АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ В КРУПНЫХ МАГИСТРАЛЬНЫХ КАНАЛАХ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

о

r

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ В КРУПНЫХ МАГИСТРАЛЬНЫХ КАНАЛАХ

Хайдарова Р.Д.1, Х,азратов М.А2.

Абдурахманов Р. С 3 Махмадалиев И.М.4. Авезова М. Б5

!Термизский государственный университет, Термиз 2.,з, 4, 5Исследователь

АННОТАЦИЯ

В Республики Узбекистан уделяется большое внимание на разработку критериев, математических моделей, методов и алгоритмов оптимального управления водными ресурсами магистральных каналов и других водохозяйственных объектов, с использованием современных информационных систем. В этом направлении также и в других странах мира, где развита водное хозяйство и ирригация, одной из необходимых задач является разработка оптимального управления водными крупных магистральных каналов с каскадами насосных станций, которое осуществлено на примере Каршинского магистрального канала с каскадом насосных станций. Это осуществлено на основе критериев и методов оптимального управления, математических моделей и алгоритмов, обеспечивающих экономию водных ресурсов.

Ключевые слова: снабжение, водные ресурсы, механизм управления, алгоритм.

In the Republic of Uzbekistan, much attention is paid to the development of criteria, mathematical models, methods and algorithms for optimal management of water resources of main canals and other water management facilities, using modern information systems. In this direction, also in other countries of the world where water management and irrigation are developed, one of the necessary tasks is the development of optimal water management of large main canals with cascades of pumping stations, which was carried out on the example of the Karshi main canal with a cascade of pumping stations. This was carried out on the basis of criteria and methods of optimal control, mathematical models and algorithms that ensure the saving of water resources.

Keywords: supply, water resources, control mechanism, algorithm.

ABSTRACT

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

ВВЕДЕНИЕ

В статье разработаны численные алгоритмы оптимального управления сложных водохозяйственных систем, таких как магистральные каналы с каскадами насосных станций, на основе структурного представления и определены типовые блоки отдельных водохозяйственных объектов.

Участок канала. Запишем характеристическую форму уравнений в виде системы матричных уравнений [1,2]

S, %+Л Д ^ = F, (Q,, ),

dt

dx,.

(2.14)

где S =

• Q = Q,'

, _z, _

Л

F

1 - Б, (v, + c,)

1 - Б1V - с,) V - с, 0

0 v + с

Начальные условия записываются в виде

Q, (x,, t0) = Q,0 (x,X Z (x,, t0) = Z,0 (x,X

0 < x, < t,., k = 1,...,6,

2 Q,|Q,| , x ,

-Б , V г - g®'—^ - (v,+ С )q,

(2.15)

где Qi0 (xi) и zi0 (xi) - известные функции; Ю - начальный момент времени.

В качестве граничных условий принимаем выражения для расхода воды более общей формы [3,4]

йх(0, г) = ! (гМ */0,0,

ЯА. г) = оп(2(1, г), 2б(г\ щ(г)\ , (216)

где Gli и G2i - монотонные дифференцируемые функции по совокупности аргументов. Здесь и^) и и2(1:) - управляющие воздействия, которые могут быть векторными величинами. Например, если на границе участка канала расположено многопролетное гидротехническое сооружение или насосная станция, состоящей из множества насосных агрегатов то управляющие воздействия являются площади открытых отверстий гидротехнических сооружений или количество работающих насосных агрегатов и углы разворота лопастей осевого насоса.

Для численного решения краевых задач (2.14)-(2.16) используем метод конечных разностей.

В области ® = - х - е. 0 -г - т} введем сетку [5]

кт

= lx,, tj)+ x, = /к; tj = jz; i = 0,1,...,N; j = 0,1,...,M; к = t /N; т = T/M}

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

с шагами h по х и т по Т.

МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

Аппроксимируя систему уравнений (2.3) с помощью абсолютно устойчивой неявной разностной схемы, имеющей второй порядок аппроксимации по х и первый порядок аппроксимации по ^ получим [6]

Qk+1 - Qk

Sk

k+1 r\ k+1

■ +

(AS )

Qk - Q

k i+1

2h

1=L = Fk + ' SF

dQ

Qk, n = 1,..., N-1

(2.17)

Здесь Qik = ^(х^ tk), z(xi, 1к)} - разностная вектор - функция неизвестной переменной, правая часть уравнений (2.14) линеаризована методом квазилинеаризации, разлагая её в ряд Ньютона, оставляя только первые члены аппроксимации в окрестности точки Fnk, после несложных преобразований, получим следующую систему трех диагональных матричных разностных уравнений для внутренних точек сетки [7]

Pk ■ Q k-1 + Rk ■ Qk 1

n ^<-n-1 n n

Pк ■ Q k+l = w

Pn Q n+1 w

n = 1.....N -1

(2.18)

Здесь

p: =Yh (AS) n;

rk =Sk-т

'SF ^k V^Q j :

Q Г = Q(x, tk+1>;

w k =

S k-т

f SF4 SQ j

(2.19)

Q n +т Fk;

Граничные условия для участка канала, ограниченного перегораживающими сооружениями, линеаризуются методом Ньютона на окрестности предыдущего шага по времени, тогда в дискретном виде получим [8]

er=Qk0+

V Su1 Jo

k+1 k , , u - u 1+

k Jo

k+1 k I

Ze6 - Ze6 1 +

f \k SS G, A

v Sz V J o

k+1 k

QN+l = QN +

V Su2 Jo

k+1 k+1 , , u2 - u2 | +

SG2

V Sz Jo

k+1 k , , ZrN - ZiN 1 +

SG

i 2

Ä Jo

k+1 k

Suj

f

J o

SG1i

\k f

VSzвб J o

SGü

Sz

\k f

J o

SG2i

\k f

VSu2 Jo

(2.20)

Gl

Sz

\k f \k ^ SG2i

J o и

V Szнб Jo

Здесь частные производные означают производные функции расхода воды гидротехнического сооружения,

k

T

n

k

n

k

k

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

расположенного в начале и в конце участка канала относительно аргументов и1, zвб и zнб.

В случае, если участок канала ограничен перегораживающими сооружениями, то частные производные, с учетом выражений расхода воды, протекающих через сооружения, имеют следующий вид [9]

f0G^

Kdau У о

= Ми

d2g (zk6l -Z(k,); {dG)

V l dzM J

dZ

l eöi Jq

g

k _ k Ze6i Z0,

i0G±'

dz, j„

lda2, Л

kk

g

к к

= ^2

<J2g (4 - zks,);

l dz, У 0

kk

g

2gIzs - zQ

dz

ldzu6i у0

kk

= -^2гаЪЬ

g

2 gI 4 - z^

Граничные условия (2.20) преобразуем к виду

(2.23)

r>k +1 + syk 7k +1 _ ok +1

Q0, +a0iz 0, = Ро, ,

r>k +1 . ryk +Kk +1 _ ok +1 qN., + a№ zN, = p№ ,

где

l dzz Уо

k

, dz

l Уо

ßk + 1 = Qk +

p0, Q0, +

PN+1 = Qk,+

'0G*

dux

^ 1, Уо

0Gn

l du2, у 0

k+1 k I ,

U1, - U1,I +

k+1 k

'og^

dz

ld2eöi У0

k

og2i

k+1 k

r0G^k

l dz, Уо

dz. l , У

k

zN, +

G

dz

ldzu6i У0

k+1 k

Здесь

Qüi =^1,-aibi. 2g (i - zk0l);

QN = 2g (zN - zk6i).

(2.21)

(2.22)

Далее, с помощью системы разностных уравнений (2.6) и граничных условий (2.12), получим разностные граничные условия [10]

k

k

ао, = -

ат = -

k

k

0

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Pkr\k+\ . T| kr\k+\ k

p0Qo + R0Qi = wo>

и k r\k+\ R N Q N-1

Pkr\k+1 •k Q N = W

(2.24)

где

Рк

n

y110

R k

11N ,k

21N

120 at

12N

ak

a22N

Rk

Рк

a;

"110 ck

c 210

120

ck c220.

a

21N

b

22N

к > W 0 = d 1 "10 ßk1 _

к > W N = ßN+11 dk d 2N _

Здесь для начального створа участка канала в качестве коэффициентов первого уравнения для граничных условий взяты коэффициенты первого уравнения, а для конечного створа взяты коэффициенты второго уравнения в системе уравнений характеристической формы неустановившегося движения воды.

Уравнения (2.18) и (2.24) представляют собой замкнутую трех диагональную систему уравнений. Они записываются следующим образом [11]

Рк о Г + »0 ок+1 = ™ 0,

Р • оП- + К • оП+1 - Ркп • оП++! = , п=1,..., ж -1, к=о, 1,...,

Р к о к+1 - К к о к+1 = _ к

РмоN-1 КNоN " N, (2.25)

Эту систему уравнений можно записать и в общем виде

N

^ Ак • = wк, I = 0,...,N, к = 0, 1,...

;=о (2.26)

Здесь А1) - элемент матрицы А, сам являющейся матрицей размерностью

2х2.

Выходной сигнал распределенного блока выражается следующим образом:

N

ок+1с к • w к, I=0,..., N, к=0, 1,...

;=0 , (2.27)

где Gij - элемент матрицы G, обратной к матрице А.

Формулу (2.27) можно записать в виде

N 2

= Ц <, п = 1, 2, I = 0,...,N, к = 0, 1,...

1=о п=1 (2.28)

Здесь Qnik+1 и wmjk п, т=1, 2; i, j = 1,..., N при фиксированном к являются прямоугольными матрицами размерностью 2хМ Элементы матрицы Gкnmij отражают влияние т-го входного сигнала в пространственной точке х^, дискретное представление распределенного блока, соответствующего участку канала приведено на рис. 2.1

к

к

к

к

1

к

к

1

к

к

Oriental Renaissance: Innovative, p VOLUME 2 | ISSUE 10

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor Q SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

Выражение (2.28) удобно написать в тензорной форме 0Í? = Gm ■ <■, n = 1, 2, i = 0,..., N, к = 0, 1,..., (2.29)

т.е. отпущен знак суммы и суммирование производится по парным индексам.

Для вычисления матрицы G необходимо вычислить обратную матрицу к матрице A. Одним из эффективных способов вычисления Gij, элемента матрицы G, является матричная прогонка, учитывающая трехдиагональную структуру системы уравнений (2.25).

При каждом фиксированном j (j = 1,.. ,,N), начиная с последней точки i= N вычисляются прогоночные коэффициенты

vк = ír к )-1 ■ pк

VN vr N/ p N,

vк = ípк - r к ■ vк )- ■ r к

Vn = \pn r n yn+1/ r n , WN = ÍRN )-1 ■ 8 N j ,

Wnk = (Pnk + Rn ■ V*1 )-1 ■ Í8i j + Rn ■ Wk+1) (2.30)

n=N-1, N-2, ..., 1,0

Структурная модель участка канала приведена на рис.2.1.

Рис 2.1. Блок, описывающий водохозяйственный объект -участок канала

После вычисления VI и Wi, вычисляем Gij по формуле [12]

Oriental Renaissance: Innovative, VOLUME 2 | ISSUE 10

educational, natural and social sciences ISSN 2181-1784

Scientific Journal Impact Factor (J) SJIF 2022: 5.947

Advanced Sciences Index Factor ASI Factor = 1.7

g* = (r* + pkv* )-1 •(ô1 j - r* • w2k ) gk+1 = vk • gkj. + w*, i = 1,2,...,N -1, N

(2.31)

где 5ij = 5mn 5ij , n, m=1, 2; i, j = 1,..., N.

Далее указанная процедура повторяется при другом значении j. Таким образом, вычисленная матрица G запоминается.

С помощью выражения для Wjk в соотношениях (2.14) и (2.23) вычисляются векторы входного сигнала блока. После того как вычислена матрица G и совокупность векторов Wjk по формуле (2.27), вычисляется выходной сигнал Qnik+i-

Из изложенного выше следует, что численный алгоритм решения разностной краевой задачи имеет следующую последовательность:

С помощью формул (2.18) (2.23) и (2.24), с учетом выражений (2.2) и (2.23), вычисляются коэффициенты разностного уравнения (2.25) и входные сигналы

е- W\t Wk?,

блока lj и 2J.

С помощью рекуррентных формул в (2.30) вычисляются прогоночные коэффициенты.

С помощью рекуррентных формул (2.31) вычисляются элементы матрицы дискретного представления.

По соотношениям (2.29) вычисляется выходной сигнал Qnik+1.

Таким образом, получен единый численный алгоритм для оптимального управления режимами работы участков канала с помощью системы дифференциальных уравнений неустановившегося движения воды в канале.

Зная Qon, zon, uik, U2k, qnk и, решая уравнение на основе вышеизложенного алгоритма, можно определить Qnk+i, Znk+i и структурно представить в виде блока с распределенными параметрами.

Здесь wуnk+1= {Qon, Zon, Ulk, U2k, и qnk}, Оупк+1= {Qnk+1, Znk+i} -последовательность входных и выходных сигналов блока соответствующего участка канала.

ХАу - алгоритмический оператор участка канала однозначно связывающий последовательность входных сигналов с последовательностью выходных сигналов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе выбранных методов алгоритмизации разработаны алгоритмы задач оптимального управления неустановившемся движением воды на

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

о

R

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

участках КМК и процессом водоподачи каскадом крупных насосных станций Каршинского магистрального канала, которые дают возможность решать соответствующие задачи оптимизации, а также на их основе разработаны численные алгоритмы решения задач оптимального управления участком канала, ограниченного двумя насосными станциями, насосных станций и гидротехническими сооружениями на участке Каршинского магистрального канала, которые решают задачи неустановившегося движения воды на участках канала и процесса водоподачи каскада насосных станций Каршинского магистрального канала.

REFERENCES

1. Kabulov, A., Normatov, I., Seytov, A., & Kudaybergenov, A. (2020, September). Optimal management of water resources in large main canals with cascade pumping stations. In 2020 IEEE International IOT, Electronics and Mechatronics Conference (IEMTRONICS) (pp. 1-4). IEEE. DOI: 10.1109/IEMTRONICS51293.2020.9216402

2. Rakhimov, S., Seytov, A., Nazarov, B., & Buvabekov, B. (2020, July). Optimal control of unstable water movement in channels of irrigation systems under conditions of discontinuity of water delivery to consumers. In IOP Conference Series: Materials Science and Engineering (Vol. 883, No. 1, p. 012065). IOP Publishing. DOI:10.1088/ /1757-899X/883/1/012065

3. Kabulov, A. V., Seytov, A. J., & Kudaybergenov, A. A. (2020). Classification of mathematical models of unsteady water movement in the main canals of irrigation systems. International Journal of Advanced Research in Science, Engineering and Technology, 7(4), 2350-0328.

4. Kabulov, А. V., Seytov, A. J., & Kudaybergenov, A. A. (2020). Mathematical models of the optimal distribution of water in the channels of irrigation systems. International Journal of Mechanical and Production Engineering Research and Development (IJMPERD) ISSN (P), 2249-6890.

5. SH. KH. Rakhimov, A. J. Seytov, D. K. Jumamuratov and N. K. Rakhimova, " Optimal control of water distribution in a typical element of a cascade of structures of a machine canal pump station, hydraulic structure and pump station", International Journal of Mechanical and Production Engineering Research and Development (IJMPERD) ISSN (P): 2249-6890; ISSN (E): 2249-8001 Vol. 10, Issue 3, Jun 2020, 11103-11120, IJMPERDJUN20201065, India, 2020.

6. Sh.Kh.Rakhimov, A.J. Seytov, A.A. Kudaybergenov, "Optimal control of unsteady water movement in the main canals" International Journal of Advanced

Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences Scientific Journal Impact Factor Advanced Sciences Index Factor

о

r

VOLUME 2 | ISSUE 10 ISSN 2181-1784 SJIF 2022: 5.947 ASI Factor = 1.7

Research in Science, Engineering and Technology Vol. 7, Issue 4 , April 2020, ISSN: 2350-0328, pp. 13380- 13391, India, 2020.

7. Salaeva, M., Eshkaraev, K., & Seytov, A. Solving mathematical problems in unusual ways with excellent limits. In European Scientific Conference pp. 254-257. (2020).

8. Rakhimov Sh.Kh., Begimov I., Gapparov Kh,Sh., Seytov A.J. Теория оптимального управления распределением воды в каналах ирригационных систем в условиях дискретности водоподачи потребителям. Монография. Изд-во ООО «Белгим», Ташкент, 2017 с. 169.

9. Рахимов Ш.Х., Гаффаров Х.Ш., Сейтов А.Ж. Алгоритмы оптимального управления распределением воды в каналах ирригационных систем в условиях дискретности водоподачи потребителям, //Мелиорация и водное хозяйство РФ, 2016, №6, С. 6-10. (05.00.00; №51)

10. Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж., Математические модели каскада насосных станций Каршинского магистрального канала. Проблемы информатики и энергетики. Ташкент, 2017 №5, с.13-20. (05.00.00; №5)

11. Рахимов Ш.Х., Сейтов А.Ж., Математические модели водоподачи Куюмазарской насосной станции с водохранилищем сезонного регулирования. Проблемы информатики и энергетики. Ташкент, 2017 №6, с.22-28. (05.00.00; №5)

12. Рахимов Ш.Х., Гаффаров Х.Ш., Сейтов А.Ж. Prerequisites for optimal distribution of water in irrigation canal systems// Austrian Journal of Technical and Natural Sciences, № 9-10, Vienna. 2017. pp. 50-58.