарьянц2, Д.М. Стадник1

1 Самарский государственный аэрокосмический университет 2 Федеральное государственное унитарное предприятие "Государственный научно-производственный ракетно-космический центр "ЦСКБ-Прогресс", г. Самара

Поступила в редакцию 15.12.2009

В статье представлена аналитическая модель динамики плоского предохранительного клапана. При разработке модели учитывалось влияние скорости перемещения тарели на газодинамические параметры истекающего потока. Модель позволяет определять наличие автоколебаний в клапане на этапе его проектирования.

Ключевые слова: плоский клапан, аналитическое моделирование, подъёмная сила.

Определению аэродинамической подъемной силы, действующей на тарель клапана, посвящено много работ, большая часть которых носит прикладной характер и относится к изучению динамики регуляторов давления [1, 2, 3, 4, 5].

Так как законы распределения давления в щели и на поверхности мало изучены, то аэродинамические силы определяют обычно экспериментально [1], используя в расчетах коэффициент ф подъемной силы

Ра3р =ф(Р1 - Ра )Р1 . (1)

Величина коэффициента подъемной силы ф зависит от формы тарели клапана, высоты подъема, отношения давлений до и после дросселирующего сечения, диаметра седла и т.д.

В некоторых работах [2, 5] отдельно выделяются статическая и динамическая составляющие подъемной силы в виде:

Р = Р + Р

аэр ст дин

(2)

ГДе Рдин = WFi

pW2 2

тарель клапана при малых к/ й1 < 0,1. Установлено, что давление на входе не меняется вдоль радиуса тарели и практически не отличается от давления в ёмкости.

Однако, в процессе свободного движения та-рели в потоке обтекающего её газа необходимо учитывать влияние скорости движения тарели на величину подъемной силы. В этом случае коэффициент ф подъемной силы представляет собой нелинейную функцию не только геометрических параметров и параметров режима течения, но и других переменных состояния: высоты подъема и скорости течения.

Рассмотрим свободное движение тарели клапана с учетом зависимости коэффициента подъемной силы от высоты подъема тарели.

Уравнение движения тарели клапана при отсутствии трения запишем в виде:

d2 х ( \

= 4>Fl(Pl - Pa) - \Рр0 + Jx).

dt

(3)

Коэффициент ф зависит от угла выхода потока из дросселирующей щели.

В работе [2] приводятся значения ф для клапанов различной конфигурации при изменении h/di от 0,1 до 0,4 и получена эмпирическая зависимость ф= ф(h / di). В работе [1] исследовалось действие потока воздуха на

Свербилов Виктор Яковлевич, кандидат технических наук, доцент кафедры "Автоматические системы энергетических установок". E-mail: v.sverbilov@mail.ru. Макарьянц Георгий Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры "Автоматические системы энергетических установок". E-mail: mak-georgy@yandex.ru. Макарьянц Михаил Викторович, начальник отдела. Стадник Дмитрий Михайлович, студент. E-mail: @mail.ru

Анализ свободного движения тарели проведем, используя линеаризованное уравнение при помощи формулы Тейлора, раскладывая нелинейную функцию ф по степеням малых приращений:

М8с+

J -

11ф

dx.

Fipi-Pa)

8=qFi8pi-qFafca. (4)

Переходя к относительным значениям параметров и коэффициентов, имеющих размерность времени, и принимая 8ра = 0 , получим уравнение в операторной форме:

pTjs2 +1

^ = K2pi'

где T2 =

М

J -рф/dx )Fi \pi - Pa V

K2 =

PF1

p1

J -(dp/dx )F1 - pa ) x

Переходная функция тарели клапана определяется временной характеристикой x = ), значение которой можно получить, воздействуя на тарель единичным импульсом р1 = 1(V) при нулевых начальных условиях х = хх = х = 0 . Решение уравнения (5) зависит от знака и величины постоянной времени Т2 • Случай 1.

Т2 > 0 , х = К2[1 -(cost/T2)]• (6)

В этом случае тарель будет совершать незатухающие гармонические колебания (рис. 1, кривая 2) с амплитудой К2Х и собственной частотой

= 1 = йф¥1 {р1 - ра ) 2пТ2 2п\ М йх М (7)

Как следует из формулы (7), собственная частота колебаний существенно зависит от скорости и характера нарастания подъемной силы клапана. При й//йх > 0 частота колебаний увеличивается при уменьшении массы подвижных частей и рабочего давления; при й//йх < 0 частота колебаний клапана увеличивается с ростом давления р1.

Расчеты собственной частоты колебаний клапанов, имеющих различные формы (типы) тарелей (конус, тарель, шарик и др.), показали, что использование приближенного коэффициента подъемной силы клапана приводит к ошибкам в определении собственной частоты колебаний клапана примерно в 2 раза.

Случай 2.

Т2 = 0, £ = К2Р1. (8)

В этом случае движение клапана протекало бы идеально (прямая 5). Такой клапан обладал

Рис.1. Переходные функции клапана при свободном движении: 1 - "зависание клапана", 2 - незатухающие гармонически колебания, 3 - клапан недодемп-фирован, 4 - клапан передемпфирован, 5 - идеальная характеристика

бы параметрами J — да;М — 0;(dpdx) —— да,

что практически не осуществимо.

Случай 3.

T2 < 0, х = -K2[chr/T'2)-1], где T2 = iT2. (9)

Клапан находится в неустойчивом равновесии и после нарушения равновесия двигается на расчетную высоту. Быстродействие определяется величиной T2, а зависание клапана - неравенством

J-(d^dx)Fi(pi - pa)< 0 . (10)

Это условие должно выполняться при любом значении x (рис. 1, кривая 1).

При составлении математической модели рассматриваемого взаимодействия примем следующие допущения:

- тарель, плоская пластина, обладает только одной степенью свободы - в направлении оси набегающего потока;

- жидкость - идеальный газ;

- входной импеданс отводящей присоединенной системы равен нулю ( pa = const ).

В общем случае тарель имеет собственную динамическую жесткость, которая может быть представлена механическим импедансом

Zm(S) =

_SPE

Sx

(11)

где 8Р% - изображение по Лапласу равнодействующей внешних сил, действующих на тарель в направлении оси х.

Акустические характеристики подводящей магистрали со стороны набегающего потока определяется её входным импедансом в сечении 1 -1 (рис. 2):

Zi(s) =

SPl

SG1

(12)

Сечение 1 - 1 расположено достаточно близко от пластины, чтобы можно было пренебречь гидравлическими потерями и инерционностью потока на этом участке. Площадь сечения 1 - 1 достаточно велика в сравнении с максимальной площадью дросселирующего сечения

Рис. 2. Расчётная схема истечения потока через клапан

2 — 2, то есть число Маха М1 << 1 даже при установлении критического режима течения в сечении 2 — 2 .

Для определения связи между переменными уравнений (11) и (12) используем уравнение неразрывности и изменения количества движения.

Уравнение неразрывности потока между сечениями 1 — 1 и 2 — 2 с учетом движения таре-ли имеет вид:

01 = 02 + ¥01^

(13)

Отсюда скорость потока в сечении 1 — 1: 01

У1 =

02 йх 2 ■ + ■

(14)

* = р1(р1— р">+а2(¥р+. (16)

Расход газа через дросселирующее сечение 2 — 2 выражается формулами Сен - Венана -Ванцеля:

02 =И212Р1.

2 к

ЯТ0 к — 1

к+1

/ N Ра к г \ Ра

1 Р1 1 Р1 )

при Ра >в

Р1

кр>

(17)

0 2 = М2/2Р1

при ^ <Р . Р1

к+1

к

2

ЯТ0 К к + 1

2(к—1)

(18)

вой расход, определяется конфигурацией проточной части.

В соответствии с рекомендациями в работе

[1] можно принять вКр = 0,945\ркр) при х/й < 0.25 иливкр = 0,57вкр)

х/й > 0.25 , где (вкр)с =

2 1 к—1

к +1.

для

кри-

¥р1 йг

Полагая, что скорость потока в сечении 2 — 2 направлена перпендикулярно оси х, запишем уравнение количества движения среды, ограниченной стенкой подводящего канала, сечениями 1 — 1 и 2 — 2 и плоскостью тарели:

= ¥1(Р1 — Ра) + 01(У1 — . (15)

Подставляя в последнее выражение уравнение (13) и (14), получим силу воздействия среды на тарель в виде:

тическое отношение давлений, соответствующее соплу Лаваля.

Подставляя выражение для расхода 02 в уравнение (16), получим замкнутую систему уравнений (11), (12) и (16), описывающую свободное движение тарели в потоке рабочей среды при заданных динамической жесткости таре-

ли 2м (ж) и акустической характеристики потока 21 (ж) в сечении 1 — 1.

Рассмотрим простейший вариант данной системы в сосредоточенных параметрах: тарель массой М подвешена на упругой связи, обладающей жесткостью J и линейным демпфированием В. На входе расположена пневматическая ёмкость V. Расход газа устанавливается дросселем на входе в ёмкость ¥0 со сверхкритическим перепадом давления.

Полагая, что состояние газа в ёмкости изменяется по политропическомы закону, можем записать:

С^ = 0 — 0

йг 01,

(20)

где С =

пКТ,

пневматическая ёмкость.

0

Уравнение равновесия пластины, как динамического звена с сосредоточенными параметрами М, J, В представим в виде:

М

й2х

йх

йг

2 + В—+Jx + Р0 — Рх = 0.

(21)

При сверхкритическом перепаде давления Ра/Р1 < Ркр , полагая 02 = АхР1, из соотношений (16) и (20) получим:

При малом перепаде давлений ( Ра/ Р1 > Ркр ) расход газа можно определять по более простой формуле:

02 =М2/^2ра(Р1 — Ра) . (19)

Критическое отношение давлений вКр , при котором достигается наибольший весо-

Р2=Ь>1 — Ра )¥1 — АхР1

К ¥1

х + -

йх

йг

С^ = 00 — АхР1 — ¥1р1 —. йг йг

(22)

(23)

Полученная система уравнений (21), (22) и (23) описывает свободное движение системы тарель-ёмкость с учетом изменения количества

к

2

к

движения. Её исследование с использованием МаЙаЬ/ЗтиНпк проведено ниже.

Исследование динамических процессов проводилось с использованием программного комплекса МаЫаЬ/БтуИпк. В качестве математической модели рассмотрены два варианта:

1) математическая модель с известным распределением давления по поверхности пластины (с известным коэффициентом подъемной силы, определенным экспериментально);

2) модель с неизвестной подъемной силой, построенная с учетом изменения количества движения.

В тех случаях, когда отсутствуют достаточные экспериментальные данные о величине подъемной силы, целесообразно использовать модель (рис. 3). Математическая модель подвижного блока учитывает возможность соударений клапана и седла и приведена на рис. 4.

С помощью модели исследовалось влияние демпфирования подвижного блока и гидравлического сопротивления на входном участке.

Исходные данные для расчета приведены в табл. 1.

На рис. 5 показаны графики изменения высоты подъема тарели над седлом (рис. 5а) и давления в ёмкости (рис. 5б) по времени при постоянном расходе газа. Как следует из рис. 5а,

при малом гидравлическом сопротивлении ( Я < 104 Па • С/кг ) при открытии клапана устанавливаются незатухающие колебания с амплитудой, равной величине Хо. Эти колебания сопровождаются колебаниями давления Р1 в ёмкости.

При увеличении гидравлического сопротивления на входе в клапан амплитуда колебаний уменьшается. При Я = 2 • 104 Па • с/кг колебания становятся незатухающими.

На рис. 6 показано влияние коэффициента демпфирования подвижного блока на динамические свойства системы. При отсутствии демпфирования (С = 0 ) в системе устанавливаются незатухающие автоколебания. С ростом £ колебания затухают, и процесс стабилизируются.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бугаенко В.Ф. Пневмоавтоматика ракетно-космических систем. М.: Машиностроение, 1979. 168 с.

2. Кондратьева Т.Ф. Предохранительные клапаны. Л.: Машиностроение, 1976. 232 с.

3. Дмитриев В.Н., Градецкий В.Г. Основы пневмоавтоматики. М.: Машиностроение, 1973. 360 с.

4. Цай Д.Г., Касиди Е.Ц. Динамические характеристики воздушного редуктора давления // Труды Американского общества инженеров механиков. (пер. с англ.). Серия Д. 1961. № 2. С. 57-80.

Рис. 3. Модель движения тарели с учетом изменения количества движения потока рабочей среды

Таблица 1. Исходные данные

Рис. 4. Модель механического звена системы

МЬсса м 05кг

Жёсткость пружины У 20 •103 Н\м

Плэпвць седла Ъ 0,007235м2

Усилиепружины Рпр0 2700Н

Давление перед расходам шайбой Ро 0,9МПа

Давление на выходе Ра 0,1МПа

Коэффициент расхода м 0,6

йкем

iffiEffl

« JME.D3

акс.оз

НЕЙ

юе»и

■■■■ RinaMPa'ifc] -filiiOM Р0-5*Д

-? P. hi! ■-'!!' !

i P T! : ' ■ ,

-¡Vtro : 1 rJ 1 i f i :: h „ i, 1 i-i ч. , -

If 1 ^'U'i;^ i? 1 i i .'V i... ; : ■;

il 1 1 1 ¡.ft f 1! ' 1 ! i : i ! 1 ' L ! J L

Рис. 5. Влияние гидравлического сопротивления на входном участке на динамику системы: а - на изменение высоты подъема тарели; б - на изменение давления в ёмкости

ttlLuli

«Ci«

¿760«

-PÎOW

«eût»

» i

jjS |.......£ Û.ÎS- с

; r> : . i V - À • ii

V _ t'. , ¡Vv

I ! J

DIS Oî OK ПЗ 035 Oi

Рис. 6. Влияние линейного демпфирования подвижного блока на динамику системы: а - на изменение высоты подъема тарели; б - на изменение давления в ёмкости

5. Макарьянц Г.М., Прокофьев А.Б. Математическая модель динамики системы с дозирующим предохранительным клапаном // VIII М1жнародна молод1жна

науково-практична конференцгя "Людина i Космос": Зб1рник тез. Дншропетровськ, Украина. НЦАОМУ, 2007. С. 19.

ANALYTIC DYNAMIC MODEL OF POPPET VALVE

© 2010 V.Ya. Sverbilov1, G.M. Makariyants1, M.V. Makariyants2, D.M. Stadnik1

1 Samara State Aerospace University 2 Federal State Unitary Enterprise TsSKB-Progress, Samara

An analytic dynamic model of poppet valve was presented. An influence of planes velocity on gas dynamic parameters of injection stream was focused during the model creating. A model allowed of calculating self-oscillating in poppet valve through it's design period. Keywords: poppet valve, analytic modeling, gas force

Viktor Sverbilov, Candidate of Technics, Associate Professor. E-mail: v.sverbilov@mail.ru

Georgy Makariyants, Candidate of Technics, Associate Professor. E-mail: mak-georgy@yandex.ru.ru. Mikhail Makariyants, Chief of Division. Dmitry Stadnik, Student. E-mail: @mail.ru