CC BY
26
УДК 519.683.2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ФОРМИРОВАНИЯ КООРДИНАТНЫХ БАЗИСОВ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
Г. А. Матросова, к. т. н., доцент Тел.: 424-43-66, e-mail: gm9150@gmail.com Европейский университет http://www.e-u.in.ua
The transformation model of an electronic circuit from a single base to the bases of sections, contours, and the state variables is shown by means of analytical procedures. The approach leads to the deeper understanding of particular models and systematic methods for constructing them.
Приведен обобщенный алгоритм построения модели электронной схемы из исходного базиса в базисы узлов, контуров и переменных состояния с помощью стандартных аналитических процедур. Изложенный подход представляет интерес при реализации моделей с использованием систем компьютерной алгебры. Ключевые слова: моделирование электронных схем, аналитические преобразования
Ключевые слова: моделирование электронных схем, аналитические преобразования
Keywords: simulation of electronic circuits, analytic transformation
Формирование и анализ математических моделей электронных схем, как правило, ориентировано на матричные преобразования [1]. Настоящий подход возник благодаря использованию языка программирования АНАЛИТИК для моделирования и расчета электронных схем [2, 3].
Система АНАЛИТИК была одной из первых систем компьютерной алгебры, реализованной на малых ЭВМ серии МИР в Институте Кибернетики АН УССР под руководством В.М.Глушкова. АНАЛИТИК позволяет работать с аналитическим выражением как элементом массива с буквенными коэффициентами и использовать формы равенств для преобразования выражений, в том числе исключения переменных, подстановки и приведения подобных членов.
Построение модели с использованием аналитических процедур требует перестройки алгоритмов формирования с учетом языковых средств. Для применения аналитических процедур к полной системе уравнений схемы все переменные обозначены идентификатором x, а токи от напряжений отличаются индексами:
X = {x1, x+2 ... x2} - множество переменных модели электронной схемы,
отображающих токи и напряжения в l двухполюсниках;
XI = {x1, x2 ... xi} - подмножество токов;
X2 = {xi+1, x+2 ... x2} - подмножество напряжений;
X = X1 uX2 = {xi, x2 ... xi, xi+1, xi+2 ... x2i).
Топологические законы в общем виде можно записать:
в соответствии с 1-м законом Кирхгофа F1(X1) = 0, (1)
в соответствии с 2-м законом Кирхгофа F2(X2) = 0. (2
Если для формирования топологических уравнений использовать фундаментальное дерево графа, построенного на ветвях схемы, то ветви дерева (индекс T ) являются базовыми для построения n—1 уравнений по первому закону Кирхгофа, а хорды (индекс H) - для построения i-n+1 уравнений по второму закону Кирхгофа. Базовые переменные входят в каждое свое уравнение однократно (!). Выделяя в подмножествах Х1 и Х2 переменные, принадлежащие к ветвям дерева и хордам можно записать: x1ti + fl(XlH) = 0 xi T2+f1 (Xi h) = 0
............... (3)
xiT(n-i)+fi (X1h) = 0
x2Hn + f2 (X2t) = 0
х2н(п+1) + /2 (Х2т) = О
(4)
х2н+ /2 (Х2т) = О
Зависимости между переменными подмножеств Х1 и Х2 выражаются компонентными уравнениями:
для у - ветвей: 7 = у(ы): Х1у=У(Х2у) (5)
для г - ветвей: и = \(7): Х2г=У(Х1г) (6)
Выражения (1), (2) и (5), (6) представляют собой математическую модель в полном координатном базисе, которая содержит 21 уравнений с 21 переменными.
Последующее преобразование этой системы позволяет перейти к системе независимых уравнений меньшего порядка. Так, при подстановке (5) и (6), в (1) и (2) получаем систему I уравнений с I неизвестными, среди которых напряжения у- ветвей и токи г- ветвей схемы (по классификации Сигорского - базис КВ). Если схема содержит только у - ветви, то модель на основании (3, 4) и (5) имеет вид:
У(Х2ут) + ¥1(У (Х2ун)) = О Х2ун + ¥2(Х2ут) = 0.
После исключения напряжений хорд: Х2уН = - ¥2(Х2уТ), а затем подстановки и приведе-
ния подобных членов, получаем: однородный базис напряжений сечений, в котором переменными являются напряжения Х2 у-ветвей дерева (Т):
У(Х2ут) + ¥1(У(- ¥2(Х2ут))) = 0 (7)
В случае, если напряжения ветвей фундаментального дерева соответствуют узловым напряжениям схемы, базис (7) называется узловым координатным базисом или базисом узловых напряжений.
В силу дуальности, если схема содержит только г - ветви, то модель на основании (3), (4) и (6) имеет вид:
Х1т + ¥1(Х1 н)) = О У(Х1 н) + ¥2(У(Х1 гт)) = О
После исключения токов ветвей дерева: х1 гТ = - ¥1 (Х1 гН), а затем подстановки и приведения подобных членов, получаем: базис токов хорд, в котором переменными являются токи (Х1) г-ветвей хорд (Н):
У(Х1 Н + ¥2(У(- ¥1(Х1 н))) = О. (8)
Базис (8) является однородным базисом контурных токов.
Запись выражений (7) и (8) в матричном виде позволяет сформулировать известный логический алгоритм заполнения матриц для метода узловых потенциалов и контурных токов.
Иерархия ветвей схемы при построении фундаментального дерева и порядок исключения переменных влияет на вид математической модели и состав независимых переменных. Возникающие противоречия снимаются
приведения подобных членов (3) для метода на- за счет расширения координатного базиса,
пряжений сечений (белые кружки) и контурных либо путем ввода короткозамкнутых (разомк-
токов (гемньш кружки) нутых) ветвей. Подробно все случаи рассмот-
рены в [4, 5].
Ниже приведены примеры формирования базиса сечений и базиса переменных состояния в соответствии с предложенным подходом.
Пример 1. Базис напряжений сечений.
Шаг 1: Формирование компонентных уравнений для иерархии ветвей J, 02, 03, 04, 05,
Об:
№ и тип ветви 1т 2(02) 3(03) 4(04) 5(05) 6(06)
Ток х= Х2=02* х8 х3=03* х9 х4 =04* х1О х5 =05* хи Хб=0б* хп
Напряжение Х7 Х8 х9 х1О хп х12
Шаг 2: Формирование топологических уравнений (рис.2, 3).
Рис. 2.
Токи ветвей дереваХт={х1 ,х2 ,х4} входят однократно в уравнения сечений относительно токов:
хг - х3 + хб=0 х2 - х3+ х5 + хб=0 х4 - х5 - хб=0
Напряжения хорд Хн={х9 , х11 , х12}входят однократно в уравнения хорд относительно ] пряжений:
х9 + х7 + х8=0 хп - х8 + х1О=0 х12 - х7 - х8 + хю=0
Шаг 3. Подстановка компонентных уравнений в топологические (базис КВ):
J- 03* х9 + 0б* х12=0
02* х8- 03* х9+ 05* х11+ 0б* х12=0
04* х1О- 05* х11- 0б* х12=0
х9 + х7 + х8=0
хп - х8 + х1О=0
хп - х7 - х8 + х1О=0 Шаг 4. Исключение переменных ( напряжений хорд)
х9 = - х7 - х8
хп =х8 - хю
хп =х7 + х8 - х1О
Шаг 5. Подстановка:
J- 03*(- х7- х8)+ 0б* (х7 + х8 - х1О)=0 02* х8- 03* (- х7- х8) + 05* (х8- х1О)+ 0б*(х7 + х8 - х1О)=0 04* х1О- 05* (х8- х1О)- 0б* (х7 + х8 - х1О)=0 Шаг б. Приведение подобных членов:
(03+0б)* х7 + (03+0б)* х8 -0б*х1О = ^
(03+0б)*х7 + (02+03+05+0б)*х8- (05+0б)*хю =0 -0б*х7 - (05+0б)*х8 +(04+05+0б)*х1О =0
В матричной форме:
03+0б 03+0б -0б х7
03+0б 02+03+05+0б - (05+0б) * х8 = 0
-0б -(05+0б) 04+05+0б хю 0
или У*и^,
где и - вектор узловых напряжений, У - матрица проводимости, J - вектор задающих токов.
Как видно, диагональные элементы матрицы У (собственные проводимости) равны сумме проводимостей ветвей, подходящих к каждому узлу. Остальные ячейки матрицы У (взаимные проводимости) и равны сумме отрицательных значений проводимостей ветвей, включенных между соответствующими узлами схемы.
Пример 2. Базис переменных состояния
Если в схеме (рис. 4) присутствуют реактивные компоненты С, Ь, можно построить математическую модель таким образом, что после преобра-
Рис. 4.
зований она будет содержать дифференциальные уравнения первого порядка, относительно напряжений на емкостях и токов в индуктивностях. Для рассматриваемого примера это ХСЬ = {х8
,х5}.
В таблице приведено описание компонентов и компонентные уравнения для схемы рис.4:
№ ветви Компонент Обоз- на -чение Тип Дерево (Т) Хорды (Н) Ток Напряже- ние
1 Задающий источник напряжен Е У Т хг х7 = Е
2 Емкость С У Т х2 = C*dx8/dt х8
3 Проводимость О У н х3 = О*х9 х9
4 Сопротивление Я I Т х4 х10 = Я*х4
5 Индуктивность Ь I н х5 х11 = Ь* dx5^
6 Задающий источник тока 3 I н 3 II х12
После подстановки компонентных уравнений в топологические система содержит алгебраические и дифференциальные зависимости:
х1 - О*х9+ 3=0
С*ёх8 Ш- О*х9+ х5 + 3=0
х4 - х5 - 3=0
х9 + Е+ х8=0
Ь* йх5Ш- х8 + Я*х4=0
х12- Е- х8 + Я*х4=0
Если исключить из уравнений относительно напряжений переменные Хн={х9, х12} х9 = - Е- х8 х12 = Е + х8 - Я*х4 получим:
х1 +0*Е+ 0*х8+ 3=0
С*йх8 /Л + 0*Е+ 0*х8+ х5 + 3=0
х4 - х5 - 3=0
Ь* йх5Ш- х8 + Я*х4=0
Из уравнений относительно токов исключим переменные ХТ={х1, х4}: х1 =-(О*Е+ О*х8+ 3) х4= х5 +3
После подстановки и приведения подобных членов получаем модель схемы в базисе переменных состояния:
С*йх8 Ш + 0*Е+ 0*х8+ х5 + 3=0 Ь* йх5Ш- х8 + Я*х5 + Я*3=0
или:
С*с1ПСМ Г+ 0*ПС+ 1Ь =- в*Е - 3 Ь* ё1Ь/Ж- иС + Я*1Ь =-Я*3
Последовательность исключения переменных: х9 - х12 - хг - х4 .
Выводы. Впервые в аналитическом виде показано приведение модели электронной схемы из базиса КВ к базисам сечений, контуров и переменных состояния, используя аналитические процедуры исключения переменных и приведения подобных членов. Развитие систем компьютерной алгебры позволяет реализовать изложенный подход на современных средствах программирования, что представляет интерес при использовании моделей с аналитическими коэффициентами для многовариантного анализа и решении оптимизационных задач.
Литература
1. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем. - Киев, Техника, 1970.396 с.
2. Матросова Г. А. Применение техники численно-аналитического программирования для построения математических моделей электронных схем // Тез. докл. VI Всесоюзной школы «Теория и практика программирования на ЭВМ серии МИР».- Владивосток, 1976.- С. 31.
3. Петренко А. И., Матросова Г. А. Формирование математических моделирование электронных схем с использованием аналитических преобразований. Кибернетика, 1981, № 2.- С. 60-64.
4. Матросова Г. А. Математическое моделирование электронных схем с использованием аналитических преобразований на ЭВМ: Автореф. дис. канд. техн. наук.- 1981.- 27 с.
5. Матросова Г. А. Математическое моделирование электронных схем: Учебно-методическое пособие.- Киев: Изд-во Европейского ун-та, 2001.- 46 с.
УДК 681.5.03
МУЛЬТИХРОМОСОМНАЯ ГЕНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
О. И. Лисов, ведущий научный сотрудник А. Б. Марков, начальник отделения Тел. (8495) 651-08-86, доб. 300; e-mail: markov@elins.ru ЗАО «НТЦ ЭЛИНС»
The using of multycromosom genetic model and manycritarial algorithms structure of optimizasion for automatic informatic systems are discussed.
Использование мультихромосомной генетической модели и многокретириальнох алгоритмов оптимизации для автоматизации информационных систем.
Ключевые слова: мультихромосомная генетическая модель, автоматизированная информационная система.
Keywords: multycromosom genetic model, romputer information system.
В процессе формирования мультихромосомной ГМ необходимо решить несколько вопросов: установить необходимую и достаточную сложность (количество хромосом) модели АИС, определить для каждой хромосомы характер и состав локусов, генофонд каждого локуса (множество аллелей).
Примем аксиоматический подход к формулировке теоретических положений.
Аксиома 1. Обработка информации в АИС носит стохастический характер и она рассматривается как система массового обслуживания.
Аксиома 2. Обработка информации в системе носит не прекращающийся характер.
Сформулированные положения приводят к следующему порядку установления количества хромосом в модели:
- составить граф взаимосвязи параметров подсистем АИС;
- выбрать дерево этого графа, минимизирующего функциональные связи между параметрами.
Далее необходимо:
- каждое ребро дерева графа отобразить хромосомой;
- установить количество и характер локусов;
- установить генофонд (набор аллелей) каждого локуса;
Приведенные определения и утверждения образуют необходимые и достаточные правила построения мультихромосомной ГМ.
Выполнение этих положений приводит к следующей структуре мультихромосомной модели.
Узлами графа взаимосвязи хромосом в топологии (Т) модели АИС приняты подсистемы:
- КС - каналы связи;
- ТС - технические средства;
- ПО - программное обеспечение;
- ИО - информационное обеспечение;
- ПОИ - процесс преобразования информации.
Каждый узел графа (каждая подсистема) может содержать подграф декомпозиции узла и хромосому «подграф (подсистема) - узел».
