Алгоритмы решения СЛАУ с матрицами теплица Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник ТГПУ. 1999. Выпуск 7 (16). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ

О, I е Z активен н не захвачен, то их логические координаты столбцов различны.

Следствием является;

Утверждение ¡5. Логические индексы любых двух активных процессоров, расположенных и соседних строках матрицы, различны.

Утверждение. 16. Ненулевые логические коор динаты процессорных элементов различны.

Доказательство. Рассмотрим активные процессоры (/„у,) Й т > 0, т е Z. При т = О справедливо утверждение 9 и логические индексы процессоров различны. При т = ! справедливо утверждение 15 и логические индексы процессоров различны.

Пусть тп > 1, Вычисляя логические номера с грок по формуле (3), с улетом (5} получаем: г UJ)-i /Г1Ц;

Г (i+m j) = i + m + [: (j'+ I v d (/+1 ,y5-1}];

Г (/+/!!, Л) -'' (Ц> = tu + [z V d (/+! Д4Я -[: (¡+Lj\) v d (í+J J2-\)]> m - I > í - I = 0.

и логические номера строк различны.

Следовательно, для любых двух элементов процессорном матрицы логические координаты, вычисленные по формулам (3) и (4), будут раэ-личнье, что и требовалось доказать.

Из справедливости утверждения 16 следует корректность, предлагаемого алгоритма диагонального захвата для реконфигурации отказоустойчивой процессорной матрицы с сохранением структуры квадратной решетки.

Заключение

В настоящей статье предлагают ■■■1 логический уравнения для вычисления сигналов перестройки по алгоритму диагонального захвата, позволяющему обеспечить отказоустойчивость процессорной матрицы. Разработан алгоритм вычисления новых логических индексов для процессорных элементов и доказана его корректность.

УДК 612.342

А.И. Лшпеиа

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ С МАТРИЦАМИ ТЕПЛИЦА

■ ¡Институт оптического мом^торима СО РАН "Томский государственный педагогический униаероитет

Пусть имеется СЛАУ АХ= У, (1)

где Л - невырожденная теплпцева матрица порядка N=2"; п - натуральное число. Матрица А Имеет вид:

Г И., ■■■ а г>.

_а„. , а,., ... ас_

Представим [1-4] А=В-С, где В - невырожденная матрица, имеющая простое обращение. Тогда (I) перепишем в знде. БХ-СХ + У. (2)

Итерационный процесс можно проводить по схеме (2, 5]:

БХ'Г">=СХ<П>+У <Э)

или Х*""= г+В 'СХ^, где 'У; п=0,1,...

Матрицу В можно получи :ь с помощью ОДП Фурье или Уолша [6-!0].

Пусть ТАТ '=5, где Т-ОДП Фурье

или Уолша. Положим ТВТ1=0. Отсюда В=Т Тогда В"1 =Т'Б"'Т,. На хождение матрицы О-1 не представляет труда ввиду ее диагональности Описанный выше итерационный процесс сходит-

ся, если ЦВ"СЦ<1. Сходимость подразумевается в смысле сходимости по норме матрицы А.

Ортогональные дискретные преобразования (ОДП) возможно использовать и при решении з.щач обращения матриц.

Будем считать, что обратная матрица В"1 начальная. Приближение матрицы В"1 к обратной матрице А 1 будем проводить по следующей формуле [! I ]:

Итерационный процесс можно считать законченным, когда ЦТ-АН,,"1где ¿1 - наперед заданное положительное число Сходимость итерационного процесса обеспечивается условием [11]: ||Е-АВ;']|<|

При этом условии итерационный процесс сходится быстро.

Рассмотрим другой способ решения СЛАУ с эрмитовыми матрицами. Для этого умножим слева СЛАУ АХ=В, где А - невырожденная матрН' ца порядка Ы, на сопряженную к А матрицу А", Получим: А'АХ = А*В. Обозначим А'А = К, А*В = У. Тогда КХ=У (4)

Матрица К является эрмитовой, поэтому к ней можно применить теорему Шурат которая гоно-

А Н- Литвин. Алгоритмы решения (Л А У с матрицами Теплица

рит о том, что можно ниитн ортотональное преобразование Т, приводящее матрицу К к- диагональному ВИДУ [1,5, 12-15).

Рассмотрим два способа решения СЛАУ вида (1) с приближенным нахождением обратной матрицы Е

Пусть С=К+Г. Матрицу С можно получить следующим образом [6-10]: ТКТ1 = R; S = diagR; С = Т 1 ST Отсюда D = С = Т S1 Г,

Оценка аппроксимации матрицы К матрицей С неизвестна, так кик она зависит от свойств матрицы С, от величины порядка матрицы К, а также от вида ортогонального преобразования Т и т.д. Если такого вида аппроксимация не приводит к удовлетворительному результату, то можно представить обратную матрицу К ; в виде ряда Неймана [5-8, 15]:

К'=[E + DF+(DF)3 + ...]D, (5)

где Е единичная матрица порядка N. Условием сходимости ряда Неймана (5) является выполнение условия ||DF||<I. Если ряд (5) сходится, то можно найти с! [5, И, 16]: ¿ = ||К' [E+DF+iDF); + ...+ (DF)"]D||. где 5 - наперед заданное положительное число. По неравенству Шварца [5, 15, 161:

DpF\\ ЛГ-И

1 - DF|

Отсюда

(6)

Д.чя решения СЛАУ вида (I) можно расширить класс эрмитовых матриц. Для этой цели введем следующее определение.

Определение I. Квадратная матрица А называется почтиэрмнтовой, если существует такая эрмитова положительно определенная матрица К., что матрица А К эрмитова.

Теорема I. Матрица А ночтнэрмитова тогда и только тогда, когда она подобна эрмитовой матрице.

Докамтельато. Необходимость.

Пусть матрица А почтиэрмитова. Тогда справедливо следующее выражение А К ЯА* ввиду того, что матрица Я положительно определена. ее можно представить в виде Я^до*, где () - невырожденная матрица. Тогда: Ад(Г=00*А. (7)

Умножая выражение (7) слева на О 1 и справа на (<У)-', получим 'ЛО^О'АЧО') 'НО-'АО)-.

Из последнего равенства следует, что матрица <3"'А(? эрмитова, т.е. матрица А подобна эрмитовой матрице.

Достаточность. Пусть 0-,А(3=<д'Ад}', т.е. д 'Ад-О'АЧО)

Умножая последнее равенство слева на 0 и справа на 0*. получим А<30*=00+А. Ввиду

того, что матрица 0 неособенная, то дд* - эрмитова и положительно определенная матрица. Теорема доказана. Теорема 1 на практике может быть малоэффективной, так как она не указывает способы нахождения матрицы Я.

Теорема 2. Матрица А почтиэрмитова тогда и только тогда, когда ее собственные значения действительны, а соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Докизатспьстви. Необходимость.

Поскольку эрмитова матрица имеет действительные собственные векторы, то этнмн свойствами обладает и любая подобная матрица.

Достаточность. Если матрица А имеет ¿■действительные собственные значения и линейно независимые собственные векгоры, то Р 'АР=В, где Э - матрица собственных значений, а Р - матрица собственных векторов. Матрица А подобна эрмитовой и по теореме 2 она является почтиэрмитовой.

Замечание 1. Почтнэрмитовость матрицы А можно проверить путем исследован ин йе собственных значений и векторов.

Замечание 2. Теорем и 2 верна и а гом сл_\ чае, когда матрица А имеет кратные собственные значения. Предположим, что I, - корень кратности к. Тогда существуют к линейно независимых векторов, соответствующих собственному значению 1, а любой другой собственный вектор у, соответствующий |(1 есть линейная комбинация этих к векторов. Этот факт следует из теоремы [I, 12] и из следующей теоремы [1, 14):

Если В - эрмитова матрица, то существует унитарная матрица и такая, что В=иЦ'*, где и* - сопряженная матрица к и, а диагональная.

Возникает вопрос: является ли класс лочтм-эрмн-товых матриц подклассом нормальных матриц? На этот вопрос ответ следующий.

Из теорем I VI 2 следует, что не всякая нормальная матрица является почтиэрмнтоаой. С другой стороны, можно привести пример, когда почтиэрмитова матрица не является нормальной матрицей.

Пример:

Г 5 о п

А 13-1

о о

R =

Г 1 о -1/3] 0 ) 4/3 ГЗ 4УЗ lj

Легко проверить, что АА'^Ф А'А, т.е. матрица А не является нормальной [1,12 14], но Я является положительно определенной матрицей и Л К эрмитова матрица. Таким образом, не вся кая нормальная матрица является почтиэрмитовой, и наоборот.

Вгстнж ТГПУ. ¡999. Выпуск 7 (16). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НА УКЯ

Рассмотренные выше способы решения СЛАУ применялись к нахождению количественного состава компонентов органических смесей,

а также к цифровом моделировании двумерных линейных систем (изображений).

Литература

1. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления, М.: Наука. 1934. С. 31В.

2. Воеводин В.В.. Тыршшников Е.Е. Вычисления с теплицевыми матрицами // Вычислительные процессы и системы. М,; Hayna, 1983. Вып 1. С. 1S4-2SG.

Самарский A.A. Введете а численные методы. М.: Наука, 19В7. 266 с.

4. Самарский A.A.. Николаев Е.С. Методы решении сеточных уравнений. М- Наука, <907. 592 С.

5. Hunt В. A matrix theory prool ot ihe diskrete cortvolulion theorem // IEEE Trans. Audio Eleciroacousl. 1971. Au-29. P. 285 - 288.

6. Литвин А.И., Кожуховский А.Д. Решение систем линейных алгебраических уравнений с использование« ортогональных дискретных преобразований Ц Вычислит и прикладная математика К.: Лыбндь. 1992. Вып. 74. G. 17-19.

7. Литвин А И Кожуховский А.Д Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений. Св-во №107 Ц ЦНИТИМ. Спе-цнапиэир. отд. отрасл. фонда алгоритмов и программ сист. автомат из. проектных раб. для 1ехнологнч подгот. произв. и автоматизм сист. улравл текнологич. процессом ОФАП САПРТ и АСУТП, м., 19S9. в с.

8. Литвин А и Численное исследование систем с сосредоточенными и распределенными параметрами методом ортогональных дискретных преобразовании: Дис. ... канд физ. -мат. наук. Черкассы, 1991. 171 с.

9. Способ решения систем линейных алгебраических уравнений на ЭВМ / В.А. Подкаренхо, АД Кожуховский. А.И. Литвин, В В. Приснхнюк Винница, 1980. Ю С. Деп. в УкрНИИНТИ 26.05 88. № 1298 - V*. 88.

10. Цифровое моделирование изображений / В.И. Быков, А.Д, Кожуховский, А.И Литвин. Н.В. Молчунов // Электронное моделирр-isjHHi;. \Ж 18. № 2. С. j-5

И. Бахвалов Н.С. Численные методы М,. Наука, 1975 632 с.

' I. iej'.i^a-: Р введение г. теозию матриц. М.; Каука, 1375. 315 с.

■ 2, Гэч'махер Ф.Н. Теория мат^ц У : Наука, '967. 575 с.

14, Справочная математическая библиотека, ВЫСШАЯ АЛГЕБРА. М<: Наука, 1965. 300 с.

15 Rino С. The inversion of üwariance Matrices by Finite Fourier Transforms)} IEEE Trans, iniorm. theory. 1970. V. 16 P. 230-232.

16 Корн г., Корн Т. Справочник по математике для научных сотрудников. М.: Наука, 1986 В52 с.

УДК С21 591

А,И. ЛиташТ, А.И. Мий" СВЯЗЬ ЭНТРОПИИ ШЕННОНА И БОЛЬЦМАНА

'Институт оптического мониторинга СО РАН ""Томский государственный педагогический университет

В работе рассматривается связь энтропий Шеннона н Больцмана. Доказаны некоторые свойства в веденной энтропии, а также показана возможность ее применения в теории кодирования.

Согласно определению Шеннона, энтропия системы определяется как

N

Н = ,

где р - вероятность того, что система находится в заданном состоянии I. Для двоичной системы Н- -(р1о£Р+Я'°6Я)< гДе Р ~ вероятность появления нуля, а ц=(1-р) - вероятность появления единицы. Для потока из Кг ¿-независимых битов энтропия равна: Н- -N(plogp^-qlogq).

Очевидно, что теория информации не связана в этом случае с термодинамикой. Это положение можно изменить, если связать двоичный бит с

квантом энергии. Предположим, что энергия бита равна е, если бит представляет нуль, и нулю, если бит представляет единицу. Связь между е {энергия бита) и Е (энергией макросостояння) определяется вероятностью р [I]. Если система из N битов имеет т нулей, то р=гп/\ и Е=Ыр'е=И1е. Исходя ил соотношения I 'Т, где Т - тем-

пература, О - теплота, Н - энтропия Больцмана, можно доказать теорему.

Теорема /. Для больших N больцмановский множитель: ехр(-е/ЬЛ") =р/ц.

ДШйЗвтельстви Рассмотрим соотношение кО=Е, Тогда ЭН/ЭЕ=1/кТ; Н=Ья0М где к - постоянная Больцмана. Отсюда: 1/кТ=(1ое|£<тпе)]-^[ё((т-1)е)])/ДА; ЛЬ/ЬТ = 1о£((*-тН)/т). Далее, ехр(г-'кТ)-т/(И -т+! )=тп/{Н-тХ I -1 /(Ы-ш+1 )=р/ч{ I -1 1» Для достаточно больших Ы: дЕ/кТ<^^((1Ч~т)/т); ехр(-с/кТ)=т/(М-т)=р/ц. Теорема доказана.