CC BY
4
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
АЛГОРИТМЫ УСТОЙЧИВОГО ОЦЕНИВАНИЯ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Холходжаев Боходир Асатуллаевич
PhD, старший преподаватель Ташкентский государственный технический университет, Республика Узбекистан, г. Ташкент
Кодиров Дилмурод Тухтасинович
PhD, доцент,
Наманганский инженерно-технологический институт, Республика Узбекистан, г. Наманган E-mail: abdulhamidyoldoshboyev@gmail.com
ALGORITHMS FOR STABLE ESTIMATION OF INPUT SIGNALS OF DYNAMIC SYSTEMS BASED ON DYNAMIC FILTERING
Bokhodir Kholhodjaev
PhD, Senior teacher, Tashkent state technical university Uzbekistan, Tashkent
Dilmurod Kodirov
PhD, Assosiate Professor, Namangan Institute of Engineering and Technology,
Uzbekistan, Namangan
АННОТАЦИЯ
Задача восстановления начального состояния и входного воздействия динамической системы по результатам измерения выхода относится к классу обратных задач динамики управляемых систем. Поскольку указанная задача является некорректно поставленной, для ее решения следует применять методы, развитые в соответствующей теории.
ABSTRACT
The problem of restoring the initial state and the input action of a dynamic system based on the results of measuring the output belongs to the class of inverse problems of the dynamics of controlled systems. Since this problem is ill-posed, methods developed in the corresponding theory should be used to solve it.
Ключевые слова: матрица, математическое ожидания, белый шум, фильтрация, регуляризация, псевдообращения.
Keywords: matrix, mathematical expectation, white noise, filtering, regularization, pseudoinversion.
Рассмотрим линейную динамическую систему с наблюдением:
хк+1 = АЛ + > х(ко) = х°, (1)
Ук = Скхк + вк™к, (2)
где х е Я", е Яр ,у е Ят ; х = хк - состояние системы; х0 - начальное состояние системы;
е Ьр -входное неизмеряемое возмущающее воздействие на систему; у^ е Гт -выход системы;
Ак, Бк, Ск, Бк - матрицы соответствующих размерностей.
Пусть © = Я" х ьр, У = Гт. Превратим пространство © в гильбертово, определив на нем скалярное произведение (в,в°)@ = (х°, х2°^ п + .
Соотношения (1), (2) определяют линейный оператор F : © ^ У , который каждой паре в = (х0, м>) е © , т.е. входу системы, ставит в соответствие функцию у е У на выходе системы [1-5, 12, 18].
Библиографическое описание: Холходжаев Б.А., Кодиров Д.Т. АЛГОРИТМЫ УСТОЙЧИВОГО ОЦЕНИВАНИЯ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ // Universum: технические науки: электрон. научн. журн. 2022. 4(97). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/13373
Пусть у * - некоторый выход системы (1), (2). Обозначим через ©* непустое множество всех входов в е©
таких, что
F0 = у *.
(3)
Рассмотрим вариационную задачу
min, 0е0*, где Q : ©^ R - неотрицательный, полунепрерывный снизу и строго равномерно выпуклый функционал.
Рассмотрим следующую задачу: по выходу у * восстановить Q -нормальный вход, совместимый с этим выходом. Предположим, что выход у * нам не известен, а известна лишь функция ys е Y (результат измерения выхода) такая, что
Подставляя (5) в (4), найдем
вк+1| к = вк | к + Wk [ у* - fA | к-1] •
На основе методов динамической фильтрации [14, 20] выразим в к+1| к+1 через вк+1|к :
вк+1| к+1 = вк+1| к + Kk+1~к+1| к , K+, = Рк^G^), (6)
Ga(P+1) = [Рк+1 ]-1,
Pk+1 Fk +1Рк +1|kFk+1 + Rk+1 , (7)
\\Уз- уX -8,
где 8 - известный неотрицательный параметр, характеризующий точность проведенных измерений [6-11, 13]. По функции .. и параметру 8 > 0 необходимо найти пару в=(х°>())е© такую, что
в "в*|| ^ 0 при 8 ^ 0 .
Для решения уравнения (3) будем использовать концепции динамической фильтрации. Для динамизации уравнения (3) запишем его в виде:
вк+1 + ^, в(0) = 0,
У*+1 = +1 + У+1, (к = 0,1,...),
*
где вк - вектор состояния системы, у * - вектор
измерения, ^ ^ и У к - гауссовские белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и интен-сивностями ^ , Як, в0 - гауссов случайный вектор
с известными характеристиками М (в0) и
М(00$^ ) = Р.
Будем предполагать, что и у не коррелиро-
ваны с $0 , а М[] = 5'к8%>
где 8 - символ Кронекера.
На основании свойств условных математических ожиданий [15, 16] можно написать
вк+1| к =вк\к + M [wk^k ],
(4)
при этом
где
M К|Ук ] = Wк [ у* - f^J, (5)
Wk = Sk [ FkPk]k-1 Fl + Rk ]-1 •
~k+1|k = Fk+1вк+1|к + V к+1,
вк+1|k = вк+1 вк+1|к ■
У*+1 ^к+1вк+1\к = [^к+1 Рк+1\к^к+1 ^к+1 + 1 ][Ук+1 " ^к+1вк+1\к+1 ]
где (Р4+1) - порождающая система функций для
метода регуляризации, а - параметр регуляризации. Матрица р вида (7), псевдообратная которой
р + используется в (6), является симметричной
плохообусловленной знаконеопределенной матрицей. С целью стабилизации искомого решения и придания большей численной устойчивости процедуре псевдообращения в (6) необходимо использовать регулярные методы [19, 21]. При реализации (6) будем использовать регуляризованный метод Холецкого факторизации симметричных матриц.
На основе симметричной матрицы р порядка
п с элементами рк+х у строится последовательность
матриц:
ро) _ Pk+1 =
p(r ) 'к+1,1
p(r) 'к+^2 "¿'(г) " 'к+1,3
r = 0,1,.
(8)
где
P
(r ) к+1,1
к х к, P,
(r ) к+1,2
верхнетреугольная матрица размера
D(r)
- прямоугольная матрица, Pi+13 - сим-
метричная матрица порядка п - к, 0 - нулевая матрица.
определяется ведущий
_ (r)
Для этого у клетки P,
элемент путем сравнения максимальных ее элементов, стоящих на диагонали и вне диагонали:
0
\Pk+1,tTT = max
1 1 k <i<n
(r)
Pk+1,i
(r )
Pkt+L,
= max
k <i<n, i< j<n
(r) pk+1,j
Если
(r ) pk+1,TT
>
(r)
Pkt+L,
(r ) pk+1,TT
.(9)
> s , то у
матрицы Р^ меняются местами ^ -е строка и столбец с (к +1) -ми строкой и столбцом соответственно.
После перестановок определяется матрица
р(г+1)
Р , которая отличается от полученной после
D(r )
p i, ii
перестановок только элементами клетки
р( r) _ Pk+1,3 =
(r) Pk+1,k+1
(r Ь T
(d(r))
d(r)
(10)
принимающей вид
(r ) pk+1,k+1
1/2
(r)
(r) (r)
где = |pk+;u+1| r(r )
' d(r)signpk'
p ( r+1) Pk+1,3
(r) +1,k+1 :
(11)
P£3 = W(r) - (ркЪ+i)-1 (d(r) )T d^). Затем делается переход к следующему шагу факторизации.
В случае, если симметричная матрица р порядка " имеет ранг г < "и параметр регуляризации взят £ = 0, то в регуляризованном методе Холец-кого [17, 22], будет сделано ровно г шагов факторизации и
Рк+1,£ = Рк+1, Рк+1 = Б(ги 1(и+ )тб1 ),
где
Pk+1,s= UHU
TSI~ s,
и£= и ¡Б (I), и, = (Рк(+)д :Рк(+),°) , Б(1) = Б, ...Б1, Б, = I.
Если дополнительно Р - неотрицательно-определенная матрица, то ведущим элементом является диагональный элемент, I является единичной матрицей и тем самым
P = U'U = P
Pk+1,s = U rUr = Pk+1,
p;+1,s=u+ (U+ )t
Приведенные алгоритмы позволяют стабилизировать процедуру обращения матриц при оценивании состояния стохастических объектов и тем самым повысить точность определения входного воздействия при возмущении параметров объекта и наблюдателя.
и
0
Список литературы:
1. Akhmedov I.G'., Muxitdinov M., Umarov I., Ibragimova Z. Assessment of the effect of sedibles from sokhsoy river to kokand hydroelectric power station //InterConf. - 2020.
2. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов, А. Одилжанов. Анализ эффективности использования по-рыстых заполнителей для лёгких бетонов. Экономика и социум 2022 №2(93) С. 1-7.
3. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов, А. Одилжанов. Влияние агрессивных сред на долговечность легкого бетона. Universum:// Технические науки:электрон научн. журн. 2022. № 2(95).
4. B.Sh.Rizaev, A.T.Mamadaliyev, М.Б.Мухитдинов,М.А. Мухторалиева Прочностные и деформативные свойства внецентренно-сжатых железобетонных колонн в условиях сухого жаркого климата. Матрица научного познания. 2-2/2022г.27-40 с.
5. B.Sh. Rizaev, A.T. Mamadaliyev, М.Б. Мухитдинов. Shrinkage deformations of concrete in natural conditions of the republic of Uzbekistan. Universum:// Технические науки:электрон научн. журн. 2022. №2(95).
6. D.T. Kodirov,. F.M. Kodirova,. B. Xaydarov Algorithms For Stable Estimation Of The Extended State Vector Of Controlled Objects . Solid State Technology. 2020.
7. Абдуманнопов Н.А. и др. Модернизация кольцевой печи для обжига строительного кирпича //Научное знание современности. - 2018. - №. 12. - С. 25-29.
8. Акбаров А.Н. и др. Обжиг кирпича твёрдым топливом взамен газа //Научное знание современности. - 2018. -№. 4. - С. 40-43.
9. Алимджанова Д.И. и др. ВОДОУГОЛЬНОЕ ТОПЛИВО НА ОСНОВЕ БУРОГО УГЛЯ АНГРЕНСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ //Universum: технические науки. - 2021. - №. 3-2 (84). - С. 68-72.
10. Алимджанова Д.И., Муйдинова Н.К. К. Повышение эффективности горения угольного топлива в кольцевой печи для обжига строительного кирпича //Universum: технические науки. - 2020. - №. 4-1 (73). - С. 67-71.
11. Алимджанова Д., Акбаров А., Муйдинова Н.К. Способ повышения эффективности горения угольного топлива в кольцевой печи. Issues of modern education in the condition of globalization. Collection international scientific conference. - 2017.
12. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач, М.: Наука,
1988.
13. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ,
1989.
14. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана - Бьюси. - М.: Наука, 1982. -200 с.
15. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург, Наука, 1993.
16. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач, М.: Изд-во МГУ, 1994.
17. Кодиров Д.Т., Кодирова Ф.М. Алгоритмы совместного оценивания вектора состояния и параметров динамических систем //Universum: технические науки. - 2021. - №. 7-1 (88). - С. 66-68.
18. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики в теории автоматического управления. -М.: Машиностроение, 2004. - 576 с.
19. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Пер. с англ. -М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. -232 с.
20. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К.Т. Леондеса. Пер. с англ., -М.: Мир, 1980. - 407 с.
21. Хамидов А.И., Мухитдинов М.Б., Юсупов Ш.Р. Физико-механические свойства бетона на основе безобжиговых щелочных вяжущих, твердеющих в условиях сухого и жаркого климата. - 2020. 59-67.
22. Холходжаев Б.А. Алгоритм устойчивого восстановления входных сигналов в динамических системах // ТГТУ Вестник №4, 2018 й., с .54-57.
