CC BY
13
Алгоритмы синтеза стратегий в трехкритериальной задаче однопроцессорного обслуживания группировки стационарных объектов
11 2 А.М. Пушкин1, Д.И. Коган1, Ю.С. Федосенко2
1 Московский государственный университет информационных технологий, радиотехники
и электроники
2Волжский государственный университет водного транспорта, Нижний Новгород
Аннотация: Рассматривается модель обслуживания группы стационарных объектов, расположенных вдоль одномерной рабочей зоны перемещающегося процессора. Процессор выполняет одностадийный цикл обслуживания без прерываний, который начинается и заканчивается в базовой точке. Для каждого объекта считаются заданными его местоположение, требуемая продолжительность обслуживания, ранний срок начала обслуживания и функция индивидуального штрафа. Изучается многокритериальная задача, где в качестве минимизируемых критериев выступают: общее пройденное процессором расстояние, момент возвращения процессора в базовую точку после обслуживания всех объектов и величина суммарного по всем объектам штрафа. Решение выполняется с использованием соотношений, основанных на принципе динамического программирования, а также на основе идеологии эволюционно-генетических вычислений. При использовании динамического программирования изучаются вопросы построения полных совокупностей эффективных оценок. Исследуются вопросы сравнения двух множеств оценок, приводятся оценки вычислительной сложности, пример реализации и результаты экспериментов.
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, стратегии обслуживания, динамическое программирование, эволюционные вычисления, КР-трудность, мобильный процессор, стационарные объекты.
Рассматриваемая в статье модель предназначена для описания функционирования локальных логистических систем [1,2], в которых мобильный процессор осуществляет обслуживание рассредоточенной в рабочей зоне группировки стационарных объектов.
В ранее опубликованных работах [3,4,5] по обслуживанию группировки объектов априорно учитываются обусловленные спецификой конкретных приложений те или иные ограничения на перемещения процессора в одномерной рабочей зоне. Так, в [3,4] рассматривается модель обслуживания при реализации процессором двух рейсов - от начальной до
Введение
конечной точки зоны и обратно. Модель, изучаемая в [5], требует обслуживания всех объектов группировки при реализации процессором только прямого рейса - от начальной точки зоны к её конечной точке; при этом разрешены ограниченные по глубине возвратные движения процессора для обслуживания «пропущенных» объектов. Для синтеза эффективных стратегий обслуживания в указанных работах сформулированы бикритериальные [6] задачи оптимизации и в рамках парадигмы Парето [7] сконструированы решающие алгоритмы динамического
программирования [8].
Ниже исследуемая трехкритериальная [9] задача оптимизации стратегий управления обслуживанием формулируется в разделе 1 в рамках обобщенной математической модели, свободной от каких-либо ограничений на перемещения процессора в его рабочей зоне. Такая модель существенно расширяет сферу покрываемых логистических приложений и создает теоретическую базу для разработки достаточно универсальной информационной системы поддержки управления обслуживанием группировки стационарных объектов, рассредоточенных в одномерной рабочей зоне процессора.
Конструируемый в разделе 2 решающий алгоритм БР основан на концепциях эффективных оценок [7], многокритериального динамического программирования [10]. Здесь же приведен численный пример реализации алгоритма и результаты сравнительных вычислительных исследований алгоритмов динамического программирования и сконструированного по типовой схеме алгоритма ОЛ, основанного на эволюционно-генетической концепции [11].
В заключительном разделе статьи обсуждаются полученные результаты и возможные направления развития исследований
рассматриваемого класса прикладных задач в интересах создания компьютерных систем поддержки логистических процессов.
Математическая модель и постановка задачи
Полагается заданной совокупность Оп ={о1,о2,...,оп} подлежащих
однофазному обслуживанию стационарных объектов, расположенных соответственно в точках 1,2,..., п одномерной рабочей зоны Ь обслуживающего процессора Р. Зона Ь конечна, её начальная точка А является базовой для процессора, присвоим ей номер 0. Подлежащие обслуживанию объекты считаем пронумерованными в порядке возрастания их расстояний от точки А. Конечная точка В зоны Ь является местом расположения объекта оп. Для параметров модели обслуживания объектов
оу, у = 1, п, примем следующие обозначения:
ту - продолжительность обслуживания процессором Р объекта оу; г у - ранний срок начала обслуживания (момент готовности к обслуживанию) объекта о ;
sj-1 у - расстояние между точками у -1 и у ;
7]-1 у и у] ]-1 - продолжительности перемещения процессора Р соответственно от точки у -1 к точке у и от точки у к точке у -1;
^ (?) - монотонно возрастающая в нестрогом смысле функция индивидуального штрафа по объекту оу от момента ? завершения его обслуживания;
Трд - продолжительность перемещения процессора от точки р к
д-1 р-1
точке д: Урд = е г7,у+1, если р < д и Урд = е^+1,у, если р > д;
у=р у=д
:
q-l
spq - расстояние между точками p ид: spq = ^ sJ 3+1, если p < д и
з=Р
р-1
sp,д = Е SJ,з+l, если Р > д .
3=д
Считаем параметры тз, sJ-13, уз-1 , уз -1 принимающими натуральные значения, а параметр г3 принимающим только целые неотрицательные
значения. Процессор Р начинает движение из базовой точки А в момент времени ? = 0; по завершению обслуживания всех объектов группировки Оп он возвращается в точку А. Обслуживание каждого объекта осуществляется процессором Р однократно, без прерываний; одновременное обслуживание процессором двух и более объектов запрещено.
Стратегией обслуживания будем называть произвольную упорядоченную по возрастанию последовательность индексов £ = (¡1,г2,..., гп)
из совокупности N = {1,2,...., п}, определяющую порядок обслуживания объектов. Реализующими стратегию £ расписаниями обслуживания р именуем кортежи вида р = ( а., Ък),..., (¡к, а1к, Ъч),..., (1п, ап, Ьп), в которых а1к
и Ъ{ - соответственно моменты начала и завершения обслуживания объекта
о, , к = 1, п .
гк
Не связанные с обслуживанием объекта о3 и ожиданием момента
наступления раннего срока гз, 3 = 1, п начала его обслуживания
промежуточные простои процессора запрещены, т.е. ниже будут рассматриваться только стратегии £, которым соответствуют компактные [12] г -расписания. Совокупность таких стратегий будем обозначать символом ^.
В зависимости от складывающейся оперативной обстановки ээффективность той или иной стратегии обслуживания в рассматриваемом
классе локальных логистических систем может оцениваться ЛПР с учетом различных обстоятельств, среди которых основными являются следующие: K1( S) - суммарное пройденное процессором расстояние до момента возврата процессора в точку A; K2(S) - суммарное время работы процессора; K3(S) -суммарный по всем объектам штраф за простои в ожидании обслуживания. Соответствующая трехкритериальная задача имеет вид
min{Ki(S), K2(S), K3(S)}. (1)
При решении задачи (1) принимается концепция Парето, предусматривающая отыскание полной совокупности эффективных в ней оценок [7]. Соответствующие алгоритмы конструируются на основе концепции эффективных оценок [7].
Синтез стратегий обслуживания
Введем следующие обозначения: Z - общая задача (1), Z (V, i) -
частная задача, в которой вышедший из начальной точки A процессор сначала обслуживает совокупность объектов с индексами из произвольного подмножества V с N, а затем, в заключение обслуживает объект ot, i £ V.
Пусть E(V, i)- совокупность эффективных оценок в задаче Z(V, i).
Если V - пустое множество, то
E({0},l) = (\i, t, Ф (t)), t = max(Yo,i,Г ) + Т, i е N. (2)
Введем функцию Т л (M), которая преобразует каждый из трехмерных
векторов множества M по правилу (a, b, c) ^ (a + sjt, J, c + ф (J)), где
J = max (b + Yji, Г ) + т. Считается, что данное правило работает в
следующем предположении: конструируемая в процессе работы алгоритма стратегия обслуживания на конкретной итерации завершается в точке J
рабочей зоны и имеет оценку (а, Ь, с), после чего из этой точки совершается
переход в точку I зоны с пересчетом оценки согласно указанному правилу. Предположим, что множества оценок Е(V, I) для всех I е N и всех
возможных к -элементных множеств V уже вычислены (к - фиксированная
константа, к < п). Тогда значение Е(V , I), где V - любое (к +1)-элементное
подмножество совокупности N \ {}, вычисляется по формулам
(3)
Е(V,I) = е//Ш *„(Е(\{у},У))
Пусть все объекты прошли обслуживание. Тогда процессору необходимо совершить переход от последнего обслуженного объекта а, а е N в базовую точку А. В этом случае полная совокупность эффективных оценок Е^ в задаче 2 находится из соотношения
Ем = е//{и [Е(\ а,а) © (,Га,0,0)), (4)
lаеN )
в котором операция © определяется следующим образом:
{(^ ^ с1),..., (а, Ь, с )}©( й, е / ) = = {( + й, Ь1 + е, С1 + /),..., (а + й, Ь + е, с1 + /)}.
В процессе решения на каждой итерации отмечается индекс вершины перехода процессора и сохраняется полный путь, который он прошел для достижения данного набора эффективных оценок.
Формулы (2)-(4) - рекуррентные соотношения многокритериального динамического программирования [8,10] для решения задачи (1). Реализующие эти соотношения алгоритм БР имеет экспоненциальную оценку вычислительной сложности.
Пример выполнения алгоритма БР. Требуется найти полную совокупность эффективных оценок для задачи (1) с исходными данными, представленными в таблице 1.
Таблица № 1
Исходные данные задачи
1 51 -1,1 71 -1,1 71,1 -1 Т Г г)
1 4 4 1 3 17 бг
2 4 2 2 10 11 3*
3 2 2 1 4 10 5*
4 3 1 1 10 7 г
Процедуру решения представляем как процесс заполнения таблицы 2 и последующих, каждая следующая таблица соответствует очередной выполненной итерации (под итерацией понимается набор вычислений множеств Е (V, г) при условии, что \У\ = к).
В процессе вычислений по рекуррентным соотношениям (2) и (3) значение к последовательно принимает значения 0,1,..., п -1. Последняя,
выполняемая по формуле (4), итерация синтезирует полную совокупность эффективных оценок в задаче (1).
В таблицах рядом с каждой эффективной оценкой в той же строке указывается порождающая ее стратегия £ *. Стратегия £ * отличается от других допустимых стратегий обслуживания тем, что после обслуживания перечисленных в ней объектов процессор не совершает переход в базовый пункт А .
Согласно формуле (2) в таблице 2 запишем результаты первой итерации.
Таблица № 2
Результаты итерации 1
V г Е (V, г) 5 *
{0} 1 (4, 20, 120) (1)
{0} 2 (8, 21, 63) (2)
{0} 3 (10, 14, 70) (3)
{0} 4 (13, 19, 19) (4)
Для иллюстрации ниже приведем цепочку вычислений для нахождения совокупности Е ({0} ,2): t2 = тах (^02, г2 ) + т2 = тах(6,11) +10 = 21,
Е ({0} ,2) = ( (t2 )) = (8,21,63).
Применяя формулу (4), в таблице 3 запишем результаты второй итерации.
Таблица № 3
Результаты итерации 2
V г Е (V, г) 5 *
{1} 2 (8, 32, 216) (1, 2)
{1} 3 (10, 28, 260) (1, 3)
{1} 4 (13, 35, 155) (1, 4)
{2} 1 (12, 26, 219) (2, 1)
{2} 3 (10, 27, 198) (2, 3)
{2} 4 (13, 34, 97) (2, 4)
{3} 1 (16, 20, 190) (3, 1)
{3} 2 (12, 25, 145) (3, 2)
{3} 4 (13, 25, 95) (3, 4)
{4} 1 (22, 26, 175) (4, 1)
{4} 2 (18, 31, 112) (4, 2)
{4} 3 (16, 24, 139) (4, 3)
Иллюстрирующая цепочка вычислений для нахождения совокупности Е({2},4) выглядит следующим образом:
eff {Т 2,4 ((8,21,63))} = eff {(8,21,63) (8 + s2,4, t24,63 + ф (t2A))}, t24 = max (21 + y24, r4 ) + т4 = max (21 + 3,7) +10 = 34,
eff {Т 23 ((12,72))} = eff {(8 + 5,34,63 + 34 • 1)} = (13,34,97).
Аналогично второй итерации в таблице 4 представлены результаты третьей итерации.
Таблица № 4
Результаты итерации 3
V i E (V, i) S *
{1, 2} 3 (10, 38, 406) (18, 34, 389) (1, 2, 3) (2, 1, 3)
{1, 2} 4 (21, 41, 260) (13, 45, 261) (2, 1, 4) (1, 2, 4)
{1, 3} 2 (20, 32, 286) (12, 39, 377) (3, 1, 2) (1, 3, 2)
{1, 3} 4 (25, 35, 225) (13, 39, 299) (3, 1, 4) (1, 3, 4)
{1, 4} 2 (18, 47, 296) (26, 38, 289) (1, 4, 2) (4, 1, 2)
{1, 4} 3 (28, 34, 345) (16, 40, 355) (4, 1, 3) (1, 4, 3)
{2, 3} 1 (16, 30, 325) (3, 2, 1)
{2, 3} 4 (13, 38, 236) (17, 38, 183) (2, 3, 4) (3, 2, 4)
{2, 4} 1 (22, 36, 328) (4, 2, 1)
{2, 4} 3 (16, 39, 292) (20, 37, 297) (2, 4, 3) (4, 2, 3)
{3, 4} 1 (22, 32, 287) (22, 30, 319) (3, 4, 1) (4, 3, 1)
{3, 4} 2 (18, 35, 244) (18, 37, 206) (4, 3, 2) (3, 4, 2)
Результаты четвертой итерации приведены в таблице 5.
Таблица № 5
Результаты итерации 4
V г Е (V, г) 5 *
{1, 2, 3} 4 (13, 49, 455) (17, 52, 429) (25, 45, 331) (21, 45, 434) (1, 2, 3, 4) (1, 3, 2, 4) (3, 1, 2, 4) (2, 1, 3, 4)
{1, 2, 4} 3 (28, 44, 509) (24, 46, 490) (16, 50, 511) (4, 1, 2, 3) (2, 1, 4, 3) (1, 2, 4, 3)
{1, 3, 4} 2 (30, 47, 366) (26, 44, 419) (18, 51, 452) (26, 42, 445) (3, 1, 4, 2) (3, 4, 1, 2) (1, 3, 4, 2) (4, 3, 1, 2)
{2,3, 4} 1 (22, 40, 484) (26, 45, 453) (22, 42, 458) (4, 3, 2, 1) (3, 2, 4, 1) (3, 4, 2, 1)
Последняя итерация, реализуемая по формуле (5), отображает факт перехода процессора в базовую точку после завершения обслуживания всех объектов. Финальные оценки работы процессора и соответствующие им стратегии обслуживания представлены в таблице 6.
Таблица № 6
Результаты итерации 5
Е 5
(26, 41, 484) (4, 3, 2, 1)
(26, 43, 458) (3, 4, 2, 1)
(26, 54, 452) (1, 3, 4, 2)
(30, 57, 429) (1, 3, 2, 4)
(30, 46, 453) (3, 2, 4, 1)
(34, 45, 445) (4, 3, 1, 2)
(34, 47, 419) (3, 4, 1, 2)
(38, 50, 331) (3, 1, 2, 4)
В итоге построена полная совокупность эффективных оценок, и для каждой такой оценки определено соответствующее расписание обслуживания. Из построенной совокупности эффективных оценок ЛПР осуществляет свой выбор, принимая во внимание обстоятельства, не предусмотренные построенной в разделе 1 математической моделью.
Отметим, что задача (1) относится к числу труднорешаемых [13] в силу того, что указанным свойством обладают некоторые её частные конкретизации. В качестве одной из таковых отметим бикритериальную задачу
тш {К (5), К3 ( 5 )},
которая ИР -трудна [13] даже в условии принятия для неё схемы лексикографического упорядочения критериев с ведущим критерием К1 (5)
и линейными функциями индивидуального штрафа. Указанный результат установлен в [4].
При создании компьютерных средств поддержки оперативного управления обслуживанием потоков объектов в локальных логистических системах существенным обстоятельством, которое приходится учитывать при разработке математического обеспечения таких средств, являются жесткие ограничения [3,4,12] на допускаемую штатным регламентом длительность формирования стратегий обслуживания; обычно этот промежуток времени не должен превышать 15 минут. В силу этого задача (1) для ряда практических значимых размерностей потока Оп оказывается
нерешаемой, и, следовательно, актуальной является проблема построения алгоритмов, позволяющих генерировать субоптимальные стратегии обслуживания за приемлемое для приложений время.
В таблице 7 приведены оценки решающего задачу (1) алгоритма ОЛ, реализующего типовую вычислительную схему эволюционно-генетической
концепции [11]. В качестве оценок были взяты: Ттеап - средняя продолжительность решения задачи (1); Кей. - минимальное, максимальное и среднее количество эффективных («субэффективных» для ОЛ) оценок.
Выбираемые для вычислений значения параметров модели соответствовали равномерному закону распределения на следующих обусловленных физическим смыслом диапазонах замкнутых интервалов: з-ч е [1,5], Г-ч е [5,20], Ги-1 е [5,20], г, е [1,10], г е [10,10• п], а, е[1,10], где п - размерность задачи, аг - коэффициент линейной функции штрафа щ (г ) = а • г.
Для сравнения в этой же таблице приведены значения показателей Ттеап и Кей-, полученные при реализации алгоритма БР.
Таблица № 7
Результаты вычислительных экспериментов
п т теап ? К е£Т А,%
ОЛ БР ОЛ БР
5 0 0 1 - 5 (2) 1 - 5 (2) 0
10 16 2 1 - 8 (3) 1 - 9 (3) 3
15 180 90 1 - 6 (3) 2 - 9 (4) 10
17 360 660 1 - 8 (4) 1 - 12 (5) 20
19 660 5400 1 - 5 (2) 2 - 10 (4) 26
20 900 15300 1 - 7 (3) 3 - 11 (5) 36
Приведенный в таблице 7 показатель А используется для интегральной оценки отклонения множества «субэффективных» оценок от точного множества оценок. При определении значений этого показателя исходим из следующих соображений.
Пусть Ж - множество эффективных оценок, полученных при решении задачи (1) алгоритмом БР, Q - множество оценок, полученных при решении
задачи алгоритмом ОЛ, в общем случае |Ж| ф \Q\; wl, / = 1, |Ж|, , } = 1, Q| -
элементы соответствующих множеств. Значения критериев К1 (5), К2 (5), К3 (5) при фиксированном 5 можно рассматривать, как декартовы координаты точки в трехмерном пространстве, при этом точка О (0,0,0) соответствует началу координат. Через |С1С2| обозначаем расстояние между точками (оценками) С1 и С2; отклонение А вычисляем по формуле
А = max min %.
f
Программная реализация алгоритмов DP и GA была выполнена на высокоуровневом языке программирования общего назначения Python 2.7, вычислительные эксперименты проводились на ПК с процессором Intel® Core™ i7 4.20 GHz и оперативной памятью объемом 16 Gb.
Как следует из таблицы 7, для задачи (1) с размерностью потока n не более 17, следует использовать алгоритм DP; в случае больших значений n целесообразно использовать алгоритм GA.
Авторами сформулирована и изучена трехкритериальная задача обслуживания мобильным процессором линейно рассредоточенной группировки стационарных объектов с учетом предписанных ранних сроков их готовности к обслуживанию. При решении принята концепция Парето; совокупность эффективных в задаче оценок строится с использованием рекуррентных соотношений многокритериального динамического программирования. Полученный теоретический результат о вычислительной сложности соответствует оценке трудоёмкости решающего задачу алгоритма.
Выполненные вычислительные эксперименты и сравнение характеристик разработанного алгоритма динамического программирования с аналогичными характеристиками эволюционно-генетического алгоритма
Результаты
приближенного синтеза стратегий обслуживания позволили установить области их целесообразного применения.
В направлении развития рассматриваемого класса прикладных задач представляется целесообразной разработка и экспериментальное исследование алгоритмов синтеза стратегий обслуживания в локальных логистических системах с существенно более высокими характеристиками отработки, в том числе основанных на иных метаэвристических парадигмах.
Статья подготовлена по результатам исследований, выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках проекта № 15-07-03141.
Литература
1. Кочерга В.Г., Зырянов В.В., Хачатурян А.В. Планирование и организация грузовых автомобильных перевозок на улично-дорожной сети мегаполисов // Инженерный вестник Дона, 2012, №2, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/869.
2. Шегельман И.Р., Кузнецов А.В., Скрыпник В.И., Баклагин В.Н. Методика оптимизаций транспортно-технологического освоения лесосырьевой базы с минимизацией затрат на заготовку и вывозку древесины // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (ч.2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1284.
3. Коган Д.И., Федосенко Ю.С., Дуничкина Н.А. Бикритериальные задачи обслуживания стационарных объектов в одномерной рабочей зоне процессора // Автоматика и телемеханика, 2012, №10, с. 93-110.
4. Дуничкина Н.А., Коган Д И., Пушкин А.М., Федосенко Ю.С. Об одной модели обслуживания стационарных объектов перемещающимся в одномерной рабочей зоне процессором // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления. М.: ИПУ РАН, 2014, с. 5044-5052.
5. Пушкин А.М. Модель обслуживания стационарных объектов перемещающимся процессором с возможностью возвратов // Научно-технический вестник Поволжья, 2014, №5, с. 288-292.
6. Steuer, R. Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application, Russian Edition, Radio e Svyaz, Moscow, 1992, 504 p.
7. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.
8. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 460 с.
9. T'kindt V., Billaut J. Multicriteria scheduling: models and algorithms. Springer, 2006. 359 p.
10. Коган Д.И. Динамическое программирование и дискретная многокритериальная оптимизация. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. 260 с.
11. Батищев Д.И., Костюков В.Е., Неймарк Е.А., Старостин Н.В. Решение дискретных задач с помощью эволюционно-генетических алгоритмов. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2011. 199 с.
12. Коган Д.И., Федосенко Ю.С. Задача диспетчеризации: анализ вычислительной сложности и полиномиально разрешимые подклассы // Дискретная математика, 1996, т. 8, вып. 3, с. 135-147.
13. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982. 416 с.
References
1. Kocherga V.G., Zyrjanov V.V., Hachaturjan A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №2, URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/869.
2. Shegel'man I.R., Kuznecov A.V., Skrypnik V.I., Baklagin V.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 (p.2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1284.
3. Kogan D.I., Fedosenko Yu.S., Dunichkina N.A. Avtomatika i telemekhanika, 2012, №10, pp. 93-110.
4. Dunichkina N.A., Kogan D.I., Pushkin A.M., Fedosenko Yu.S. Trudy XII Vserossiyskogo soveshchaniya po problemam upravleniya. M.: IPU RAN, 2014, pp. 5044-5052.
5. Pushkin A.M. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya, 2014, №5, pp. 288-292.
6. Steuer, R. Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application, Russian Edition, Radio e Svyaz, Moscow, 1992, 504 p.
7. Podinovskiy V.V., Nogin V.D. Pareto-optimal'nye resheniya mnogokriterial'nykh zadach [Pareto-optimal solutions of multiobjective problems]. M.: Nauka, 1982. 256 p.
8. Bellman R., Dreyfus S. Prikladnye zadachi dinamicheskogo programmirovaniya [Applications of dynamic programming]. M.: Nauka, 1965. 460 p.
9. T'kindt V., Billaut J. Multicriteria scheduling: models and algorithms. Springer, 2006. 359 p.
10. Kogan D.I. Dinamicheskoe programmirovanie i diskretnaya mnogokriterial'naya optimizatsiya [Dynamic programming and discrete multi-objective optimization]. Nizhniy Novgorod: Izd-vo NNGU, 2005. 260 p.
11. Batishchev D.I., Kostyukov V.E., Neymark E.A., Starostin N.V. Reshenie diskretnykh zadach s pomoshch'yu evolyutsionno-geneticheskikh algoritmov [Solution of discrete tasks using genetic algorithms]. Nizhniy Novgorod: Izd-vo NNGU im. N.I. Lobachevskogo, 2011. 199 p.
12. Kogan D.I., Fedosenko Yu.S. Diskretnaya matematika, 1996, t. 8, vyp. 3, pp. 135-147.
13. Geri M., Dzhonson D. Vychislitel'nye mashiny i trudnoreshaemye zadachi [Computers and intractable problems]. M.: Mir, 1982. 416 p.
