Алгоритмы планирования усталостных испытаний авиационных материалов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Программные продукты и системы /Software & Systems

№ 4 (108), 2014

УДК 620.1 Дата подачи статьи: 21.07.2014

DOI: 10.15827/0236-235X.108.205-210

АЛГОРИТМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ УСТАЛОСТНЫХ ИСПЫТАНИИ АВИАЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Л.В. Агамиров, д.т.н., профессор, [email protected] («МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского, ул. Оршанская, 3, г. Москва, 121552, Россия);

В.Л. Агамиров, аспирант, [email protected];

В.А. Вестяк, к.ф.-м.н., доцент, [email protected] (Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Волоколамское шоссе, 4, г. Москва, 125993, Россия)

Рассеяние характеристик усталостных свойств конструкционных материалов вызвано объективными факторами, но резерв для решения данной проблемы состоит в разработке и применении в инженерной практике эффективных математических методов анализа экспериментальной информации. В работе рассматривается проблема оптимального планирования усталостных испытаний. Оптимизация такого рода испытаний прежде всего актуальна в связи с их дороговизной в авиационной промышленности, и при определении минимального количества испытаний следует исходить из их целей. Вместе с тем разработанная методика статистического анализа инвариантна к типу испытываемых объектов. Она позволяет повысить точность определения расчетных характеристик долговечности и предела выносливости, существенно сократить объем потребных для достижения заданной точности усталостных испытаний, а значит, снизить их длительность и стоимость. Использование существующих таблиц точных значений квантилей нецентрального распределения, как и математический расчет точных значений квантилей, связано с большой трудоемкостью вычислительных процедур. В работе предложены новые алгоритмы планирования испытаний при оценке квантиля и точного расчета квантиля нецентрального распределения Стьюдента, что позволяет предложить более простые и совершенные программные продукты по скорости вычислений по сравнению с предлагаемыми ранее.

Ключевые слова: оптимальный алгоритм, надежность, усталостные испытания, нецентральное распределение.

Повышение ресурса, долговечности и надежности ответственных элементов конструкций является приоритетной задачей на всех этапах проектирования, производства и эксплуатации изделий авиационной техники. Значительная часть в общей структуре затрат, связанных с обеспечением ресурса, приходится на статические и особенно циклические испытания как материалов и полуфабрикатов, так и натурных элементов конструкций. Высокая стоимость подобных испытаний связана со стоимостью современных материалов, физико-механических, термомеханических, химико-технологических и иных воздействий на объекты испытаний, которые являются обязательными этапами при отработке технологии производства конструкций, со стоимостью изготовления моделей, прототипов и, наконец, натурных объектов, значительными временными затратами при проведении усталостных испытаний. В этих условиях оптимизация испытаний позволяет существенно снизить затраты за счет грамотной формулировки целевых функций, критериев обеспечения надежности, вероятностно-статистического обоснования факторов планирования эксперимента и точности оценивания расчетных характеристик выносливости и долговечности силовых элементов конструкций.

Среди всего многообразия технологий испытаний авиационной техники особая роль отводится усталостным испытаниям материалов и элементов конструкций в связи с их большой трудоемко-

стью, длительностью, весьма значительным рассеянием характеристик сопротивления усталостному разрушению, связанным с неоднородностью структуры конструкционных материалов и особенностями эксплуатационной нагруженности летательных аппаратов [1, 2].

В связи с вышеизложенным в настоящей работе рассматриваются задача оптимального планирования прямых усталостных испытаний, к которым относят испытания по определению долговечности до разрушения или до образования усталостной трещины, а также более трудоемкая задача планирования косвенных усталостных испытаний, к которым относят испытания по определению справочной характеристики - предела выносливости [3]. Последняя задача рассматривается в постановке, связанной с построением кривой усталости как наиболее надежном методе определения предела выносливости в широком диапазоне долговечностей, соответствующем реальному спектру эксплуатационной нагруженно-сти элементов конструкций авиационной техники.

При планировании усталостных испытаний, то есть при определении минимально необходимого объема выборки, следует исходить из целей испытаний. Рассмотрим задачу, связанную с планированием испытаний по оценке квантильных значений характеристик усталостных свойств. В этом случае объем выборки определяется исходя из нормативной ширины доверительного интервала для квантиля исследуемой характеристи-

205

Программные продукты и системы /Software & Systems

№ 4 (108), 2014

ки. При прямых испытаниях (то есть при испытаниях до достижения критического состояния на одном уровне амплитуд напряжений цикла) такой характеристикой является логарифм долговечности x=lgN, распределение которой предполагается нормальным. Верхние и нижние доверительные границы для квантиля xp уровня p логарифма долговечности x , xpl рассчитывают на основе гипотетического нормального распределения по оценкам его параметров:

ХР = а+ZP-ст, (i)

Xpu = а + *р\П-1,Zp ^/И]^ст , L J vn (2)

xP,=а+ti-р [n-i,zp -Vй , (3)

где р - уровень доверительной вероятности

(обычно 0,9 или 0,95); tyf Д] - квантиль уровня у нецентрального распределения Стьюдента с f=n-1 степенями свободы и с параметром нецентральности Д = z -sfn ; zp - квантиль уровня p нормированного нормального распределения; а, ст -

оценки параметров нормального распределения логарифма долговечности [3-6].

На рисунке 1 схематично показаны доверительные границы для квантиля распределения логарифма долговечности. Для примера на рисунке указаны симметричные относительно медианы (P=0,5) уровни квантиля 0,01 и 0,99, то есть

lgN099 = а + z0,99 -ст = а + 2,326-ст, lg N001 = а + z001 -ст = а - 2,326-ст.

Рис. 1. Доверительные границы для квантиля логарифма долговечности

Fig. 1. Confidence limits for a of longevity logarithm fractile

Алгоритм точного расчета обратной функции интеграла вероятностей нецентрального распределения Стьюдента подробно рассмотрен в [4].

Как видно из уравнений (2) и (3), весьма удобным для дальнейших расчетов является нормиро-

вание относительной ширины одностороннего доверительного интервала в следующем виде:

5

хр - xP

ст

zp ?i-p

для p<0,5,

(4)

8

5 р л

= t

[и-1, Zp-4n ]-

r zp

для p>0,5, (5)

где 5p - максимальная ошибка оценки квантиля в долях выборочного среднего квадратичного отклонения [3]. При таком подходе объем выборки не зависит от оценок характеристик распределения. Расчеты показывают, что величина 5р может принимать значения 0,1—0,3 при высоких требованиях к точности, 0,4-0,6 при средних требованиях и 0,8-1,0 при низких [3, 4, 6].

Однако после проведения полного объема испытаний необходимо уточнить относительную ошибку в долях оценки квантиля с учетом полученных по результатам испытаний оценок распределения логарифма долговечности:

Д р =

xр - xpi Х„

или ДР

= XpU Xp

Очевидно, что Д Р =

5.

zp +1/у

р

(6)

(7)

где у = ст / а - оценка коэффициента вариации ло-

гарифма долговечности.

Эта ошибка уже зависит от оценок параметров распределения логарифма долговечности. Если ошибка (6) не удовлетворяет требованиям точности, объем испытаний должен быть увеличен и испытания продолжены до достижения требуемой точности.

Алгоритмы планирования усталостных испытаний

Таким образом, для решения задачи планирования усталостных испытаний с целью оценки квантиля распределения логарифма долговечности прежде всего необходимо разработать алгоритм расчета объема испытаний n по уравнениям (4) и (5) при заданных значениях относительной ошибки 5р, уровня квантиля распределения логарифма долговечности р, доверительной вероятности р.

При этом наибольшие затруднения вызывает необходимость многократного вычисления обратной функции нецентрального распределения Стьюдента, в точности соответствующей заданному уровню доверительной вероятности, значение которого равно интегралу вероятностей нецентрального распределения при том, что n и р являются аргументами функции распределения. Чтобы избежать связанных с этим итерационных

206

Программные продукты и системы /Software & Systems

№ 4 (108), 2014

процедур [4], в настоящей работе предлагается следующий алгоритм численного расчета.

Алгоритм предполагает задание в качестве исходных данных величин относительной ошибки квантиля Sp, минимального объема выборки, равного 3, уровней доверительной вероятности и квантиля. Затем, исходя из соотношений (4) или (5), вычисляется значение квантиля и интеграла вероятностей нецентрального распределения Стьюдента. Значение объема выборки циклически увеличивается на единицу до тех пор, пока расчетное значение интеграла вероятностей не превысит значения заданной доверительной вероятности р.

В таблице 1 представлены рассчитанные таким образом минимальные объемы выборок для доверительной вероятности 0,9.

Таблица 1

Минимальные объемы испытаний для оценки квантиля нормированной нормальной величины для доверительной вероятности р=0,9

Table 1

Minimum test values for assessing a normalized value fractile with confidence probability P=0,9

Sp/P 0,5 0,3 0,1 0,05 0,01 0,005 0,001

0,1 166 200 328 423 659 764 1014

0,2 43 54 90 116 178 206 271

0,3 20 26 44 57 86 99 129

0,4 12 16 28 35 52 60 77

0,5 9 12 19 25 36 41 53

0,6 7 9 15 19 27 31 39

0,7 5 8 12 15 22 24 31

0,8 5 6 10 13 18 20 25

0,9 4 6 9 11 15 17 21

1,0 4 5 8 10 13 15 18

Аналогично может быть решена задача определения квантилей нецентрального распределения Стьюдента, но при этом на входе задается значение относительной ошибки Sp от нуля с шагом 0,0005, достаточным, как показывают расчеты, для точного вычисления квантиля. Вычисления продолжаются до тех пор, пока расчетное значение интеграла вероятностей не превысит значения заданной доверительной вероятности р.

В таблице 2 представлены значения относительной ошибки для объемов выборки от 3 до 10 и доверительной вероятности 0,9. Необходимо отметить, что предлагаемый подход расчета позволяет производить весьма быстрые вычисления без итерационных процедур во всех реальных диапазонах вероятностей и уровней доверительной вероятности.

Таблица 2

Относительные ошибки оценки квантиля нормированной нормальной величины для доверительной вероятности р = 0,9

Table 2

Relative errors of assessing a normalized value fractile for confidence probability р = 0,9

n/P 0,700 0,900 0,950 0,990 0,995 0,999

3 1,704 2,977 3,667 5,015 5,517 6,561

4 1,169 1,907 2,312 3,112 3,413 4,040

5 0,932 1,461 1,755 2,340 2,561 3,022

6 0,794 1,213 1,448 1,917 2,094 2,466

7 0,701 1,052 1,249 1,646 1,797 2,112

8 0,634 0,938 1,110 1,457 1,588 1,865

9 0,583 0,852 1,006 1,316 1,434 1,681

10 0,542 0,785 0,924 1,206 1,313 1,539

При построении кривой усталости объем серии из n образцов или элементов конструкций разделяют в зависимости от планируемой протяженности кривой на 3-5 групп, каждую из которых испытывают при постоянном уровне переменных напряжений. С увеличением числа уровней амплитуд напряжений погрешность в определении предела выносливости возрастает. Значение ошибки определения предела выносливости зависит от характера распределения объема серии объектов усталостных испытаний п на отдельные группы по числу принятых уровней напряжений при испытаниях т. Наименьшая ошибка достигается в том случае, когда преобладающую часть объема серии испытывают на самом нижнем уровне переменных напряжений, но этот вариант распределения не является целесообразным из-за резкого увеличения времени испытаний. Если себестоимость объекта испытаний сравнительно невелика, то наиболее оптимальным с точки зрения минимума ошибки в определении предела выносливости и без резкого возрастания машинного времени является максимально возможный неравномерный вариант распределения образцов по уровням напряжений, симметричный относительно середины диапазона амплитуд цикла напряжений [3]. Например, при т = 4 на двух крайних уровнях напряжения испытывают до 40 % от п, при двух средних - по 10 % от п. При т = 3 на среднем уровне испытывают 10 % от п образцов, а на крайних - по 45 % от п. Большей асимметрии при п<10 добиться практически невозможно.

Как показывает практика, минимально необходимый набор факторов планирования усталостных испытаний, проводимых с целью обоснования медианы предела выносливости на данной базе с заданной погрешностью, следующий: общий объем испытаний и характер распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений циклов, число и значения этих уровней, коэффи-

207

Программные продукты и системы /Software & Systems

№ 4 (108), 2014

циент вариации предела выносливости. Перечисленные факторы определяют в первом приближении среднюю квадратичную ошибку медианы предела выносливости [3], величина которой вычисляется по следующей приближенной формуле:

8К}

-Jn

1 + -

(xo - x f

^ Zv/(x- x )2

s

ст

(8)

где vf =—— относительный объем испытаний на

n

i-м уровне; ni - объем испытаний на i-м уровне;

m

n — X n - общий объем испытаний; sa - оценка

i—1

среднего квадратичного отклонения предела вы-

m

носливости; x =^Vi • Xi.

i=l

По аналогии с уравнениями (4) и (5) для прямых испытаний приближенные доверительные границы для медианы предела ограниченной выносливости имеют вид

CTu =CTa + V§K } =

= ст

a

-Jin

+

1 | (xo - x У

^ Jv(x - x)2

(9)

что приводит к следующей величине относительной ошибки в определении медианы предела выносливости:

ст -ст Zp

S ____ u a _______ p

s —

-Jn

1+_(xozx)l_

Xv. (x- x )2

(10)

s

ст

i—1

На рисунке 2 в схематическом виде представлена методика определения доверительных границ для предела выносливости при построении кривой усталости. Пунктиром показана верхняя доверительная граница для кривой усталости, от-

Рис. 2. Определение предела выносливости и доверительного интервала по кривой усталости

Fig. 2. Determining durability limit and confidence interval on S-N curve

куда может быть определен потребный объем испытаний для обеспечения нормативной относительной ошибки в определении медианы предела выносливости на заданной базе N0, соответствующей значению х0=ф(ст0):

(

Л

n —

V

_L

VS0,5 J

Xv i (x- x )2

(11)

V i— 1 J

Преобразование х^ф^О линеаризует уравнение кривой усталости и поэтому зависит от выбранного уравнения кривой усталости.

Так, например, для уравнений кривых устало-

сти

•(N)-

IX

ст —ст_1 + a

(12)

или ст—^i+ a •(lg N)“ (13)

xi — ф(стш ) — ^(стш -ст-1) ,

для уравнения кривой усталости

ст!1 • N — a (14)

xi — ф(стш ) — ^(стда ) •

Выбор факторов при оптимизации планирования усталостных испытаний должен учитывать себестоимость усталостных испытаний [3], которая определяется стоимостью объектов и стоимостью времени проведения испытаний:

с — n • (с + C •-), (15)

где C1 - стоимость одного объекта испытаний; C3= C2/(60f) - стоимость одного цикла испытаний данного объекта, С2 - стоимость одного часа испытаний, f - частота испытаний (об./мин.).

Общая долговечность испытаний (в циклах):

m _ 'Т'

T — X n • N,, T — - , (16)

i—i n

где N - средняя долговечность, соответствующая i-му уровню амплитуды напряжения цикла.

Таким образом, задача оптимального планирования усталостных испытаний заключается в определении минимального объема испытаний n и необходимого характера распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений с целью обеспечения нормативной относительной ошибки (10) при минимальной себестоимости (15) для данного варианта плана испытаний. Может быть минимизировано время испытаний T (16), которое для данного варианта уровней напряжений зависит только от характера распределения объектов по уровням. Такой способ планирования актуален для испытаний, проводимых на дорогостоящих испытательных стендах. При усталостных испытаниях натурных крупногабаритных деталей минимизировать следует объем испытаний n за счет увеличения продолжительности испытаний при прочих равных условиях. Необходимо отметить, что результаты оптимизации существенно

208

Программные продукты и системы /Software & Systems

№ 4 (108), 2014

Планирование усталостных испытаний при построении кривых усталости Planing fatigue tests when tracing S-N curve

Таблица 3 Table 3

o' II m=4 С=1 С2=1 f=1000об/мин C3=0,0000167 II II o ю £ ^ 5

N 105 5*105 1,4*106 107

а .= 67,5 + 4050 ■ (Ni )-2 ai 9 у 229,50 192,20 174,71 150,15

X - !g(aa, “a-l) 2,2095 2,0959 2,0303 1,9173

Относительное распределение образцов по уровням напряжений vt i-й уровень 2-й уровень 3-й уровень 4-й уровень rP m T - T -Vv ■ N П i-i x - Vv ■ xi i-1 Vvi (Xi - x)2 i-1

i-й вариант 0,25 0,25 0,25 0,25 3,00E+06 2,0632 0,0112

2-й вариант 0,4 0,1 0,1 0,4 4,23E+06 2,0633 0,0173

3-й вариант 0,5 0,3 0,2 0,1 1,48E+06 2,3313 0,0593

4-й вариант 0,i 0,2 0,3 0,5 5,53E+06 2,2078 0,0542

Базовые долговечности N0 105 106 107 5*107 108

аа0 - 67,5 + 4050 ■ (N))-2 229,50 180,00 150,15 135,83 130,78

Xo - !g(aa0 -а-1) 2,2095 2,0512 1,9173 1,8346 1,8013

Объем испытаний n - - f Л 1 , (+0 - +X Vv( xi ~XY ^ i-i j

i-й вариант 87,44 30,46 87,19 170,21 214,03

2-й вариант 67,22 30,32 67,15 121,00 149,42

3-й вариант 37,58 69,85 116,97 155,14 172,48

4-й вариант 30,07 43,69 76,92 107,37 121,79

Стоимость испытаний с -n■ (q +c3 ■ t)

i-й вариант 4459,68 1553,33 4446,50 8680,72 10915,38

2-й вариант 4805,98 2168,19 4801,18 8651,85 10683,83

3-й вариант 964,68 1792,84 3002,20 3981,83 4426,88

4-й вариант 2801,38 4070,33 7166,27 10003,35 11346,43

варьируются в зависимости от предполагаемой базовой долговечности, для которой оценивается предел выносливости, то есть от степени экстраполяции по кривой усталости, а также от надежности обоснования априорных медианных кривых усталости.

В таблице 3 представлен фрагмент оптимального планирования усталостных испытаний с учетом их стоимости для четырех вариантов распределения объектов по уровням амплитуд напряжений циклов, соответствующих средним долговечностям в диапазоне от 105 до 107 циклов. В рассматриваемом примере заданы единичные стоимости объекта и часа испытаний, поэтому оптимальным по стоимости получился вариант со смещением объектов испытаний в сторону высоких амплитуд напряжений. В то же время оптимальным по объему является неравномерный симметричный вариант распределения объектов

(2-й вариант), особенно при экстраполяции в область высоких базовых долговечностей, характерных для эксплуатационной нагруженности летательных аппаратов. Вариант № 4 представляется несколько экзотическим, так как требует значительного увеличения времени испытаний, что обычно не приветствуется испытателями. При изменении величин Q, C2 и C3, а также других факторов эксперимента, выводы по оптимизации могут измениться.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы. В статье описаны разработанный оптимальный алгоритм и программный продукт для определения минимального объема выборки с целью оценки квантиля распределения логарифма долговечности при усталостных испытаниях, необходимые для решения задач обоснования нижнего гарантированного ресурса ответственных элементов авиационных конструкций.

209

Программные продукты и системы /Software & Systems

№ 4 (108), 2014

Предложенные оптимальные алгоритмы расчета по сравнению с предлагаемыми ранее позволяют производить максимально быстрые вычисления без итерационных процедур во всех реальных диапазонах квантилей распределения и доверительных вероятностей, могут быть легко запрограммированы и использованы в общедоступном офисном пакете Exсel, что и было сделано авторами.

Благодаря разработанному алгоритму, методике и программе планирования усталостных испытаний, проводимых с целью построения кривой усталости, определен минимально необходимый набор факторов планирования: общий объем испытаний и характер распределения объектов испытаний по уровням амплитуд напряжений циклов, число и значения этих уровней, степень экстраполяции по кривой усталости, надежность обоснования априорных характеристик выносливости, стоимость объектов и времени испытаний. Рассмотренный пример планирования определяет

пути минимизации затрат при обеспечении требуемой точности определения предела выносливости по кривой усталости, что весьма актуально для минимизации затрат дорогостоящих усталостных испытаний элементов конструкций.

Литература

1. Райхер В.Л. Усталостная повреждаемость. М.: Изд-во МАТИ, 2006. 238 с.

2. Райхер В.Л. Рассеяние усталостной долговечности. М.: Изд-во МАТИ, ЛАТМЭС, 2003. 221 с.

3. Агамиров Л.В. Методы статистического анализа механических испытаний. М.: Интермет инжиниринг, 2004. 127 с.

4. Агамиров В.Л., Агамиров Л.В., Вестяк В.А. Метод расчета квантилей распределения характеристик усталостных свойств элементов конструкций // Вестн. МАИ. 2011. №. 18. № 4. С. 71-76.

5. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.

6. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных. М.: Мир, 1980. 511 с.

7. Реагеоп E.S., НаШеу H.O. Biometrika Tables for Statisticians. Cambridge Univ. Press, 1966, vol. 1; 1972, vol. 2.

DOI: 10.15827/0236-235X.108.205-210 Received 17.06.2014

PLANNING ALGORITHMS OF AVIATION MATERIALS FATIGUE TESTS Agamirov L.V., Dr.Sc. (Engineering), Professor, [email protected] (MATI (Russian National Research University), Orshanskaya St. 3, Moscow, Russian Federation);

Agamirov V.L., Postgraduate Student, [email protected];

Vestyak V.A., Ph.D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, [email protected] (Moscow Aviation Institute (National Research University, Volokolamskoe shosse 4, Moscow, Russian Federation)

Abstract. Dissipation of characteristics of construction materials fatigue properties is caused by a number of objective factors. But this problem can be solved through developing and implementing into engineering practice effective mathematical methods of analyzing experimental information. This paper considers optimum planning of fatigue tests. The problem of such tests optimization is important because of their expensiveness for aviation industry, so when planning the minimum number of tests their objectives must be taken into consideration. At the same time the developed statistical analysis methodology is invariant to the type of tested objects. It allows increasing accuracy of defining design characteristics of endurance and fatigue limit, considerably reducing the number of fatigue tests necessary for achieving required accuracy, thus reducing their time duration and cost. The use of the existing worksheet of exact values of noncentral distribution fractiles, as well as mathematical calculation of exact values of fractiles is connected with high labour intensity of computational procedures. This paper contains new algorithms of test planning in fractile estimating and exact calculation of Student fractile of noncentral distribution. It allows offering simpler and perfect software products (considering the speed of calculations) in comparison with offered earlier.

Keywords: optimal algorithm, reliability, fatigue tests, noncentral distribution..

References

1. Raiher V.L. Ustalostnayapovrezhdaemost [Fatigue Damageability]. Мoscow, MATI Publ., 2006, 238 p.

2. Raiher V.L. Rasseyanie ustalostnoy dolgovechnosti [Dispersion of Fatigue Durability]. Мoscow, MATI Publ., LATMES, 2003, 221 p.

3. Agamirov L.V. Metody statisticheskogo analiza mekhanicheskikh ispytany [Methods of the Statistical Analysis of Mechanical Tests]. Moscow, Internet Inzhiniring Publ., 2004, 127 p.

4. Agamirov V.L., Agamirov L.V., Vestyak V.A. A calculation method for obtaining quantiles of fatigue characteristics distribution of constructive elements. VestnikMoskovskogo aviatsionnogo instituta [Bulletin of Moscow Aviation Institute]. 2011, vol. 18, no. 4, pp. 71-76.

5. Bolshev L.N., Smirnov N.V. Tablitsy matematicheskoy statistiki [Tables of Mathematical Statistics]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 416 p.

6. Johnson N., Lion F. Statistika i planirovanie eksperimenta v tekhnike i nauke. Metody obrabotki dannykh [Statistics and Planning of Experiment in Equipment and Science. Data Processing Methods]. Moscow, Mir Publ., 1980, 511 p.

7. Рeaгsоn E.S., Hart1eY H.O. Biometrika Tables for Statisticians. Cambridge University Press 1966, vol. 1; 1972, vol. 2.

210