CC BY
64
DOI 10.36622/^Ти.2021.17.6.006 УДК 629.7.05: 004.8
АЛГОРИТМЫ ВЫБОРА НАВИГАЦИОННЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ПРИ РЕШЕНИИ НАВИГАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
В.О. Жилинский1,2, Л.Г. Гагарина1
Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники»,
г. Москва, Россия
2Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических
измерений, г.п. Менделеево, Россия
Аннотация: проведен обзор методов и алгоритмов формирования рабочего созвездия навигационных космических аппаратов при решении задач определения местоположения потребителя ГНСС. Появление новых орбитальных группировок и развитие прошлых поколений глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) способствует увеличению как количества навигационных аппаратов, так и навигационных радиосигналов, излучаемых каждым спутником, в связи с чем решение проблемы выбора навигационных аппаратов является важной составляющей навигационной задачи. Рассмотрены исследования, посвященные типовым алгоритмам формирования рабочего созвездия, а также современным алгоритмам, построенным с привлечением элементов теории машинного обучения. Представлена связь ошибок определения координат потребителя, погрешностей определения псевдодальностей и пространственного расположения навигационных аппаратов и потребителя. Среди рассмотренных алгоритмов выделены три направления исследований: 1) нацеленных на поиск оптимального рабочего созвездия, обеспечивающего минимальную оценку выбранного геометрического фактора снижения точности; 2) нацеленных на поиск квазиоптимальных рабочих созвездий с целью уменьшения вычислительной сложности алгоритма ввиду большого количества видимых спутников; 3) позволяющих одновременно работать в совмещенном режиме по нескольким ГНСС. Приводятся особенности реализаций алгоритмов, их преимущества и недостатки. В заключении приведены рекомендации по изменению подхода к оценке эффективности алгоритмов, а также делается вывод о необходимости учета как геометрического расположения космических аппаратов, так и погрешности определения псевдодальности при выборе космического аппарата в рабочее созвездие
Ключевые слова: навигационная задача, выбор навигационных космических аппаратов, ГЛОНАСС, рабочее созвездие
Благодарности: исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 2037-90016
Введение
История развития глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС) началась во второй половине 20-го века и продолжается уже на протяжении более 50 лет. Системы спутниковой навигации, создаваемые преимущественно в военных целях, в настоящее время имеют множество областей гражданского применения и играют огромную роль в социально-экономической сфере. Наиболее актуальным применение ГНСС в России остается в транспортной области, включая наземный, воздушный и морской транспорт, а также в сельском хозяйстве [1]. В настоящее время помимо двух глобальных систем навигации GPS и ГЛОНАСС заканчивается развертывание орбитальных группировок китайской системы Bei-dou 3-го поколения и европейской системы Galileo. Таким образом, принимая во внимание ре-
гиональные системы навигации QZSS и IRNSS, общее количество навигационных космических аппаратов (НКА), находящихся на орбитах, достигает 120 единиц. В соответствии с маской угла возвышения НКА и окружающей обстановкой, в зоне радиовидимости навигационной аппаратурой потребителя (НАП) ГНСС будет находиться 40-50 НКА различных систем. В зависимости от класса НАП, потребителю часто доступно лишь ограниченное число принимаемых навигационных систем или количество каналов для отслеживания НКА, а также существуют ситуации, когда НАП не может обработать сигналы всех принимаемых НКА, например, ввиду ограниченной пропускной способности интернет-соединения для применения дифференциальных поправок [2, 3]. В связи с этим возникают задачи выбора НКА в рабочее созвездие.
© Жилинский В.О., Гагарина Л.Г., 2021
Общий подход к выбору НКА
Основным содержанием задачи навигаци-онно-временного определения (НВО) является нахождение вектора состояния потребителя -его пространственных координат и поправки к шкале времени потребителя [4]. Наличие измерений псевдодальностей до четырех НКА является минимальным условием для определения вектора потребителя псевдодальномерным методом, однако в общем случае необходимо найти решение переопределенной системы уравнений У = СХ + £, например, методом наименьших квадратов [5].
Решение системы уравнений методом МНК можно представить в следующем виде:
X = (СтС)-гСтУ, (1)
где X - вектор оцениваемых параметров;
G - матрица направляющих косинусов на НКА;
У - вектор разности измеренных и рассчитанных псевдодальностей.
Тогда ковариационная матрица ошибок определения вектора состояния потребителя рассчитывается согласно формуле:
рх = (Ст С)-1 СГРУС(СТС)-1, (2) где Ру - ковариационная матрица ошибок определения псевдодальностей.
Обычно предполагается, что измерения некореллированы и равновелики (т.е. Ру = о2!), и тогда (2) принимает вид:
Рх = о*(СтСГ\
(3)
где Oy - дисперсия погрешности оценки псевдодальности.
Из 2 (3) следует, что погрешность определения координат местоположения потребителя ГНСС зависит от пространственного положения НКА и потребителя. На основе этого для оценки взаимного влияния положения потребителя и НКА вводятся факторы (коэффициенты) снижения точности определения вектора состояния потребителя (DOP - dilution of precision) [6].
Различают несколько типов факторов снижения точности:
- PDOP (Position DOP) - фактор снижения точности определения пространственного положения;
- HDOP (Horizontal DOP) - фактор снижения точности определения плановых координат;
- VDOP (Vertical DOP) - фактор снижения точности определения высоты;
определенную следу-
Qx = (GTG)
-i _
Чху Чуу 4yz 4yt
4xz 4yz 4zz 4zt
4xz 4yt 4zt
4tt
(5)
- TDOP (Time DOP) - фактор снижения точности определения времени;
- GDOP (Geometrical DOP) - фактор снижения точности положения и времени (геометрический фактор).
Таким образом, СКО погрешности определения координат и времени потребителя определяется выражением:
ах = oyGDOP, (4)
где GDOP = Vtr((GTG)~1 ), tr() - означает след матрицы.
Введем матрицу Qx, ющим образом:
Чхх Чху 4xz _4xz
Тогда с учетом (5) формулы расчета основных факторов снижения точности определяются как:
PDOP = ^qxx + qyy + qzz. (6)
TDOP = V^. (7)
GDOP = Jqxx + qyy + qzz + qtt. (8)
Проблемой решения задачи выбора рабочего созвездия НКА занимались еще при развертывании орбитальных группировок первых поколений ГНСС. На тот момент вопрос стоял остро из-за слишком малого количества каналов сопровождения сигналов НКА - отслеживать космические аппараты сразу нескольких систем спутниковой навигации в то время могли лишь профессиональные образцы НАП. В них были реализованы простые алгоритмы выбора НКА поскольку рассчитывались на работу с навигационной аппаратурой с малым количеством каналов - оптимальное рабочее созвездие должно состоять из четырех навигационных аппаратов и гарантировать минимальное значение геометрического фактора, например, (6) или (8).
Развитие систем спутниковой навигации, появление новых поколений ГНСС и развертывание орбитальных группировок систем Galileo и Beidou способствовало продолжению работ над решением задачи выбора НКА в рабочее созвездие - появились алгоритмы, учитывающие возможности НАП по совместной обработке сигналов нескольких ГНСС, а также алгоритмы поиска квазиоптимальных решений с целью снижения вычислительной сложности.
Обзор ключевых алгоритмов выбора НКА
Рассмотрим далее модифицированные алгоритмы выбора НКА для малоканальных приемников и современные алгоритмы, позволяющие использовать сигналы большого количества НКА, а также работать в режиме совместного решения по нескольким ГНСС.
Самым простым и эффективным с точки зрения точности расчета геометрического фактора является полный перебор всевозможных конфигураций НКА [8]. Выбор k навигационных спутников из п видимых состоит из следующих шагов:
- формирования всех комбинаций из k НКА, таким образом общее число конфигураций - С£ = п!/(£!(п-£)!);
- вычисление геометрического фактора GDOP для каждой сформированной конфигурации;
- определение минимального значения GDOP.
Единственным достоинством алгоритма является однозначное определение минимального значения геометрического фактора. К недостаткам можно отнести высокую вычислительную сложность алгоритма, экспоненциально возрастающую при увеличении количества НКА в зоне радиовидимости.
Следующим по простоте реализации является алгоритм выбора НКА, основывающийся на угле возвышения навигационного спутника [7]. Он показывает низкую вычислительную сложность и время, а также может обеспечивать неплохие значения GDOP при условии использования НКА орбитальной группировки только одной системы навигации, поскольку включение в рабочее созвездие космических аппаратов разных орбитальных группировок увеличивает вероятность, что все выбранные навигационные спутники будут находиться вблизи зенита.
Для уменьшения трудоемкости вычисления геометрического фактора исследовались возможные варианты определения взаимного влияния геометрии созвездия и местоположения потребителя, не включающие большое количество операций умножения и инвертирования матриц, в частности, изучалась зависимость геометрического фактора и объема тетраэдра при нахождении потребителя в его центре [6].
Существует класс алгоритмов формирования рабочего созвездия, которые основываются
на максимизации объема тетраэдра [9-12]. Один из таких алгоритмов [9], использующий в расчетах модифицированную матрицу направляющих косинусов в топоцентрической (локальной) системе координат, состоит из следующих шагов:
1. Сначала выбирается первый НКА (S^ с самым большим углом возвышения.
2. Затем выбирается второй НКА (S2), таким образом, что направляющие векторы выбранных спутников образуют угол 9, приблизительно равный 109.5 градусам.
3. Далее выбирается третий спутник (S3) так, чтобы максимизировать объем V:
У = (9)
где /¿,m¿,n¿ - координаты единичных векторов.
l2 = cos в1,2, т2 = sin 0lj2, /3 = cos 013, т3 = cos в2,3/т2, л-з = 02,з.
4. Четвертый спутник (S4) выбирается таким образом, чтобы обеспечить максимальный объем тетраэдра, образованного S1, S2, S3, S4:
y = V6(S), (10)
где S - вектор, содержащий направляющие векторы на НКА (S1, S2, S3, S4).
Описанный алгоритм имеет невысокую вычислительную сложность и позволяет рассчитать значения GDOP, близкие к минимальным, но имеет существенный недостаток в виде использования лишь четырех НКА. В общем случае для решения навигационной задачи четырех НКА достаточно, но для обеспечения надежности и точности вычислений НВО, а также для работы алгоритмов контроля целостности навигационных сигналов необходимо большее число измерений.
В работе [13] представлен четырехшаго-вый алгоритм выбора НКА, основанный на максимизации объема правильного тетраэдра, который имеет меньшую вычислительную сложность. Выбор четырех НКА производится следующим образом: сначала выбирается первый НКА с наибольшим углом возвышения; затем выбирается второй НКА так, чтобы угол между выбранными НКА был максимальным; в качестве третьего НКА выбирается тот, который имеет наименьший угол до остальных опорных вершин, не включая выбранные НКА; четвертый НКА выбирается таким образом, чтобы доставить минимум GDOP (производится локальный перебор GDOP среди оставшихся НКА). Представленный алгоритм ограничен лишь четырьмя НКА, также алгоритму может потребоваться достаточно много времени для
расчета из-за последнего шага, где производится перебор GDOP.
В исследовании [14] был предложен рекурсивный метод выбора НКА. Он позволяет выбрать подмножество из k НКА среди n видимых, не накладывая ограничения на k. Метод использует «Алгоритм R» (алгоритм «двери-вертушки», revolving-door) для генерации подмножеств рабочих созвездий НКА путем удаления навигационного аппарата из предыдущего рабочего созвездия и добавления нового НКА, а также лемму об обращении матрицы для уменьшения вычислительной сложности при расчете геометрического фактора. Рекурсивный метод показывает неплохие результаты при малом k, однако не способен значительно снизить вычислительную сложность при использовании сигналов большого количества НКА.
Квазиоптимальный алгоритм представлен в [15]. В работе вводится мера «избыточности», которая основана на коллинеарности направляющих на НКА векторов. В первую очередь алгоритм рассчитывает коэффициент избыточности для каждого видимого спутника. Затем из рабочего созвездия исключается НКА с наибольшим коэффициентом избыточности. Этот процесс продолжается до тех пор, пока количество спутников в рабочем созвездии не станет равным заданному пользователем количеству. Алгоритм был разработан в первую очередь для космических аппаратов, находящихся на низкой околоземной орбите, что позволяет в большинстве случаев наблюдать НКА с малым углом возвышения. Алгоритм позволяет существенно снизить вычислительную сложность, но часто формирует неоптимальные созвездия.
Быстрый алгоритм выбора НКА [16] предлагает вычислять значения GDOP как функцию, зависящую от общего количества спутников k в рабочем созвездии и от количества спутников в зените p. На первом шаге алгоритма вычисляются углы азимута и возвышения и сортируются в порядке возрастания. Затем из предопределенной таблицы в зависимости от общего числа НКА в рабочем созвездии выбирается требуемое число (p) НКА в зените Sb ..., Sp, которые добавляются в рабочее созвездие. После этого добавляется спутник Sp+i с наименьшим углом возвышения. Следующим шагом производится распределение оставшихся НКА в (k-p-1) групп в зависимости от угла возвышения. Затем по одному спутнику из каждой группы добавляется в рабочее созвездие. Таким
образом формируется (^р-1) рабочих созвездий, для которых рассчитывается геометрический фактор. Среди всех рабочих созвездий определяется одно с минимальным GDOP, которое становится текущим рабочим созвездием. В ряде случаев алгоритм может приводить к неудачным конфигурациям с большими значениями геометрического фактора. Также сложность алгоритма возрастает при увеличении количества используемых НКА.
В [17] был разработан алгоритм выбора НКА как комбинация двух алгоритмов, [9] и [15]. Алгоритм позволяет выбирать небольшое число НКА в рабочее созвездие при сохранении приемлемой точности НВО. Первые четыре спутника выбираются согласно алгоритму [9] и добавляются в текущее рабочее созвездие. Дальнейшие НКА добавляются в соответствии с [15] следующим образом: для каждого невыбранного НКА рассчитывается его коэффициент избыточности как сумма косинуса двойного угла между соответствующими парами спутников; среди рассчитанных коэффициентов выбирается НКА с минимальным значением и добавляется в рабочее созвездие; этот процесс останавливается при достижении установленного пользователем количества НКА в рабочем созвездии. Алгоритм позволяет уменьшить время выбора НКА, за счёт снижении точности НВО.
Работа [18] посвящена исследованию влияния многолучевого распространения сигналов ГНСС на точность НВО. Для этого авторы обработали измерения текущих навигационных параметров для двух сценариев типичной городской застройки: 1) полученные с привлечением GNSS-имитатора, 2) полученные по сигналам реального навигационного поля. Анализ результатов измерений выявил зависимость периода изменения отношения сигнал/шум (SNR) от скорости изменения угла возвышения НКА, а также высоты его орбиты. Предложенный алгоритм основывается на использовании выявленной зависимости периодичности SNR и состоит из следующих шагов: 1) сначала исключаются спутники, которые не соответствуют установленной маске угла возвышения; 2) далее задается длительность интервала оценки и пороговое значение для СКО оценки SNR; 3) затем производится выбор: при превышении на заданном интервале СКО порогового значения, НКА не включается в рабочее созвездие, в ином случае - включается; 4) после этого каждому спутнику назначается вес в соответствии с его углом возвышения. Представленный ал-
горитм не может найти оптимальное созвездие НКА, хотя способен немного снизить вычислительную сложность, однако в первую очередь позволяет уменьшить влияние многолучевости.
Интересное исследование приведено в работе [19], где изучаются связи между углом возвышения навигационного спутника, геометрическим фактором и эквивалентной ошибкой измерения дальности (UERE). Авторы вводят ошибку оценки позиционирования (PEE) для одновременного учета влияния GDOP и UERE, которая зависит от угла возвышения НКА. т = (GTG)~1GTUERE = [тх ту mz mt]T (11)
PEE = J:m2x + m2y + mi (12)
Основная идея алгоритма выбора НКА заключается в подборе угла возвышения таким образом, чтобы минимизировать PEE. Авторы отмечают, что зависимость PEE от угла возвышения НКА является кусочной функцией, т.е. значение PEE остается неизменным для небольших интервалов углов возвышения, и предлагают упрощенный алгоритм, который состоит из следующих шагов:
1. Пользователь определяет маску угла возвышения и процент используемых спутников из числа видимых. Навигационные аппараты, с углом возвышения ниже заданного, исключаются.
2. Если число оставшихся спутников больше числа необходимых в решении, они распределяются в три интервала в соответствии с углом возвышения - < 45°; 45°-70°; 70°-90°.
3. Для НКА, попадающих в первый интервал, производится попарное сравнение углов возвышения и выбираются НКА, с наибольшей разностью углов. Из второго интервала выбираются НКА с наименьшей разностью углов возвышения и меньшим значением UERE. Из третьего интервала в рабочее созвездие включаются все спутники.
4. Производится проверка, что общее количество НКА не превышает заданного, лишние спутники удаляются и формируется итоговое рабочее созвездие.
К недостаткам работы алгоритма можно отнести необходимость проведения дополнительной процедуры определения порогового значения угла возвышения и ручной ввод пользователем процента используемых спутников среди видимых. Результаты апробации показали способность алгоритма снизить ошибку определения координат потребителя за счет одновременного учета как пространственного
положения навигационных аппаратов, так и эквивалентной ошибки определения псевдодальности.
Статья [20] посвящена построению алгоритма выбора НКА, основанного на исследовании изменения конфигурации рабочего созвездия во времени и оценке минимального значения геометрического фактора. В своей работе авторы исследовали как меняется состав НКА рабочего созвездия из семи НКА в течение суток и обнаружили, что оптимальное рабочее созвездие на протяжении некоторого интервала остается неизменным, а его состав обычно меняется в количестве 1-2 НКА. Таким образом получается, что 95% времени рабочее созвездие состоит из тех же НКА, что и на предыдущую эпоху (88%), либо отличается одним спутником (7%) - с малым углом возвышения, который только появляется в зоне радиовидимости, либо практически покидающий её. Оставшиеся 5% времени наблюдается ситуация, когда происходит смена двух или трёх НКА. На основании изложенного авторы предлагают три алгоритма.
Алгоритм № 1 состоит из двух этапов, в зависимости от количества спутников, находящихся в зоне видимости на прошлую эпоху.
1. N - общее количество видимых спутников, все т НКА с прошлой эпохи в зоне радиовидимости:
a. Перерасчет геометрического фактора для выбранных спутников с прошлой эпохи.
b. Каждый НКА исключается из рабочего созвездия и заменяется на каждый из оставшихся видимых (п-т) спутников, и рассчитывается GDOP.
c. Среди всех рассчитанных GDOP выбирается комбинация космических аппаратов с минимальным значением.
2. Если в зоне радиовидимости не наблюдаются прошлые р НКА (0<р<=т):
a. Рассчитать GDOP для комбинаций, где р НКА заменены неиспользуемыми НКА.
b. Комбинации космических аппаратов с минимальным значением GDOP добавляются к множеству рабочих созвездий.
c. Для каждого НКА в добавленном рабочем созвездии рассчитывается GDOP комбинации, если произвести в нем замену одного НКА среди неиспользуемых (п-т-р).
d. Среди GDOP для рассчитанных комбинаций спутников выбирается созвездие с минимальным значением.
Предполагалось, что алгоритм сможет отслеживать оптимальное рабочее созвездие 95% времени, но необходимость подстройки при смене НКА занимает несколько эпох. В связи с этим авторы модифицировали алгоритм - в шагах 1.Ь) и 2.с) используются пары спутников. Третий вариант алгоритма подразумевает введение дополнительного шага, где формируются комбинации НКА в предположении замены одного НКА среди оставшихся видимых. Все три алгоритма позволяют значительно снизить время поиска текущего рабочего созвездия, но проигрывают по определению минимального значения геометрического фактора, при сравнении с алгоритмом полного перебора.
В работе [21] исследуется возможность выбора НКА в условиях городской застройки при затенении радиовидимости навигационных аппаратов. Предложенный авторами алгоритм последовательного обновления рабочего созвездия основывается на идее поочередного добавления нового НКА и применении формулы Шермана-Моррисона для быстрого вычисления обратной матрицы. Алгоритм состоит из следующих шагов.
1. Среди п видимых НКА либо случайным образом, либо в соответствии с их уровнем сигнал/шум, выбираются четыре спутника. Если число видимых НКА одной ГНСС менее четырех, в рабочее созвездие добавляются космические аппараты другой системы навигации (с учетом минимально необходимого числа НКА при одновременной работе нескольких ГНСС).
2. Оставшиеся (п-т) видимые спутники добавляются в текущее рабочее созвездие, размером (т+1), которые формируют множество новых рабочих созвездий.
3. Затем рассчитывается параметр GDOP для каждого добавленного на шаге 2 созвездия. После этого определяется рабочее созвездие с минимальным значением GDOP, которое становится текущим рабочим.
4. Шаги 2-4 повторяются до тех пор, пока не будет сформировано созвездие, размером М, который задается пользователем.
Тестирование работы описанного алгоритма для различных вариантов препятствий на пути распространения ГНСС сигналов показало его способность к формированию рабочего созвездия с гораздо меньшим значением геометрического фактора по сравнению со значением геометрического фактора для созвездий, построенных типовыми алгоритмами выбора НКА, которые не учитывают наличие препятствий.
Работа [22] вводит расширенный коэффициент снижения точности для использования в режиме работы по сигналам нескольких систем спутниковой навигации - MWDOP (Multi-GNSS Weighted DOP), определяемый следующим образом:
MWDOP = (GT^VXWG)-1GT, (13) W1S 0 - 0 -
0 W2S - 0 MW = : :2 ч : , (14)
.0 0 -
где N - количество ГНСС, Pf - ковариационная матрица ошибок определения псевдодальностей i-й ГНСС, oUERE - СКО эквивалентной ошибкой измерения дальности.
Ковариационная матрица ошибок определения псевдодальностей зависит от угла возвышения НКА и имеет следующий вид:
P'i = {°ЬЕПЕ + /(0))S = + /(б)Г (15)
где в - угол возвышения НКА, f(9) - гауссова функция ошибки определения псевдодальности, зависящая от угла в.
Таким образом, расширенный коэффициент снижения точности MWDOP учитывает ошибки определения псевдодальности в зависимости от угла возвышения НКА и типа ГНСС. Коэффициенты гауссовой функции подобраны авторами на основе суточных данных измерений для четырех типов ГНСС: GPS, ГЛОНАСС, Galileo, Beidou. Сам алгоритм выбора НКА строится на показателе «чувствительности», который определяется как отношение разности между коэффициентом MWDOP, рассчитанного для рабочего созвездия после исключения нескольких НКА, и MWDOP для всех видимых НКА, к коэффициенту MWDOP для всех видимых НКА. Алгоритм способен снизить погрешность определения координат в плане (горизонтальную ошибку), но опирается только на зависимость от угла возвышения, что не всегда позволяет получать оптимальные результаты.
Статья [24] посвящена оценке минимально достижимого значения геометрического фактора. В ранней работе этих авторов [23] данная оценка была представлена как функция, зависящая только от количества видимых НКА, а получаемая оценка была гораздо больше действительной. В новом исследовании авторы получили более точную оценку, используя уг-
лы возвышения НКА и элементы матрицы Q в локальной системе координат (16), имеющей вид:
" е1 п1 щ 1' е2 п2 и2 1
QENU =
(16)
Чп "тп
Оценка минимально достижимого значения геометрического фактора определяется следующим выражением:
В(т, в, й.т) = I——+
(17)
доставляющий минимум
1 ик
2.
£ =
СИОР > В(т,е,с1т),
где т - количество НКА в рабочем созвездии, йт - параметр йт, оценке В{т,е,ё.т); йт = —
Результаты экспериментов показали, что минимальное значение геометрического фактора в худшем случае не превышает 10 % от действительного. Представленная оценка позволяет контролировать процесс формирования рабочего созвездия, в том числе реализуемого методом полного перебора. Так, для текущего рабочего созвездия сначала рассчитывается оценка В, затем производится перебор НКА, и если одно из найденных значений GDOP незначительно отличается от оценки В, то дальнейший перебор комбинаций нецелесообразен.
Обзор эвристических алгоритмов выбора НКА
Отдельно стоит выделить группу алгоритмов выбора НКА, основанных на эвристическом подходе. Хотя первые попытки его применения были предприняты достаточно давно [25], активное его развитие наблюдалось лишь последнее десятилетие. В основном в этих работах поиск рабочего созвездия представляется как задача комбинаторной оптимизации, а акцент в алгоритмах делается на аппроксимацию геометрического фактора и поиска минимума различными видами эвристических алгоритмов.
В статье [26] приводится исследование применения в задаче выбора НКА в рабочее созвездие трех типов эволюционных алгоритмов - генетического алгоритма, метода имитации отжига и метода роя частиц. Основная идея работы основывается на представлении геомет-
рического фактора через собственные числа А; матрицы Qx (6):
(}х = ^А^+А^ + ^ + К1 (18)
и дальнейшей аппроксимации при помощи выражений (19) - (22):
х1 = Л1+Л2+Л3+Л4 = £г(СтС) (19) х2=л1+л22+л23+л1 = £г((СтС)2), (20) х3 = Л\ + Л32 + Я! + Л| = £г((стс)3), (21) х4 = ЛгЛ2Л3Л4 = (22)
Во всех алгоритмах используемая одинаковая функция приспособленности - сумма
квадратов отклонений, которая имеет следующий вид: 7)
где - прогнозируемое значение.
В генетическом алгоритме множество рабочих созвездий представляется битовой строкой, размер которой равен количеству видимых спутников, а значения принимают: 1, если НКА включен в рабочее созвездие, и 0, если не включен. Одно рабочее созвездие представляет одну особь в популяции. Поиск оптимального рабочего созвездия осуществляется применением механизмов селекции, скрещивания и мутации. Поиск решения останавливается при достижении установленного числа смены поколений.
В алгоритме имитации отжига в качестве целевой функции также выступает функция приспосабливаемости, а функция изменения температуры (Т) с течением времени (к) имеет вид:
Т(к-1)
Т(к) =
1-Б
(24)
где 5 - скорость охлаждения.
В методе роя частиц рабочее созвездие представлено одной частицей, которая имеет координаты и скорость. Для каждого последующего поколения частиц вычисляются их новые координаты и скорость, и определяется частица, которая находит более выгодное положение в пространстве поиска, а все частицы роя перемещаются в её сторону.
Моделирование работы алгоритмов по результатам 400 тестов показало, что СКО разности рассчитанного значения геометрического фактора методом полного перебора и одним из трёх алгоритмов составляет 1.18, 1.19 и 1.12 соответственно. Данные алгоритмы позволяют получить приближенные оценки геометрического фактора, однако представленные в работе результаты основаны на измерениях, полученных с применением имитатора сигналов ГНСС, и требуют дальнейших исследований.
Работа [27] посвящена вопросу классификации значений геометрического фактора с помощью нейронных сетей. Диапазон значений геометрического фактора для каждого класса следующий: №1 - [1, 1.5], №2 - [2, 3], №3 - [4, 6], №4 - [7, 8], №5 - [9, 20], №6 - [21, 50]. В качестве алгоритмов обучения в работе используются: стандартный метод обратного распространения, модифицированный метод обратного распространения с возможностью регулировки скорости обучения, четыре варианта метода сопряженных градиентов (метод масштабируемых сопряженных градиентов, Fletcher-Reeves, Polak-Ribikre, Powell-Beale) и метод упругого обратного распространения. Классификация производится в соответствии с (19)-(23). В работе также определялись параметры обучения и архитектуры нейронных сетей, в т.ч. количество нейронов в скрытом слое и количество итераций обучения. Среди представленных в исследовании алгоритмов обучения наибольшую точность классификации показал метод упругого обратного распространения с одним скрытым слоем и 80 нейронами -98.02%. Хотя, в отличие от метода обратного распространения ошибки, метод упругого распространения требует большего времени для обучения нейронной сети, в то же время он показывает большую точность классификации. Несмотря на возможности нейронных сетей, широкие границы значений геометрического фактора разных классов накладывают ограничения на возможности применения алгоритма.
Статья [28] продолжает исследования [26], где, помимо представленных алгоритмов, используется алгоритм пчелиной колонии. Также в данной работе применяется иной подход к решению проблемы - вместо аппроксимации значения геометрического фактора алгоритм группирует n НКА на K групп (кластеры), а затем производит выбор спутников в рабочее созвездие. На первом шаге кластеризации сначала выбирается число кластеров K и случайным образом формируются начальные значения принадлежности кластеру для R рабочих созвездий из n спутников. Затем для каждого рабочего созвездия формируется матрица весов wij размером N х К, элементы которой определяются следующим образом:
1, если НКА принадлежит классу j; в случае, если не принадлежит;
w.
= а< (о,
(25)
= 1-Л = 1.....= 1.....К, (26)
Выражение (26) устанавливает условие принадлежности НКА лишь одному кластеру,
таким образом, сумма столбцов матрицы W = не может превышать единицу.
Следующим шагом определяется матрица центра кластеров М размером К х п (п - количество признаков кластера), элементы которой определяются в соответствии с выражением
(27).
mjv =
у« ш '■';] = 1, -,К,р = 1, ...,п., (27)
где х^у - значение у-го признака /-го элемента кластера, - центр масс у-го признака /-го кластера.
В качестве целевой функции выступает сумма разности квадратов расстояний между элементами каждого кластера и центром кластера (28):
min F(W,M) = Zf=iZf=iZ^=i/,
(28)
т
■]V\
где f = WijWx
Для минимизации функции приспособленности используются четыре разных эвристических алгоритма: метод имитации отжига, генетический алгоритм, метод роя частиц и алгоритм пчелиной колонии. Настройка параметров алгоритмов производилась по данным имитации, затем проводились эксперименты по измерениям сигналов реального навигационного поля. Среди рассматриваемых эвристических алгоритмов наибольшую точность смог показать алгоритм пчелиной колонии - 99.86%. В отличие от алгоритма классификации (с точностью классификации 99.31%), основанного на нейронной сети с обратным распространением ошибки, ему не требуется время на обучение. Недостатки алгоритма такие же, как и у [27].
В [29] проводится исследование работы алгоритма выбора НКА при совместной работе двух орбитальных группировок - глобальной системы навигации GPS и региональной системы навигации IRNSS, реализуемой Индией. Отличительной особенностью IRNSS является использование двух геосинхронных орбит для размещения НКА. Предложенный в работе подход заключается в выборе четырех спутников орбитальной группировки с помощью метода имитации отжига, аналогично представленному в [26], и выборе одного НКА орбитальной группировки IRNSS. Сформированное таким образом рабочее созвездие позволило уменьшить значение геометрического фактора примерно на 10% по сравнению со значением геометрического фактора при использовании навигационных аппаратов только системы GPS.
В [30] представлен алгоритм выбора НКА, основанный на методе роя частиц (particle
swarm optimization - PSO), при совместном использовании навигационных сигналов двух орбитальных группировок - GPS и Beidou. Метод роя частиц представляет собой метод численной оптимизации, где агенты-частицы двигаются к оптимальным решениям, обмениваясь информацией с соседними частицами. Частица в рое характеризуется m координатами в пространстве решений хг = [хг1, xi2,..., xim], где xi;- видимый НКА, и скоростью Vi = [vn,vi2, — ,vim], а также знает лучшее найденное свое решение (pbest) и лучшее решение всего роя (gbest). На протяжении работы алгоритма скорость и положение частицы меняются в соответствии с:
vim(t + 1) = wvim(t) + c1r1(pbesti -Xim(t)) + c2r2(gbesti - xim(t)), (29)
(t+1)
(t) + vim(t + 1), (30) где i = 1, ...,N, w - коэффициент инерции, r1,r2 - случайные числа из диапазона [0,...,1], аг, а2 - постоянные ускорения.
В качестве функции приспособленности выступает функция расчета пространственного геометрического фактора fti = GDOPi, рассчитанная для соответствующей частицы на шаге t. Предложенный алгоритм состоит из следующих шагов:
1. Среди видимых НКА, выбираются навигационные спутники с углом возвышения больше 5 градусов.
2. Каждому выбранному НКА присваивается значение от 1 до n.
3. Случайным образом инициализируется начальное положение частиц.
4. Среди n видимых спутников составляются сочетания из n по k - . Каждое сочетания представляет собой одну частицу - одно рабочее созвездие НКА.
5. Для каждой частицы рассчитывается значение функции приспособленности и определяются значения gbest и pbest.
6. До достижения критерия остановки производится смена поколений частиц - обновление скоростей частиц в соответствии с (29), а также их перемещение (30) и расчет новых значений gbest и pbest.
При исследовании работы алгоритма проявилась проблема преждевременной сходимости к локальному оптимуму для решения которой авторы использовали хаотический метод роя частиц (CPSO), позволяющий в процессе работы менять коэффициент инерции и постоянные ускорения, а также производить замену частиц популяции для поддержания разнообра-
зия (ICPSO). В сравнении с методом полного перебора, CPSO позволяет снизить время расчета в 2.85 раза, сохранив при этом приемлемый уровень точности расчета геометрического фактора - в среднем ошибка определения геометрического фактора не превышает 5%. ICPSO позволяет повысить точность определения геометрического фактора до 77.8% за счёт увеличения времени работы алгоритма - оно меньше лишь на 6% по сравнению с временем, необходимым для метода полного перебора.
В работе [31] представлен алгоритм выбора НКА, основанный на аппроксимации значений геометрического фактора с помощью метода опорных векторов ^УМ-регрессия) с гаус-совским ядром. Среди четырех представленных в статье подходов наибольшую точность показала аппроксимация отображения ^1*^1,^2,^3,^4 * GDOP, где х^, х2, х3, х^ — входные значения, рассчитанные в соответствии с (19)-(22), и отображения : ^1, ., ^ю ^ GDOP, где г = 1, .,10 - элементы верхней треугольной матрицы, полученной разложением Холецкого матрицы Qx. В качестве оценки точности аппроксимации используется среднеквадратичная ошибка (MSE). Несмотря на то, что при обучении модель на основе Fl показала малое значение MSE=0.0093, а модель на основе F2 -MSE=0.76, на тестовой выборке большую точность показала именно первая модель с показателем MSE=1.65. В исследовании также приводятся реализации алгоритмов выбора НКА с помощью нейронной сети обратного распространения ошибки и генетического алгоритма, однако их точность не позволяет достичь точность, полученную при работе первой модели.
Заключение
Как и к любой системе, к ГНСС предъявляются определенные требования, отличающиеся в зависимости от категории потребителя. Очень часто этими требования выступают высокая точность НВО и возможность работы в режиме реального времени. Конечной целью задачи формирования рабочего созвездия является выбор НКА, обеспечивающий высокую точность навигационно-временных определений, которая достигается в большинстве случаев при минимальном значении геометрического фактора, поиск которого может быть осуществлен, например, методом полного перебора всевозможных комбинаций НКА. Однако при
большом количестве навигационных аппаратов в зоне радиовидимости потребителя, что особенно актуально для многоканальной НАП, поиск оптимального созвездия может производиться достаточно долго, так что ставится вопрос обеспечения только одного из указанных требований. Таким образом возникает несоответствие между возможностями навигационной аппаратуры потребителей и предъявляемыми требованиями.
В рассмотренных исследованиях нашли свое применение разнообразные алгоритмы выбора навигационных космических аппаратов для формирования рабочего созвездия. Классические алгоритмы полагают геометрический фактор основным критерием при выборе НКА, и хотя большая группа алгоритмов руководствуется значениями геометрического фактора при непосредственном выборе многие работы представили альтернативные подходы к решению этой задачи. Одним из таких подходов является применение эвристических алгоритмов, в том числе аппарата нейронных сетей, ввиду их закономерного развития. Часть рассмотренных алгоритмов наряду с решением задачи формирования оптимального рабочего созвездия также решают задачу снижения вычислительной сложности алгоритмов выбора НКА. Таким образом, представленные алгоритмы можно условно разделить на две группы в соответствии с предъявляемыми требованиями: 1) обеспечивающие высокую точность НВО; 2) обеспечивающие работу НАП в режиме реального времени.
На основе выполненного в статье исследования подходов к решению задачи выбора НКА в рабочее созвездие и конкретных реализаций алгоритмов можно определить их общие недостатки и пути их возможного преодоления. Во-первых, обзор указанных исследований показывает, что большинство работ руководствуется только геометрическим фактором, т.е. предполагается, что измерения получены в предположении равноточности и некореллированно-сти. Однако для получения высокоточных НВО при формировании рабочего созвездия большинство исследований предполагает необходимость учёта как геометрической конфигурации НКА, так и ошибки измерения псевдодальностей [3-6, 8]. Во-вторых, оценка эффективности алгоритмов основывается в основном на погрешности значений геометрического фактора (например, в сравнении с значением, рассчитанным алгоритмом полного перебора комбинаций НКА), а не на погрешности определения
координат потребителя ГНСС. Поскольку конечному потребителю важна именно точность навигационно-временных определений, а не сама конфигурация используемых НКА, основной акцент при оценивании эффективности алгоритмов должен быть сделан именно на неё, т.е. алгоритмы выбора НКА и решения навигационной задачи должны работать совместно. Также некоторые исследования не привлекают измерения текущих навигационных параметров для оценки работы алгоритма, используя только синтетические данные, что требует дальнейшего подтверждения их эффективности. Наконец, при невозможности одновременного обеспечения требований потребителя перед разработчиками возникает вопрос обеспечения соответствия лишь одному из требований - либо точности НВО, либо скорости работы алгоритмов. Для решения этой проблемы в НАП можно использовать несколько алгоритмов выбора НКА в зависимости от текущей обстановки, либо возможна разработка адаптивных алгоритмов, позволяющих регулировать скорость формирования рабочего созвездия и параметры выбора НКА, либо предусмотреть возможность задавать пользовательские критерии и приоритет.
Литература
1.Официальный сайт госкорпорации «Роскосмос». URL: https://www.roscosmos.ru/.
2. Divis D.A. Handling an embarrassment of riches too many satellites, Inside GNSS, Oct. 31, 2016. URL: https://insidegnss.com/handling-an-embarrassment-of-riches-too-many-satellites/.
3. Walter T., Blanch J., and Kropp V. Satellite selection for multi-constellation SBAS, Proc. ION GNSS+ 2016, Portland OR, Sept. 2016. Pp. 1350-1359.
4. Перов А.И. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / под ред. А.И. Перова, В.Н. Харисова. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Радиотехника, 2010. 800 с.
5. Sanz J., Juan J. and Hernandez-Pajares M. GNSS Data Processing. Vol. I: Fundamentals and Algorithms. ESA Communications, ESTEC. TM-23/1. Noordwijk, the Netherlands. 2013. Pp. 139-144.
6. Spilker J.J. Satellite constellation and geometric dilution of precision // Global Positioning System: Theory and Applications. 1996. Vol. 1. Pp. 177-208.
7. Duangduen R., Hassan A.K. A multi-constellations satellite selection algorithm for integrated global navigation satellite systems // J. Intell. Transport. Syst. 2009. № 13 (3). Pp. 127-141.
8. Kaplan E., Hegarty C. Understanding GPS/GNSS: Principles and Applications, Third Edition, Artech, 2017. Pp. 662-676.
9. Kihara M., Okada T. A Satellite Selection Method and Accuracy for the Global Positioning System, Journal of the Institute of Navigation. 1984. Vol. 31. № 1. Pp. 8-20.
10. Kong J., Mao X., Li S. BDS/GPS satellite selection algorithm based on polyhedron volumetric method //
IEEE/SICE international symposium on system integration. Japan, 2014. Pp. 340-345.
11. Blanco-Delgado N., Duarte Nunes F. Seco-Granados G. On the relation between GDOP and the volume described by the user-to-satellite unit vectors for GNSS positioning // GPS Solut. 2017. Vol. 21(3). Pp. 1139-1147.
12. Yuan S., Zhuo N. Method of selecting GPS satellites and its test analysis // Chinese Inertial Technol. 2008. Vol. 16(4). Pp. 445-447.
13. Li J., Ndili A., Ward L. Saps Buchman. GPS Receiver Satellite // Antenna Selection Algorithm for the Stanford Gravity Probe B Relativity Mission, 1999. Pp.541-550.
14. Phatak M. Recursive Method for Optimum GPS Satellite Selection // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2001. Vol. 37. № 2. Pp. 751-754.
15. Park C., How J. Quasi-optimal Satellite Selection Algorithm for Real-time Applications // Proceedings of the Satellite Division Technical Meeting, ION GPS 2001, Salt Lake City, UT, 2001. Pp. 3018-3028.
16. Zhang M., Zhang J. A Fast Satellite Selection Algorithm: Beyond Four Satellites // IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing. 2009. Vol. 3. № 5. Pp. 740-747.
17. Roongpiboonsopit D., Karimi H. A Multi-Constellations Satellite Selection Algorithm for Integrated Global Navigation Satellite Systems // Journal of Intelligent Transportation Systems. 2009. Vol. 13. № 3. Pp. 127-141.
18. A GNSS Satellite Selection Method Based on SNR Fluctuation / Y.Y. Fang, H. Yuan, O.G. Zhou, W. Liang // Multipath Environments. Int. J. Control. Autom. 2015. 8. Pp. 313-324.
19. A New Approach of Satellite Selection for Multi-constellation Integrated Navigation System / Li G., J. Wu, W. Liu, C. Zhao // China Satellite Navigation Conference (CSNC) Proceedings: Volume III. Lecture Notes in Electrical Engineering. Singapore: Springer, 2016. Vol. III. Pp.359-371.
20. A temporal algorithm for satellite subset selection in multi-constellation GNSS / P. F. Swaszek, R. J. Hartnett, K. C. Seals, R. M. A. Swaszek // Proc. ION ITM, Monterrey CA. Jan. 2017. Pp. 1147-1159.
21.Peng G.Ou, Li G. Fast satellite selection method for multi-constellation Global Navigation Satellite System under obstacle environments // IET Radar Sonar Navig. 2014. Vol. 8. № 9. Pp. 1051-1058.
22. Kim H.P., Janq J.H., Park J.P. Satellite selection method according to signal levels of multi-constellation GNSS // Proceedings of the 31st ION GNSS+ 2018, 2018. Pp. 37463752.
23. Swaszek P.F., Hartnett R.J., Seals K.C. Lower bounds on DOP // Jour. Navigation. 2017. Vol. 70. № 5. Pp. 1041-1061.
24. Tighter GDOP Bounds and their Use in Satellite Subset Selection / P.F. Swaszek, R.J. Hartnett, K.C. Seals, R.M. A. Swaszek // Proceedings of the 32nd International Technical Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation (ION GNSS+ 2019), Oct. 2019. Pp.637-649.
25. D. Simon H. El-Sherief, Navigation Satellite Selection using Neural Networks // Journal of Neurocomputing. 1995. Vol. 7. Pp. 247-258.
26. Mosavi M.R., Divband M. Calculation of geometric dilution of precision using adaptive filtering technique based on evolutionary algorithms // 2010 international conference on electrical and control engineering. Wuhan, China, 2010, Pp. 4842-4845. Piscataway, NJ:IEEE Press.
27. Azami H., Mosavi M., Sanei S. Classification of GPS satellites using improved back propagation training algorithms // Wireless Personal Communications. 2013. Vol. 21. № 2. Pp. 789-803.
28. Mosavi M.R., Shiroie M. Efficient evolutionary algorithms for GPS satellites classification // Arabian Journal for Science and Engineering. 2012. Vol. 37. № 7. Pp. 20032015.
29. Sekhar C.R., Dutt V.S.I., Rao G.S. GDOP estimation using Simulated Annealing for GPS and IRNSS combined constellation // Eng. Sci. Technol. Int. J. 2016. Vol. 19. Pp. 1881-1886.
30. A New Satellite Selection Algorithm for a Multi-constellation GNSS Receiver / Wang, Ershen, Jia, Chaoying, Feng, Shaojun, Tong, Gang, He, He, Qu, Pingping, Bie, Yuxia, Wang, Chuanyun, Jiang, Yi // Proceedings of the 31st International Technical Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation (ION GNSS+ 2018). Miami, Florida. 2018. Pp. 3802-3811.
31.Chih-Hung W., Wei-Han S., Ya-Wei H. A study on GPS GDOP approximation using support-vector machines. Instrumentation and Measurement // IEEE Transactions on. 2011. 60(1). Pp. 137-145.
Поступила 18.10.2021; принята к публикации 21.12.2021 Информация об авторах
Жилинский Владислав Олегович - аспирант института системной и программной инженерии и информационных технологий, Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники» (124498, Россия, г. Москва, г. Зеленоград, площадь Шокина, д. 1); младший научный сотрудник, Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений (141570, Россия, Московская область, Солнечногорский район, г.п. Менделеево), e-mail: vladzhilinsky@mail.ru
Гагарина Лариса Геннадьевна - д-р техн. наук, профессор, директор института системной и программной инженерии и информационных технологий, Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники» (124498, Россия, г. Москва, г. Зеленоград, площадь Шокина, д. 1), e-mail: incos@miee.ru
SATELLITE SELECTION ALGORITHMS FOR POSITIONING, NAVIGATION AND TIMING
USERS
V.O. Zhilinskiy12, L.G. Gagarina1
National Research University of Electronic Technology (MIET), Moscow, Russia 2Federal Agency on Technical Regulating and Metrology "Russian Metrological Institute of Technical Physics and Radio Engineering" (FSUE "VNIIFTRI"), Mendeleevo, Moscow Region, Russia
Abstract: the article provides an overview of methods and algorithms for forming a satellite constellation as a part of the navigation problem for the positioning, navigation and timing service. The emergence of new orbital constellations and the development of past GNSS generations increase both the number of navigation satellites and radio signals emitted by every satellite, and therefore the proper solution of satellite selection problem is an important component of the positioning, navigation and timing service. We considered the works devoted to typical algorithms of working constellation formation, as well as to modern algorithms built with the use of machine-learning theory elements. We present the relationship between user coordinates errors, pseudorange errors and the influence of spatial location of satellites and the user. Three directions of researche among reviewed algorithms are outlined: 1) finding the best satellite constellation that provides the minimum geometric dilution of precision; 2) finding quasi-optimal satellite constellation in order to reduce the computational complexity of the algorithm due to the large number of visible satellites; 3) possibility to work in a combined mode using radio signals of multiple GNSS simultaneously. The article presents the features of the algorithms' implementations, their advantages and disadvantages. The conclusion presents the recommendations to change the approach to assessing the performance of the algorithms, and concludes that it is necessary to take into account both the satellite geometric configuration, and pseudorange errors when satellite constellation is being formed
Key words: navigation equation, navigation spacecraft selection, GLONASS, satellite constellation
Acknowledgements: the reported study was funded by RFBR, project number 20-37-90016
References
1.Roscosmos, available at: https://www.roscosmos.ru/.
2. Divis D.A. "Handling an embarrassment of riches - too many satellites", Inside GNSS, Oct. 31, 2016, available at: https://insidegnss.com/handling-an-embarrassment-of-riches-too-many-satellites/.
3. Walter T., Blanch J., Kropp V. "Satellite selection for multi-constellation SBAS", Proc. ION GNSS+ 2016, Portland OR, Sept. 2016, pp. 1350-1359.
4. Perov A.I., Kharisov V.N. eds. "GLONASS. Buiding-up and functioning principals" ("GLONASS. Printsipy postroeniya I funktsionirovaniya"), Moscow, Radiotekhnika, 2010, 800 p.
5. Sanz J., Juan J. Hernandez-Pajares M. "GNSS data processing, vol. I: fundamentals and algorithms", ESA Communications, ESTEC. TM-23/1., Noordwijk, the Netherlands, 2013, pp. 139-144.
6. Spilker J.J. "Satellite constellation and geometric dilution of precision," Global Positioning System: Theory and Applications Volume 1, 1996, pp. 177-208.
7. Duangduen R., Hassan A.K. "A multi-constellations satellite selection algorithm for integrated global navigation satellite systems", J. Intell. Transport. Syst., 2009, no. 13 (3), pp. 127-141.
8. Kaplan E., Hegarty C. "Understanding GPS/GNSS: principles and applications", Artech, 2017, pp. 662-676.
9. Kihara M., Okada T. "A satellite selection method and accuracy for the Global Positioning System", Journal of the Institute of Navigation, 1984, vol. 31, no. 1, pp. 8-20.
10. Kong J., Mao X., Li S., "BDS/GPS satellite selection algorithm based on polyhedron volumetric method", 2014 IEEE/SICE International Symposium on System Integration, Tokyo, Japan, 13-15 December 2014, pp. 340-345.
11. Blanco-Delgado N., Duarte Nunes F. Seco-Granados G. "On the relation between GDOP and the volume described by the user-to-satellite unit vectors for GNSS positioning", GPS Solut., 2017, vol. 21(3), pp. 1139-1147.
12. Yuan S., Zhuo N. "Method of selecting GPS satellites and its test analysis", Chinese Inertial Technol 2008, vol. 16(4), pp. 445-447.
13. Li, J., A. Ndili, L. Ward, Saps Buchman "GPS receiver satellite/antenna selection algorithm for the Stanford Gravity Probe B Relativity Mission", 1999, pp. 541-550.
14. Phatak M. "Recursive method for optimum GPS satellite selection", IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, April 2001, vol. 37, no. 2, pp. 751-754.
15. Park C., How J. "Quasi-optimal Satellite Selection Algorithm for real-time applications", Proc. of the Satellite Division Technical Meeting, ION GPS 2001, Salt Lake City, UT, September 2001, pp. 3018-3028.
16. Zhang M., Zhang J. "A Fast Satellite Selection Algorithm: beyond four satellites", IEEE J. of Selected Topics in Signal Processing, October 2009, vol. 3, no. 5, pp. 740-747.
17. Roongpiboonsopit D., Karimi H. "A multi-constellations Satellite Selection Algorithm for Integrated Global Navigation Satellite Systems", J. of Intelligent Transportation Systems, 2009, vol. 13, no. 3, pp. 127-141.
18. Fang Y.Y., Yuan H., Zhou O.G., Liang W. "A GNSS Satellite Selection method based on SNR fluctuation in multipath environments", Int. J. Control. Autom., 2015, vol. 8, pp. 313-324.
19. Li G., Wu J., Liu W., Zhao C. "A new approach of Satellite Selection for Multi-constellation Integrated Navigation System", China Satellite Navigation Conference (CSNC) 2016 Proc., vol. III. Lecture Notes in Electrical Engineering, Springer, Singapore, vol. 390, pp. 359-371.
20. Swaszek P.F., Hartnett R.J., Seals K.C., Swaszek R.M.A. "A temporal algorithm for satellite subset selection in multi-constellation GNSS", Proc. IONITM, Monterrey CA, Jan. 2017, pp. 1147-1159.
21. Peng G.Ou, Li G. "Fast satellite selection method for multi-constellation Global Navigation Satellite System under obstacle environments", IETRadar Sonar Navig., 2014, vol. 8, no. 9, pp. 1051-1058.
22. Kim H.P., Janq J.H., Park J.P. "Satellite selection method according to signal levels of multi-constellation GNSS", Proc. of the 31st IONGNSS+ 2018, 2018, pp.3746-3752.
23. Swaszek P.F., Hartnett R.J., Seals K.C. "Lower bounds on DOP", Jour. Navigation, Sept. 2017, vol. 70, no.5, pp.10411061.
24. Swaszek P.F., Hartnett R.J., Seals K.C., Swaszek R.M.A. "Tighter GDOP bounds and their use in Satellite Subset Selection", Proc. of the 32nd Int. Tech. Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation (ION GNSS+ 2019), Oct. 2019, pp. 637-649.
25. Simon D., El-Sherief H. "Navigation Satellite Selection using Neural Networks", J. of Neurocomputing, 1995, vol.7, pp. 247-258.
26. Mosavi M.R., Divband M. "Calculation of geometric dilution of precision using adaptive filtering technique based on evolutionary algorithms", 2010 International Conference on Electrical and Control Engineering, Wuhan, China, 25-27 June 2010, pp. 4842-4845.
27. Azami H., Mosavi M., Sanei S. "Classification of GPS satellites using improved back propagation training algorithms", Wireless Personal Communications, 2013, vol.21, no.2, p.789-803.
28. Mosavi M.R., Shiroie M. "Efficient evolutionary algorithms for GPS satellites classification", Arabian J. for Science and Engineering, 2012, vol. 37, no.7, pp.2003-2015.
29. Sekhar C.R., Dutt V.S.I., Rao G.S. "GDOP estimation using Simulated Annealing for GPS and IRNSS combined constellation", Eng. Sci. Technol. Int. J. 2016, vol. 19, pp. 1881-1886.
30. Wang Ershen, Jia Chaoying, Feng Shaojun, Tong Gang, He He, Qu Pingping, Bie Yuxia, Wang Chuanyun, Jiang Yi "A new Satellite Selection Algorithm for a Multi-constellation GNSS Receiver", Proc. of the 31st Int. Tech. Meeting of the Satellite Division of The Institute of Navigation (ION GNSS+ 2018), Miami, Florida, September 2018, pp. 3802-3811.
31. Chih-Hung W., Wei-Han S., Ya-Wei H. "A study on GPS GDOP approximation using support-vector machines. Instrumentation and Measurement", IEEE Transactions, 2011 vol. 60(1), pp. 137-145.
Submitted 18.10.2021; revised 21.12.2021
Information about the authors
Vladislav O. Zhilinskiy, graduate student, Institute of System and Software Engineering and Computer Science, National Research University of Electronic Technology - MIET (bld. 1 Shokin square, Zelenograd 124498, Moscow, Russia); junior research, Federal Agency on Technical Regulating and Metrology "Russian Metrological Institute of Technical Physics and Radio Engineering" (Moscow region, Solnechnogorsky district, Mendeleevo 141570, Russia), e-mail: vladzhilinsky@mail.ru
Larisa G. Gagarina, Dr. Sc. (Technical), Professor, Director of Institute of System and Software Engineering and Computer Science, National Research University of Electronic Technology - MIET (Bld. 1, Shokin Square, Zelenograd 124498, Moscow, Russia), e-mail: incos@miee.ru
