Алгоритмы параллельных вычислений для решения задачи распространения электромагнитного излучения в плазме Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интегрируя полученную систему и подставляя начальные данные, имеем решение системы (3.4)

го = /(£)\Л + -2(£ - ¿о)2,

ио = -2« - ¿о) , V, =_________________________________________-_, (3.5)

1+ -2(£ - ¿о)2 1+ -2(£ - ¿о)2

^0 = д(£— ¿о^ ^0 = 5оо(£)-

Полученное решение для го, ио, V аналогично решению (2.5) и отражает тот факт, что каждая частица на свободной поверхности движется по своей прямой со своей постоянной скоростью. Вместе с тем учет силы тяжести привел к следующему результату: свободная поверхность движется как твердое тело вдоль оси 0г со скоростью и>о = д(£ — £о). Заметим также, что ио, Т/о, ^о не зависят от £, а следовательно, и от г.

Таким образом, соотношения (3.5) задают единственное аналитическое решение задачи (3.4). Заметим, что это решение согласовано при £ = ¿о с условиями (3.2). Поэтому справедлива следующая

Теорема 3.1. Существует > ¿о такое, что при ¿о < £ < в некоторой окрестности Го существует единственное локально-аналитическое решение задачи (3.1), (3.2),

(3.5).

Доказательство теоремы сводится, как и в [2-8], к теореме о существовании единственного аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида [12, 13]. Задача (3.1), (3.2), (3.5) является характеристической задачей Коши с данными на характеристике кратности пять, поэтому для построения единственного локальноаналитического решения надо задать пять дополнительных условий. Этими условиями и являются условия (3.2).

Для нахождения момента времени, до которого существует решение задачи (3.1), (3.2),

(3.5), разложим его в ряд по степеням х

СЮ к

х

Я(£,^,х,г) = Х! Як(£,^,г)к!, Я = {С',и,Т,^,£}, (3.6)

к=о

что при малых х возможно в силу аналитичности решения задачи (3.1), (3.2), (3.5) в некоторой окрестности Го.

В системе (3.1) положим х = 0 и, учитывая (3.5), получим тождество. Продифференцируем систему (3.1) по х, положим х = 0. Будем иметь систему транспортных уравнений

^ +1

Си + С1^То + ^о + ^— С1(гои1 — го^ ^1) + (7 + 1)С1ио = °

ии + и1^То + и1^ ^о — 2ТоУ1 + Зиои1 + и1(г о и1 — го^ ^1) +

2

+-----7 ГоСХ = 0,

7 - 1 (3.7)

Уи + Уі^У + Уь ^о + ЗЦоУі + 2УоЦі + Уі(ГоЦ — Го^ ^і) = 0,

2

ыи + ^і^Уо + ^ ^о + Цо^і + ^і(го^і — Го^ ^і)-------------------- ГдГо^ ^дС2 = 0,

7 — 1

+ Бі^Уо + ^о + Цо^і + 5! (го Ці — Го^ ^і) + 5о,г ^і = 0,

описывающую поведение производных, выводящих со свободной поверхности Го.

Продифференцируем систему (3.1) по х к раз, положим х = 0 и, учитывая (3.5) и ранее найденные q¿ (/ < к), получим систему

Ск* + Ск^Уо + Скг^о + +(7 + к)СкЦо + (к + ^— | Ск(ГоЦі — Го^^і) +

+ (1 + ^ С^ГоЦ — Го^^) = ^1к(¿,<р,г),

Цк* + Ц^Уо + ^о + (к + 2)ЦоЦ — 2УоУк + кЦ^ГоЦ — го^^1) +

2

+ Ц1(гоЦк — го^^) + 7(к + 1)го^оС1 Ск = ^2к^

7 — 1

Ук* + Ук^Уо + Укг ^о + (к + 2)ЦоУк + 2УоЦ + кУк (гоЦ — Гог ^) + (3.8)

+У1(гоЦ — Го^^) = фэк(¿, <р, г),

^ + и^У, + ^ ^о + (гоЦ — го^ ^1) + ^(гоЦ — го^ ^) +

2

+ кЦо^-------7(к + 1)гоГо^^оС1Ск: = (Л ^

7 — 1

+ Бк^Уо + ^о + к^к (гоЦ1 — гог ^1) + ^1(гоЦк — го^ ^) +

+ 5ог^, г)-

Функции (¿,<^,г), 1 < г < 5, известным образом зависят от д,/ < к, и ввиду громоздкости здесь не приводятся. Единственное решение систем (3.7), (3.8) получается при задании начальных условий дк(¿о,^,г), которые однозначно определяются при разложении в ряд по степеням х условий (3.2).

Системы (3.8) линейны, поэтому первые особенности решений этих систем совпадают с особенностями решений систем (3.4), (3.7). Функции (3.5), задающие решение системы (3.4), особенностей не имеют, следовательно, для определения момента времени £ = ¿*, являющегося граничной точкой области сходимости рядов (3.6), необходимо исследовать систему транспортных уравнений (3.7).

4. Исследование системы транспортных уравнений

Система транспортных уравнений (3.7) является нелинейной системой уравнений с частными производными. Ее аналитическое исследование представляет большие сложности. Поэтому система (3.7) далее исследуется численно. Чтобы получить более удобную для численного исследования задачу, в системе (3.7) вместо г, ^ введем новые независимые переменные

С = г — |(£ — ¿о^ С = ^ — аге^(-(£ — ¿о)) , при этом независимая переменная ¿ не меняется. Система (3.7) перейдет в систему

Y +1 Y + 3

Cit + Ci(roUi - rcçwi) + C1U0 = 0,

Uit - 2VoVi + 3UoUi + UoçWi + Ui(roUi - roçWi) +

2

+------ roC?So2 = 0,

Y - 1 (4.1)

V1t + 3UoV1 + 2VoU1 + W1 + V1(roU1 — roÇ wi) = °

2

Wit + UoWi + Wi(roUi - roçWi)-------- r2roçSo2C2 = 0,

Y - 1

S1t + ад + S1(roU1 - roçwi) + SoçW1 = 0 обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую £, Z входят как параметры, от которых зависят начальные данные и коэффициенты системы (4.1), но по которым не производится дифференцирование искомых функций Ci, Ui, Vi, Wi, Si.

Если в системе (4.1) ввести новые неизвестные функции t

у = ехрДл - roç w )Л, U1 = yf/b ,, = „Ц, = yWl, S1 = y5b

to

то система (4.1) перейдет в систему

yt = roui - roçWi,

2 S2roC2o (i,r )

Uit — —3UqUi + 2V0vi —

Y — 1 yY [1 + u2(t — îq)2]7+1

v1t = -2^ui - 3Uovb (4.2)

Wi. = -UoWi + -2T ;12ro{r°C2o(e^+i.

Y - 1 yY [1 + w2(t - io)T

sit = -UoSi - soçWi, а функция Ci будет находиться из конечного соотношения

Y+1 Y+1

Ci = Cio(£,T)У 2 f1 + ^2(t - ¿o)2] 2 •

Заметим, что у (to) = 1.

Построим точное решение системы (4.2), описывающее поведение выводящих производных в “носике” газового объема (в частном случае — в вершине конуса). В системе (4.2) положим £ = 0, тогда ro = f (0)^/1 + w2(t - to)2 = 0, roç = f'(0)^/1 + w2(t - to)2 (f'(0) = a), и получим систему

yt — — ayj 1 + u2(t — Îq)2Wi,

u2(t — tQ ) и

Ult — —3------ ------“ Ui + 2-------—---—— Vi,

14 1+ u2(t — to)2 1 1+ u2(t — to)2 b

_ О и о u2(t — tQ)

Vlt — —21+ u2(t — to)2 Ul — 31+ u2(t — to)2 Vl’ (4.3)

W — u2(t — tQ) W W it — — T~i—^W l ’

1 + u2(t — to )2 Sl‘ — — 1 —1)2 Sl — Sq£(0)Wl-

Интегрируя четвертое уравнение системы (4.3), подставляя полученное решение в первое и пятое уравнения системы и интегрируя их, будем иметь

_ ^1о(т) ^1о(т)5о?(0)(* — ¿о) + «1о(т)

— —, =, 51 — ----------. =------,

\/1 + ^2^ — ¿о )2

у =1 — а^1о(т )(¿ — ¿о).

Второе и третье уравнения системы (4.3) образуют отдельную систему, общее решение которой имеет вид [15]

1 — ^2^ — ¿о)2 2^^ — ¿о)

«1 = ^1--------------------+ ^2

^1 + W2(t - to)2) (\Л + ^2(t - to)2)

_ n —2w(t — io^ n 1 — w2(t — ¿o)2

V1 — -------- 4 5 + D2"

+ ^2(i — i0)2 ) + ^2(i — i0)2 )

Полученное точное решение позволяет упростить систему (4.2) введением новых неизвестных функций и, V, Ж, 5 по следующим формулам:

1 — ^2^ — ¿о)2 2^^ — ¿о)

и1 = и-----------------------5 + V-

(у1+ w2(t - to)2) ^л/1 + ^2(i - io)2)

-2w(t - io) 1 - w2(i - io)2

V1 — U-----------------------------------------------------------5 + V-5 ,

{л/1 + ^2(i - io)2) (\A + ^2(i - io)2)

TT7 W s

Wi — . _ _, si

д/1 + W2(i - io)2 x/1 + W2(i - io)2

Система (4.2) перейдет в систему

1 - ^2(І - to)2 і 2w(i - to) w/ачті/

yt — f (C)(1+ W2(t - to)2)2U f (1+ W2(t - to)2)2V ’

2 So2/(C^ofcr)[1 - w2(t - to)2]

Ut — - o

Y - 1 У7 [1 + w2(t - to)2]7

v —_________2_ So2/(C)C2o(C-T )2w(t - to) (4 4)

‘ y - 1 У7 [1+ ^(t - to)2]’ ’ (4'4)

Wt — 2 ,S2/'(f ^(OCfo (C’T)

Y - 1 yY [1 + w2(t - to)2]Y 1/2 W

st — - so£‘

\J1 + W2(t - to)2

Далее систему (4.4) будем исследовать в частном случае — в предположении, что в начальный момент времени t — to газовый объем закручен как твердое тело и энтропия на поверхности Г не зависит от z (S|г — Soo — const > 0). В этом случае пятое уравнение системы (4.4) интегрируем и, возвращаясь к исходной неизвестной функции, получаем

S1o

So — Soo ’ S1

У у/1+ W2(t - to)2

Рис. 2. Поведение функции у(Ь) при Ь ^ , у(¿*) = 0, ¿о = 0.1, и = 10, 7 = 2.

Расчеты системы (4.4) будем вести также при дополнительном предположении, что исходная поверхность Г — конус, образующая которого имеет уравнение г = аг, т. е.: f (г) = аг, f7(г) = а. В этом случае начальные данные для системы (4.4) будут иметь вид

у(£о) = 1, и(£о) = V(¿о) = Ш(¿о) = 0, ¿о = 0.1.

Значение Сю =

у1 + а

возьмем из приближенного решения задачи о распаде разры-

2а£о £оо аг

ва, используя первые два слагаемых ряда для г, что допустимо для малых ¿. Расчеты ведутся до момента времени, когда у = 0, т. е. до момента (£ = £*) появления бесконечных производных на свободной поверхности — момента “градиентной катастрофы”. На основании численного исследования поставленной для системы (4.4) задачи можно сделать следующие выводы.

1. Во всех проведенных расчетах независимо от величины констант 7 или и “градиентная катастрофа” возникает в обоих случаях: и когда газ находится снаружи от свободной поверхности, и когда газ находится внутри нее. Это можно объяснить тем, что определяющим слагаемым в правой части первого уравнения системы (4.4) является -а^. Расчеты показали, что функция Ш возрастает и остается положительной по мере роста ¿. Это обеспечивает убывание у вплоть до нуля (рис. 2).

2. Время появления бесконечных производных оказалось связанным с параметром и. Чем больше и, тем позже наступает “градиентная катастрофа”:

1 10 100

і* 0.158 0.165 0.64

Все полученые в статье результаты доказаны строго, но носят локальный характер. Поэтому они не учитывают особенностей, возможно, возникающих в средней части течения.

Автор благодарит С.П. Баутина за полезное обсуждение данной работы.

Список литературы

[1] Сидоров А.Ф. Приближенный метод решения некоторых задач о пространственном истечении газа в вакуум // Числ. методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; ИТПМ. 1976. Т. 7, № 5. С. 137-148.

[2] Баутин С.П. Схлопывание одномерной полости // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46, вып. 1. С. 50-59.

[3] Баутин С.П., Дерябин С.Л. Истечение идеального газа в вакуум // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, № 4. С. 817-820.

[4] Баутин С.П. Двумерное нестационарное истечение газа в вакуум в случае прямолинейной свободной поверхности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып. 60. С. 22-23.

[5] Дерябин С.Л. Трехмерное истечение идеального газа в вакуум в случае линейчатой свободной поверхности. Свердловск: Уральский электромеханический ин-т инженеров железнодорожного транспорта. 1984. 28 с. Деп. в ВИНИТИ 25.04.1984. № 2617-84.

[6] Дерябин С.Л. Трехмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа в условиях действия внешних массовых сил // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1987. Вып. 83. С. 60-71.

[7] Дерябин С.Л., Чуев Н.П. Сферически-симметричное истечение самогравитирующе-го идеального газа в вакуум // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 2. С. 77-84.

[8] Дерябин С.Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакуум // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 4. С. 32-44.

[9] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

[10] Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

[11] Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

[12] Баутин С.П. Характеристическая задача Коши для квазилинейной аналитической системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 11. С. 2052-2063.

[13] Баутин С.П. Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа. Новосибирск: Наука, 1997.

[14] Баутин С.П. Исследование области сходимости специальных рядов, решающих некоторые задачи газовой динамики // Числ. методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; ИТПМ. 1978. Т. 9, № 4. С. 5-17.

[15] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

Поступила в редакцию 3 ноября 2003 г.