CC BY
15Математика к Математическое
моделирование
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2018. № 01. С. 1-14
Б01: 10.24108/шаШш.0118.0000101
Представлена в редакцию: 17.01.2018
© НП «НЕИКОН»
УДК 539.374
Алгоритмы решения краевых задач МДТТ с учётом деформации ползучести
Станкевич И.В. Волков С.С.
ар!тех@уагч1е;ии 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В работе рассматриваются алгоритмы построения численного решения задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с учётом деформации ползучести с помощью конечно -элементной технологии. Особенностью рассматриваемых алгоритмов является реализация шаговой процедуры нагружения в рамках явной и неявной схем Эйлера. Представлены результаты численных исследований изменения напряжённо-деформированного состояния в течение пяти полетных циклов рабочей охлаждаемой лопатки авиационного ГТД с учетом деформации ползучести, выполненных в трехмерной постановке. Определяющее соотношение было выбрано в форме теории течения. Анализ результатов показал работоспособность разработанных алгоритмов и, реализующего их, программного кода.
Ключевые слова: теория ползучести; явная схема Эйлера; неявная схема Эйлера; метод конечных элементов
Введение
Дальнейшее развитие энергомашиностроения и прежде всего двигателестроения связано с существенным повышением удельных показателей. Например, основным направлением в развитии газотурбинных двигателей является повышение параметров газа перед турбиной. При этом наблюдается интенсивный рост тепловой и механической напряжённости и в первую очередь это относится к деталям и элементам проточной части. Разрушение этих конструкционных элементов может иметь самые тяжёлые последствия.
Увеличение надёжности и долговечности ответственных элементов конструкций двигателей, работающих в условиях сложного циклического термомеханического нагру-жения, является одной из самых приоритетных задач современного двигателестроения.
Одним из факторов, определяющих работоспособность конструкции, является высокотемпературная ползучесть. При решении задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) с учётом деформаций ползучести широкое применение нашли различные варианты теории наследственной ползучести и трёх основных технических теорий - старения, течения и упрочнения [1 - 6]. Известны также теории, использующие для описания
ползучести аппарат структурных моделей и механических аналогов [7, 8]. Большинство теорий ползучести удовлетворительно описывает деформирование при постоянных или медленно изменяющихся нагрузках. Анализ напряжённо-деформированного состояний при переменных нагрузках лучше описывается с использованием теорий течения и упрочнения, при этом теория упрочнения имеет некоторые преимущества перед теорий течения, так как несколько точнее аппроксимирует результаты экспериментов [1]. С точки зрения организации вычислительного цикла технические теории имеют известные преимущества перед наследственными [1, 2]. Однако история предшествующего нагружения не находит достаточно полного отражения в основных соотношениях этих теорий. Поэтому применение теории наследственной среды является более предпочтительным. Проблемы, связанные с построением и применением линейных и нелинейных теорий наследственной среды, рассмотрены во многих работах, например, [3 - 5].
При решении методом конечных элементов (МКЭ) краевых задач МДТТ с учётом деформаций ползучести весьма часто используют схемы Эйлера - явную или неявную. В зависимости от особенностей рассматриваемой задачи алгоритм решения строится либо в соответствии с методом начальных напряжений, либо - методом начальных деформаций [2, 9, 10, 13]. Метод начальных деформаций при решении задач с учётом ползучести используется чаще, поскольку применение метода начальных напряжений для этого класса задач технически значительно сложнее. Ниже рассматриваются явная и неявная схемы Эйлера в сочетании с МКЭ [9 - 13]. Обе схемы формулируются в соответствии с методом начальных деформаций [9, 10]. Определяющее соотношение, для примера, было выбрано в форме теории течения.
1. Явная схема Эйлера
Данная схема для конечных нагрузок реализуется в соответствии со следующим алгоритмом.
1. Для начального момента времени = ¿0 = 0 задаётся нагрузка \У}. Принимается, что во всех конечных элементах (е) деформации ползучести {ес(е') | отсутствуют
{гС(е)(Ь)} = {^о)} = 0 .
2. В соответствии с процедурами МКЭ формируется и решается уравнение
[ * К" } = {^ }.
3. Для каждого конечного элемента (е) вычисляется вектор напряжений {а^ } .
4. Из принятых определяющих соотношений находится вектор скоростей деформаций ползучести
5. Для момента времени +1 вычисляется вектор деформаций ползучести
где Дt = +1 - tk - шаг по времени.
6. Формируется локальный вектор узловых сил {т(е) }, эквивалентный действию деформаций ползучести в объёме рассматриваемого конечного элемента (е)
{£•>}= | [вру
V(е)
н
(е) ]{*С(е)}
йу,
где
н
( е)
- матрица Гука;
В(е)
вР
- матрица градиентов конечного элемента (е).
В данном случае фиктивные начальные деформации принимаются равными деформациям ползучести.
7. Формируется глобальный вектор узловых сил {Т^ }, эквивалентный действию деформаций ползучести в объёме всего тела
-|Т
'-г
ке1 -.Ту \
- }=£ [4е> ] №>},
е=1
матрица геометрических связей конечно-
здесь ке1 - число конечных элементов;
го элемента (е).
8. Формируется и решается уравнение
[ К ]{и} = {Т} + {^ }.
9. Вычисляется вектор напряжений {ст(е)} .
10. Если заданный интервал времени пройден (tk+1 > tШSK), то вычисления заканчиваются, в противном случае делается переход к пункту (4).
Глобальная матрица жёсткости [ К ] строится на каждом шаге по времени только в
том случае, если её компоненты изменяются, например, зависят от температуры, которая, в свою очередь, зависит от времени. Очевидным преимуществом этой схемы является её простота и экономичность. Однако явная схема весьма чувствительна к выбору величины шага Дt по времени.
2. Неявная схема Эйлера
Для конечных нагрузок схема реализуется в соответствии со следующим алгорит-
мом:
1. Для начального момента времени tk = ^ = 0 задаётся нагрузка {Т} . Принимается, что во всех конечных элементах (е) деформации ползучести отсутствуют
{гС(е)«ко)} = 0 .
т
2. В соответствии с процедурами МКЭ формируется и решается уравнение
[ * ]{и } = {.}.
3. Для каждого конечного элемента (е) вычисляется вектор напряжений {а(е)} .
4. Из принятых определяющих соотношений находится вектор скоростей деформаций ползучести
5. Фиксируется вектор {^С/е+1)} = {8<С (е)} и принимается, что
6. Для момента времени tk+1 вычисляется вектор деформаций ползучести
где Дt - шаг по времени = tk+1 - tk ); а - параметр (а > 0,5).
7. Оценивается сходимость итераций внутри рассматриваемого шага по времени: если выполняется неравенство
тах
1< е <к
{ес{е\ь+1)}-{еСс\е)(Ч+1)}
<8„
где ^ с - заданная точность, то выполняется переход к пункту (13), в противном случае -
к пункту (8).
8. Формируются векторы
к 1 -р
{7«к+1)} и {У£с (^+1)} = £ [Ъ^} ] {Г^\+1)} ,
е=1
где .
{У<;\+,)}=![ ве ]' [ н >е ]{,с(е)(,к+1)} а.
V(е)
9. Формируется глобальная матрица жёсткости (если необходимо) и решается урав-
нение
[ * ГМП+Лс}.
10. Вычисляется вектор напряжений {а(е)} .
11. Фиксируется вектор {^Си^А:+1)} = {е<С(е)($к+1)} и вычисляется вектор скоростей деформации ползучести с учётом полученного вектора напряжений {а( е)}
12. Выполняется переход к пункту (6).
13. Если заданный интервал времени пройден (tk+1 > tШSK), то вычисления заканчиваются, в противном случае делается переход к пункту (5).
При реализации неявной схемы глобальная матрица жёсткости [К], как и в случае
явной схемы, может быть построена в начале расчёта и затем оставаться постоянной. Если её компоненты изменяются, например, зависят от температуры, которая в свою очередь зависит от времени, то матрица жёсткости [ К ] строится на каждом шаге по времени, однако на итерациях внутри шагов остаётся постоянной.
Неявная схема менее чувствительна к величине шага по времени Дt, однако итерационный процесс внутри шага может потребовать заметных затрат процессорного времени.
Одной из модификаций как явной, так и неявной схем, направленной на повышение вычислительной эффективности, является следующая [9, 10]. После того, как определён
вектор напряжений {ст(е)}, вычисляется глобальный вектор невязки узловых сил конечно-элементной модели
ке1 _ _Т _ , „
й = {Т}-1 [>"]Т I [в(е)]Т р}*,
е=1
V (е)
который затем прибавляется к правой части основного матричного уравнения
[ к ]{и }={Т } + {-, } + Р{2},
при этом все остальные процедуры сохраняются. Параметр Р подбирается экспериментально.
3. Численный анализ напряжённо-деформированного состояний рабочей охлаждаемой лопатки авиационного ГТД с учетом деформации
ползучести
В качестве иллюстрации рассмотренных алгоритмов был выполнен в трехмерной постановке расчет напряженно-деформированного состояния рабочей лопатки ГТД с учетом деформации ползучести с применением неявной схемы Эйлера. Лопатка изготовлена из литейного сплава на никелевой основе, по своим теплофизическим и физико-механическим свойствам близкого к маркам типа ЖС6К, ЖС6У, ВЖЛ12. Конструкция лопатки и соответствующая конечно-элементная модель представлены на рис. 1. Число конечных элементов в модели - ке1 = 2432, число узлов - ки21 = 11308 . Номерами отмечены некоторые характерные точки. Зона А - средняя часть (по высоте) передней кромки; В и С - средние части (по высоте и по длине дуги) соответственно корыта и спинки лопатки. Внутри лопатки имеется полость для охлаждения. Охлаждающий воздух поступает в полость пера лопатки снизу по двум каналам, находящимся в замковой части, а отводится через щель в задней кромке в проточный канал двигателя.
б
Рис. 1. Конструкция лопатки и конечно-элементная модель: а - вид со стороны корыта; б - вид со стороны
спинки
Исследование напряжённо-деформированного состояний проводилось для условного полётного цикла, включающего следующие основные элементы: запуск, выруливание на взлётную полосу, взлётный режим, стационарный режим полёта, приземление и останов двигателя. Общая длительность полётного цикла - 40 мин (рис. 2).
Температурное состояние лопатки было исследовано до проведения анализа напряженно-деформированного состояния. Наибольший уровень температур получен на взлётном режиме. Например, температуры в зоне замка достигали значений 920 - 1130 К, а на верхней полке - до 1470 - 1500 К. Максимальный температурный перепад по высоте был равным 920 К, а в плоскости полки (в плоскости корневого сечения) - 550 К. Значительная неравномерность температурного поля с учётом нагрузок, вызванных центробежными силами, приводит к высокому уровню напряжений.
Рис. 2. График изменения частоты вращения вала ГТД в течение одного полетного цикла
На рис. 3 представлены графики изменения интенсивности напряжений в некоторых точках лопатки (см. рис. 1), характеризующие кинетику напряжённого состояния в течении пяти полётных циклов. Наиболее высокий уровень напряжений получен в замковой части лопатки. Например, в центральной части замка (точки 2, 4) интенсивность напряжений на взлетном режиме в первом полётном цикле достигала значений 600 - 680 МПа. В корневом сечении уровень интенсивности напряжений значительно ниже. Здесь максимальные значения (взлетный режим в первом полётном цикле), полученные в районе корыта и спинки, лежат в диапазоне 230 - 260 МПа, а уровни интенсивности напряжений на передней и задней кромках соответственно составили 135 МПа и 200 МПа. В среднем сечении и на верхней полке максимальный уровень интенсивности напряжений ещё ниже. Например, на внешней поверхности корыта в зоне перемычки (точка 12 на рис. 1) <7и не
превышает 235 МПа, а на верхней полке &и = 81,7МПа .
Как видно из графиков, во всех полётных циклах на стационарном режиме имеет место значительное проявление релаксации напряжений, вызванной ползучестью материала и, как следствие, перераспределением напряжений. Кроме того, накопление неупругих деформаций (прежде всего ползучести) проявляется в изменении общего уровня напряжений в сторону их уменьшения при повторении циклических нагружений, соответствующих полётным циклам. Например, если в точке 2 в конце стационарного режима в первом полетном цикле интенсивность напряжений составляла величину 360 МПа, то уже в конце стационарного режима на пятом полетном цикле это значение уменьшилось до 245 МПа.
Максимальный уровень деформаций получен в центральной зоне замка. В точках 2 и 4 на взлётном режиме в первом полётном цикле интенсивность суммарных деформаций была
600,0 ■ 5.00,0 ■ 400,■ 300,0■
алй^о ■ 100,0 ■ о,': ■
I
\ ■ 2 1
• N Л ч 1
N С, V- % ч \
** 3 1 1 ч ч ^ ч ч
■Л и * г 'и
\j_Hf
60 60 100 120 НО 160 1 р о
40 ео юо ¿зо ло то * гаи
Рис. 3. Изменения интенсивности напряжений в течение пяти полетных циклов
соответственно 0,00498 и 0,00354. В других зонах лопатки уровень суммарных деформаций ниже. Например, в корневом сечении в зонах середины спинки (точка 6) и корыта (точка 8) интенсивность суммарных деформаций (на взлётном режиме в первом полётном цикле) не превышали значений соответственно 0,00151 и 0,00119.
Во всех циклах на стационарных режимах заметно проявление деформаций ползучести. В большей степени это характерно для точек замковой части и в несколько меньшей для пера лопатки. Кроме того, из-за ползучести и связанной с ней релаксацией напряжений последовательно от цикла к циклу снижался общий уровень деформаций. Однако, если сравнить изменение интенсивностей напряжений и суммарных деформаций в характерных точках лопатки в третьем, четвёртом и пятом циклах, то можно отметить некоторую тенденцию к стабилизации.
На рис. 4 и 5 показаны поля соответственно интенсивностей напряжений и суммарной деформации на режиме взлёта в первом полётном цикле. Как видно из рисунков, общая неоднородность напряжённо-деформированного состояния в замковой зоне значительно выше, чем в зоне пера лопатки. Это объясняется тем, что применение системы охлаждения в данной конструкции позволяет существенно разгрузить перо лопатки. Однако при этом несколько возрастает нагрузка на хвостовик. Кроме того, во внутренней полости возникают зоны концентрации напряжений, что в процессе эксплуатации может привести к образованию усталостных трещин и разрушению лопатки.
Рис. 4. Интенсивность напряжений на режиме взлёта в первом полётном цикле
Рис. 5. Интенсивность суммарной деформации на режиме взлёта в первом полётном цикле
Заключение
Рассмотрены основные рабочие процедуры решения краевых задач механики деформируемого твердого тела с учётом деформации ползучести в рамках конечно-элементной технологии. Алгоритмически решения построены на явной и неявной схемах Эйлера. Выполнены численные исследования напряжённо-деформированного состояний рабочей охлаждаемой лопатки авиационного ГТД с учетом деформации ползучести для первых пяти полетных циклов. Расчеты проведены в трехмерной постановке. Полученные результаты позволили оценить кинетику и общий уровень деформации ползучести и релаксации напряжений, а также установить опасные зоны конструкции лопатки, в которых возможно появление и развитие усталостных повреждений. Проведенные исследования показывают, что при анализе напряженно-деформированного состояния ответственных элементов конструкций объектов энергомашиностроения подверженных интенсивным нестационарным термомеханическим воздействиям необходимо учитывать деформацию ползучести. Дальнейшим развитием изложенных в данной работе алгоритмов является адаптация теории наследственной среды в рамках метода начальных деформаций в сочетании с неявной схемой Эйлера.
Список литературы
1. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести: учебник. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.
2. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести: пер. с англ. М.: Мир, 1986. 360 с. [Boyle J.T., Spence J. Stress analysis for creep. L.; Boston: Butterworths, 1983. 283 p.].
3. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
4. Колтунов М.А., Кравчук А.С., Майборода В.П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела: учебное пособие. М.: Высшая школа, 1983. 349 с.
5. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Терехов Р.Г. Термовязкоупругопластические процессы сложного деформирования элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 1992. 328 с.
6. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций / А.Н Подгорный, В.В. Бортовой, П.П. Гонтаровский и др.; под ред А.Н. Подгорного. Киев: Наукова думка, 1984. 262 с.
7. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, 1990. 222 с.
8. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. М.: Машиностроение, 1984. 256 с.
9. Манукян К.М., Сапунов В.Т. Модификация метода начальных деформаций для решения задач ползучести // Прочность и долговечность материалов и конструкций атомной техники. М.: Энергоатомиздат, 1982. С. 89-94.
10. Зарубин В.С., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005. 351 с.
11. Bathe K.-J. Finite element procedures. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1996. 1037 p.
12. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method for solid and structural mechanics. Amst.; Boston: Elsevier; Butterwoths, 2005. 631 p.
13. Bazant Z.P. Numerical solution of non-linear creep problems with application to plates // Intern. J. of Solids & Structures. 1971. Vol. 7. No. 1. Pp. 83-97. DOI: 10.1016/0020-7683(71)90019-9
Mathematics & Mathematical Modelling
Electronic journal http://mathmelpub.ru
Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 01, pp. 1-14.
DOI: 10.24108/mathm.0118.0000101
Received: 17.01.2018
© NP "NEICON"
Algorithms for Solving Boundary Value Problems of Deformable Solid Mechanics in View of Creep Strain
I.V. Stankevich1'*, S.S. Volkov1 "aplmexgjyandexju
:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: theory of creep; the explicit scheme of the Euler; implicit Euler scheme; finite element method
Further development of power and, primarily, engine engineering is associated with significantly increasing specific indicators. For example, the main trend in development of gas turbine engines is to increase gas parameters before the turbine. At the same time, there is an intensive growth of thermal and mechanical tension, and first of all this applies to the parts and components of the flow range. The destruction of these structural elements may have grave consequences. Increasing reliability and durability of responsible components of engines under operating conditions of complex cyclic thermo-mechanical loading is one of the priority tasks of modern engine engineering.
One of the factors to determine a design performance is high-temperature creep. When solving the problems of deformable solid mechanics (DSM) in terms of creep, various options of the theory of hereditary creep and three main technical theories of aging, flow and hardening are widely used. There are also theories known that use an apparatus of the structural models and mechanical analogues to describe the creep. Most theories satisfactorily describe the creep strain under constant or slowly changing loads. Analysis of stress-strain states under variable loads is better described by the theories of flow and hardening, and the theory of hardening has some advantages over the theories of flow, as it gives more exact approximation for experiment results. From the point of view of the computing cycle arrangement, the technical theories have well-known advantages over the hereditary ones.
When using the finite element method (FEM) to solve the boundary value problems of DSM considering the creep strain, an explicit or implicit Euler scheme is very often used. Depending on the features of the problem under consideration, a solution algorithm is constructed either in accordance with the method of initial stress, or by the method of initial strains. The method of initial strains when solving the problems in terms of creep is used more often, because the application of an initial stress method for this class of problems is technically much more
complicated. The paper examines the explicit and implicit Euler schemes in combination with FEM. Both schemes are formulated in accordance with the method of initial strains. A constitutive relation was chosen in the form of the theory of flows.
References
1. Malinin N.N. Prikladnaia teoriia plastichnosti i polzuchesti [Applied theory of plasticity and creep]: a textbook. 2nd ed. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1975. 399 p. (in Russian).
2. Boyle J.T., Spence J. Stress analysis for creep. L.; Boston: Butterworths, 1983. 283 p. (Russ. ed.: Boyle J.T., Spence J. Analiz napriagenij v konstruktsiiakhpripolzuchesti. Moscow: Mir Publ., 1986. 360 p.).
3. Il'yushin A.A., Pobedria B.E. Osnovy matematicheskoj teorii termoviazkouprugosti [Foundations of the mathematical theory of thermal viscoelasticity]. Moscow: Nauka Publ., 1970. 280 p. (in Russian).
4. Koltunov M.A., Kravchuk A.S., Majboroda V.P. Prikladnaia mekhanika deformiruemogo tvyerdogo tela [Applied mechanics of solids]: a textbook. Moscow: Vysshaia Shkola Publ., 1983. 349 p. (in Russian).
5. Shevchenko Yu.N., Babeshko M.E., Terekhov R.G. Termoviazkouprugoplasticheskie protsessy slozhnogo deformirovaniia elementov konstruktsij [Thermoviscoplasticity the complex processes of deformation of structural elements]. Kiev: Naukova Dumka Publ., 1992. 328 p. (in Russian).
6. Polzuchest' elementov mashinostroitel'nykh konstruktsij [The creep of elements of mechanical engineering structures] / A.N. Podgornyj, V.V. Bortovoj, P.P. Gontarovskij a.o.; ed. by A.N. Podgornyj. Kiev: Naukova Dumka Publ., 1984. 262 p. (in Russian).
7. Novozhilov V.V., Kadashevich Yu.I. Mikronapriazheniia v konstruktsionnykh materialakh [Microstresses in structural materials]. Leningrad: Mashinostroenie Publ., 1990. 222 p. (in Russian).
8. Gokhfel'd D.A., Sadakov O.S. Plastichnost' i polzuchest' elementov konstruktsij pri povtornykh nagruzheniiakh [Plasticity and creep of structural elements under repeated loading]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1984. 256 p. (in Russian).
9. Manukian K.M., Sapunov V.T. Modifikatsiia metoda nachal'nykh deformatsij dlia resheniia zadach polzuchesti [A modification of the method of initial deformations for solving problems of creep]. Prochnost' i dolgovechnost' materialov i konstruktsij atomnoj tekhniki [Strength and durability of materials and structures of nuclear engineering]. Moscow: Energoatomizdat Publ., 1982. Pp. 89-94 (in Russian).
10. Zarubin V.S., Stankevich I.V. Rachet teplonapriazhennykh konstruktsij [Calculation of heat-stressed structures]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 2005. 351 p. (in Russian).
11. Bathe K.-J. Finite element procedures. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1996. 1037 p.
12. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method for solid and structural mechanics. Amst.; Boston: Elsevier; Butterworths, 2005. 631 p.
13. Bazant Z.P. Numerical solution of non-linear creep problems with application to plates. Intern. J. of Solids & Structures, 1971, vol. 7, no. 1, pp. 83-97. DOI: 10.1016/0020-7683(71)90019-9
