CC BY
11
ГЕОДЕЗИЯ И МАРКШЕЙДЕРИЯ
УДК 528.063:528.236.5
Б01: 10.33764/2411-1759-2021-26-5-5-16
АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ВЫСОТ И ШИРОТ ПУНКТОВ ПО ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДИНАТАМ В ПЛОСКОСТИ МЕРИДИАННОГО ЭЛЛИПСА
Александр Викторович Елагин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, тел. (383)361-01-59, е-шай: kaf.astronomy@ssga.ru
Наталья Николаевна Кобелева
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры космической и физической геодезии, тел. (383)361-01-59, е-шай: n.n.kobeleva@mail.ru
В связи с широким применением ГНСС-технологий в геодезической практике возникает задача перехода от прямоугольных пространственных координат точек к пространственным геодезическим координатам, которые необходимы для перехода к плоским прямоугольным координатам в проекции Гаусса - Крюгера. Авторами предложены пять алгоритмов преобразования прямоугольных координат пунктов в плоскости меридианного эллипса в геодезические высоты и широты. Первые два алгоритма связаны геометрическими соотношениями точки пересечения эллипса с нормалью, проходящей через пункт, в котором были получены прямоугольные пространственные координаты. В основе формул других трех алгоритмов лежат геометрические соотношения точки пересечения меридианного эллипса с прямой, соединяющей пункт с центром кривизны меридиана. В результате экспериментов получены отклонения вычисленных широт и высот от эталонных значений заданной сетки геодезических координат. Формулы тестировались не только для пунктов под земной поверхностью и на ней, но и вне Земли на разных высотах вплоть до высоты 20 000 км.
Ключевые слова: меридианный эллипс, геодезические высоты и широты, прямоугольные координаты меридианного эллипса, нормаль, центр кривизны меридиана, алгебраические уравнения четвертой степени, радиус-вектор
Введение
В настоящее время в научной литературе и учебниках представлено более полутора десятков способов вычисления геодезических высот и широт пунктов по прямоугольным координатам [1-20]. Способы вычисления геодезических широт по пространственным прямоугольным координатам, выполненные путем использования дифференциальных поправок, описаны в [21, 22].
В данной работе экспериментально исследована точность и выполнено сравнение пяти
алгоритмов преобразования прямоугольных координат пунктов в системе координат меридианного эллипса в геодезические широты и высоты (по критериям точности и простоте формул). Известно, что формулы прямого перехода от геодезических широт и высот к прямоугольным координатам меридианного эллипса являются точными и имеют вид [2]
X = (N + Н)с08 В ; (1)
У = (N + Н - №2 В . (2)
Путем изменения широт и высот (В = 15, 30, 45, 60, 75°; Н = -1, 0, 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 20 000 км), по формулам (1) и (2) определяется сетка эталонных значений прямоугольных координат в плоскости меридианного эллипса. Решая обратную задачу перехода от прямоугольных координат к геодезическим, в зависимости от точности формул алгоритмов преобразования, будут получены различные отклонения вычисленных широт и высот от эталонных значений заданной сетки геодезических широт и высот. Ниже представлены формулы, реализованные в пяти алгоритмах.
Алгоритм 1
На рис. 1 изображена нормаль к эллипсоиду, проходящая через заданную точку.
1 /X Y
/ b /X' У % B \
/ a J
Рис. 1. Нормаль к эллипсоиду, проходящая через заданную точку
Здесь выражение (3) является уравнением нормали, а выражение (4) - уравнением эллипса.
Для решения системы уравнений требуется замена переменных. Если сделать замену переменных в выражениях (3) и (4)
X = X ; Y = Y
x y
(5)
то, в результате подстановки, осуществляется переход к алгебраическому уравнению четвертой степени
X4 - 2e2X3
f 4 X2 + Y2 2 Y2 ^ e4----+ e —
V
a
a
2 2 ~ 2 e 2 ~ e 2
x X2 + 2—X2 X--- X2 = 0,
a a
(6)
где e - квадрат первого эксцентриситет эллипсоида вращения.
В зависимости от вида подстановки, уравнения четвертой степени у разных авторов [4, 17, 20] немного отличаются от уравнения (6). По-видимому, первым предложил выполнять преобразование координат с использованием алгебраического уравнения четвертой степени H. Vermeille [20]. Для решения используется способ Феррари [23].
После определения X из решения уравнения (6), вычисляются координаты точки пересечения по формулам
В первом алгоритме из решения системы двух уравнений (3), (4) с двумя неизвестными определяется точка пересечения меридианного эллипса с нормалью, проходящей через заданный пункт:
a2 ( X - x) _ b2 (Y _ y ) = o
x y
2 2 x y = 1
2 + z.2 = 1
a b
(3)
( 4 )
X X _ e2 x = — ; y =-^
X' 7 (1 _ e2 )
(7)
Широта и высота определяются из соотношений
B = arctg
y
x (1 _ e 2 ) (1
(8)
H = X cos B + Y sin B _ N (1 _ e2 sin2 b) , (9)
где X, Y - координаты пункта; х, у - искомые
координаты точки пересечения нормали где N - радиус кривизны первого вертикала,
(уравнение (3)) и эллипса (уравнение (4)); а, для определения которого может использо-
Ь - большая и малая полуоси эллипсоида. ваться формула
x
N =
а
л/Г-ё^ш^В
(10)
х = а соб и.
А СОБ4 и + В СОБ3 и + С СОБ2 и + +Б соб и + Е = 0,
где А = а*еЧх; В = -2сае2Х3; С = -а2Х2[а2е4 -
/7 „.2^4
и0 = arctg
У
Л
Хл/Т
■е2;
= А соб4 и0 + В СОБ3 и0 +
+С СОБ 2 и0 + Б СОБ ип + Е.
Вычислив первую производную от уравнения (14)
Необходимо отметить, что формулы данного перехода являются, с одной стороны, строгими, но с другой стороны, - сложными из-за необходимости решения алгебраического уравнения четвертой степени.
Алгоритм 2
Второй алгоритм получен на основе связи координаты х точки пересечения нормали с меридианным эллипсом с приведенной широтой
dF0 / ёи0 = - (4А соб3 и0 + +3В соб2 и0 + 2С соб и0 + Б) sin и0
, (15)
получаем выражение для вычисления поправки в приведенную широту
А и = ■
- F
dF0 / dU0
(16)
Уточнив приведенную широту
и = и0 + Аи,
(17)
(11)
Подставляя это соотношение в формулы (5) и (6) , также получено алгебраическое уравнение четвертой степени
вычисляется геодезическая широта и высота по формулам
В = агС£
(12)
е2)
(18)
Л4Х2; °
-х2 - (1 - е2)У2 ]; Б =-а VX2; Е = -агX4.
Однако в этом случае легко находятся производные по приведенной широте и и можно не решать уравнение четвертого порядка, а уточнить приближенное значение приведенной широты с использованием производных. В работе уточнялась широта только по первой производной.
Вычислим приведенную широту точки пересечения с эллипсоидом радиуса-вектора пункта
Н = X соб В + У бш В - N (1 - е2 бш2 В). (19)
Достоинство формул данного алгоритма заключается в их простом виде.
Алгоритм 3
Третий алгоритм основан на использовании координат хс, ус центра кривизны меридиана в точке пересечения радиуса-вектора пункта с меридианным эллипсом (рис. 2).
(13)
и подставим ее в уравнение (12). Правая часть уравнения уже не будет равна нулю, а будет равна невязке
(14)
Рис. 2. Использование центра кривизны меридиана
х
Координаты центра кривизны определя- сторонами треугольника, образованного
ются по формулам:
Uо = arctg
Y
ХлЦ
- *2 J
xc = ae1 cos3 U0; yc = -be'2 sin3 U0.
S = J (Х - xc)2 + (Y - yc)1
B = arcsin
Y - yc Y S
тремя точками: пункт - центр кривизны меридиана - точка пересечения меридианного эллипса с радиусом-вектором пункта (рис. 3).
(20)
Вычисление расстояния по координатам от центра кривизны до пункта
(21)
позволяет получить выражения для вычисления геодезической широты и высоты
(22)
Рис. 3. Использование центра кривизны меридиана
H = Х cos B + Y sin B - N (l - e2 sin2 B). (23)
Широту можно также определить и по формуле
й I Х - Xc B = arccos I--
I S
B = arctg
sin B cos B
= arctg
Г Y + be'2 sin3 U0 ^ v Х - ae2 cos3 U0 j
Вначале вычисляется длина радиуса-вектора и геоцентрическая широта пункта и радиус вектор точки пересечения радиуса-вектора пункта с меридианным эллипсом по формулам
(24)
r =
2 .
Формулы (22) и (24) позволяют получить известную формулу Боуринга [19], которая связывает геодезическую широту с прямоугольными координатами пункта
Y
Х
Ф = arccos I — I;
Р =
a
Vi + e'2 sin2 Ф
(26)
(27)
(28)
(25)
затем определяются углы и стороны треугольника
Результаты вычисления геодезической широты по формулам (22), (24) и формуле Бо-уринга (25) являются идентичными.
Алгоритм 4
Четвертый алгоритм основан на тригонометрических соотношениях (используются теоремы синуса и косинуса) между углами и
h0 =r - р ;
B0 = arct§ jj;
0=п+ Ф-Д
0:
M = ■
a(1 - e2)
3 '
(29)
(30)
(31)
(32)
(1 - e2 sin2 B0)2
S = yjM2 + H02 - 2MH0 cos0 . (33)
Высота с достаточной для практического применения точностью определяется из разности сторон треугольника
H = S - M.
(34)
хс = ae2 cos3 U0;
= -be'2 sin3 Uо ;
k =
Y - yc
X - x„
(38)
(39)
(40)
С использованием теоремы синусов вычисляется поправка в широту, вычисленную по формуле (30), и приближенная широта Bj
AB = arcsin|H0sin0j; Bj = B0 + AB . (35)
S = yjM2 + H02 - 2MH0 cos0 . (33)
Высота с достаточной для практического применения точностью определяется из разности сторон треугольника
H = S - M.
(34)
Рис. 4. Применение центра кривизны меридиана
С использованием теоремы синусов вычисляется поправка в широту, вычисленную по формуле (30), и приближенная широта В1
AB = arcsin|H°sin0 |; Bj = B0 +AB . (35)
Далее широта уточняется по стандартным формулам
B = arccos
X
H + N
Алгоритм 5
f
Uо = arctg
Y
\
xVi
- e2;
Для определения точки пересечения нормали и меридианного эллипса с координатами необходимо решить систему двух уравнений (приближенное уравнение нормали (41) и точное уравнение меридианного эллипса (42)) с двумя неизвестными координатами х и у
(36)
Пятый алгоритм также основан на использовании координат центра кривизны меридиана xc, yc (рис. 4).
Вычисление коэффициента уравнения нормали может быть найдено из соотношений
(37)
y = kx + b ;
2 2 x y = 1
2 + l2 = 1
a b
(41)
(42)
где Ь = yc - kxc .
Подстановка уравнения (41) в уравнение (42) позволяет получить алгебраическое уравнение второй степени
Ax2 + Bx + C = 0.
(43)
где A = b2 + a2k2; B = 2a2kb ; C = a2b + a2b2.
x
Координаты точки пересечения нормали и меридианного эллипса могут быть найдены из решения алгебраического уравнения (43)
- В + л/ В 2 - 4 АС х =-
_ 2А ' (44)
у = кх + Ь.
По полученным координатам определяются геодезические высота Н и широта В1
Н = 7(X2 - х2) + (7 - у)2;
Г 7 - у ^ (45)
В1 = агс^ „
^ X - х,
Найденную геодезическую широту рекомендуется уточнить по стандартным формулам
с
В = arccos
X
Н + N )
Результаты экспериментов
(46)
Результаты экспериментов представлены в табл. 1-5. Как было упомянуто выше, точные значения прямоугольных координат пункта X и 7 в системе координат меридианного эллипса были вычислены по заданной сетке широт и высот. В представленных ниже таблицах приведены результаты решения обратной задачи перехода от прямоугольных координат к геодезическим высотам и широтам.
Таблица 1
Расхождения вычисленных геодезических высот и широт с эталонными значениями для широты В = 15°
Н, км АН, мм / АВ"10 5
Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Алгоритм 5
-1 910-7 910-7 0 0 -5 10-7
-7 10-6 210-3 3 10-6 -110-6 -2 10-5
0 0 0 0 210-6 -9 10-7
-2 10-5 -7 10-6 0 210-5 -110-5
1 -9 10-7 910-7 -9 10-7 0 -3 10-7
3 10-6 210-3 3 10-6 810-6 810-6
10 -9 10-7 -9 10-7 -9 10-7 0 -3 10-7
-3 10-6 210-1 410-4 -110-6 -110-6
100 0 -9 10-7 0 0 -3 10-7
110-6 2^0+1 3 10-2 210-4 210-4
1 000 -9 10-7 -3 10-5 0 -6 10-5 110-7
3 10-6 210+3 2 110-2 110-2
10 000 0 -3 10-2 0 -6 10-3 0
-6 10-5 410+4 2^0+1 210-2 5 10-2
20 000 410-6 -1-10-1 0 -110-2 410-6
-6 10-5 610+4 2-10+1 -110-3 3 10-2
Таблица 2
Расхождения вычисленных геодезических высот и широт с эталонными значениями для широты В = 30°
H, км Ш, мм / АВ"10 5
Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Алгоритм 5
-1 -9 10"7 0 0 -9 10"7 -110"7
-5 10-6 3 10"3 210"5 -7 10"6 210"6
0 0 0 0 0 -9 10"7
-8 10-5 -2 10"6 0 -2 10"6 710"6
1 0 910"7 0 -9 10"7 110-7
-8 10-5 3 10"3 210"5 -7 10"6 -2 10"6
10 0 0 0 0 110-6
-7 10"6 210"1 210"3 710"6 110-5
100 0 0 910"7 0 710"7
-5 10-6 2^0+1 210"1 910"4 910"4
1 000 0 -3 10"5 0 -6 10-4 -2 10"7
5 10-5 210+3 110+1 5 10-2 5 10-2
10 000 210"6 -3 10"2 0 -5 10-2 0
710"5 410+4 110+2 1-10-2 210"1
20 000 0 -110"1 0 -1-10-1 0
-2 10"4 610+4 110+2 -6-10"3 1-10-1
Таблица 3
Расхождения вычисленных геодезических высот и широт с эталонными значениями для широты В = 45°
H, км АH, мм / АВ"10 5
Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Алгоритм 5
-1 0 0 0 0 210"8
-3-10"1 710"5 3 10"5 0 0
0 0 0 0 910"7 0
-8 10-2 210"6 0 -2 10"6 0
1 -9 10"7 0 0 910"7 -7-10"7
-4 10"1 710"5 3 10"5 5 10-6 -2 10"6
10 0 910"7 0 -9 10"7 5 10-7
-2-10"1 710"3 3 10"3 710"6 110-5
100 0 0 -9 10"7 -2 10"6 -3 10"7
210"1 610"1 310"1 910"4 910"4
1 000 910"7 910"7 910"7 -110"3 210"6
810-2 410+1 2-10+1 5 10-2 5 10-2
10 000 0 -4 10"6 -2 10"6 -1-10-1 -2 10"6
-3 3 10+2 210+2 1-10-1 210"1
20 000 410"6 0 0 -2 10"1 410"6
-2 3 10+2 210+2 -6 10"3 1-10-1
Таблица 4
Расхождения вычисленных геодезических высот и широт с эталонными значениями для широты В = 60°
H, км АН, мм / АВ"10 5
Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Алгоритм 5
-1 0 0 0 910"7 -110"7
-3 10"5 -2 10"3 1 10-5 -5 10-6 -5 10-6
0 910"7 910"7 910"7 0 1 10-6
-6 10"5 0 0 -5 10-6 -5 10-6
1 910-7 0 910"7 0 1 10-6
910-6 -2 10"3 210"5 -5 10-6 0
10 910-7 210"6 210"6 910"7 210"6
5 10-6 -2 10"1 210"3 0 5 10-6
100 910"7 910"7 910"7 0 910"7
-3 10"5 2^10+1 210"1 3 10"4 3 10-4
1 000 910"7 -3 10"5 0 -6 10"4 210"6
1 10-5 -2 10+3 110+1 210"2 210"2
10 000 0 -3 10"2 0 -5 10-2 0
3 10-4 410+4 110+2 3 10"2 710"2
20 000 410"6 -110"1 710"6 -1-10"1 0
-2 10"4 -5 10+4 110+2 -2 10-3 410"2
Таблица 5
Расхождения вычисленных геодезических высот и широт с эталонными значениями для широты В = 75°
Н, км АН, мм / АВ"10 5
Алгоритм 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3 Алгоритм 4 Алгоритм 5
-1 0 -9 10"7 0 -9 10-7 3 10-7
5 10-6 -2 10"3 -5 10-6 0 0
0 0 0 0 910"7 1 10-6
0 0 -5 10-6 0 0
1 0 -9 10"7 910-7 0 610"7
-9-10"6 -2 10"3 5 10-6 0 0
10 0 0 0 -9 10-7 -4 10"7
-5 10-6 -2-10"1 410-4 0 0
100 910"7 910"7 0 -9 10-7 410"7
-2 10"5 -2^10+1 3 10-2 1 10-5 1 10-5
1 000 910"7 -3 10"5 0 -6 10-5 -110"7
-4 10"6 -2 10+3 2 910"4 910"4
10 000 -2 10"6 -3 10"2 210-6 -6 10-3 0
-9 10"6 -4 10+4 2^10+1 1 10-3 410"3
20 000 0 -110"1 3 10-6 -110"2 0
-5 10-5 -6 10+4 2^10+1 -8 10-5 210"3
Из анализа представленных результатов вычислений по пяти алгоритмам преобразования прямоугольных координат пунктов в системе координат меридианного эллипса в геодезические широты и высоты (по критериям точности и простоте формул), можно сделать следующие выводы.
1. Если важным критерием является только погрешность вычисления, то точность алгоритмов 1, 4 и 5 является приемлемой для решения почти всех практических задач геодезии до высот 20 000 км.
2. Если важно, чтобы алгоритм обладал приемлемой точностью до высот 20 000 км и формулы имели простой вид, то таким алгоритмом является алгоритм 4.
3. Алгоритмы 2 и 3 имеют простые формулы, но пригодны только для высот, не превышающих 10 км.
Заключение
В статье рассмотрены пять алгоритмов преобразования прямоугольных координат точек, заданных в системе координат мери-
дианного эллипса в геодезическую высоту и широту.
Самым строгим с точки зрения аналитической геометрии является алгоритм 1. Однако в нем требуется решить алгебраическое уравнение четвертого порядка по сложным формулам.
Алгоритм 2 также связан с уравнением четвертого порядка, но оно решается приближенным методом Ньютона, что повлияло на точность метода, и он оказался пригодным только для высот, не превышающих 10 км.
В основе алгоритмов 3, 4 и 5 лежит вычисление центра кривизны меридиана в точке пересечения радиуса-вектора заданной точки и меридианного эллипса.
Из формул алгоритма 3 выводится широко известная формула Боуринга. Результаты вычислений по алгоритму 3 и формуле Боуринга совпадают. Однако по алгоритму 3 грубо вычисляются широты для высот более 10 км. Тем не менее, использование координат центра кривизны меридиана приводит к простым алгоритмам 4 и 5, точность которых достаточна для решения почти всех задач геодезии до высот 20 000 км.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афонин К. Ф. Высшая геодезия. Системы координат и преобразования между ними : учеб.-метод. пособие. - Новосибирск : СГГА, 2011. - 66 с.
2. Телеганов Н. А., Елагин А. В. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем : учеб. пособие. - Новосибирск : СГГА, 2004. - 238 с.
3. Лапинг К. А. Вычисление координат и высот по измеренным азимутам нормальных сечений и углам наклона хорд на двух исходных пунктах // Геодезия и аэрофотосъемка. - 1962. - № 1. - С. 3-8.
4. Медведев П.А. Определение широты точки способом решения алгебраического уравнения // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1993. - № 4. - С. 66-72.
5. Медведев П. А. Исследования способов вычисления геодезической широты и высоты точек земной поверхности по прямоугольным координатам // Геодезия и аэрофотосъемка. - 2016. -№ 3. - С. 24-28.
6. Медведев П. А., Мазуров Б. Т. Алгоритмы непосредственного вычисления геодезиче-ской широты и геодезической высоты по прямоугольным координатам // Вестник СГУГиТ. - 2016. -№ 2 (34). - С. 5-13.
7. Медведев П. А., Кенжегузинова М. М. Вычисление геодезической высоты по прямоугольным пространственным координатам точек земной поверхности // Вестник Омского государственного аграрного университета. - 2016. - № 3 (23). - С. 146.
8. Медведев П. А. Математические модели преобразований пространственных координат // Геодезия и картография. - 2016. - № 3. - С. 2-7.
9. Медведев П. А., Новородская М. В., Шаров С. А. Неитеративный алгоритм вычисления геодезической широты по пространственным прямоугольным координатам // Вестник Омского государственного аграрного университета. - 2017. - № 2 (26). - С. 60-64.
10. Максимова М. В. Преобразования координат при инженерно-геодезических изысканиях // Инженерные изыскания. - 2013. - № 2. - С. 18-21.
11. Алгоритм вычисления геодезической высоты по пространственным прямоугольным координатам / В. Н. Баландин, М. Я. Брынь, С. П. Имшенецкий, А. Ю. Матвеев, А. В. Юскевич // Геодезия и картография. - 2006. - № 6. - С. 15-16.
12. Курченко Л. А.,Таран В. В., Шлапак В. В. К вопросу о преобразовании геодезических прямоугольных координат в криволинейные // Геодезия и аэрофотосъемка. - 2016. - № 3. - С. 29-33.
13. Шануров Г. А., Манилова А. Д. О перевычислении пространственных декартовых координат в геодезические // Геодезия. - 2017. - № 1. - С. 13-17.
14. Шануров Г. А., Половнев О. В., Манилова А. Д. Преобразования пространственных координат при геодезическом обеспечении работы сканирующего комплекса // Геодезия и аэрофотосъемка. -2015. - № 1. - С. 15-18.
15. Огородова Л. В. Совместное вычисление геодезической широты и высоты точек поверхности Земли // Геодезия. - 2011. - № 9. - С. 11-15.
16. Гафиатулин Х. Г., Новоселов О. Г. Решения геодезической задачи обратного преобразования плоских прямоугольных и полярных координат, определяемых системой чисел из одной сети в другую посредством проекции условно вспомогательной системы координат // Интернет-журнал Науковедение. - 2017. - № 3. - С. 1-8.
17. Полещенков В.Н. Преобразование геоцентрических декартовых координат в геодезические // Геодезия и картография. - 2011. - №2. - С.15 - 19.
18. Bowring B. R. The accuracy of geodetic latitude and height equations // Survey Review. - 1985. -Vol. 38. - Р. 200-206.
19. Bowring B. R. Transformation from spatial to geodetic coordinates // Survey Review. - 1976. -Vol. 23. - Р. 323-327.
20. Vermeille H. Direct transformation from geocentric coordinates to geodetic coordinates // Journal of Geodesy. - 2002. - № 76. - P. 451-454.
21. Афонин К. Ф., Трифонова Ю. С. Определение геодезической широты по пространственным прямоугольным координатам путем использования дифференциальной поправки // Интерэкспо ГЕОСибирь. XV Междунар. науч. конгр., 24-26 апреля 2019 г., Новосибирск : сб. материалов в 9 т. Т. 1 : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия». - Новосибирск : СГУГиТ, 2019. № 2. - С. 3-8.
22. Афонин К. Ф Использование дифференциальных поправок для вычисления геодезических широт по пространственным прямоугольным координатам координатам // Вестник СГУГиТ. - 2020. -Вып. 1 (25). - С. 7-13.
23. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - 13-е изд., исправленное. - М. : Наука, 1986. - 544 с.
Получено 23.06.2021
© А. В. Елагин, Н. Н. Кобелева, 2021
ALGORITHMS FOR CALCULATING GEODETIC HEIGHTS AND LATITUDES BY RECTANGULAR COORDINATES IN THE MERIDIAN ELLIPSE PLANE
Alexander V. Elagin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Space and Physical Geodesy, phone: (383)361-01-59, e-mail: kaf.astronomy@ssga.ru
Natalia N. Kobeleva
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Space and Physical Geodesy, phone: (383)361-01-59, e-mail: n.n.kobeleva@mail. ru
Owing to the widespread use of GNSS technologies in geodetic practice, the problem arises of transition from rectangular spatial coordinates of points to spatial geodetic coordinates, which are necessary for the transition to flat rectangular coordinates in the Gauss-Kruger projection. The authors proposed five algorithms for
converting rectangular coordinates of points in the plane of the meridian ellipse into geodetic heights and latitudes. The first two algorithms are geometrically related to the intersection point of the ellipse with the normal passing through the point at which the rectangular spatial coordinates were obtained. The formulas of the other three algorithms are based on the geometric relationships of the point of intersection of the meridian ellipse with the straight line connecting the point with the center of curvature of the meridian. As a result of the experiments, deviations of the calculated latitudes and heights from the reference values of the given grid of geodetic coordinates were obtained. The formulas were tested not only for points under and on the earth's surface, but also outside the earth at different heights up to an altitude of 20,000 km.
Keywords: meridian ellipse, geodesic heights and latitudes, rectangular coordinates of the meridian ellipse, normal, center of curvature of the meridian, algebraic equations of the fourth degree, radius vector
REFERENCES
1. Afonin, K. F. (2011). Vysshaya geodeziya. Sistemy koordinat i preobrazovaniya mezhdu nimi [Higher Surveying. Coordinate systems and transformations between them]. Novosibirsk: SSGA Publ., 66 p. [in Russian].
2. Teleganov, N. A., & Elagin, A. V. (2004). Vysshaya geodeziya i osnovy koordinatno-vremennykh system [Higher geodesy and the basics of coordinate-time systems]. Novosibirsk: SSGA Publ., 238 p. [in Russian].
3. Laping, K. A. (1962). Calculation of coordinates and heights from the measured azimuths of normal sections and the angles of inclination of the chords at two starting points. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aero-fotos"emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 1, 3-8 [in Russian].
4. Medvedev, P. A. (1993). Determining the latitude of a point by solving an algebraic equationBHeHHa
Izvestiya vuzov. Geodeziya i aerofotos "emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 4, 66-72 [in Russian].
5. Medvedev, P. A. (2016). Research on methods for calculating the geodetic latitude and height of points on the earth's surface in rectangular coordinates. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 3, 24-28 [in Russian].
6. Medvedev, P. A., & Mazurov, B. T. (2016). Algorithms for the direct calculation of geo-desic latitude and geodesic height from rectangular coordinates. VestnikSGUGiT[VestnikSSUGT], 3(34), 5-13 [in Russian].
7. Medvedev P. A., & Kenzheguzinova M. M. (2016). Calculation of the geodetic height from the rectangular spatial coordinates of the points on the earth's surface. Vestnik Omskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta [Bulletin of the Omsk State Agrarian University], 3(23), p. 146.
8. Medvedev, P. A. (2016). Mathematical models of transformations of spatial coordinates. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 3, 2-7 [in Russian].
9. Medvedev, P. A., Novorodskaya, M. V., & Sharov, S. A. (2017). Non-iterative algorithm for calculating geodetic latitude using spatial rectangular coordinates. Vestnik Omskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta [Bulletin of the Omsk State Agrarian University], 2(26), 60-64.
10. Maksimova, M. V. (2013). Century Transformations of coordinates in engineering and geodetic surveys. Inzhenernye izyskaniya [Engineering Surveys], 2, 18-21 [in Russian].
11. Balandin, V. N., & Bryn, M. Ya., Imshenetskiy, S. P., Matveev, A. Yu., & Yuskevich, A. V. (2006). Algorithm for calculating the geodetic height from spatial rectangular coordinates. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 6, 15-16 [in Russian].
12. Kurchenko, L. A., Taran, V. V., & Shlapak, V. V. (2016). On the question of the trans-formation of geodesic rectangular coordinates into curved. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 3, 29-33 [in Russian].
13. Shanurov G. A., Manilova A. D. (2017). On the recalculation of spatial Cartesian coordi-nates into geodesics. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 1, 13-17 [in Russian].
14. Shanurov, G. A., Polovnev, O. V., & Manilova, A. D. (2015). Transformations of spatial coordinates during geodetic support of the scanning complex. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 1, 15-18 [in Russian].
15. Ogorodova, L. V. (2011). Joint calculation of the geodetic latitude and height of points on the surface of the earth. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aerofotos "emka [Izvestiya vuzov. Geodesy and Aerophotosurveying], 9, 11-15 [in Russian].
BecmHUK CrvruT, TOM 26, № 5, 2021
16. Gafiatulin, Kh. G., & Novoselov, O. G. (2017). Solutions of the geodesic problem of the inverse transformation of plane rectangular and polar coordinates, determined by a system of num-bers from one network to another through the projection of a conditionally auxiliary coordinate sys-tem. Internet-zhurnal Nau-kovedenie [Internet Journal of Science], 3, 1-8 [in Russian].
17. Poleshenkov, V. N. (2011). Converting geocentric cartesian coordinates to geodetic coordinates. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 2, 15-19 [in Russian].
18. Bowring, B. R. (1985). The accuracy of geodetic latitude and height equations. Survey Review, 38, 200-206.
19. Bowring, B. R. (1976). Transformation from spatial to geodetic coordinates. Survey Review, 23, 323-327.
20. Vermeille H. (2002). Direct transformation from geocentric coordinates to geodetic coordinates. Journal of Geodesy, 76, 451-454.
21. Afonin, K. F., & Trifonova, Yu. S. (2019). Determination of geodetic latitude by spatial rectangular coordinates using differential correction. In Sbornik materialov Interekspo GE0-Sibir'-2019: Mezhdunarod-noy nauchnoy konferentsii: T. 1, No. 2. Geodeziya, geoinformatika, kartografiya i marksheyderiya [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2019: International Scientific Conference: Vol. 1, No. 2. Surveying, Geoinfor-matics, Cartography and Mine Surveying] (pp. 3-8). Novosibirsk: SSUGT Publ. [in Russian].
22. Afonin, K. F. (2020). Using differential corrections to calculate geodetic latitudes from spatial rectangular coordinates. VestnikSGUGiT[VestnikSSUGT], 25(1), 7-13 [in Russian].
23. Bronshtein, I. N., & Semendyaev, K. A. (1986). Spravochnik po matematike dlja inzhenerov i uchashhihsja vuzov [A guide to mathematics for engineers and college students] (13th ed.). Moscow: Nauka Publ., 544 p. [in Russian].
Received 23.06.2021
© A. V. Elagin, N. N. Kobeleva, 2021
